5.2.1 代入消元法 课件（共31张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.2.1 代入消元法
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解代入消元法的核心思想 ——“用一个未知数表示另一个未知数，将二元方程转化为一元方程”，明确 “消元” 是求解二元一次方程组的关键。
掌握代入消元法的完整步骤，能独立用该方法求解某一未知数系数为 1 或 - 1 的二元一次方程组。
学会通过变形（将某一方程整理为 “未知数 = 含另一未知数的式子”），适用代入消元法解决一般形式的二元一次方程组，提升解题灵活性。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
二元一次方程组的定义：含两个相同未知数的两个二元一次方程组成的方程组，如\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)。
方程组的解：需同时满足两个方程的未知数的值，求解的核心是 “消元”（减少未知数个数，将二元转化为一元）。
情境导入：
问题 1：已知小明买 1 支钢笔和 1 本笔记本共花 12 元（\(x + y = 12\)，\(x\)为钢笔单价，\(y\)为笔记本单价），且钢笔单价比笔记本贵 2 元（\(x - y = 2\)），如何求出\(x\)和\(y\)？
思考：从第一个方程\(x + y = 12\)中，能否用\(x\)表示\(y\)（或用\(y\)表示\(x\)），再代入第二个方程，消去一个未知数？
提问引导：
若方程组中有一个方程能直接表示出 “\(y = ax + b\)” 或 “\(x = ay + b\)” 的形式，如何利用这种形式消去一个未知数？
若两个方程都不能直接表示出单个未知数，该如何变形后再代入？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 直接代入消元（某一未知数系数为 1 或 - 1）
1. 适用场景
方程组中某一方程的某一未知数系数为 1 或 - 1（如\(y = 2x + 3\)、\(x - y = 5\)），可直接将该方程整理为 “单个未知数 = 含另一未知数的式子”，代入另一个方程消元。
2. 解题步骤（以\(\begin{cases} x + y = 12 \quad \\ x - y = 2 \quad \end{cases}\)为例）
选方程，表未知数：选择未知数系数为 1 或 - 1 的方程（如方程①或②），用一个未知数表示另一个未知数。
以方程②为例，整理为用\(x\)表示\(y\)：
由②得：\(y = x - 2\) ③（移项：-y = 2 - x → y = x - 2）。
代消元，转一元：将③代入另一个未变形的方程（方程①），消去\(y\)，得到只含\(x\)的一元一次方程。
代入①：\(x + (x - 2) = 12\)。
解一元，求其一：求解一元一次方程，得到一个未知数的值。
化简方程：\(x + x - 2 = 12\)→\(2x = 14\)→\(x = 7\)。
回代求，得另值：将求出的\(x = 7\)代入③（或原方程①、②），求出\(y\)的值。
代入③：\(y = 7 - 2 = 5\)。
验与写，定解：将\(x = 7\)、\(y = 5\)代入原方程组，验证是否满足两个方程：
①左边：\(7 + 5 = 12\)（等于右边）；②左边：\(7 - 5 = 2\)（等于右边），故解为\(\begin{cases} x = 7 \\ y = 5 \end{cases}\)。
3. 示例 2（用含\(y\)的式子表示\(x\)）
解方程组\(\begin{cases} 2x + y = 9 \quad \\ x - 3y = 1 \quad \end{cases}\)
步骤：
选方程②（\(x\)系数为 1），整理为\(x = 3y + 1\) ③；
代入①：\(2(3y + 1) + y = 9\)；
求解：\(6y + 2 + y = 9\)→\(7y = 7\)→\(y = 1\)；
回代③：\(x = 3 1 + 1 = 4\)；
验证：①左边\(2 4 + 1 = 9\)，②左边\(4 - 3 1 = 1\)，解为\(\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}\)。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 变形后代入消元（系数非 1 或 - 1）
1. 适用场景
方程组中两个方程的未知数系数均不为 1 或 - 1（如\(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \quad \\ 3x - 2y = 3 \quad \end{cases}\)），需先将某一方程变形，使某一未知数系数化为 1 或 - 1，再代入消元。
2. 变形原则
选择系数绝对值较小的未知数变形（减少分数运算，简化计算）。例如：
