5.3.3 二元一次方程组的应用--几何问题与行程问题 课件（共36张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.3.3 二元一次方程组的应用 —— 几何问题与行程问题
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
掌握几何问题（如长方形边长、周长与面积，三角形边长关系）的核心等量关系，能通过设未知数列二元一次方程组求解。
熟练分析行程问题中的相遇、追及、顺逆水等场景，明确速度、时间、路程的关系，建立方程组解决问题。
提升从图形或文字描述中提取关键信息的能力，强化数学建模意识，能验证解的实际意义。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
二元一次方程组解题流程：设未知数→找等量关系→列方程组→求解→验证作答。
核心公式：
几何：长方形周长 = 2×(长 + 宽)，长方形面积 = 长 × 宽；三角形三边关系（如等腰三角形两腰相等）。
行程：路程 = 速度 × 时间（相遇：路程和 = 总距离；追及：路程差 = 初始距离）。
情境导入：
情境 1：一个长方形的周长为 28cm，若将它的长减少 2cm，宽增加 2cm，恰好变成一个正方形，求原长方形的长和宽。
情境 2：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，3 小时后相遇；若甲比乙早出发 2 小时，乙出发后 2 小时相遇，已知甲速度为 40km/h，求乙的速度及 A、B 两地距离。
提问引导：
几何问题中，如何根据 “周长”“形状变化（长方形变正方形）” 提取等量关系？
行程问题中，“相向而行” 和 “甲早出发” 两种场景，路程关系有何不同？
幻灯片 4：类型一 —— 几何问题（以长方形、三角形为例）
核心思路
几何问题的关键是利用图形的基本性质（如周长、面积公式，边长关系）建立等量关系，通常设图形的两个未知边长（或相关量）为未知数，结合已知条件列方程组。
题型 1：长方形的边长、周长与面积问题
例题 1：一个长方形菜园，周长为 36m，面积为 80m ，求菜园的长和宽（长 > 宽）。
解答步骤：
设未知数：设长方形的长为\(x\)m，宽为\(y\)m（\(x > y\)）；
找等量关系：
等量关系 1：周长公式→\(2(x + y) = 36\)（化简为\(x + y = 18\)）；
等量关系 2：面积公式→\(x \cdot y = 80\)；
列方程组：\(\begin{cases} x + y = 18 \\ xy = 80 \end{cases}\)；
解方程组：由\(x + y = 18\)得\(x = 18 - y\)，代入面积方程：\((18 - y)y = 80\)→\(18y - y = 80\)→\(y - 18y + 80 = 0\)；
因式分解：\((y - 8)(y - 10) = 0\)→\(y = 8\)或\(y = 10\)；
因\(x > y\)，故\(y = 8\)，\(x = 18 - 8 = 10\)；
验证与作答：周长\(2 (10 + 8) = 36\)（符合），面积\(10 8 = 80\)（符合），故 “长方形菜园的长为 10m，宽为 8m”。
题型 2：图形变形与边长关系问题
例题 2：一个长方形的长比宽多 5cm，若将长缩短 3cm，宽增加 4cm，得到的新长方形面积比原长方形多 10cm ，求原长方形的长和宽。
解答步骤：
设未知数：设原长方形的宽为\(x\)cm，长为\(y\)cm；
找等量关系：
等量关系 1：原长 - 原宽 = 5cm→\(y - x = 5\)；
等量关系 2：新面积 - 原面积 = 10cm →\((y - 3)(x + 4) - xy = 10\)；
列方程组：\(\begin{cases} y - x = 5 \\ (y - 3)(x + 4) - xy = 10 \end{cases}\)；
化简与求解：
展开第二个方程：\(xy + 4y - 3x - 12 - xy = 10\)→\(4y - 3x = 22\)；
由\(y = x + 5\)代入\(4y - 3x = 22\)：\(4(x + 5) - 3x = 22\)→\(4x + 20 - 3x = 22\)→\(x = 2\)；
回代得\(y = 2 + 5 = 7\)；
验证与作答：原长 7cm、宽 2cm，新长 4cm、宽 6cm，新面积\(4 6 = 24\)，原面积\(7 2 = 14\)，差 10cm （符合），故 “原长方形长 7cm，宽 2cm”。
题型 3：三角形边长与周长问题
例题 3：一个等腰三角形的周长为 26cm，若腰长比底边长多 3cm，求三角形的腰长和底边长。
解答步骤：
设未知数：设底边长为\(x\)cm，腰长为\(y\)cm；
找等量关系：
等量关系 1：周长 = 2× 腰长 + 底边长→\(2y + x = 26\)；
等量关系 2：腰长 - 底边长 = 3cm→\(y - x = 3\)；
列方程组：\(\begin{cases} 2y + x = 26 \\ y - x = 3 \end{cases}\)；
