5.4.1 二元一次方程与一次函数 课件（共27张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.4.1 二元一次方程与一次函数
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解二元一次方程与一次函数的表达式转化关系，能将二元一次方程化为一次函数的形式（\(y = kx + b\)）。
掌握二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标的对应关系，明确 “方程的一组解对应图象上一个点”。
理解二元一次方程组的解与两个一次函数图象交点坐标的关系，能通过图象法求方程组的解，体会数形结合思想。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
二元一次方程：含有两个未知数，且含未知数的项次数为 1 的整式方程，如\(2x + y = 5\)，其解有无数组。
一次函数：表达式为\(y = kx + b\)（\(k 0\)），图象是一条直线，直线上任意一点的坐标\((x, y)\)都满足函数表达式。
情境导入：
问题 1：对于二元一次方程\(2x + y = 5\)，若将其变形为 “\(y = -2x + 5\)”，这个形式与我们学过的一次函数有什么联系？
问题 2：方程\(2x + y = 5\)的一组解\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}\)，对应到函数\(y = -2x + 5\)的图象上，是哪个点？反过来，图象上的点\((2, 1)\)，是否是方程\(2x + y = 5\)的解？
提问引导：
二元一次方程与一次函数在表达式上如何相互转化？
二元一次方程的所有解与对应一次函数图象上的点，存在怎样的整体关系？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 二元一次方程与一次函数的表达式转化
1. 转化方法：将二元一次方程化为一次函数形式
对于任意二元一次方程\(ax + by + c = 0\)（\(a\)、\(b\)不同时为 0），若\(b 0\)，可通过移项、系数化为 1，将其变形为一次函数的标准形式\(y = kx + b\)：
以方程\(3x - 2y = 6\)为例：
移项：将含\(x\)的项和常数项移到等号右边→\(-2y = -3x + 6\)；
系数化为 1：两边同时除以\(-2\)→\(y = \frac{3}{2}x - 3\)，此即为一次函数表达式，其中\(k = \frac{3}{2}\)，\(b = -3\)。
若\(b = 0\)（此时方程为\(ax + c = 0\)，如\(2x - 4 = 0\)），方程变形为\(x = 2\)，表示垂直于\(x\)轴的直线，不属于一次函数（一次函数要求\(k 0\)，图象为非垂直直线）。
2. 转化本质：“方程” 与 “函数” 的等价关系
二元一次方程\(ax + by = c\)（\(b 0\)）变形为\(y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}\)后，方程的解与函数的 “自变量 - 函数值” 对应：
方程的一组解\(\begin{cases} x = x_0 \\ y = y_0 \end{cases}\)，恰好是函数中当\(x = x_0\)时，\(y = y_0\)的对应值；
反之，对于函数\(y = kx + b\)，任意取一个\(x\)值，计算出对应的\(y\)值，得到的\((x, y)\)就是方程\(kx - y + b = 0\)的一组解。
3. 示例：表达式转化与对应关系
方程\(x - 3y = 9\)变形为一次函数：
移项：\(-3y = -x + 9\)；
系数化为 1：\(y = \frac{1}{3}x - 3\)；
对应关系：方程的解\(\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}\)，代入函数得\(y = \frac{1}{3} 3 - 3 = -2\)，符合函数关系；函数中\(x = 6\)时，\(y = \frac{1}{3} 6 - 3 = -1\)，则\(\begin{cases} x = 6 \\ y = -1 \end{cases}\)是方程\(x - 3y = 9\)的解（代入方程：\(6 - 3 (-1) = 9\)，成立）。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 二元一次方程的解与一次函数图象的关系
1. 核心结论：方程的所有解对应函数图象上的所有点
二元一次方程\(ax + by = c\)（\(b 0\)）变形为一次函数\(y = kx + b\)后，方程的每一组解\(\begin{cases} x = x_0 \\ y = y_0 \end{cases}\)，都对应函数图象上的一个点\((x_0, y_0)\)；
反过来，一次函数图象上的每一个点\((x_0, y_0)\)，其坐标\((x_0, y_0)\)都是对应二元一次方程\(ax + by = c\)的一组解。
本质：二元一次方程的所有解构成的集合，与对应一次函数图象上所有点的坐标集合，是完全相等的。
2. 实例验证：方程\(2x + y = 5\)与函数\(y = -2x + 5\)的图象关系
步骤 1：列出方程\(2x + y = 5\)的几组解：
\(x\)
0
1
2
3
\(y\)
5
3
1
-1
步骤 2：在平面直角坐标系中，描出点\((0, 5)\)、\((1, 3)\)、\((2, 1)\)、\((3, -1)\)，发现这些点在同一条直线上，这条直线就是函数\(y = -2x + 5\)的图象；
步骤 3：在直线上取任意一点，如\((-1, 7)\)，代入方程\(2x + y = 5\)，左边\(2 (-1) + 7 = 5\)，右边 = 5，验证该点坐标是方程的解。
3. 特殊情况：\(b = 0\)的二元一次方程（如\(x = 2\)）
方程\(x = 2\)的解为\(\begin{cases} x = 2 \\ y = ° \end{cases}\)，其对应图象是过点\((2, 0)\)且垂直于\(x\)轴的直线，直线上所有点的横坐标均为 2，纵坐标任意，符合方程的解的特征。
幻灯片 6：核心知识点 3—— 二元一次方程组与两个一次函数图象的关系
1. 方程组与函数图象的关联
对于二元一次方程组\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)（\(b_1 0\)，\(b_2 0\)）：
将两个方程分别变形为一次函数形式：\(y = k_1x + b_1\)和\(y = k_2x + b_2\)；
