5.1 认识二元一次方程组 课件（共37张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.1 认识二元一次方程组
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
结合实际问题，理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能判断一个方程或方程组是否为二元一次方程（组）。
明确二元一次方程的解、二元一次方程组的解的概念，能判断一组数是否为方程（组）的解。
体会从 “一元” 到 “二元” 的思维拓展，感受方程组在解决含两个未知数问题中的作用，提升数学建模意识。
幻灯片 3：情境导入（生活中的二元问题）
1. 情境 1：购物问题
周末，小明去文具店买笔和笔记本，已知 1 支钢笔和 1 本笔记本共需 12 元，2 支钢笔和 1 本笔记本共需 20 元。若设钢笔的单价为\(x\)元，笔记本的单价为\(y\)元，你能列出哪些等式来表示这两个数量关系？
分析：1 支钢笔 + 1 本笔记本 = 12 元→\(x + y = 12\)；
2 支钢笔 + 1 本笔记本 = 20 元→\(2x + y = 20\)。
2. 情境 2：分配问题
某班将 30 本练习本分给学生，若每人分 2 本，还剩 2 本；若每人分 3 本，还差 3 本。设该班有\(x\)名学生，练习本有\(y\)本，如何用等式表示这两个分配关系？
分析：每人 2 本 + 剩 2 本 = 总本数→\(2x + 2 = y\)；
每人 3 本 - 差 3 本 = 总本数→\(3x - 3 = y\)。
3. 提问引导
上述情境中的等式含几个未知数？未知数的次数是多少？
如何将两个相关的等式结合起来，共同解决 “求钢笔单价和笔记本单价”“求学生人数和练习本数” 的问题？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 二元一次方程的定义
1. 定义内容
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做二元一次方程。
一般形式：\(ax + by = c\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，且\(a 0\)，\(b 0\)），“二元” 指两个未知数（如\(x\)、\(y\)），“一次” 指未知数的次数为 1。
2. 定义关键词解析
两个未知数：方程中必须含两个不同的未知数（如\(x\)和\(y\)、\(m\)和\(n\)），不能只有一个未知数（如\(2x + 3 = 5\)是一元一次方程）。
次数都是 1：每个未知数的次数均为 1，且未知数不能在分母、根号或乘积项中（如\(xy = 6\)（未知数乘积，次数为 2）、\(\frac{1}{x} + y = 3\)（未知数在分母）均不是二元一次方程）。
整式方程：方程中分母不含未知数，根号内不含未知数（如\(\sqrt{x} + y = 4\)不是整式方程，故非二元一次方程）。
3. 二元一次方程的判断示例
例 1：判断下列方程是否为二元一次方程，若是，化为一般形式；若不是，说明理由：
（1）\(x + y = 5\)：是，一般形式\(x + y - 5 = 0\)（两个未知数，次数 1，整式方程）；
（2）\(2x - 3y + 1 = 0\)：是，一般形式\(2x - 3y + 1 = 0\)；
（3）\(x^2 + y = 4\)：不是，\(x\)的次数为 2，不符合 “次数都是 1”；
（4）\(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1\)：是，整理为\(3x + 2y = 6\)（整式方程，次数 1）；
（5）\(\frac{1}{x} + 2y = 3\)：不是，\(x\)在分母中，不是整式方程。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 二元一次方程的解
1. 定义内容
使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，通常表示为\(\begin{cases} x = a \\ y = b \end{cases}\)（\(a\)、\(b\)为常数）。
示例：对于方程\(x + y = 12\)，当\(x = 8\)，\(y = 4\)时，左边\(8 + 4 = 12\)，右边 = 12，故\(\begin{cases} x = 8 \\ y = 4 \end{cases}\)是该方程的解；当\(x = 7\)，\(y = 5\)时，左边\(7 + 5 = 12\)，也是该方程的解。
2. 解的特征：无数组解
二元一次方程有无数组解：给定其中一个未知数的取值，可求出另一个未知数的对应值（如方程\(x + y = 12\)，\(x\)取 1 时\(y=11\)，\(x\)取 2 时\(y=10\)，以此类推）。
实际问题中解的限制：在实际场景（如购物、分配问题）中，解需符合实际意义（如未知数为正整数、非负数），此时解的数量有限。
示例：方程\(x + y = 12\)（\(x\)、\(y\)为正整数，表单价），解有 11 组（\(x=1,y=11\)；\(x=2,y=10\)；…；\(x=11,y=1\)）。
3. 判断一组数是否为方程的解
方法：将未知数的值代入方程，若左右两边相等，则是解；否则不是。
例 2：判断\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\)和\(\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}\)是否为方程\(2x + 3y = 12\)的解：
代入\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\)：左边\(2 3 + 3 2 = 6 + 6 = 12\)，右边 = 12→是解；
代入\(\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}\)：左边\(2 4 + 3 1 = 8 + 3 = 11 12\)→不是解。
幻灯片 6：核心知识点 3—— 二元一次方程组的定义
1. 定义内容
