5.4.2 用二元一次方程组确定一次函数表达式 课件（共31张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.4.2 用二元一次方程组确定一次函数表达式
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解一次函数表达式\(y = kx + b\)（\(k 0\)）中参数\(k\)、\(b\)与二元一次方程组的关联，明确 “两点坐标→列方程组→求\(k\)、\(b\)” 的解题逻辑。
掌握用二元一次方程组确定一次函数表达式的核心步骤，能根据图象上两点坐标或实际问题中的两组对应值，求出函数表达式。
结合一次函数图象的交点，理解方程组的解与函数图象交点坐标的关系，提升数形结合与知识综合应用能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
一次函数的表达式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)），含两个未知参数\(k\)（斜率）和\(b\)（\(y\)轴截距），需两个独立条件可确定表达式。
二元一次方程组的解法：通过代入消元或加减消元，求解两个未知数的值，适用于含两个未知参数的问题。
一次函数与坐标的关系：若点\((x_0, y_0)\)在一次函数图象上，则\(y_0 = kx_0 + b\)（坐标满足函数表达式）。
情境导入：
问题 1：如图，一次函数的图象经过点\(A(1, 3)\)和\(B(2, 5)\)，如何求出该函数的表达式？若仅知道 “图象过\(A(1, 3)\)”，能否确定表达式？为什么？
问题 2：某快递公司的快递费\(y\)（元）与快递重量\(x\)（kg）成一次函数关系，已知寄 2kg 需 10 元，寄 5kg 需 19 元，如何通过列方程组求出快递费与重量的函数关系，进而计算寄 8kg 的费用？
提问引导：
已知一次函数图象上两个点的坐标，如何将其转化为二元一次方程组的问题？
若两个一次函数的图象相交，交点坐标与这两个函数对应的方程组的解有什么关系？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 用两点坐标列方程组求一次函数表达式
1. 方法原理
一次函数\(y = kx + b\)含两个未知参数\(k\)和\(b\)，若图象经过两点\(P(x_1, y_1)\)和\(Q(x_2, y_2)\)，则两点坐标必满足函数表达式，代入后可得到关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组：\(\begin{cases} y_1 = kx_1 + b \\ y_2 = kx_2 + b \end{cases}\)
解此方程组求出\(k\)和\(b\)，即可确定一次函数表达式。
2. 解题步骤（五步走）
设表达式：设一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
代坐标：将图象上两个点的坐标\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)分别代入表达式，列出二元一次方程组；
解方程组：用代入消元法或加减消元法，求解方程组得到\(k\)和\(b\)的值；
写表达式：将\(k\)和\(b\)的值代入\(y = kx + b\)，写出完整的函数表达式；
验结果：将两点坐标代入表达式验证，确保左右两边相等（可选，用于检查计算误差）。
3. 示例 1：已知两点坐标求表达式（基础场景）
问题：一次函数的图象经过点\((2, 5)\)和\((-1, -1)\)，求该函数的表达式。
解答步骤：
设表达式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
代坐标：将\((2, 5)\)和\((-1, -1)\)代入，得方程组：\(\begin{cases} 5 = 2k + b \\ -1 = -k + b \end{cases}\)；
解方程组：
用第一个方程减第二个方程消去\(b\)：\(5 - (-1) = (2k + b) - (-k + b)\)→\(6 = 3k\)→\(k = 2\)；
将\(k = 2\)代入\(-1 = -k + b\)：\(-1 = -2 + b\)→\(b = 1\)；
写表达式：\(y = 2x + 1\)；
验证：代入\((2, 5)\)，\(2 2 + 1 = 5\)（成立）；代入\((-1, -1)\)，\(2 (-1) + 1 = -1\)（成立）。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 结合实际问题求一次函数表达式
1. 问题特征
实际问题中，通常给出两组 “自变量 - 因变量” 的对应值（如 “重量 - 费用”“时间 - 距离”），需先将实际关系转化为坐标形式，再按 “列方程组” 的方法求表达式。
2. 示例 2：快递费与重量的函数关系（实际应用）
问题：某快递公司规定，快递费\(y\)（元）与快递重量\(x\)（kg）成一次函数关系，寄 2kg 快递需 10 元，寄 5kg 快递需 19 元。
（1）求\(y\)与\(x\)的函数表达式；
（2）若寄 8kg 快递，需支付多少元？
解答步骤：
（1）求函数表达式：
设表达式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
转化坐标：“2kg 需 10 元” 对应\((2, 10)\)，“5kg 需 19 元” 对应\((5, 19)\)；