两个函数的图象均为直线，分别记为\(l_1\)和\(l_2\)。
2. 核心结论：方程组的解对应两函数图象的交点坐标
二元一次方程组的解，是同时满足两个方程的未知数的值，即对应两个一次函数中 “自变量\(x\)相同，函数值\(y\)也相同” 的情况；
在图象上，这种 “\(x\)相同、\(y\)相同” 的点，就是两条直线\(l_1\)和\(l_2\)的交点坐标；
反之，若两条直线\(l_1\)和\(l_2\)相交于点\((x_0, y_0)\)，则\((x_0, y_0)\)就是对应二元一次方程组的解。
3. 三种位置关系与方程组解的情况
两直线位置关系
图象特征
对应方程组的解
示例（函数表达式）
相交
有且只有一个交点
有唯一一组解
\(l_1:y = 2x + 1\)，\(l_2:y = -x + 4\)（交点 (1,3)）
平行
无交点（斜率相同，截距不同）
无解
\(l_1:y = 2x + 1\)，\(l_2:y = 2x + 3\)（无交点）
重合
有无数个交点（斜率、截距均相同）
有无数组解
\(l_1:y = 2x + 1\)，\(l_2:y = 2x + 1\)（重合）
4. 示例：用图象法求方程组的解
求方程组\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)的解：
变形为函数：\(l_1:y = -x + 5\)，\(l_2:y = 2x - 1\)；
画图象：\(l_1\)过点\((0, 5)\)、\((5, 0)\)；\(l_2\)过点\((0, -1)\)、\((1, 1)\)；
找交点：两条直线交于点\((2, 3)\)；
验证解：将\((2, 3)\)代入方程组，\(2 + 3 = 5\)（成立），\(2 2 - 3 = 1\)（成立），故方程组的解为\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：方程与函数的转化及图象验证
问题：将二元一次方程\(4x - 3y = 12\)变形为一次函数形式，画出函数图象，并判断点\((3, 0)\)、\((-3, -8)\)是否为方程的解。
解答：
变形函数：\(4x - 3y = 12\)→\(-3y = -4x + 12\)→\(y = \frac{4}{3}x - 4\)；
画图象：函数过点\((0, -4)\)（\(x=0\)时，\(y=-4\)）和\((3, 0)\)（\(y=0\)时，\(x=3\)），连接两点得直线；
判断点：
点\((3, 0)\)：在直线上，代入方程\(4 3 - 3 0 = 12\)（成立），是解；
点\((-3, -8)\)：代入函数\(y = \frac{4}{3} (-3) - 4 = -8\)，在直线上，代入方程\(4 (-3) - 3 (-8) = -12 + 24 = 12\)（成立），是解。
例题 2：用图象法解方程组并分析位置关系
问题：判断方程组\(\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases}\)的解的情况，并用图象法验证。
解答：
变形函数：
第一个方程：\(y = -2x + 4\)；
第二个方程：\(4x + 2y = 8\)→\(y = -2x + 4\)；
分析位置关系：两个函数表达式完全相同，图象重合，故方程组有无数组解；
图象验证：画出\(y = -2x + 4\)的直线，直线上所有点的坐标（如\((0, 4)\)、\((1, 2)\)、\((2, 0)\)）均满足两个方程，验证有无数组解。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
将下列二元一次方程变形为一次函数\(y = kx + b\)的形式：
（1）\(3x + y = 7\)；（2）\(2x - 5y = 10\)；（3）\(x - y = 0\)。
已知一次函数\(y = -x + 3\)，判断下列点的坐标是否为对应方程\(x + y = 3\)的解：
（1）\((1, 2)\)；（2）\((2, 2)\)；（3）\((0, 3)\)。
提升题
用图象法求下列方程组的解：
（1）\(\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ x + y = 3 \end{cases}\)。
已知方程组\(\begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases}\)的解为\(\begin{cases} x = -1 \\ y = 2 \end{cases}\)，则对应的两条直线的交点坐标为______。
拓展题
已知一次函数\(y = 2x + m\)和\(y = -x + n\)的图象交于点\((2, 3)\)，求\(m\)、\(n\)的值及方程组\(\begin{cases} 2x - y + m = 0 \\ x + y - n = 0 \end{cases}\)的解。
幻灯片 9：易错点深度剖析
表达式转化时符号错误：
错误案例：将方程\(2x - y = 5\)变形为\(y = 2x + 5\)（正确应为\(y = 2x - 5\)，移项时\(-y = -2x + 5\)，两边乘 - 1 后符号需全部改变）。
规避方法：变形时遵循 “移项变号” 原则，系数化为 1 时，确保等式两边同时除以相同的数，尤其是负数时，各项符号需同步调整，变形后代入原方程验证。
混淆 “方程的解” 与 “函数图象上的点” 的对应关系：
错误案例：认为方程\(x + y = 4\)的解\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 3 \end{cases}\)对应图象上的点\((3, 1)\)（正确应为\((1, 3)\)，横坐标对应 (x
2024北师大版数学八年级上册
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5.4.1二元一次方程与一次函数
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
　　 今天数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自己所在的家庭就坐，这时来了
“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函数
x + y = 5
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？ x + y = 5应该坐在哪里呢？
回顾与思考
合作探究
问题1. 方程 x + y = 5 的解有多少个 写出其中的几个.