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
一般形式：\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)（其中\(a_1\)、\(b_1\)、\(a_2\)、\(b_2\)均不为 0，确保每个方程是二元一次方程）。
2. 定义关键词解析
相同未知数：两个方程含有的未知数必须完全相同（如均含\(x\)和\(y\)），不能一个含\(x\)、\(y\)，另一个含\(x\)、\(z\)。
两个二元一次方程：每个方程需满足二元一次方程的定义（两个未知数、次数 1、整式方程），不能有一元一次方程（特殊情况：方程组中可含一元一次方程，但需保证整体含两个未知数，如\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x = 3 \end{cases}\)，仍视为二元一次方程组）。
3. 二元一次方程组的判断示例
例 3：判断下列方程组是否为二元一次方程组，若是，说明理由；若不是，指出问题：
（1）\(\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + y = 20 \end{cases}\)：是，含相同未知数\(x\)、\(y\)，每个方程都是二元一次方程；
（2）\(\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ x + z = 5 \end{cases}\)：不是，未知数不同（含\(x\)、\(y\)、\(z\)三个未知数）；
（3）\(\begin{cases} x^2 + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}\)：不是，第一个方程\(x\)的次数为 2，非二元一次方程；
（4）\(\begin{cases} x + y = 6 \\ x = 2 \end{cases}\)：是，含相同未知数\(x\)、\(y\)，第一个方程是二元一次方程，第二个方程虽为一元一次方程，但整体含两个未知数，符合二元一次方程组的实际意义。
幻灯片 7：核心知识点 4—— 二元一次方程组的解
1. 定义内容
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
含义：方程组的解需同时满足方程组中的每一个方程，即代入两个方程后，左右两边均相等。
2. 解的特征：唯一解、无解或无数组解
一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解（如情境 1 中的方程组\(\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + y = 20 \end{cases}\)，解为\(\begin{cases} x = 8 \\ y = 4 \end{cases}\)）；
特殊情况：
无解：两个方程表示的直线平行（如\(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases}\)，化简后两方程矛盾，无公共解）；
无数组解：两个方程表示的直线重合（如\(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}\)，第二个方程是第一个的 2 倍，解与第一个方程相同，有无数组）。
3. 判断一组数是否为方程组的解
方法：将未知数的值代入方程组的每一个方程，若所有方程左右两边均相等，则是解；否则不是。
例 4：判断\(\begin{cases} x = 8 \\ y = 4 \end{cases}\)是否为方程组\(\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x + y = 20 \end{cases}\)的解：
代入第一个方程：\(8 + 4 = 12\)（成立）；
代入第二个方程：\(2 8 + 4 = 20\)（成立）；
两个方程均成立，故是该方程组的解。
幻灯片 8：典型例题（综合应用）
例题 1：根据实际问题列二元一次方程（组）
问题：某停车场规定，小型车每小时收费 5 元，大型车每小时收费 8 元，某天上午共有 10 辆汽车缴费，总收费 62 元。设小型车有\(x\)辆，大型车有\(y\)辆，列方程（组）表示数量关系：
解：
汽车总数：小型车数量 + 大型车数量 = 10 辆→\(x + y = 10\)；
总收费：小型车总费用 + 大型车总费用 = 62 元→\(5x + 8y = 62\)；
方程组：\(\begin{cases} x + y = 10 \\ 5x + 8y = 62 \end{cases}\)。
例题 2：求二元一次方程的特定解
问题：已知方程\(3x + 2y = 18\)，求满足下列条件的解：
（1）\(x\)、\(y\)均为正整数；
（2）\(x = y\)。
解：
（1）由方程得\(y = \frac{18 - 3x}{2}\)，\(x\)、\(y\)为正整数→\(18 - 3x\)为正偶数：
\(x=2\)时，\(y = \frac{18 - 6}{2} = 6\)→\(\begin{cases} x=2 \\ y=6 \end{cases}\)；
\(x=4\)时，\(y = \frac{18 - 12}{2} = 3\)→\(\begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}\)；
\(x=6\)时，\(y = \frac{18 - 18}{2} = 0\)（非正整数，舍去）；
故正整数解为\(\begin{cases} x=2 \\ y=6 \end{cases}\)、\(\begin{cases} x=4 \\ y=3 \end{cases}\)。
（2）\(x = y\)，代入方程得\(3x + 2x = 18\)→\(5x = 18\)→\(x = \frac{18}{5} = 3.6\)，故解为\(\begin{cases} x=3.6 \\ y=3.6 \end{cases}\)。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
填空：
（1）方程\(2x + y = 7\)是______元______次方程，它的一般形式是______；
