5.5 三元一次方程组 课件（共32张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：5.5 三元一次方程组
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解三元一次方程、三元一次方程组的定义，能判断一个方程或方程组是否为三元一次方程（组）。
掌握三元一次方程组的核心解法 ——“消元降次法”，能通过代入或加减消元，将三元方程组逐步转化为二元方程组、一元方程求解。
能结合实际问题（如配比、分配问题）列出三元一次方程组，完整求解并验证解的实际意义，提升多元方程的数学建模能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
二元一次方程组：含两个相同未知数的两个二元一次方程组成，解法核心是 “消元”（代入或加减消元，转化为一元方程）。
消元思想：“多元→二元→一元”，通过减少未知数个数，将未知问题转化为已知问题。
情境导入：
情境 1：某水果店购进苹果、香蕉、橙子三种水果共 100kg，总花费 1200 元。已知苹果单价 10 元 /kg，香蕉单价 15 元 /kg，橙子单价 8 元 /kg，且香蕉的重量比苹果多 10kg，如何求三种水果各购进多少千克？
思考：设苹果购进\(x\)kg，香蕉\(y\)kg，橙子\(z\)kg，根据 “总重量”“总花费”“重量关系” 可列出三个方程：\(x + y + z = 100\)、\(10x + 15y + 8z = 1200\)、\(y - x = 10\)，这三个方程组成的就是三元一次方程组。
提问引导：
三元一次方程组与二元一次方程组的区别是什么？定义中需要满足哪些条件？
如何将三元一次方程组中的一个未知数消去，转化为我们熟悉的二元一次方程组？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 三元一次方程与方程组的定义
1. 三元一次方程的定义
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。
一般形式：\(ax + by + cz = d\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)是常数，且\(a\)、\(b\)、\(c\)不同时为 0，确保方程含三个未知数）。
定义关键词解析：
三个未知数：方程中必须含三个不同的未知数（如\(x\)、\(y\)、\(z\)），不能少于三个（如\(2x + y = 5\)是二元一次方程）；
次数都是 1：每个未知数的次数均为 1，且未知数不能在分母、根号或乘积项中（如\(xy + z = 3\)（\(xy\)项次数为 2）、\(\frac{1}{x} + y + z = 4\)（\(x\)在分母）均不是三元一次方程）；
整式方程：分母不含未知数，根号内不含未知数（如\(\sqrt{x} + y + z = 5\)不是整式方程，故非三元一次方程）。
2. 三元一次方程组的定义
把具有相同未知数的三个三元一次方程合在一起，就组成了一个三元一次方程组。
一般形式：\(\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\)（其中每个方程都是三元一次方程，且含相同的三个未知数\(x\)、\(y\)、\(z\)）。
特殊情况：方程组中可含二元一次方程（甚至一元一次方程），但需保证整体含三个未知数（如\(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + y = 4 \\ z = 2 \end{cases}\)，仍视为三元一次方程组）。
3. 定义判断示例
例 1：判断下列方程或方程组是否为三元一次方程（组）：
（1）\(2x + 3y - z = 5\)：是三元一次方程（三个未知数，次数 1，整式方程）；
（2）\(x^2 + y + z = 4\)：不是，\(x\)的次数为 2，不符合 “次数都是 1”；
（3）\(\begin{cases} x + y + z = 10 \\ 2x - y = 5 \\ 3y + 2z = 12 \end{cases}\)：是三元一次方程组（含相同未知数\(x\)、\(y\)、\(z\)，三个方程均为三元或二元一次方程，整体含三个未知数）；
（4）\(\begin{cases} x + y + z = 7 \\ x + 2y = 3 \\ u + z = 4 \end{cases}\)：不是，未知数不同（含\(x\)、\(y\)、\(z\)、\(u\)四个未知数）。
4. 三元一次方程的解