无数个
问题2. 等式 x + y = 5 还可以看成一个一次函数，把它
变成 y = kx + b 的形式是_____________.
y = -x + 5
二元一次方程与一次函数图象的关系
问题3. 画出 y = -x + 5 的图象：
·
·
x 0
y = -x+5 0
y = -x + 5
追问①：以方程 x + y = 5 的解为坐标的点都在一次函数
y = -x + 5 的图象上吗？
都在
5
5
·
·
y = -x + 5
追问②：在一次函数 y = -x + 5的图象上任取一点，点的坐标适合方程 x + y = 5 吗？
都适合
追问③：以方程 x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = -x + 5 的图象相同吗？
相同
在一次函数
y = -x＋5 的图象上
方程
x + y = 5 的解
从形到数
从数到形
归纳总结
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
二元一次方程与一次函数的关系
1.以方程 2x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同.
2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程 x - 2y = 2 的解的是（ ）
练一练
C
y = -2x + 5
做一做
1.解方程组
2.请在同一直角坐标系内分别画出函数 y = -x + 5 与
y = 2x - 1的图象，找出它们的交点坐标，并比较与上述方程的解有什么联系．
解：利用消元法，解方程组得
二元一次方程组与一次函数的关系
y
x
0
4
1
2
3
5
5
4
3
2
1
-1
-2
思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？
(2，3)
解：
x … 0 5 …
y = -x+5 … 5 0 …
x … 0 0.5 …
y = 2x-1 … -1 0 …
总结归纳
解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这个函数值是何值．
数
二元一次方程
组的解
两个一次函数所在直线的交点坐标
对应
形
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
例1 用图象法解方程组
解：由
可得
由 可得
注意：
1.步骤与格式
2.这种解法得到的解一定精确吗？
x … -2 0 …
y … 0 1 …
x … 0 1 …
y … -2 0 …
在同一直角坐标系中作出图象
列表：
x
y
-2
2
-1
0
1
3
-1
-2
1
2
3
所以原方程组的解是
得l1，l2的交点为P（2，2）.
描点、连线：
1 .若二元一次方程组 的解为 ，则函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 　　 .
练一练
2.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点为(3，2)则方程组 　的解为
（3，2）
　　　　　.
问题：在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和
y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？
方程组
解的情况如何？
x
3
2
1
-1
-2
y
-2
2
-1
0
1
3
二元一次方程组与对应平行直线的关系
1.两不重合的直线
当 l1 平行于 l2 时，k1 = k2；反之也成立.
2.方程组 当 c1≠c2时，
方程组无解；反之也成立.
你发现了什么？
2.若二元一次方程组 的解为 ，
则函数 与 的图象的交点坐标
为 .
1.一次函数 y = 5 - x 与 y = 2x - 1 图象的交点为(2，3)，
则方程组 的解为 .
(2，2)
3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解：
3
-1
2
-3
x
y
O
知识点1 二元一次方程与一次函数的关系
1.二元一次方程 有______个解，以它的每一个解为坐标的点
都在一次函数___________的图象上。反过来，一次函数___________的
图象上的每一个点的坐标均适合二元一次方程 。
无数
返回
2.已知点在一次函数的图象上，则方程 的
一个解为( )
B
A. B. C. D.
返回
3.以二元一次方程 的解为坐标的点组成的图象画在坐标系
中可能是( )
C
A. B. C. D.
返回
知识点2 二元一次方组与一次函数的关系
4.如图，在平面直角坐标系中，直线 与直
线相交于点，则关于， 的二元一次方
程组 的解是( )
B
A. B.
C. D.
返回
5.在同一平面直角坐标系中，直线与 相交于点
，则关于，的方程组 的解为( )
C
A. B. C. D.
返回
6.小亮在用作函数图象的方法解二元一次方程组时，
在同一坐标系中作出如图所示的图象，他解的这个
方程组可能是( )
D
A. B.
C. D.
返回
7.直线和直线 的位置关系为______。由此可知，
方程组 的解的情况为______。
平行
无解
返回
二元一次方程与一次函数
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！