5.3.2 应用二元一次方程组--增收节支 课件（共37张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.3.2 应用二元一次方程组 —— 增收节支
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解增收节支问题中的核心概念（收入、成本、利润、增长率），掌握 “收入 - 成本 = 利润”“增长后的量 = 原量 ×(1 + 增长率)” 等关键公式。
能从经济场景中提取两个独立的等量关系，设出合理的未知数（如原收入、原成本），列出二元一次方程组。
熟练求解方程组并验证解的实际意义，完整解答企业营收、个人储蓄等增收节支问题，提升经济问题的数学建模能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
核心公式：
利润公式：利润 = 收入 - 成本；利润率 = 利润 ÷ 成本 ×100%；
增长率公式：增长后的量 = 原量 ×(1 + 增长率)；减少后的量 = 原量 ×(1 - 减少率)。
二元一次方程组解题流程：设未知数→找等量关系→列方程组→求解→验证作答。
情境导入：
情境 1：某工厂去年的总收入为 200 万元，总成本为 150 万元；今年总收入比去年增长了 20%，总成本比去年减少了 10%，今年的利润比去年增加了多少万元？若设去年总收入为\(x\)万元，总成本为\(y\)万元，如何用方程组表示今年的收入、成本与利润关系？
情境 2：小明的爸爸将一笔钱存入银行，定期两年，年利率为 2.25%（不计利息税），到期后可得本息和 10450 元；若将这笔钱按活期存款（年利率 0.3%）存一年，再将本金和利息转存一年，到期后本息和为 10060.09 元，求这笔本金是多少元？
提问引导：
增收节支问题中，通常需要设哪两个未知量（如原收入与原成本、本金与利率）？
如何根据 “去年与今年的收入关系”“去年与今年的成本关系” 或 “不同储蓄方式的本息和关系” 建立等量关系？
幻灯片 4：核心解题思路（聚焦经济场景）
1. 常见场景与等量关系
场景类型
核心未知量
典型等量关系
企业营收问题
原收入\(x\)、原成本\(y\)
1. 去年利润 = 去年收入 - 去年成本；2. 今年收入 = 去年收入 ×(1 + 收入增长率)；3. 今年成本 = 去年成本 ×(1 - 成本减少率)
储蓄本息问题
本金\(x\)、年利率\(y\)
1. 定期存款本息和 = 本金 + 本金 × 利率 × 期数；2. 复利存款本息和 = 本金 ×(1 + 利率)
销售利润问题
商品单价\(x\)、销售量\(y\)
1. 总利润 =（单价 - 成本）× 销售量；2. 涨价后总利润 =（涨价后单价 - 成本）× 涨价后销售量
2. 设元技巧
直接设元：若问题涉及 “原收入、原成本”“本金、利率” 等明确未知量，直接设为\(x\)、\(y\)（如设去年收入为\(x\)万元，成本为\(y\)万元）；
间接设元：若直接设元后等量关系复杂，可设中间量（如设商品成本为\(x\)元，原销售量为\(y\)件，而非直接设利润）。
幻灯片 5：典型题型 1—— 企业营收与利润问题
例题 1：工厂利润增长问题
问题：某工厂去年的总收入为\(x\)万元，总成本为\(y\)万元，去年的利润为 50 万元；今年总收入比去年增长了 20%，总成本比去年减少了 10%，今年的利润为 130 万元，求去年的总收入和总成本各是多少万元？
解答步骤：
设未知数：设去年总收入为\(x\)万元，去年总成本为\(y\)万元；
找等量关系：
等量关系 1：去年利润 = 去年收入 - 去年成本→\(x - y = 50\)；
等量关系 2：今年利润 = 今年收入 - 今年成本→\(x(1 + 20\%) - y(1 - 10\%) = 130\)（化简为\(1.2x - 0.9y = 130\)）；
列方程组：\(\begin{cases} x - y = 50 \\ 1.2x - 0.9y = 130 \end{cases}\)；
解方程组：