使三元一次方程左右两边的值相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解，通常表示为\(\begin{cases} x = a \\ y = b \\ z = c \end{cases}\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数）。
特征：三元一次方程有无数组解（给定其中两个未知数的取值，可求出第三个未知数的对应值）；三元一次方程组的解是三个方程的公共解，一般情况下有唯一一组解（特殊情况：无解或无数组解）。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 三元一次方程组的解法（消元降次法）
1. 核心思路：“三元→二元→一元”
类比二元一次方程组的消元思想，通过 “代入消元” 或 “加减消元”，先消去三元方程组中的一个未知数，转化为二元一次方程组；再解二元一次方程组，得到两个未知数的值；最后将这两个值代入原方程组，求出第三个未知数的值。
2. 常用方法：加减消元法（优先选择，减少分数运算）
选择消去的未知数：优先消去系数绝对值较小、或某两个方程中系数成倍数 / 互为相反数的未知数（简化计算）。
解题步骤（以方程组\(\begin{cases} x + y + z = 6 \quad \\ 2x - y + 3z = 13 \quad \\ x + 2y - z = 2 \quad \end{cases}\)为例）：
第一步：消去一个未知数（如消去\(y\)），转化为二元一次方程组
步骤 1.1：用①+②消去\(y\)：
① + ②：\((x + y + z) + (2x - y + 3z) = 6 + 13\)
化简：\(3x + 4z = 19\) ④（二元一次方程，含\(x\)、\(z\)）。
步骤 1.2：用①×2 - ③消去\(y\)：
①×2：\(2x + 2y + 2z = 12\) ⑤
⑤ - ③：\((2x + 2y + 2z) - (x + 2y - z) = 12 - 2\)
化简：\(x + 3z = 10\) ⑥（二元一次方程，含\(x\)、\(z\)）。
得到二元一次方程组：\(\begin{cases} 3x + 4z = 19 \quad \\ x + 3z = 10 \quad \end{cases}\)
第二步：解二元一次方程组，求\(x\)、\(z\)的值
用 “代入消元法” 解方程组：
由⑥得：\(x = 10 - 3z\) ⑦
将⑦代入④：\(3(10 - 3z) + 4z = 19\)
化简：\(30 - 9z + 4z = 19\)→\(-5z = -11\)→\(z = \frac{11}{5} = 2.2\)？
（修正数据：将原方程组②改为\(2x - y + 3z = 14\)，重新计算：
①+②得\(3x + 4z = 20\) ④；①×2-③得\(x + 3z = 10\) ⑥；
代入⑦得\(3(10 - 3z) + 4z = 20\)→\(30 - 5z = 20\)→\(z = 2\)；
代入⑦得\(x = 10 - 3 2 = 4\)）。
第三步：代入原方程组，求第三个未知数\(y\)的值
将\(x = 4\)、\(z = 2\)代入①（最简单的方程）：\(4 + y + 2 = 6\)→\(y = 0\)。
第四步：验证与写解
验证：将\(x = 4\)、\(y = 0\)、\(z = 2\)代入原方程组：
①左边\(4 + 0 + 2 = 6\)（成立）；②左边\(2 4 - 0 + 3 2 = 14\)（成立）；③左边\(4 + 0 - 2 = 2\)（成立）；
方程组的解：\(\begin{cases} x = 4 \\ y = 0 \\ z = 2 \end{cases}\)。
3. 代入消元法的应用（适用于某方程中某未知数系数为 1 或 - 1）
示例：解方程组\(\begin{cases} x = y + 1 \quad \\ y = z + 2 \quad \\ x + y + z = 18 \quad \end{cases}\)
步骤：
由①得\(x = y + 1\)，由②得\(z = y - 2\)（用\(y\)表示\(x\)、\(z\)）；
代入③：\((y + 1) + y + (y - 2) = 18\)；
解一元一次方程：\(3y - 1 = 18\)→\(3y = 19\)？修正数据：③改为\(x + y + z = 16\)，则\(3y - 1 = 16\)→\(y = \frac{17}{3}\)？再修正：②改为\(y = z + 1\)，则\(z = y - 1\)，代入③得\(3y = 18\)→\(y = 6\)，\(x = 7\)，\(z = 5\)；
解为\(\begin{cases} x = 7 \\ y = 6 \\ z = 5 \end{cases}\)。
幻灯片 6：典型例题 1—— 纯数学方程组求解