（2）若\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}\)是方程\(ax + y = 5\)的解，则\(a = \______\)；
（3）方程组\(\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + 3y = 11 \end{cases}\)是______方程组，含有的未知数是______。
判断下列方程是否为二元一次方程：
（1）\(3x + 2y = 8\)；（2）\(xy = 6\)；（3）\(\frac{x}{3} + y = 4\)；（4）\(x + 2 = 5\)。
提升题
已知方程\(x + 2y = 9\)，求：
（1）当\(x = 3\)时，\(y\)的值；
（2）当\(y = -2\)时，\(x\)的值；
（3）该方程的所有非负整数解。
判断\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}\)是否为下列方程组的解：
（1）\(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\)；（2）\(\begin{cases} x - 2y = 0 \\ 3x + y = 7 \end{cases}\)。
拓展题
根据下列情境列二元一次方程组：
（1）某班去看电影，甲种票每张 24 元，乙种票每张 18 元，全班共买 35 张票，花费 750 元，设甲种票买了\(x\)张，乙种票买了\(y\)张；
（2）某工厂有 22 名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓 120 个或螺母 200 个，
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.1 认识二元一次方程组
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
　累死我了！
你还累 这么大的个，才比我多驮了2个.
哼，我从你背上拿来 1 个，我的包裹数就是你的 2 倍！
真的 ！
思考：听完它们的对话，你能猜出它们各驮了多少包裹吗
问题1：设老牛驮了 x 个包裹，小马驮了 y 个包裹.你能根据它们的对话列出方程吗？
老牛的包裹数比小马的多 2 个；
老牛从小马的背上拿来 1 个包裹，就是小马的 2 倍.
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
二元一次方程组的定义
昨天，我们 8 个人去红山公园玩，买门票花了 34 元
每张成人票 5 元，每张儿童票 3 元，
设他们中有 x 个成人，y 个儿童.你能得到怎样的方程
问题2：他们到底去了几个成人，几个儿童呢
x＋y＝8
5x＋3y＝34
上面所列方程各含有几个未知数
含有未知数的项的次数是多少
2 个未知数
次数是 1
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.
x－y＝2 x＋y＝8
x＋1＝2(y－1) 5x＋3y＝34
定义：
归纳总结
只含有 1 个未知数（元），未知数的次数为1；
比一比
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有 2 个未知数（元），未知数的次数为 1；
一元一次方程
都是含未知数的整式方程
二元一次方程
(8)4xy+5 = 0
(1)x+y = 11
(3)x2+y = 5
(2)m+1 = 2
(4)3x－π = 11
(5) －5x = 4y+2
(6)7+a = 2b+11c
(7)7x+ = 13
y
2
二元一次方程
不是二元一次方程
判断下列方程是不是二元一次方程：
练一练
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
一看原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为 0，且含未知数的项的次数都是 1.
方法
例1 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n ＝_____．
典例精析
解析：根据题意得 | m |＝1 且 |m－1|≠0，2n－1 ＝ 1，解得 m ＝ －1，n ＝ 1，所以 m＋n ＝ 0.
0
由方程是二元一次方程可知：
(1) 未知数的系数不为 0；
(2) 含未知数的项的次数都是 1.
方法
练一练
若 x2m-1 + 5y3n-2m = 7 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m =____，n =____.
2m - 1 = 1
1
3n - 2m = 1
1
m = 1
n = 1
3n - 2×1 = 1
方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 中，x 的含义相同吗？y 呢？
x，y 所代表的对象分别相同，因而 x，y必须同时满足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34，把它们联立起来，得:
x＋y＝8
5x＋3y＝34
想一想
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
知识要点
叫做方程组
x＋y＝8
5x＋3y＝34
注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.
例2 下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
紧扣相关概念
B
小提示： 也是二元一次方程组.
请问下列方程组是二元一次方程组吗？
三个未知数
未知数出现在分母中
练一练
√
√
√
问题：（1）x＝6， y＝2 适合方程 x＋y＝8 吗
x＝5，y＝3 呢
x＝4，y＝4 呢
你还能找到其他 x，y 的值适合方程 x＋y＝8 吗
(2) x＝5，y＝3 适合方程 5x＋3y＝34 吗
x＝2，y＝8 呢
二元一次方程组的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.