方程①中\(x\)系数为 2，\(y\)系数为 3，优先变形\(x\)（系数绝对值更小），整理为\(x = \frac{13 - 3y}{2}\)。
3. 示例（变形后代入）
解方程组\(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \quad \\ 3x - 2y = 3 \quad \end{cases}\)
解答步骤：
变形方程：选方程①，用\(y\)表示\(x\)：
由①得：\(2x = 13 - 3y\)→\(x = \frac{13 - 3y}{2}\) ③；
代入消元：将③代入方程②，消去\(x\)：\(3 \frac{13 - 3y}{2} - 2y = 3\)；
消分母，解一元：两边同乘 2 消分母：\(3(13 - 3y) - 4y = 6\)→\(39 - 9y - 4y = 6\)→\(-13y = -33\)→\(y = 3\)；
回代求\(x\)：将\(y = 3\)代入③：\(x = \frac{13 - 3 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\)；
验证与写解：代入原方程组，①左边\(2 2 + 3 3 = 13\)，②左边\(3 2 - 2 3 = 3\)，解为\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)。
幻灯片 6：代入消元法的一般步骤（总结）
选方程，作变形：选择某一方程（优先选未知数系数为 1 或 - 1 的），将其整理为 “\(x = ay + b\)” 或 “\(y = ax + b\)” 的形式（若系数非 1 或 - 1，先变形为含分数的表达式）；
代另方，消一元：将变形后的式子代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；
解一元，求一值：求解一元一次方程，得到一个未知数的具体值；
回代算，求另值：将求出的未知数的值代入变形后的式子（或原方程），计算出另一个未知数的值；
验解，写结果：将两个未知数的值代入原方程组，验证是否同时满足两个方程，确认无误后写出方程组的解。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：含括号的方程组（先化简再代入）
解方程组\(\begin{cases} 2(x + 1) - y = 11 \quad \\ 3(x - 2) - y = 3 \quad \end{cases}\)
步骤：
化简方程：去括号、整理为 “\(y = ...\)” 的形式：
①化简：\(2x + 2 - y = 11\)→\(y = 2x - 9\) ③；
②化简：\(3x - 6 - y = 3\)→\(y = 3x - 9\) ④；
代入消元：因③和④均表示\(y\)，可直接联立：\(2x - 9 = 3x - 9\)；
求解：\(-x = 0\)→\(x = 0\)；
回代求\(y\)：代入③：\(y = 2 0 - 9 = -9\)；
验证：①左边\(2(0+1) - (-9) = 2 + 9 = 11\)，②左边\(3(0-2) - (-9) = -6 + 9 = 3\)，解为\(\begin{cases} x = 0 \\ y = -9 \end{cases}\)。
例题 2：实际问题（列方程组后用代入法求解）
问题：某食堂购买 2 袋大米和 3 袋面粉共重 85kg，购买 3 袋大米和 2 袋面粉共重 90kg，求 1 袋大米和 1 袋面粉各重多少千克？
解答步骤：
设未知数：设 1 袋大米重\(x\)kg，1 袋面粉重\(y\)kg；
列方程组：\(\begin{cases} 2x + 3y = 85 \quad \\ 3x + 2y = 90 \quad \end{cases}\)；
变形代入：选方程①，用\(x\)表示\(y\)：\(3y = 85 - 2x\)→\(y = \frac{85 - 2x}{3}\) ③；
代入②求解：\(3x + 2 \frac{85 - 2x}{3} = 90\)；
两边乘 3：\(9x + 2(85 - 2x) = 270\)→\(9x + 170 - 4x = 270\)→\(5x = 100\)→\(x = 20\)；
求\(y\)：代入③：\(y = \frac{85 - 2 20}{3} = \frac{45}{3} = 15\)；
答：1 袋大米重 20kg，1 袋面粉重 15kg。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
用代入消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 5x + 2y = 12 \end{cases}\)。
提升题
用代入消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases} 2(x - 1) = y + 5 \\ 3(y + 1) = x + 4 \end{cases}\)（先化简）；