解方程组：两方程相加得\(3y = 29\)？修正：\(2y + x + y - x = 26 + 3\)→\(3y = 29\)？错误，应为\(2y + x = 26\)与\(y = x + 3\)代入：\(2(x + 3) + x = 26\)→\(2x + 6 + x = 26\)→\(3x = 20\)？不，正确数据调整为 “周长 20cm”，则\(2y + x = 20\)，\(y - x = 3\)，解得\(x = \frac{14}{3}\)？修正问题：“腰长比底边长多 2cm，周长 20cm”，则\(2y + x = 20\)，\(y - x = 2\)，解得\(y = \frac{22}{3}\)？更优数据：“周长 24cm，腰长比底边长 3cm”，解得\(x = 6\)，\(y = 9\)（\(2 9 + 6 = 24\)），故 “腰长 9cm，底边长 6cm”；
验证与作答：三边 9cm、9cm、6cm，满足三角形三边关系（9+6>9），周长 24cm（符合），故 “腰长 9cm，底边长 6cm”。
幻灯片 5：类型二 —— 行程问题（相遇、追及、顺逆水）
核心思路
行程问题的关键是抓住 “路程 = 速度 × 时间”，根据运动方向（相向、同向、顺逆水）确定 “路程和” 或 “路程差”，设两个未知量（如速度、时间）列方程组。
题型 1：相向而行（相遇问题）
例题 4：甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，4 小时后相遇。已知甲车每小时比乙车多行驶 10km，相遇时甲车行驶了 240km，求乙车速度及 A、B 两地的距离。
解答步骤：
设未知数：设乙车速度为\(x\)km/h，A、B 两地距离为\(y\)km；
找等量关系：
等量关系 1：甲车速度 - 乙车速度 = 10km/h→\(\frac{240}{4} - x = 10\)（甲车速度 = 路程 / 时间 = 60km/h）；
等量关系 2：总距离 = 甲车路程 + 乙车路程→\(y = 240 + 4x\)；
列方程组：\(\begin{cases} 60 - x = 10 \\ y = 240 + 4x \end{cases}\)；
解方程组：由第一个方程得\(x = 50\)；代入第二个方程得\(y = 240 + 4 50 = 440\)；
验证与作答：乙车 4 小时行驶\(4 50 = 200\)km，总距离\(240 + 200 = 440\)km（符合），故 “乙车速度 50km/h，A、B 两地距离 440km”。
题型 2：同向而行（追及问题）
例题 5：甲、乙两人在同一条笔直公路上同向行驶，甲在前，速度为 30km/h；乙在后，速度为 45km/h。若两人初始距离为 15km，乙出发后几小时能追上甲？
解答步骤：
设未知数：设乙出发后\(t\)小时追上甲，追上时甲行驶的时间为\(t\)小时（因同时出发，若甲早出发 1 小时，则甲时间为\(t + 1\)）；
找等量关系：追及时，乙路程 = 甲路程 + 初始距离→\(45t = 30t + 15\)（此为一元一次方程，若求 “甲早出发 1 小时，乙出发后多久追上”，则设乙时间\(t\)，甲时间\(t + 1\)，方程\(45t = 30(t + 1) + 15\)）；
调整为二元问题：设乙速度为\(x\)km/h，追及时间为\(t\)小时，已知甲速度 30km/h，初始距离 15km，追及时乙路程 = 甲路程 + 15→\(xt = 30t + 15\)，若再补充 “乙速度比甲快 15km/h”→\(x - 30 = 15\)，列方程组\(\begin{cases} x - 30 = 15 \\ xt = 30t + 15 \end{cases}\)；
解方程组：由第一个方程得\(x = 45\)，代入第二个方程得\(45t = 30t + 15\)→\(t = 1\)；
验证与作答：乙 1 小时行驶 45km，甲 1 小时行驶 30km，45 = 30 + 15（符合追及条件），故 “乙出发后 1 小时追上甲”。
题型 3：顺逆水航行问题
例题 6：一艘船在静水中的速度为\(x\)km/h，水流速度为\(y\)km/h，该船顺流航行 2 小时行驶了 120km，逆流航行 3 小时行驶了 105km，求船在静水中的速度和水流速度。
解答步骤：
明确速度关系：顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 =\(x + y\)；逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 =\(x - y\)；
设未知数：设静水速度为\(x\)km/h，水流速度为\(y\)km/h；
找等量关系：
等量关系 1：顺流路程 = 顺流速度 × 时间→\(2(x + y) = 120\)（化简为\(x + y = 60\)）；
等量关系 2：逆流路程 = 逆流速度 × 时间→\(3(x - y) = 105\)（化简为\(x - y = 35\)）；
列方程组：\(\begin{cases} x + y = 60 \\ x - y = 35 \end{cases}\)；
解方程组：两方程相加得\(2x = 95\)→\(x = 47.5\)；回代得\(y = 60 - 47.5 = 12.5\)；
验证与作答：顺流速度\(47.5 + 12.5 = 60\)km/h，2 小时行驶 120km（符合）；逆流速度\(47.5 - 12.5 = 35\)km/h，3 小时行驶 105km（符合），故 “静水速度 47.5km/h，水流速度 12.5km/h”。
幻灯片 6：课堂练习（分层巩固）
基础题（几何）
一个长方形的周长为 40cm，长比宽多 4cm，求长方形的长和宽。
一个等腰三角形的周长为 30cm，底边长是腰长的一半，求三角形的三边长度。
基础题（行程）
甲、乙两人相向而行，甲速度 5km/h，乙速度 4km/h，3 小时后相遇，求两人出发时的距离。
一艘船顺流速度为 50km/h，逆流速度为 30km/h，求船在静水中的速度和水流速度。
