6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数 课件（共37张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数 课件（共37张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-03 00:00:00 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：6.1.1 平均数与方差 —— 众数与算术平均数
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解众数和算术平均数的定义，明确两者在描述数据特征中的不同作用（众数反映 “出现频率最高的数据”，算术平均数反映 “数据平均水平”）。
掌握众数的寻找方法和算术平均数的计算公式，能根据不同类型的数据（未分组、简单分组）准确计算或找出这两个统计量。
能结合实际问题，选择合适的统计量（众数或算术平均数）分析数据，体会两者的适用场景差异，提升数据分析能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
统计量的作用：描述一组数据的整体特征，帮助我们从数据中提取有用信息（如判断数据的集中趋势）。
生活中的统计需求：超市进货时需知道 “最畅销商品”（频率最高），计算班级考试 “平均成绩”（整体水平），这分别对应两种不同的统计量。
情境导入：
情境 1：某服装店一周内销售 T 恤的尺码如下（单位：码）：38，39，40，40，41，40，42，40，39，40。店主想知道哪种尺码最畅销，以便多进货，该关注哪个数据？
情境 2：八年级（1）班 5 名同学的数学测试成绩（单位：分）：85，90，95，80，90。老师想了解这 5 名同学的平均成绩，该如何计算？
提问引导：
情境 1 中 “最畅销尺码” 是出现次数最多的数据，这类数据在统计学中叫什么？如何快速找到它？
情境 2 中 “平均成绩” 是将所有数据求和后除以数据个数，这种计算方式得到的结果叫什么？它能反映数据的什么特征？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 众数的定义与寻找方法
1. 众数的定义
一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
关键特征：
众数是数据集中 “最集中” 的数值，反映数据的 “高频趋势”（如畅销商品尺码、最常见的身高）；
众数与数据的单位一致（如尺码为 “码”，众数单位也是 “码”；成绩为 “分”，众数单位也是 “分”）；
众数可能不止一个：若有多个数据出现的次数相同且均为最多，则这些数据都是众数（如数据 “2，2，3，3，4”，众数为 2 和 3）；
众数可能不存在：若所有数据出现的次数都相同，则这组数据没有众数（如数据 “1，2，3，4，5”，每个数据都只出现 1 次，无众数）。
2. 众数的寻找方法（三步法）
整理数据：将数据按顺序排列（或列表统计），方便观察每个数据的出现次数；
统计次数：逐一记录每个数据出现的次数（可借助 “频数统计表”，如对尺码数据统计 “38 出现 1 次，39 出现 2 次……”）；
确定众数：找出出现次数最多的数据，即为众数（若有多个数据次数相同且最多，则均为众数）。
3. 示例：寻找不同数据的众数
示例 1：未分组数据（情境 1 的 T 恤尺码）：38，39，40，40，41，40，42，40，39，40。
步骤 1：排序后：38，39，39，40，40，40，40，40，41，42；
步骤 2：统计次数：38（1 次），39（2 次），40（5 次），41（1 次），42（1 次）；
步骤 3：40 出现次数最多（5 次），故众数为 40 码。
示例 2：分组数据（某班同学身高频数表）：
身高范围（cm）
150-155
155-160
160-165
165-170
频数（人数）
5
12
18
5
分析：“160-165cm” 组的频数最多（18 人），在分组数据中，通常以 “频数最多的组” 为 “众数组”（若需具体数值，可结合组中值估算，初中阶段一般只需确定众数组）。
示例 3：多众数与无众数情况：
数据 “5，6，6，7，7，8”：6 和 7 均出现 2 次（最多），故众数为 6 和 7；
数据 “10，20，30，40”：每个数据均出现 1 次，无众数。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 算术平均数的定义与计算
1. 算术平均数的定义
一组数据的总和除以这组数据的个数，所得的结果叫做这组数据的算术平均数（简称 “平均数”），通常用符号\(\bar{x}\)（读作 “x 拔”）表示。
关键特征：
算术平均数反映数据的 “平均水平”，是数据集中趋势的核心统计量（如平均成绩、平均工资）；
算术平均数与数据的单位一致（如成绩为 “分”，平均数单位也是 “分”）；
算术平均数是唯一的：一组数据只要确定，其算术平均数就只有一个；
算术平均数易受极端值影响：若数据中存在特别大或特别小的数，会明显拉低或抬高平均数（如数据 “1，2，3，4，100”，平均数为 22，受极端值 100 影响较大）。
2. 算术平均数的计算公式
基本公式：对于一组数据\(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\)（\(n\)为数据个数），算术平均数为：\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}\)
（即 “总和 ÷ 个数”）。
加权算术平均数（拓展，适用于重复数据）：
若数据中存在重复出现的情况（如某数据出现\(f_1\)次，另一数据出现\(f_2\)次……），可先统计每个数据的 “频数”\(f_i\)，再用 “数据 × 频数” 的总和除以总频数（即数据总个数），公式为：\(\bar{x} = \frac{x_1f_1 + x_2f_2 + \dots + x_kf_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k}\)