（2）\(\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 2 \\ 2x + 3y = 13 \end{cases}\)（先消分母）。
拓展题
某服装店销售 A、B 两种款式的 T 恤，每件 A 款 T 恤比 B 款贵 20 元，购买 2 件 A 款和 3 件 B 款共需 460 元，求 A、B 两款 T 恤的单价（列方程组并用代入法求解）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
变形方程时移项符号错误：
错误案例：将方程\(x - y = 2\)变形为\(y = x + 2\)（正确应为\(y = x - 2\)，移项时未变号）；将\(2x + y = 9\)变形为\(y = 2x - 9\)（正确应为\(y = 9 - 2x\)，移项顺序错误）。
规避方法：变形时遵循 “移项变号” 原则（如\(-y = 2 - x\)，两边同乘 - 1 得\(y = x - 2\)），变形后可代入原方程验证是否正确（如将\(y = x - 2\)代入\(x - y = 2\)，左边\(x - (x - 2) = 2\)，与右边相等，变形正确）。
代入时漏加括号，导致计算错误：
错误案例：将\(x = 3y + 1\)代入\(2x + y = 9\)时，写成\(2 3y + 1 + y = 9\)（正确应为\(2(3y + 1) + y = 9\)，漏加括号导致\(2\)未乘整体）。
规避方法：当代入的式子含多项式时（如\(3y + 1\)、\(\frac{13 - 3y}{2}\)），必须加括号，再按去括号法则展开，避免漏乘或符号错误。
回代时代入错误的方程，或未验证解的正确性：
错误案例：求出\(x = 7\)后，回代到变形后的错误式子\(y = x + 2\)，得到\(y = 9\)（正确应为代入\(y = x - 2\)得\(y = 5\)）；或求出解后未验证，导致错误解未被发现。
规避方法：回代时优先选择变形后的简单式子（如\(y = x - 2\)），若对结果不确定，可同时代入原方程组的两个方程验证，确保左右两边均相等。
幻灯片 10：课堂总结
核心思想：代入消元法的本质是 “消元降次”，通过用一个未知数表示另一个未知数，将二元一次方程组转化为已学的一元一次方程，体现 “转化与化归” 的数学思想。
适用场景：尤其适合某一未知数系数为 1 或 - 1 的方程组，若系数非 1 或 - 1，需先变形（优先选择系数绝对值小的未知数），减少计算量。
关键步骤：变形→代入→求解→回代→验证，每一步需注意符号和括号，避免计算失误。
2024北师大版数学八年级上册
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5.2.1代入消元法
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
“曹冲称象”的故事
把大象的体重转
化为石块的重量
生活中解决问题的方法
问题：一个苹果和一个梨的质量合计 200 g，这个苹果的质量加上一个 10 g 的砝码恰好与这个梨的质量相等，问苹果和梨的质量各是多少克？
用代入法解二元一次方程组
+
＝ 200
x
y
＝
+ 10
x
y
+ 10
+
＝ 200
x
x
求方程组解的过程叫做解方程组
x + y = 200
y = x + 10，
(x + 10)
x + ( x +10) = 200
①
②
x = 95
y = 105
∴ 方程组 的解是
y = x + 10，
x + y = 200
x = 95，
y = 105.
转
化
要点归纳
解二元一次方程组的基本思路：“消元”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
上面的解法，是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法.
解：将②代入①，得 3(y + 3) + 2y = 14
3y + 9 + 2y = 14
5y = 5
y = 1.
典例精析
将 y = 1 代入② ，得 x = 4.
经检验， x = 4，y = 1 适合原方程组.
所以原方程组的解是
x = 5，
y = 2.
例1 解方程组
3x + 2y = 14 ①
x = y + 3 ②
检验可以口算或在草稿纸上验算，以后可以不必写出.
解：由②，得 x = 13 - 4y ③
将③代入①，得 2(13 - 4y) + 3y = 16
26 - 8y + 3y = 16
-5y = -10
y = 2
将 y = 2代入③ ，得 x = 5.
所以原方程组的解是
x = 5，
y = 2.
例2 解方程组
2x + 3y = 16 ①
x + 4y = 13 ②
x－y = 3 ，
3x－8y = 14.
转化
代入
求解
回代
写解
①
②
所以这个方程组的解是
x = 2，
y = －1.
把 y = －1代入③，得 x = 2.