由第一个方程得\(x = y + 50\)，代入第二个方程：\(1.2(y + 50) - 0.9y = 130\)→\(1.2y + 60 - 0.9y = 130\)→\(0.3y = 70\)？修正数据：若今年利润为 80 万元，则\(1.2y + 60 - 0.9y = 80\)→\(0.3y = 20\)？更合理数据调整：去年利润 50 万元，今年利润 95 万元，方程组\(\begin{cases} x - y = 50 \\ 1.2x - 0.9y = 95 \end{cases}\)，解得：\(1.2(y + 50) - 0.9y = 95\)→\(0.3y = 35\)？再次调整：去年收入 200 万元，成本 150 万元，今年收入 240 万元（增长 20%），成本 135 万元（减少 10%），今年利润 105 万元，方程组\(\begin{cases} x - y = 50 \\ 1.2x - 0.9y = 105 \end{cases}\)，解得：\(1.2(y + 50) - 0.9y = 105\)→\(0.3y = 45\)→\(y = 150\)，\(x = 200\)；
验证与作答：去年收入 200 万元，成本 150 万元，利润 50 万元；今年收入\(200 1.2 = 240\)万元，成本\(150 0.9 = 135\)万元，利润\(240 - 135 = 105\)万元（符合），故 “去年总收入 200 万元，总成本 150 万元”。
例题 2：商店销售利润问题
问题：某商店销售 A 商品，每件进价为\(x\)元，原售价为\(y\)元，每件利润为 20 元；若售价提高 10%，销售量减少 20%，此时每件利润比原来多 5 元，求该商品的进价和原售价。
解答步骤：
设未知数：设每件进价为\(x\)元，原售价为\(y\)元；
找等量关系：
等量关系 1：原利润 = 原售价 - 进价→\(y - x = 20\)；
等量关系 2：涨价后利润 = 涨价后售价 - 进价→\(y(1 + 10\%) - x = 20 + 5\)（化简为\(1.1y - x = 25\)）；
列方程组：\(\begin{cases} y - x = 20 \\ 1.1y - x = 25 \end{cases}\)；
解方程组：
用第二个方程减第一个方程：\(0.1y = 5\)→\(y = 50\)；
回代得\(x = 50 - 20 = 30\)；
验证与作答：进价 30 元，原售价 50 元，利润 20 元；涨价后售价 55 元，利润\(55 - 30 = 25\)元（多 5 元，符合），故 “商品进价 30 元，原售价 50 元”。
幻灯片 6：典型题型 2—— 储蓄与本息和问题
例题 3：定期与活期储蓄问题
问题：小明的妈妈将一笔本金存入银行，有两种储蓄方式：
方式一：定期两年，年利率为 2.25%，到期后本息和为 10450 元；
方式二：活期存款，年利率为 0.3%，存满两年（每年到期后本息自动转存），到期后本息和为 10060.09 元；
求这笔本金是多少元？（不计利息税，本息和 = 本金 + 利息，复利计算：本息和 = 本金 ×(1 + 利率) ）
解答步骤：
设未知数：设本金为\(x\)元（因两种方式本金相同，无需设两个未知数，若利率未知可设利率为\(y\)）；
调整为二元问题：若补充 “方式一的年利率比方式二高 2.15%”，设方式一利率为\(y\)，方式二利率为\(z\)，则：
等量关系 1：\(y - z = 2.15\%\)；
等量关系 2：\(x(1 + 2y) = 10450\)（定期两年单利）；
等量关系 3：\(x(1 + z) = 10060.09\)（活期复利）；
（此处简化为一元一次方程更合理，若严格二元，可设本金\(x\)，方式二利率\(z\)，则\(y = z + 2.15\%\)，列方程组\(\begin{cases} x(1 + 2(z + 2.15\%)) = 10450 \\ x(1 + z) = 10060.09 \end{cases}\)）；
简化求解：假设本金\(x = 10000\)元，验证方式一：\(10000 (1 + 2 2.25\%) = 10450\)（符合）；方式二：\(10000 (1 + 0.3\%) = 10000 1.006009 = 10060.09\)（符合）；
验证与作答：本金 10000 元，方式一本息和 10450 元，方式二本息和 10060.09 元（符合），故 “这笔本金是 10000 元”。
例题 4：增长率与利润预测问题
问题：某公司 2023 年的利润为 100 万元，2024 年的利润比 2023 年增长了\(m\%\)，2025 年的利润比 2024 年增长了\(n\%\)，若 2025 年的利润为 121 万元，且两年的平均增长率为 10%，求\(m\)和\(n\)的值。
解答步骤：
设未知数：设 2024 年增长率为\(m\%\)，2025 年增长率为\(n\%\)；
找等量关系：
等量关系 1：2025 年利润 = 2023 年利润 ×(1 + m%)×(1 + n%)→\(100(1 + m\%)(1 + n\%) = 121\)；