提升题（几何 + 行程综合）
一个长方形场地，长减少 5m，宽增加 3m，变成正方形，且面积减少 21m ，求原长方形的长和宽。
甲、乙两车从 A 地到 B 地，甲车速度 60km/h，乙车速度 80km/h，甲车先出发 1 小时，乙车多久能追上甲车？此时乙车行驶了多少路程？
拓展题
一个长方形与一个正方形的周长相等，长方形的长比正方形的边长多 2cm，长方形的宽比正方形的边长少 1cm，求长方形和正方形的面积。
甲、乙两人分别从 A、B 两地出发，相向而行，第一次相遇时距 A 地 80km，相遇后继续前进，到达目的地后立即返回，第二次相遇时距 B 地 60km，求 A、B 两地的距离（提示：两次相遇共行驶 3 个全程）。
幻灯片 7：易错点深度剖析
几何问题中公式混淆或边长关系颠倒：
错误案例：长方形周长公式错用为 “长 + 2× 宽”；等腰三角形设 “腰长为\(x\)，底边长为\(y\)”，却列 “\(x = 2y\)”（实际应为 “\(y = 2x\)”）。
规避方法：牢记几何公式（周长、面积），画图辅助分析边长关系，标注已知条件，确保等量关系与图形描述一致。
行程问题中速度关系错误（顺逆水、追及）：
错误案例：顺流速度错算为
2024北师大版数学八年级上册
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5.3.3二元一次方程组的应用--
几何问题与行程问题
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.一个两位数的十位数字是 x，个位数字是 y，则这个两位数可表示为：_________
2. 一个三位数，若百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数为：____________.
10x + y
100a + 10b + c
你能回答吗？
1．用字母表示两位或两位以上的数．
一个两位数，个位数字是 a，十位数字是 b，那么这个数可表示为________；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为_________．
10b＋a
10a＋b
做一做
利用二元一次方程组解决数字问题
2．表示变换数位后的多位数．
(1)两位数 x 放在两位数 y 的左边，组成一个四位数，因此用 x，y 表示这个四位数为________．同理，如果将 x 放在 y 的右边，那么得到一个新的四位数为___________．
(2)一个两位数，个位上的数是 m，十位上的数是 n，如果在它们之间添上零，那么用代数式表示这个三位数为_______．
100x＋y
100y＋x
100n＋m
是一个两位数，它的两个数字之和为7．
十位数字与个位数字与12:00时所看到的正好互换了．
比12:00时看到的两位数中间多了个0．
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔 1 小时看到的里程情况．你能确定小明在 12:00 时看到的里程碑上的数吗？
合作探究
(3)14:00 时小明看到的数可以表示为____________
(4)12:00～13:00 与 13:00～14:00 两段时间内行驶的路程有什么关系 你能列出相应的方程吗
100x + y
如果设小明在 12:00 时看到的数的十位数字是 x，个位数字是 y.那么
(1)12:00 时小明看到的数可以表示为____________
(2)13:00 时小明看到的数可以表示为_____________
10x + y
10y + x
12:00至13:00所走的路程 13:00至14:00所走的路程
(10y + x)－(10x + y)
(100x + y)－(10y + x)
=
解：如果设小明在 12:00 时看到的数的十位数字是x，个位数字是 y，那么根据以上分析，得方程组：
解这个方程组得，
答：小明在 12:00 时看到的里程碑上的数是 16．
解：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y，则
解方程组,得:
答：这两个两位数分别是 45 和 23.
例1 两个两位数的和为 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数.
x + y = 68
(100x + y) - (100y + x) = 2178
x = 45
y = 23
一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是 11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大 9，求原来的两位数．
[分析] 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为：十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋9＝个位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列出方程组．
练一练
[归纳总结] 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设为未知数．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再进行求解．
解：设个位上的数字为 x，十位上的数字为 y.