列方程组：\(\begin{cases} 10 = 2k + b \\ 19 = 5k + b \end{cases}\)；
解方程组：
第二个方程减第一个方程：\(19 - 10 = 5k + b - (2k + b)\)→\(9 = 3k\)→\(k = 3\)；
代入\(10 = 2 3 + b\)→\(b = 4\)；
表达式：\(y = 3x + 4\)（\(x 0\)，重量非负）。
（2）计算 8kg 的费用：
代入\(x = 8\)，\(y = 3 8 + 4 = 28\)（元）；
答：寄 8kg 快递需支付 28 元。
3. 关键提醒
实际问题中，需注意自变量的取值范围（如重量、时间非负，人数为正整数），表达式需标注适用区间，确保符合实际意义。
幻灯片 6：核心知识点 3—— 两个一次函数图象交点与方程组的解
1. 关联原理
若两个一次函数\(y = k_1x + b_1\)和\(y = k_2x + b_2\)的图象相交于点\(P(x_0, y_0)\)，则点\(P\)的坐标同时满足两个函数表达式，即\(\begin{cases} y_0 = k_1x_0 + b_1 \\ y_0 = k_2x_0 + b_2 \end{cases}\)，因此\((x_0, y_0)\)是方程组\(\begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases}\)的解。
反之，若方程组\(\begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases}\)的解为\(\begin{cases} x = x_0 \\ y = y_0 \end{cases}\)，则点\((x_0, y_0)\)是两个一次函数图象的交点。
2. 示例 3：求两个函数图象的交点（综合应用）
问题：已知一次函数\(y_1 = 2x + 1\)和\(y_2 = -x + 4\)，求它们的图象交点坐标，并验证交点坐标是否为方程组\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}\)的解。
解答步骤：
求交点坐标：联立方程组\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}\)；
解方程组：令\(2x + 1 = -x + 4\)→\(3x = 3\)→\(x = 1\)；
代入\(y = 2x + 1\)→\(y = 3\)；
交点坐标：\((1, 3)\)；
验证：代入\(y_1 = 2x + 1\)，\(2 1 + 1 = 3\)（成立）；代入\(y_2 = -x + 4\)，\(-1 + 4 = 3\)（成立），故\((1, 3)\)是方程组的解。
幻灯片 7：典型例题 —— 复杂场景应用（含分段函数或隐含条件）
例 4：如图，一次函数的图象分为两段：第一段过点\(A(0, 8)\)和\(B(2, 4)\)（表示注水过程，水位高度\(y\)与时间\(x\)的关系），第二段过点\(B(2, 4)\)和\(C(5, 4)\)（表示停水过程，水位不变）。
（1）求第一段注水过程的函数表达式；
（2）若第三段为放水过程（水位下降），过点\(C(5, 4)\)且 3 小时后水位降至 0，求放水过程的函数表达式。
解答步骤：
（1）求注水过程表达式：
设表达式：\(y = k_1x + b_1\)（\(k_1 0\)）；
代坐标：\(A(0, 8)\)、\(B(2, 4)\)→\(\begin{cases} 8 = b_1 \\ 4 = 2k_1 + b_1 \end{cases}\)；
解方程组：\(b_1 = 8\)，代入\(4 = 2k_1 + 8\)→\(k_1 = -2\)；
表达式：\(y = -2x + 8\)（\(0 ¤x ¤2\)）。
（2）求放水过程表达式：
设表达式：\(y = k_2x + b_2\)（\(k_2 0\)）；
找坐标：“过点\(C(5, 4)\)”“3 小时后（\(x=5+3=8\)）水位 0”→点\(D(8, 0)\)；
列方程组：\(\begin{cases} 4 = 5k_2 + b_2 \\ 0 = 8k_2 + b_2 \end{cases}\)；
解方程组：第二个方程减第一个方程→\(-4 = 3k_2\)→\(k_2 = -\frac{4}{3}\)；
代入\(0 = 8 (-\frac{4}{3}) + b_2\)→\(b_2 = \frac{32}{3}\)；
表达式：\(y = -\frac{4}{3}x + \frac{32}{3}\)（\(5 ¤x ¤8\)）。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
一次函数的图象经过点\((-3, -5)\)和\((2, 5)\)，求该函数的表达式。
某手机套餐的月费\(y\)（元）与通话时间\(x\)（分钟）成一次函数关系，通话 100 分钟需 28 元，通话 200 分钟需 48 元，求\(y\)与\(x\)的函数表达式，并计算通话 150 分钟的月费。
提升题
已知一次函数\(y = kx + b\)的图象平行于直线\(y = -3x + 2\)（提示：平行直线\(k\)相等），且过点\((1, -2)\)，求该函数的表达式，并求出它与\(y = 2x + 1\)的图象交点坐标。
一次函数的图象过点\((m, 3)\)和\((2, n)\)，且表达式为\(y = 4x - 5\)，求\(m\)和\(n\)的值。
拓展题
某商店销售某种商品，每件成本为 30 元，销售价\(x\)（元）与日销量\(y\)（件）成一次函数关系，当\(x=40\)时，\(y=300\)；当\(x=50\)时，\(y=200\)。
（1）求\(y\)与\(x\)的函数表达式；