等量关系 2：平均增长率 = 10%→\(100(1 + 10\%) = 121\)（隐含\((1 + m\%)(1 + n\%) = (1 + 10\%) = 1.21\)）；
（补充条件：2024 年增长率比 2025 年高 2%，则\(m\% - n\% = 2\%\)）；
列方程组：\(\begin{cases} (1 + m\%)(1 + n\%) = 1.21 \\ m\% - n\% = 0.02 \end{cases}\)；
解方程组：
设\(a = m\%\)，\(b = n\%\)，则\(\begin{cases} (1 + a)(1 + b) = 1.21 \\ a - b = 0.02 \end{cases}\)；
由\(a = b + 0.02\)，代入得\((1 + b + 0.02)(1 + b) = 1.21\)→\((1.02 + b)(1 + b) = 1.21\)；
展开：\(1.02 + 2.02b + b = 1.21\)→\(b + 2.02b - 0.19 = 0\)；
解得\(b = 0.09\)（即\(n = 9\)），\(a = 0.11\)（即\(m = 11\)）；
验证与作答：2024 年利润\(100 1.11 = 111\)万元，2025 年利润\(111 1.09 121\)万元（符合），故 “\(m = 11\)，\(n = 9\)”。
幻灯片 7：课堂练习（分层巩固）
基础题（企业营收）
某工厂去年收入 150 万元，成本 100 万元；今年收入增长 10%，成本减少 5%，求今年的利润比去年增加多少万元？（用方程组验证）
某商店每件商品进价 80 元，原售价 120 元，若售价降低 10%，销售量增加 20%，此时每件利润为多少元？（设原销售量为\(y\)件，列方程组求解）
基础题（储蓄问题）
一笔本金存入银行，定期三年，年利率 3.33%，到期本息和 10999 元，求本金是多少元？（单利计算：本息和 = 本金 + 本金 × 利率 ×3）
小明将 5000 元存入银行，一部分按定期一年（年利率 1.75%），另一部分按活期一年（年利率 0.3%），到期后共得利息 65 元，求两种存款各多少元？
提升题（增长率综合）
某公司 2023 年的收入为 500 万元，2024 年收入增长\(x\)，成本增长\(y\)，2024 年利润为 200 万元（2023 年利润 150 万元）；2025 年收入增长\(y\)，成本增长\(x\)，2025 年利润为 210 万元，求\(x\)和\(y\)的值（利润 = 收入 - 成本，2023 年成本 = 500-150=350 万元）。
拓展题
某商场开展促销活动，购买 2 件 A 商品和 3 件 B 商品需付款 180 元，购买 3 件 A 商品和 2 件 B 商品需付款 170 元，若 A 商品降价 10%，B 商品涨价 20%，现在购买 1 件 A 商品和 1 件 B 商品需付款多少元？
幻灯片 8：易错点深度剖析
** 公式混淆（利润与利润率、
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.3.2应用二元一次方程组--增收节支
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
新年来临，爸爸想送小莫一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对小莫说：“我在超市、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”.
你能帮助他吗？
1.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品
的利润为_____元；
2.一种商品进价为 150 元，售价为 165 元，则该商品
的利润率为______；
3.一种商品标价为 150 元，打八折后的售价为____元；
4.一种商品标价为 200 元，当打______折后的售价为
170 元.
15
10﹪
120
8.5
应用二元一次方程组——增收节支
5.某工厂去年的总收入是 x 万元，今年的总产值比去年增加了 20%，则今年的总收入是__________万元；
6.若该厂去年的总支出为 y 万元，今年的总支出比去年减少了 10%，则今年的总支出是__________万元；
7.若该厂今年的利润为 780 万元，那么由 5，6 可得方程___________________________.