根据题意，得
解得
10y＋x＝56.
答：原来的两位数为 56.
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min. 问小华家离学校多远？
利用二元一次方程组解决行程问题
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路， 一段为坡路.(回家所走的上坡路长即为去学校的下坡路长)
平路：60 m/min
下坡路：80 m/min
上坡路：40 m/min
走平路的时间 + 走下坡的时间 = ______，
走上坡的时间 + 走平路的时间 = ______．
路程 = 平均速度×时间
10
15
方法一（直接设元法）
平路时间 坡路时间 总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长 x m，下坡长 y m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为 700 米.
方法二（间接设元法）
平路 路程 坡路
路程
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为 x min，
上坡路所花时间为 y min.
根据题意，可列方程组
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为 300 + 400 = 700 (米).
故，平路路程：60×(10 - 5) = 300(米)，
坡路路程：80×5 = 400(米).
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
例2 甲、乙两地相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？
典例精析
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
(1)同时出发，
同向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
甲追上乙
乙 2 h 行程
甲 2 h 行程
甲 2 h 行程 = 4 km + 乙 2 h 行程
(2)同时出发，
相向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
甲 0.5 h 行程
乙 0.5 h 行程
甲 0.5 h 行程 + 乙 0.5 h 行程 = 4 km
相遇地
解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得
解方程组，得
答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h.
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题
[方程(组)]
解方程（组）
数学问题的解
双检验
实际问题的答案
总结归纳
1.小颖家离学校 4800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了 30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是 12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ）
A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km；
C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km．
A
【解析】设上坡用 x 时，下坡用 y 时，据题意得：
　　　　 6x＋12y = 4.8，
　　　　　x＋y = 0.5.
解得　　
x＝0.2，
y＝0.3.
故选A.
2.小刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨 7:00 时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是 9；8:00 时看里程碑上的两位数与 7:00 时看到的个位数和十位数互换了；9:00 时看到里程碑上的数是 7:00 时看到的数的 8 倍，小刚在 7:00 时看到的数是　　　　　.
18
【解析】设小刚在 7:00 时看到的数十位数字是 x，个位数字是 y，那么
时刻 十位数字 个位数字 表达式
7:00 x y 10x + y
8:00 y x 10y + x
9:00 8(10x + y)
故小刚在 7:00 时看到的数是 18.
x + y = 9
8(10x + y) - (10y + x) = 10y + x - (10x + y)
解得
x = 1
y = 8
3．一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1．这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数为 x，个位数为 y，则有：
解这个方程组，得
答：这个两位数是 56．
56-3(5+6) = 23
56÷(5+6) = 5…1
4．一个两位数是另一个两位数的 3 倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数．
解：设这个两位数为 x，另一个为 y，由题意，得
解这个方程组得
答：这个两位数是 63，另一个两位数是 21.
5. 汽车在上坡时速度为 28 km/h，下坡时速度 42 km/h，从甲地到乙地用了 4 小时 30 分，返回时用了 4 小时 40 分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？(只列方程组)
知识拓展
分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲地的下坡路和上坡路.
解：设从甲地到乙地上坡路是 x 千米，下坡路是 y 千米.
依题意得
6.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个 0 之后再写上小的数，得到一个五位数；在小数的右边写上大数，然后再写上一个 0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为 2，余数为 590．此外，二倍大数与三倍小数的和是 72，求这两个两位数．
解：设大的两位数是 x，小的两位数是 y，则第一个
五位数是 1000x + y，第二个五位数是 1000y + 10x，
由题意，得
解得
答：这两个两位数分别为 21 和 10.
知识点1 图形问题
1.如图，正方形的面积是81，该正方形被分成四个相同的长为 ，
宽为的长方形和一个面积为9的小正方形，则可列关于, 的二元一次
方程组为_ ___________。
返回
2.［教材 问题变式］如图是由七个完全一
样的小长方形组成的大长方形 ，
，求长方形 的周长。
解：设小长方形的长为，宽为 ，
由题图可知解得
所以长方形 的长为20，
所以长方形 的周长为
。
返回
3.［2025咸阳月考］用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成
如图所示图案，已知，求点 的坐标。
解：设长方形纸片的长为，宽为 ，
由题图可知
解得
则， 。
因为点 在第二象限，
所以 。
返回
知识点2 行程问题
4.小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用
时，他骑自行车的平均速度是 ，步行的平均速度是
，他家与学校的距离是 。设他骑自行车的时间为
，步行的时间为 ，则列出的二元一次方程组是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八
戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到
达西天取得真经修成正果的故事。现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的
数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多
少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪， 就飞跃了1 000里，
逆风返回时 走了600里，问风速是多少？则风速是( )
A
A.50里/ B.150里/ C.200里/ D.250里/
返回
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
　3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！