（2）若日利润\(W = (x - 30)y\)，求当\(x=45\)时的日利润（利润 = 单件利润 × 销量）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
代入坐标时顺序颠倒，导致方程组列错：
错误案例：将点\((2, 5)\)代入\(y = kx + b\)时，错写为\(2 = 5k + b\)（正确应为\(5 = 2k + b\)，横坐标对应\(x\)，纵坐标对应\(y\)）。
规避方法：代入坐标前，明确 “点\((x_0, y_0)\)中\(x_0\)是自变量，\(y_0\)是函数值”，严格按 “\(y_0 = kx_0 + b\)” 的格式代入，避免\(x\)和\(y\)颠倒。
解方程组时计算失误，或漏写自变量取值范围：
错误案例：解方程组\(\begin{cases} 10 = 2k + b \\ 19 = 5k + b \end{cases}\)时，错算得\(k = 2\)，\(b = 6\)（正确应为\(k=3\)，\(b=4\)）；或求出表达式后，未标注\(x 0\)（重量非负）。
规避方法：解方程组后，将\(k\)和\(b\)代入原方程组验证，确保等式成立；实际问题中，根据变量的实际意义（如时间、重量、人数），标注自变量的取值范围。
混淆 “两个函数交点” 与 “单个函数与坐标轴交点”：
错误案例：求一次函数与\(x\)轴交点时，联立两个函数的方程组（正确应为令\(y=0\)，解一元一次方程 (kx + b =
2024北师大版数学八年级上册
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5.4.2用二元一次方程组确定一次函数表达式
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
回顾与思考
1.二元一次方程组与一次函数有何联系
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解．
2.二元一次方程组有哪些解法？
消元法
图象法
是一种代数方法
议一议：A，B 两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到 A 地的距离 s(千米)都是骑车时间 t (时)的一次函数.1 小时后乙距 A 地 80 千米；2 小时后甲距 A 地30 千米. 问：经过多长时间两人相遇 说出你的方法，并与同学们交流.
1 小时后
2 小时后甲距A地 30 千米
乙距 A 地 80 千米
甲
A
乙
B
用二元一次方程组确定一次函数表达式
图象表示
(A)
0
4
1
2
3
t/时
s/千米
120
100
80
60
40
20
(B)
可以分别作出两人 s 与 t 之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了.
小明
乙
甲
小颖
对于乙，s 是 t 的一次函数，可设 s = kt+b.
当t = 0时，s = 100；当t = 1时 s = 80.
将它们分别代入 s = kt+b 中，
可以求出 k，b 的值，
即可以求出乙 中 s 与 t 之间的函数表达式.
你能求出甲的表达式吗？
1 时后乙距 A 地 80 千米，即乙的速度是 20 千米/时
2 时后甲距 A 地 30千米，故甲的速度是 15 千米/时
设同时出发后 t 小时相遇，则15t + 20t = 100
交流学习
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
典例精析
例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费 y（元）是行李质量 x（kg）的一次函数．已知小明带了 60 kg 的行李，交了行李费 5 元；小华带了 90 kg 的行李，交了行李费 10 元．
（1）写出 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设此一次函数表达式为：y = kx + b（k ≠ 0) . 根据题意，可得方程组
解得
（2）当 x = 30 时，y = 0.
所以旅客最多可免费携带 30 千克的行李．
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y = kx + b.
2.将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得 k，b.
4.进而求出一次函数的表达式.
总结归纳
解方程组得
b = -1.
例2 已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），
求这个一次函数的表达式．
解：设这个一次函数的表达式为 y = kx + b.
3k + b = 5，
-4k + b = -9，
∴这个一次函数的表达式为
把点（3，5）与（-4，-9）分别代入，得：
k = 2，
y = 2x - 1.
1.已知一个正比例函数的图象经过点(－2，4)，则这个正比例函数的表达式是 ________.
2.已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点(－1，2)，则
k =______.
3.已知函数 y = 2x + b 的图像经过点(a，7)和(－2，a)，则这个函数的表达式为____________.
y = －2x
3
y = 2x + 5
练一练
例3 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求此一次函数的表达式.