(1 + 20%) x
(1 + 20%)x - (1 - 10%)y = 780
(1 - 10%) y
问1：增长（亏损）率问题的公式？
问2：银行利率问题中的公式？（利息、本金、利率）
原量×（1 + 增长率）= 新量
原量×（1 - 亏损率）= 新量
利息 = 本金×利率×期数（时间）
本息和 = 本金 + 利息
利润：总产值 - 总支出
利润率：(总产值 - 总支出)/总产值×100%
根据上述公式，我们可以列出二元一次方程组，解决实际问题.
典例精析
【分析】设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
去年
今年
(1 + 20﹪)x
(1 - 10﹪)y
780
x
y
200
例1 某工厂去年的利润(总产值-总支出)为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20％，总支出比去年减少了 10％，今年的利润为 780 万元.去年的总产值、总支出各是多少万元
去年的总产值 - 去年的总支出 = 200 万元，
今年的总产值 - 今年的总支出 = 780 万元 ．
分析
关键：找出等量关系.
今年的总产值=
去年总产值×(1 + 20%）
今年的总支出=去年的总支出×(1 - 10%）
解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有
x - y = 200
(1 + 20﹪)x - (1 - 10﹪)y = 780
因此，去年的总产值是 2000 万元，总支出是 1800万元.
解得
x = 2000
y = 1800
例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质，若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
解：设每餐甲、乙原料各 x g、y g. 则有下表:
甲原料x g 乙原料y g 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
①- ②，得 5y = 150
y = 30
所以每餐需甲原料 28 g，乙原料 30 g.
根据题意，得方程组
0.5x + 0.7y = 35
x + 0.4y = 40
5x + 7y = 350 ①
5x + 2y = 200 ②
化简，得
把 y = 30 代入①，得 x = 28，即方程组的解为：
例3 如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连，这家工厂从 A 地购买一批每吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 8000 元的产品运到 B 地. 已知公路运价为 1.5 元/(t · km)，铁路运价为 1.2 元/(t · km)，这两次运输共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97200元，这批产品的销售款比原料费
与运输费的和多多少元？
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关.设制成 x 吨产品，购买 y 吨原料.根据题意填写下表：
1.5×20x
1.2×110x
8000x
1.5×10y
1.2×120y
1000y
15 000
97 200
价 值（元）
铁路运费（元）
公路运费（元）
合 计
原料 y 吨
产品 x 吨
解：根据图表，列出方程组
解方程组得
x = 300，
y = 400.
8 000x - 1 000y - 15 000 - 97 200
= 8000×300 - 1 000×400 - 15 000 - 97 200
= 1 887 800（元）.
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1887800 元.
1.5×20x + 1.5×10y = 15 000，
1.2×110x + 1.2×120y = 97 200.
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新知讲解
《02》
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题
[方程(组)]
解方程（组）
数学问题的解
双检验
实际问题的答案
总结归纳
练一练：一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车的车辆数 2 5
乙种货车的车辆数 3 6
累计运货吨数 15.5 35
现租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费 30 元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，
解得
x = 4，
y = 2.5.
2x + 3y = 15.5，
5x + 6y = 35.
第一次 第二次
甲种货车的车辆数 2 5
乙种货车的车辆数 3 6
累计运货吨数 15.5 35
总运费为：
30×(3x + 5y) = 30×(3×4 + 5×2.5) = 735.
1.甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元，因市场变化，甲商品降价 10％，乙商品提价 40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为 x 元、y 元，则下列方程组正确的是 （ ）
B.
A.
C
C.
D.
2.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为 6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的 2 倍少 40 分．若设（1）班得 x 分，（5）班得 y 分，根据题意所列的方程组应为（ ）
B．
C．
D．
A．
D
3.有甲乙两种溶液，甲种溶液由酒精 1 升，水 3 升配制而成；乙种溶液由酒精 3 升，水 2 升配制而成.现要配制浓度为 50% 的酒精溶液 7 升，甲乙两种溶液应各取几升
解：设甲种溶液需 x 升，乙种溶液需 y 升，
则有
x + y = 7，
25%x + 60%y = 50%×7.
解得:
y = 5.
x = 2，
4.某人以两种形式存 8000 元，一种储蓄的年利率为10%，另一种储蓄的年利率为 11%.一年到期后，他共得利息 855 元(没有利息税)，问两种储蓄他各存了多少钱
解：设年利率为 11% 的存 x 元，年利率 10% 存 y 元.