例如: x＝6，y＝2 是方程 x＋y＝8 的一个解，记作
x＝6
y＝2
x＝5，y ＝3 是否为方程 x＋y＝8 的一个解
x＝5，y ＝3 是否为方程 5x ＋3y＝34 的一个解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.
x＋y＝8
5x＋3y＝34
的解.
｛
就是二元一次方程组
x＝5
y＝3
例如，
｛
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
例3 若 是关于 x、y 的方程 x－ky = 1 的解，则 k 的值为 .
｛
x = -2，
y = 3
典例精析
解析：将 代入原方程得－2－3k = 1，解得 k ＝ －1.
｛
x = －2，
y = 3
－1
例4 加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件.现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序所完成的件数相等？
对下面的问题，请列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
典例精析
解：设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人.根据题意得
答：安排第一道工序为 4 人，第二道工序为 3 人.
根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（　　）
呃……我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了 5 支笔和 10 本笔记本花了 42 元钱，第二次买了 10 支笔和 5 本笔记本花了 30 元钱．
小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？
D
A. 0.8 元/支，2.6 元/本
B. 0.8 元/支，3.6 元/本
C. 1.2 元/支，2.6 元/本
D. 1.2 元/支，3.6 元/本
做一做
设小红所买的笔和笔记本的单价分别为 x 元和 y 元，则有
将选项代入判断是否是方程组的解.
2. 二元一次方程组 的解是 ( )
A. B. C. D.
C
x + = 1，
y + x = 2
1. 下列不是二元一次方程组的是 ( 　 )
A.
x + y = 3，
x - y = 1
B.
C.
D.
6x + 4y = 9，
y = 3x + 4
B
x = 1，
y = 1
x = 1，
y = 3
2x + y = 5，
3x - 2y = 4
x = 1，
y = 2
x = 2，
y = 1
x = 2，
y = -1
3. 关于 x、y 的方程 ax2 + bx + 2y = 3 是一个二元一次方程，则 a、b 分别满足（ ）
A. a = 0 且 b = 0 B. a = 0 或 b = 0
C. a = 0 且 b≠0 D. a≠0 且 b≠0
C
4. 小刘同学用 10 元钱购买了两种不同的贺卡共 8 张， 单价分别是 1 元与 2 元．设他购买了 1 元的贺卡 x 张， 2 元的贺卡 y 张，那么可列方程组(　　)
A. B.
C. D.
D
5. 已知 是方程 2x - 4y + 2a = 3 一个解，则 a =
_____.
6. 若 2x2m+3 + 3y3n-7 = 0 是关于 x、y 的二元一次方程，
则 m =______，n =______.
x = 3，
y = 1
1
2
-1
8
3
7. 写出方程 x + 2y = 5 在自然数范围内的所有解.
x = 1，
y = 2，
x = 3，
y = 1，
x = 5，
y = 0.
解：
8. 把一根长 13 m 的钢管截成 2 m 长或 3 m 长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？你有几种不同的截法？
解：设截成 2 m 长的钢管 x 根，3 m 长的钢管 y 根，
则 2x + 3y = 13.
∵ x，y 均为正整数，∴ 或
∴ 有 2 种不同的截法：2 m 长 5 根、3 m 长 1 根，或 2 m 长 2 根、3 m 长 3 根.
拓展提升
x = 5，
y = 1，
x = 2，
y = 3.
1.填表:使每对x,y的值是方程3x+y=5的解．
2.已知下列三对数值
________是方程x+y=7的解;
________是方程2x+y=9的解，
_______是方程组 的解．
x -2 0 0.4 2
y -0.4 -1 0.5 2
11
5
3.8
-1
1.8
2
1
x=2
y=5
x=1
y=7
x + y=7
2x+y=9
x=2
y=5
1.5
x=1
y=6
x=2
y=5
x=1
y=7
,
,
x=2
y=5
x=1
y=6
巩固练习
解：把 代入到方程组,得：
解得a =2,b=11.
x = 1
y =-2
例1 已知二元一次方程组 的解是
求a与b的值.
探究新知
素养考点 1
利用二元一次方程组的解求字母的值
若 是方程x-ky=1的解,则k的值为 .
解析：将 代入原方程得-2-3k=1，解得k＝-1.
｛
x=-2,
y=3
-1
巩固练习
｛
x=-2,
y=3
变式训练
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
课件制作：吴秀青
例2 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
探究新知
素养考点 2
根据实际问题列二元一次方程组
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
课件制作：吴秀青
分析：第一道工序的人数＋ _______________ ＝总人数；
第一道工序的件数＝________________.
设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些条件表示出来：
___________.
x+y=7
900x=1200y
第二道工序的人数
第二道工序的件数
解：所以可列方程组为
探究新知
是该问题的解.
认识二元一次方程组
二元一次方程组的定义
二元一次方程组的解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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