例 1：解三元一次方程组\(\begin{cases} 2x + y - z = 3 \quad \\ 3x - y + 2z = -1 \quad \\ x + 2y - z = 4 \quad \end{cases}\)
解答步骤：
消去\(y\)（系数分别为 1、-1、2，优先用①+②消元）：
① + ②：\(5x + z = 2\) ④；
②×2 + ③：\(6x - 2y + 4z + x + 2y - z = -2 + 4\)→\(7x + 3z = 2\) ⑤；
解二元方程组\(\begin{cases} 5x + z = 2 \quad \\ 7x + 3z = 2 \quad ¤ \end{cases}\)：
④×3 - ⑤：\(15x + 3z - 7x - 3z = 6 - 2\)→\(8x = 4\)→\(x = 0.5\)；
代入④：\(5 0.5 + z = 2\)→\(z = -0.5\)；
求\(y\)：代入①：\(2 0.5 + y - (-0.5) = 3\)→\(1 + y + 0.5 = 3\)→\(y = 1.5\)；
解：\(\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = \frac{3}{2} \\ z = -\frac{1}{2} \end{cases}\)（验证成立）。
幻灯片 7：典型例题 2—— 实际问题（列三元方程组求解）
例 2：某车间生产甲、乙、丙三种零件，已知生产 3 个甲零件、2 个乙零件、1 个丙零件共需 11 小时；生产 1 个甲零件、3 个乙零件、2 个丙零件共需 10 小时；生产 2 个甲零件、1 个乙零件、3 个丙零件共需 9 小时，求生产 1 个甲、乙、丙零件各需多少小时？
解答步骤：
设未知数：设生产 1 个甲零件需\(x\)小时，1 个乙零件需\(y\)小时，1 个丙零件需\(z\)小时；
列方程组：\(\begin{cases} 3x + 2y + z = 11 \quad \\ x + 3y + 2z = 10 \quad \\ 2x + y + 3z = 9 \quad \end{cases}\)；
消元求解：
①+②+③：\(6x + 6y + 6z = 30\)→\(x + y + z = 5\) ④（整体消元，简化计算）；
① - ④：\(2x + y = 6\) ⑤；
② - ④：\(2y + z = 5\) ⑥；
③ - ④：\(x + 2z = 4\) ⑦；
解⑤、⑥、⑦组成的方程组：由⑤得\(y = 6 - 2x\)，代入⑥得\(2(6 - 2x) + z = 5\)→\(z = 4x - 7\)，代入⑦得\(x + 2(4x - 7) = 4\)→\(9x = 18\)→\(x = 2\)；
回代得\(y = 6 - 4 = 2\)，\(z = 8 - 7 = 1\)；
验证与作答：生产 1 个甲需 2 小时，乙需 2 小时，丙需 1 小时（代入①：\(6 + 4 + 1 = 11\)，符合）。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题（纯数学求解）
解下列三元一次方程组：
（1）(\begin {cases} x + y = 5 \ y + z = 7 \ x + z = 6
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
5.5三元一次方程组
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
思考：若含有 3 个未知数的方程组如何求解？
问题引入
三个小动物年龄之和为 26 岁
流氓兔比加菲猫大 1 岁
流氓兔年龄的 2 倍加上米老鼠的年龄之和比加菲猫大 18 岁
求
三
个
小
动
物
的年
龄
三元一次方程（组）的概念
互动探究
问题1：题中有未知量？你能找出哪些等量关系？
未知量：
流氓兔的年龄
加菲猫的年龄
米老鼠的年龄
每一个未知量都用一个字母表示
x 岁
y 岁
z 岁
三个未知数（元）
等量关系：
(1)流氓兔的年龄 + 加菲猫的年龄 + 米老鼠的年龄 = 26
(2)流氓兔的年龄 - 1 = 加菲猫的年龄
(3) 2×流氓兔的年龄 + 米老鼠的年龄 = 加菲猫的年龄 + 18
用方程表示等量关系.
x + y + z = 26
①
x - 1 = y
②
2x + z = y + 18
③
问题2：观察列出的三个方程，你有什么发现？
x + y + z = 26
①
x - 1 = y
②
2x + z = y + 18
③
二元一次方程
三元一次方程
含两个未知数
未知数的次数都是 1
含三个未知数
未知数的次数都是 1
因三个小动物的年龄必须同时满足上述三个方程，故将三个方程联立在一起.
x + y + z = 26，
①
x - 1 = y，
②
2x + z = y + 18.
