5.2.2 加减消元法 课件（共35张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.2.2 加减消元法
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解加减消元法的核心思想 ——“消去一个未知数，转化为一元一次方程”，明确其与代入消元法的共同目标（消元）。
掌握加减消元法的两种情况：① 某一未知数系数互为相反数（直接相加消元）；② 某一未知数系数相等（直接相减消元），能独立完成求解。
学会通过变形（乘以适当系数），使方程组中某一未知数系数相等或互为相反数，再用加减消元法求解，提升灵活解题能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
二元一次方程组的解：使两个方程左右两边均相等的未知数的值，求解的核心是 “消元”（将二元转化为一元）。
代入消元法：通过用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程消元，适用于某一未知数系数为 1 或 - 1 的情况。
情境导入：
问题 1：解方程组\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}\)时，观察到两个方程中\(y\)的系数分别为 1 和 - 1（互为相反数），若将两个方程的左右两边分别相加，会出现什么结果？能否消去一个未知数？
问题 2：解方程组\(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 3x - y = 4 \end{cases}\)时，\(x\)的系数均为 3（相等），若用第一个方程减去第二个方程，能否消去\(x\)？
提问引导：
当方程组中某一未知数的系数互为相反数或相等时，如何通过 “加” 或 “减” 消去该未知数？
若未知数系数既不相等也不互为相反数（如\(\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ x + 2y = 7 \end{cases}\)），能否通过变形让系数满足上述条件，再用加减消元法求解？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 直接加减消元（系数特殊情况）
1. 适用场景
方程组中某一未知数的系数互为相反数（相加和为 0）或相等（相减差为 0），可直接通过 “加” 或 “减” 消去该未知数。
2. 情况 1：某一未知数系数互为相反数（相加消元）
方法原理：若方程组中未知数\(y\)的系数分别为\(b\)和\(-b\)（互为相反数），则将两个方程左右两边分别相加，\(y\)的项会抵消（\(by + (-by) = 0\)），得到只含\(x\)的一元一次方程。
解题步骤（以\(\begin{cases} 2x + y = 7 \quad \\ x - y = 2 \quad \end{cases}\)为例）：
观察系数：方程①中\(y\)的系数为 1，方程②中\(y\)的系数为 - 1，互为相反数，适合相加消去\(y\)；
两方程相加：① + ②，得\((2x + y) + (x - y) = 7 + 2\)；
化简：\(2x + x + y - y = 9\)→\(3x = 9\)；
解一元一次方程：\(x = 3\)；
代入求另一个未知数：将\(x = 3\)代入方程②，得\(3 - y = 2\)→\(y = 1\)；
检验与写解：将\(x = 3\)，\(y = 1\)代入原方程组，①左边\(2 3 + 1 = 7\)（成立），②左边\(3 - 1 = 2\)（成立），故解为\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 1 \end{cases}\)。
3. 情况 2：某一未知数系数相等（相减消元）
方法原理：若方程组中未知数\(x\)的系数均为\(a\)（相等），则用第一个方程减去第二个方程，\(x\)的项会抵消（\(ax - ax = 0\)），得到只含\(y\)的一元一次方程。
解题步骤（以\(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \quad \\ 3x - y = 4 \quad \end{cases}\)为例）：
观察系数：方程①和②中\(x\)的系数均为 3（相等），适合相减消去\(x\)；
两方程相减：① - ②，得\((3x + 2y) - (3x - y) = 13 - 4\)；
化简：\(3x - 3x + 2y + y = 9\)→\(3y = 9\)；
解一元一次方程：\(y = 3\)；
代入求另一个未知数：将\(y = 3\)代入方程②，得\(3x - 3 = 4\)→\(3x = 7\)→\(x = \frac{7}{3}\)；
检验与写解：代入原方程组，①左边\(3 \frac{7}{3} + 2 3 = 7 + 6 = 13\)（成立），②左边\(3 \frac{7}{3} - 3 = 7 - 3 = 4\)（成立），故解为\(\begin{cases} x = \frac{7}{3} \\ y = 3 \end{cases}\)。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 变形后加减消元（系数一般情况）
1. 适用场景