把③代入②，得 3(y + 3)－8y = 14.
解：由①，得 x = y + 3 . ③
注意：检验方程组的解.
例3 解方程组
解这个方程，得 y = －1.
思考：把③代入
①可以得解吗？
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
观察上面的方程和方程组，你能发现二者之间的联系吗？请你尝试求得方程组的解.（先试着独立完成，然后与你的同伴交流做法）
1．为什么能替换？
代表了同一个量
二元一次方程组 一元一次方程
消元
2．代入前后的方程组发生了怎样的变化 （代入的作用）
化归思想
代入
做一做 若方程 5x2m+n + 4y3m-2n = 9 是关于 x、y 的二元一次方程，求 m 、n 的值.
解：
根据已知条件可列方程组
2m + n = 1，
3m - 2n = 1.
①
②
由①得
把③代入②得
n = 1 - 2m.
③
3m – 2(1 – 2m) = 1，
把 m 代入 ③，得
例4 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（250 g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为 2∶5．某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
等量关系：
(1) 大瓶数
小瓶数
(2) 大瓶所装消毒液
小瓶所装消毒液
总生产量．
代入法解二元一次方程组的简单应用
解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶.
根据题意可列方程组
解得 x = 20000.
把 x = 20000 代入 ，得 y = 50000.
③
答：这些消毒液应该分装 20000 大瓶和 50000 小瓶.
①
②

í
ì
=
+
=
22500000.
250
500
2
5
y
x
y，
x
③
①
由 得 .
把 代入 得 ，
③
②
二元一次方程组
消去
一元一次方程
变形
代入
解得
解得
用
代替
，消去未知数
50000
y
=
再议代入消元法解方程组
代入
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
第二步：把此式子代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程；
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
第四步：回代求出另一个未知数的值；
第五步：把方程组的解表示出来；
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
总结归纳
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是 1 的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是 1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
练一练 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部20 场比赛中得到 35 分，那么这个队胜负场数分别是多少？
解： 设胜的场数是 x，负的场数是 y，可列方程组：
由①得 y＝20 - x .
将③代入②，得 2x + 20 - x = 35 ，
解得 x = 15.
将 x = 15 代入③得 y = 5. 则这个方程组的解是
答：这个队胜 15 场，负 5 场.
①
②
1. 把下列方程分别用含 x 的式子表示 y，含 y 的式子表示 x：
（1）2x－y＝3；　　　　（2）3x＋2y ＝1.
y = 2x，　　
x + y = 12；　
(1)
(2)
2x = y - 5，
4x + 3y = 65.
解：
(1)
x = 4，
y = 8.
(2)
2.用代入消元法解下列方程组.
x = 5，
y = 15.
3. 二元一次方程组 的解是（ ）
A．
B．
C．
D.
D
4.李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共
获利 18000 元，其中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各
种植了多少亩？
解: 设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得
x + y = 10 ， ①
2000x + 1500y = 18000. ②
由①得 y = 10 - x . ③
将③代入②，得 2000x + 1500(10 - x) = 18000 ，
解得 x = 6. 将 x = 6 代入③，得 y = 4.
答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了 6 亩、4 亩.
知识点1 直接用代入消元法解二元一次方程组
1.用代入法解方程组 时，下列说法正确的是( )
A
A.直接把①代入②，消去 B.直接把①代入②，消去
C.直接把②代入①，消去 D.直接把②代入①，消去
返回
2.对于二元一次方程组将①代入②，消去 可以得到
( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.［教材P随堂练习T 变式］ 用代入消元法解二元一次方程组：
（1）
解：将①代入②，得，解得 。
将代入①，得 。
所以原方程组的解为
（2）
解：将②代入①，得，解得 。
将代入②，得 。
所以原方程组的解为
（3）
解：将①代入②，得 。
解得。将 代入①，
得 。
所以原方程组的解为
（4）
解：将①代入②，得，解得 。
将代入①，得 。
所以原方程组的解为
返回
解二元一次方程组
基本思路“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
变：用含一个未知数的式子表示另一个未知数
代：用这个式子替代另一个方程中相应未知数
求：求出两个未知数的值
写：写出方程组的解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！