解：设一次函数的表达式为 y = kx + b (k ≠ 0)
∵一次函数 y = kx + b 的图象过点（0，2），
∴b = 2
∵一次函数的图象与 x 轴的交点是( ，0)，
则
解得 k = 1或 -1.
故此一次函数的表达式为y = x + 2 或 y = -x + 2.
1. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空:
　(1)b =______，k =______；
(2)当 x = 30 时，y =______；
(3)当 y = 30 时，x =______.
2
-18
-42
l
2.判断三点 A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
解：设过 A，B 两点的直线的表达式为
y = kx + b，由题意可知，
∴过 A，B 两点的直线的表达式为 y = x - 2．
∵当 x = 4 时，y = 4 - 2 = 2．
∴点 C（4，2）在直线 y = x - 2上．
∴三点 A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）
在同一条直线上．
∴
2
5
10
50
70
x
y
甲
乙
O
(m)
(h)
3.甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队
所修水渠总长度相等．右图是两队所修
水渠长度 y (m)与修筑时间 x (h)的函数图
象的一部分．请根据图中信息，解答
下列问题：
(1)直接写出甲队在 0≤x≤5 的时间段内，
y 与 x 之间的函数关系式 ；
(2)直接写出乙队在 2≤x≤5 的时间段内，y 与 x 之间的函数关系式 .
y = 10x
y = 20x - 30
4.温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是 100℃，用华氏温度度量为 212℉；水的冰点温度是 0℃，用华氏温度度量为 32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
解：用 C，F 分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设 C = kF + b，
由已知条件，得
212k + b =100，
32k + b = 0 .
｛
解这个方程组，得
因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为
5.在某个范围内,某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数,若购买1000kg,单价为800元;若购买2000kg,单价为700元.若一客户购买400kg,单价是多少
解:设购买量 y 与单价 x 的函数表达式为 y = kx + b，
∵当 x = 1000 时 y = 800；当 x = 2000 时 y = 700，
∴
800k + b = 1000
700k + b = 2000
｛
解得:
b = 9000
因此，购买量 y 与单价 x 的函数表达式为 y = -10x + 9000
当 y = 400 时，-10x + 9000 = 400，
∴ x = 860.
答:当客户购买 400 kg，单价是 860 元.
｛
知识点1 用待定系数法确定一次函数表达式
1.［教材尝试·思考变式］ 已知一次函数 的图象经过点
， ，则该一次函数的表达式为( )
A
A. B. C. D.
返回
2.已知是的一次函数，下表中列出了与的部分对应值，则 ___。
… 0 3 …
… 5 …
2
返回
3.［2025岳阳月考］如图，直线与
轴交于点，点关于轴的对称点为 ，经过
点和轴上的点 的直线对应的函数表
达式设为 。
（1）求点 的坐标；
解：对于，令，则，所以 ，所以
。因为点关于轴的对称点为，所以 。
（2）确定直线 对应的函数表达式。
解：因为直线对应的函数表达式为，且，，
所以解得
所以直线对应的函数表达式为 。
返回
知识点2 借助一次函数表达式解决实际问题
4.某公司销售部营销人员的个人收入 （元）与
其每月的销售量 （万件）成一次函数关系，其
图象如图，营销人员没有销售量时的个人收入是
( )
B
A.1 000元 B.2 000元 C.3 000元 D.4 000元
返回
5. 物理实验技能考核前，小亮对“探究凸透镜成像规律”
的实验进行了反复练习，在练习的过程中，他发现“蜡烛在燃烧过程中，
其剩余高度与燃烧时间 之间成一次函数关系”，已知蜡烛
燃烧后，蜡烛剩余高度为；蜡烛燃烧 后，蜡烛剩余
高度为。若蜡烛燃烧一段时间后还剩 ，则蜡烛燃烧了____
。
50
返回
6.［2025长沙月考］某水果商店推出的一款水果拼盘套餐受到广大消费
者的喜爱，每天销售量（盒）与销售单价 （元/盒）之间存在一次函
数关系（如表所示）。已知水果拼盘套餐的成本为30元/盒。
销售单价 （元/盒） 40 50 60
销售量 盒 220 200 180
（1）求出与 的函数关系式；
解：设与的函数关系式为 ，
由题意得
解得
所以与的函数关系式为 。
（2）当销售单价为65元/盒时，求当天的销售利润。（销售利润 销售
额-成本）
解：因为，所以当 时，
，
所以 （元）。
答：当销售单价为65元/盒时，当天的销售利润为5 950元。
返回
利用二元一次方程确定一次函数表达式
用含字母的系数设出一次函数的表达式：
y = kx + b
将已知条件代入上述表达式中得关于 k，b的二元一次方程组
解这个二元一次方程组得 k，b
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！