③
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是 ( )
A.
B.
C.
D.
D
[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
三元一次方程组的解
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
典例精析
例1 解方程组
解：由方程②得 x = y + 1. ④
把④分别代入①③得
2y + z = 22. ⑤
3y - z = 18. ⑥
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得 y = 8，z = 6.
把 y = 8 代入④，得 x = 9.
所以原方程的解是
x = 9，
y = 8，
z = 6.
①
②
③
类似二元一次方程组的“消元”，把“三元”化成“二元”.
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
例2 在等式 y = ax2＋bx＋c 中，当 x = －1 时，y = 0；当 x = 2 时，y = 3；当 x = 5 时；y = 60. 求 a，b，c 的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c = 0， ①
4a＋2b＋c = 3， ②
25a＋5b＋c = 60. ③
②－①， 得 a＋b = 1. ④
③－①， 得 4a＋b = 10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b = 1，
4a＋b = 10.
a = 3，
b = -2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a = 3，
b = -2
c = -5.
a = 3，
b = -2，
c = -5.
因此
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含 A、B、C 三种食物，下表给出的是每份(50g)食物 A、B、C 分别所含的铁、钙和维生素的量(单位).
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
三元一次方程组的应用
分析：（1）如果设食谱中 A、B、C 三种食物各有 x、y、z 份，请列出方程组，使得 A、B、C 三种食物中所含的营养量刚好满足婴儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A、B、C 的份数.
解：(1)设食谱中 A，B，C 三种食物各 x，y，z 份，由该食谱中包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素，得方程组
③
①
②
(2) - ×4， - ,得
⑤

④
⑤+④，得
⑥

④
通过回代，得 z = 2，y = 1，x = 2.
答：该食谱中包含 A 种食物 2 份，B 中食物 1 份，C 种食物 2 份.
1.解方程组 ，则 x＝_____，
y＝______，z＝_______.
x＋y－z ＝ 11，
y＋z－x ＝ 5，
z＋x－y ＝ 1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① + ②求出 y， ②+③求出 z，最后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可.
6
8
3
2.若 x＋2y＋3z ＝ 10，4x＋3y＋2z ＝ 15，则 x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x + 5y + 5z = 25，所以 x + y + z = 5.
D
3.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b| ＝ 0，求a，b，
c 的值．
解：因为三个非负式的和等于 0，所以每个非负式都为 0.
可得方程组 解得
4.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大 495，求原三位数．
解： 设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是 368.
知识点1 三元一次方程（组）的有关概念
1.下列方程中，三元一次方程共有( )
；；； 。
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
知识点2 三元一次方程组的解法
3.解方程组 时，第一次消去未知数的最佳方法是
( )
C
A.加减法消去，即，
B.加减法消去，即，
C.加减法消去，即，
D.代入法消去，， 中的任何一个
返回
4.［教材随堂练习 变式］解方程组：
解：
由，可得 ，④
由，可得 ，⑤
由，可得，解得 ，
将代入④，可得 ，
解得，将， 代入②，
可得，解得，所以该方程组的解为
返回
知识点3 三元一次方程组的简单应用
5.林芳、向民、艳君三名同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支
笔，2本笔记本，10本作文本，共用了19元。”向民说：“我买了2支笔，
3本笔记本，10本练习本，共用了20元。”艳君说：“我买了12本练习本，
8本作文本，共用了10元；作文本与练习本的价格是一样的。”请根据以
上内容，求出笔记本、笔、练习本的价格。
解：设笔记本每本元，笔每支元，练习本或作文本每本 元。
由题意得
解得
答：笔记本每本4元，笔每支1.5元，练习本每本0.5元。
返回
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！