方程组中未知数的系数既不相等也不互为相反数（如\(\begin{cases} 2x + 3y = 11 \quad \\ x + 2y = 7 \quad \end{cases}\)），需通过 “给方程两边同乘适当的常数”，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再用加减消元法。
2. 解题关键
选择变形的未知数：优先选择系数的最小公倍数较小的未知数（简化计算），例如：
若消去\(x\)：方程①中\(x\)系数为 2，方程②中为 1，最小公倍数为 2，给方程②两边乘 2，使\(x\)系数均为 2；
若消去\(y\)：方程①中\(y\)系数为 3，方程②中为 2，最小公倍数为 6，给方程①乘 2、方程②乘 3，使\(y\)系数分别为 6 和 6（相等）或 6 和 - 6（互为相反数）。
3. 示例（消去\(x\)，变形后加减消元）
问题：用加减消元法解方程组\(\begin{cases} 2x + 3y = 11 \quad \\ x + 2y = 7 \quad \end{cases}\)
解答步骤：
变形目标：消去\(x\)，使两个方程中\(x\)的系数相等（均为 2）；
方程变形：给方程②两边同乘 2，得\(2x + 4y = 14\)，记为方程③；
相减消元：用方程③ - 方程①（或① - ③，避免负数系数可优先选大数减小数），得\((2x + 4y) - (2x + 3y) = 14 - 11\)；
化简：\(y = 3\)；
代入求\(x\)：将\(y = 3\)代入方程②，得\(x + 2 3 = 7\)→\(x = 1\)；
检验与写解：代入原方程组，①左边\(2 1 + 3 3 = 2 + 9 = 11\)（成立），②左边\(1 + 2 3 = 7\)（成立），故解为\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}\)。
4. 示例（消去\(y\)，变形后加减消元）
问题：用加减消元法解方程组\(\begin{cases} 3x - 2y = 5 \quad \\ 2x + 3y = 12 \quad \end{cases}\)
解答步骤：
变形目标：消去\(y\)，使\(y\)的系数互为相反数（最小公倍数为 6，方程①乘 3 得\(9x - 6y = 15\)，方程②乘 2 得\(4x + 6y = 24\)）；
方程变形：①×3 得\(9x - 6y = 15\)（方程③），②×2 得\(4x + 6y = 24\)（方程④）；
相加消元：③ + ④，得\(13x = 39\)→\(x = 3\)；
代入求\(y\)：将\(x = 3\)代入方程①，得\(9 - 2y = 5\)→\(2y = 4\)→\(y = 2\)；
检验与写解：代入原方程组，①左边\(9 - 4 = 5\)（成立），②左边\(6 + 6 = 12\)（成立），故解为\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\)。
幻灯片 6：加减消元法的一般步骤（总结）
观系数：观察方程组中两个未知数的系数，判断是否有系数相等或互为相反数；
定策略：
若有，直接选择 “加” 或 “减” 消去该未知数；
若没有，选择某一未知数，计算其系数的最小公倍数，给两个方程乘适当常数，使系数相等或互为相反数；
做加减：将变形后的方程相加或相减，消去一个未知数，得到一元一次方程；
解一元：求解一元一次方程，得到一个未知数的值；
代回求：将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值；
验与写：将两个未知数的值代入原方程组检验，确认成立后写出方程组的解。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：含分数系数的方程组（先化简再消元）
问题：用加减消元法解方程组\(\begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 2 \quad \\ \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}y = \frac{13}{6} \quad \end{cases}\)
解答步骤：
化简方程：消除分母（①乘 6，②乘 6），得：
①×6：\(3x + 2y = 12\)（方程③）；
②×6：\(2x + 3y = 13\)（方程④）；
变形消元：消去\(x\)（系数最小公倍数 6），③×2 得\(6x + 4y = 24\)（方程⑤），④×3 得\(6x + 9y = 39\)（方程⑥）；
相减消元：⑥ - ⑤，得\(5y = 15\)→\(y = 3\)；
代入求\(x\)：将\(y = 3\)代入方程③，得\(3x + 6 = 12\)→\(x = 2\)；
检验：代入原方程①，\(\frac{1}{2} 2 + \frac{1}{3} 3 = 1 + 1 = 2\)（成立），故解为\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)。
例题 2：实际问题（列方程组后用加减消元法求解）
问题：某学校购买 A、B 两种笔记本作为奖品，购买 2 本 A 种笔记本和 3 本 B 种笔记本共需 23 元，购买 3 本 A 种笔记本和 1 本 B 种笔记本共需 16 元，求 A、B 两种笔记本的单价。
解答步骤：
设未知数：设 A 种笔记本单价为\(x\)元，B 种为\(y\)元；