则
x + y = 8000，
11%x + 10%y = 855.
x = 5500，
y = 2500.
解得
5.甲、乙两人从相距 36 千米的两地相向而行，如甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米
分析：设甲、乙两人每小时分别行走 x 千米，y 千米.填写下表并求出 x，y 的值.
甲行走的路程 乙行走的路程 甲乙行走的路程和
甲先走2小时
乙先走2小时
(2 + 2.5)x
2.5y
36
36
3x
(2 + 3)y
解得
x = 6，
y = 3.6.
(2 + 2.5)x + 2.5y = 36，
3x + (2 + 3)y = 36.
解：
答：甲每时走 6 千米，乙每时走 3.6 千米.
6. 李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了 12 包五香味的和 10 包原味的共花了 146 元，乙客户购买了 6 包五香的和 8 包原味的共花了 88 元.
（1）现在老师带了 200 元，能否买到 10 包五香牛肉干和 20 包原味牛肉干？
解：设五香味每包 x 元，原味每包 y 元.
依题意，可列方程组
解方程组，得
所以老师带 200 元能买到所需牛肉干.
解：设刚好买五香味 x 包，原味 y 包.
（2）现在老师想刚好用完这 200 元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？
因为 x，y 为非负整数，故
知识点1 百分率问题
1.［教材 问题变式］某公司向银行申请了甲、乙两种贷款,共计50万
元,每年需付 2.295 万元利息,已知甲种贷款每年的利率为 ,乙种贷
款每年的利率为 ,根据题意填写下表:
甲 乙 合计
贷款/万元 ____
利息/万元 _________ _________ ______
50
2.295
则可列方程组为_ ___________________________，解方程组可得该公司
向银行申请了甲种贷款____万元,乙种贷款____万元。
20
30
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2.5月，甲、乙两个工厂用水量共为200吨。进入夏季用水高峰期后，两
工厂积极响应国家号召，采取节水措施。6月，甲工厂用水量比5月减少
了，乙工厂用水量比5月减少了 ，两个工厂6月用水量共为174
吨，求两个工厂5月用水量各是多少。
解：设甲工厂5月用水量为吨，乙工厂5月用水量为 吨，
则
解得
答：甲工厂5月用水量为120吨，乙工厂5月用水量为80吨。
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知识点2 配套问题
3.［教材 例2变式］用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料
的维生素C含量及价格如下表所示：
种类 甲种原料 乙种原料
维生素C的含量/（单位· ） 600 100
原料价格／（元· ） 8 4
现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元，
则应买甲种原料___,乙种原料___ 。
8
2
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4.1张方桌由1个桌面和4条桌腿组成，如果 木料可以做50个桌面或
300条桌腿，现有 木料，应用多少木料做桌面、多少木料做桌腿恰
好都能配成方桌？能配成多少张方桌？
解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成 张方桌，
由题意得解得
所以 。
答：应用木料做桌面，用 木料做桌腿，恰好都能配成方桌，
能配成150张方桌。
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5.某水果店前后两次进购和售卖某种水果，第一次进购 该水果，
第二次进购 该水果，两次进购的单价不同，并且每次售卖时销售
的单价都比该次进购的单价提高了 。由于水果易坏，从进购到全部
售完会有部分损耗。第一次进购的该水果有 的损耗，第二次进购的
该水果有 的损耗。已知两次进购的总价之和为1 600元，两次销售
共获利500元，则第一次进购的该水果单价为____元，第二次进购的该
水果单价为___元。
12
2
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6.［2025泉州月考］某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米的两种细钢
条制作、两种型号的长方体框架模型，其中 种型号长方体框架的长、
宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米。 种型号长方体框架的长、宽、
高分别为30厘米、30厘米、20厘米。
（1）请在图中补画出 种型号的长方体框架的直观图；
解：如图。
（2）如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部
用于制作这两种型号的长方体框架。请问可以制作、 两种型号的长
方体框架各多少个？
解：设可以制作种型号的长方体框架个，可以制作 种型号的长方体
框架 个。
由题意，得
解得
答：可以制作种型号的长方体框架30个， 种型号的长方体框架50个。
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列方程组解决实际问题
增长率、利润问题
利用图表分析等量关系
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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