列方程组：\(\begin{cases} 2x + 3y = 23 \quad \\ 3x + y = 16 \quad \end{cases}\)；
加减消元：消去\(y\)（②中\(y\)系数为 1，变形简单），②×3 得\(9x + 3y = 48\)（方程③）；
③ - ①，得\(7x = 25\)→\(x = 5\)；
求\(y\)：将\(x = 5\)代入②，得\(15 + y = 16\)→\(y = 1\)；
答：A 种笔记本单价 5 元，B 种笔记本单价 1 元。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
用加减消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases} 3x + 2y = 10 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases} 2x + y = 9 \\ x + 2y = 6 \end{cases}\)。
提升题
用加减消元法解下列方程组：
（1）\(\begin{cases} 4x + 3y = 5 \\ 2x - 5y = -17 \end{cases}\)（提示：消去\(x\)，给第二个方程乘 2）；
（2）\(\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 2 \\ 3x - 4y = -7 \end{cases}\)（提示：先消去分母）。
拓展题
某车间有 22 名工人，每人每天可生产 120 个螺栓或 200 个螺母，1 个螺栓需配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？（列方程组并用加减消元法求解）
幻灯片 9：易错点深度剖析
加减消元时符号错误：
错误案例：解方程组\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}\)时，① - ②得\(x + 2y = 5\)（正确应为① + ②，因\(y\)系数互为相反数，需相加而非相减）
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.2.2加减消元法
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
信息一：
已知买 3 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 23 元；
信息二：
又知买 5 瓶苹果汁和 2 瓶橙汁共需 33 元.
解：设苹果汁的单价为 x 元，橙汁的单价为 y 元，
根据题意得
你会解这个方程组吗？
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
解：由①得
将③代入②得
③
解得 y = 4.
把 y = 4 代人③ ，得 x = 5.
所以原方程组的解为
除了代入消元法，
还有其他方法吗？
①
②
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
x = 5，
y = 4.
3x + 5y = 21， ①
2x – 5y = -11. ②
小明
把②变形，得
代入①，不就消去 x 了？
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？
合作探究
用加减法解二元一次方程组
小亮
把②变形得
可以直接代入①呀！
3x + 5y = 21， ①
2x - 5y = -11. ②
问题：还有别的方法吗？
3x + 5y = 21， ①
2x - 5y = -11. ②
问题：还有更简单的方法吗？
5y 和 -5y 互为相反数……
小丽
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
①
②
分析： ①+②
①左边 + ②左边 ＝ ①右边 + ②右边
3x + 5y + 2x－5y ＝ 10
5x ＝ 10
(3x + 5y)
+ (2x - 5y)
＝ 21
+ (－11)
小丽
5y 和－5y 互为相反数……
解方程组
解：
由 ① + ② 得
将 x = 2 代入①得
6 + 5y = 21，
y = 3.
所以原方程组的解是
x = 2，
y = 3.
①
②
5x = 10，
x = 2.
你学会了吗？
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
典例精析
3x + 10y = 2.8， ①
15x - 10y = 8 . ②
解：将 ① + ② 得 18x＝10.8，
x＝0.6.
把 x＝0.6 代入 ①，得
3×0.6 + 10y＝2.8.
解得 y＝0.1.
例1 解方程组：
所以这个方程组的解是
x = 0.6，
y = 0.1.
方法总结
同一未知数的系数 时，
把两个方程的两边分别 .
互为相反数
相加
例2 解二元一次方程组：
解：由② - ①得
解得
把
代入①，得
解得
所以方程组的解为
方程 ①② 中未知数 x 的系数相等，可以将两个方程相减消去 x.
①
②
试一试
①
②
3x + 2y = 23，
5x + 2y = 33.
解方程组：
解：
由②－①得
将 x = 5 代入①得
15 + 2y = 23，
y = 4.
所以原方程组的解是
x = 5，
y = 4.
2x = 10，
x = 5.
与前面的代入法相比，是不是更加简单了？
方法总结
同一未知数的系数 时，
把两个方程的两边分别 .
相等
相减
归纳总结
像上面这种解二元一次方程组的方法，叫做加减消元法，简称加减法.
上面解方程组的基本思路仍然是“消元”.主要步骤是通过两式相加(减)消去其中一个未知数.
例3 用加减法解方程组：
①
②
①×3 得
所以原方程组的解是
解：
③ - ④ 得 y = 2.
把 y＝2 代入 ①，
解得 x＝3.
②×2 得
6x + 9y = 36. ③
6x + 8y = 34. ④
解：②×4 得
所以原方程组的解为
①
解方程组：
②
③
①＋③ 得 7x = 35，
解得 x = 5.
把 x = 5 代入②得，y = 1.
4x - 4y = 16.
试一试
方法总结
同一未知数的系数 时，如果其中一未知数的系数呈倍数关系时，利用等式的性质，使得未知数的系数 ，再用加减法消元.
不相等也不互为相反数
相等或互为相反数
找系数的最小公倍数
归纳总结
主要步骤：
特点：
基本思路：
写解
求解
加减
二元
一元
利用加减消元：
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
同一个未知数的系数相同或互为相反数；
当未知数系数的绝对值不同时，先利用等式的
性质将其化为相同即可.
用加减法解二元一次方程组：
例4 已知 则 a + b 等于_____.
3
①
②
分析：方法一：直接解方程组，求出 a 与 b 的值，然后就可以求出 a + b 的值.
方法二：整体求值
将 ① + ② 得 4a + 4b = 12，
a + b = 3.
【方法总结】整体代入、整体求值（换元法）是数学中的重要方法之一，往往能使简化运算．
①
②
例5 解方程组：
解：由① + ②，得 4(x + y) = 36，
所以 x + y = 9. ③
由① - ②，得 6(x - y) = 24，
所以 x - y = 4. ④
联立③④组成方程组
解得
法二：
整理得
例6 2 辆大卡车和 5 辆小卡车工作 2 h 可运送垃圾 36 t，3 辆大卡车和 2 辆小卡车工作 5 h 可运输垃圾 80 t，那么 1 辆大卡车和 1 辆小卡车一小时各运多少吨垃圾？
解：设 1 辆大卡车和 1 辆小卡车一小时各运 x t 和 y t.
② - ① 得 11x = 44，解得 x = 4.
将 x = 4 代入①可得 y = 2.
答：1 辆大卡车和 1 辆小卡车一小时各运 4 t 和 2 t 垃圾.
根据题意可得方程组
即
①
②
1.方程组 的解是 ．
①
②
2. 用加减法解方程组
6x + 7y = －19，①
6x - 5y = 17 ②
应用（ ）
A. ① - ②消去 y
B. ① - ②消去 x
C. ② - ①消去常数项
D. 以上都不对
B
3.解下列方程组：
解：
4. 已知 x、y 满足方程组 求式子 x－y 的值.
解：
② - ① 得 2x－2y＝－1－5，
得 x－y＝－3.
①
②
拓展延伸
1. 若 ，则 x + 2y =______.
2. 已知 2ayb3x + 1 与 -3ax - 2b2-2y 是同类项，则 x = ，y =_____.
-3
1
-1
的解，求 m 与 n 的值.
3. 已知 是方程组
解：将 代入方程组得
知识点1 直接用加减消元法解二元一次方程组
1.在方程组中, 的系数的特点是______，所以可以直接将
两个方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解；在方程组
中, 的系数的特点是____________，所以可以直接将两个
方程相____,消去未知数___，进而求出方程组的解，这两个解方程组的
方法是______消元法。
相等
减
互为相反数
加
加减
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2.在解方程组时，若用 ，所得到的一元一次方
程是_________。
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3.［教材P随堂练习T 变式］用加减消元法解下列方程组：
（1）
解：，得 ,
解得,将 代入①，
得,解得 。
所以方程组的解为
（2）
解：，得，解得 ，
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（3）
解：,得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
（4）
解：，得，解得 。
将代入①，得 ，
解得 。
所以方程组的解为
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解二元一次方程组
基本思路是“消元”
加减法解二元一次方程组的一般步骤
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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