（其中\(k\)为不同数据的个数，\(f_1 + f_2 + \dots + f_k = n\)）。
3. 示例：计算算术平均数
示例 1：基本计算（情境 2 的考试成绩）：85，90，95，80，90。
步骤 1：计算总和：\(85 + 90 + 95 + 80 + 90 = 440\)；
步骤 2：确定个数：\(n = 5\)；
步骤 3：计算平均数：\(\bar{x} = \frac{440}{5} = 88\)（分），故平均成绩为 88 分。
示例 2：加权计算（T 恤尺码数据）：38（1 次），39（2 次），40（5 次），41（1 次），42（1 次）。
步骤 1：计算 “数据 × 频数” 总和：\(38 1 + 39 2 + 40 5 + 41 1 + 42 1 = 38 + 78 + 200 + 41 + 42 = 400\)；
步骤 2：总频数（总个数）：\(1 + 2 + 5 + 1 + 1 = 10\)；
步骤 3：加权平均数：\(\bar{x} = \frac{400}{10} = 40\)（码），与众数一致（此为特殊情况，通常两者不同）。
示例 3：含极端值的情况：数据 “1，2，3，4，100”。
平均数：\(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 100}{5} = 22\)，明显高于前 4 个数据，体现极端值对平均数的影响。
幻灯片 6：核心知识点 3—— 众数与算术平均数的对比与应用场景
1. 两者的核心差异
对比维度
众数
算术平均数
计算方式
无需计算，统计数据出现次数即可
需计算所有数据的总和，再除以个数
反映特征
数据的 “高频趋势”（最集中出现的数值）
数据的 “平均水平”（整体均衡情况）
受极端值影响
不受极端值影响（如数据 “1，2，2，100”，众数仍为 2）
受极端值影响大（如上述数据平均数为 26.25，被 100 拉高）
结果唯一性
可能多个或不存在
唯一确定
适用数据类型
分类数据、顺序数据、数值数据均可
主要适用于数值数据（可进行加减运算）
2. 适用场景选择
优先选众数的场景：
需了解 “最受欢迎”“最畅销”“最常见” 的数据（如超市进货选畅销商品、服装店进热门尺码）；
数据中存在极端值，且无需关注平均水平（如某公司员工工资：大部分人 3000 元，少数高管 10000 元，关注 “大多数人工资” 选众数 3000 元）；
数据为非数值类型（如投票结果 “甲、甲、乙、甲、丙”，众数为甲，无法计算平均数）。
优先选算术平均数的场景：
需了解数据的 “整体平均水平”（如班级平均成绩、家庭平均收入、产品平均使用寿命）；
数据无极端值，或需反映极端值对整体的影响（如计算公司平均利润，需考虑高额盈利或亏损的情况）；
后续需进行进一步统计分析（如计算方差、标准差，需以平均数为基础）。
3. 实例：场景选择与分析
实例 1：某鞋店要确定下月进货的鞋码，收集了上月销售数据（码数：37，38，38，39，39，39，40，40）。
分析：需选畅销码数，众数为 39（出现 3 次），故优先进 39 码的鞋；若计算平均数为 38.5，无实际意义（鞋码为整数，且无需平均水平）。
实例 2：某班 10 名同学的英语成绩：75，80，85，85，85，90，90，95，95，100。
分析：若想了解整体成绩水平，计算平均数\(\bar{x} = \frac{75+80+85 3+90 2+95 2+100}{10} = 88\)（分）；若想了解最常见的成绩，众数为 85（出现 3 次），可反映大部分同学的成绩集中在 85 分。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：众数与算术平均数的计算与分析
问题：某小组 6 名同学的体重（单位：kg）数据如下：45，48，48，50，52，60。
（1）找出这组数据的众数；
（2）计算这组数据的算术平均数；
（3）若加入一名新同学的体重 50kg，新数据的众数和平均数会发生什么变化？
解答：
（1）找众数：数据中 48 出现 2 次（次数最多），其他数据各出现 1 次，故众数为 48kg；
（2）算平均数：总和\(45 + 48 + 48 + 50 + 52 + 60 = 303\)，个数\(n=6\)，平均数\(\bar{x} = \frac{303}{6} = 50.5\)kg；
（3）加入新数据后的变化：
新数据：45，48，48，50，50，52，60；
新众数：48 和 50（均出现 2 次，次数最多），众数从 1 个变为 2 个；
新平均数：总和\(303 + 50 = 353\)，个数\(n=7\)，平均数\(\bar{x} = \frac{353}{7} 50.43\)kg，略有下降（因新数据 50 小于原平均数 50.5）。
例题 2：结合实际场景选择统计量
问题：某公司招聘员工，公布的工资待遇如下（单位：元 / 月）：
岗位：普通员工（5 人），工资 3000；主管（2 人），工资 5000；经理（1 人），工资 10000。
（1）计算该公司所有员工工资的众数和算术平均数；
（2）若你是求职者，更关注哪个统计量？为什么？
解答：
（1）众数：普通员工工资 3000 元出现 5 次（最多），故众数为 3000 元；
平均数：总和\(3000 5 + 5000 2 + 10000 1 = 15000 + 10000 + 10000 = 35000\)，总人数\(5+2+1=8\)，平均数\(\bar{x} = \frac{35000}{8} = 4375\)元；
（2）关注众数 3000 元：因普通员工岗位占比最高（5/8），求职者大概率应聘普通员工，众数更能反映实际能拿到的工资；平均数 4375 元因经理的高工资被拉高，不能真实反映普通岗位的工资水平。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
找出下列各组数据的众数：
（1）2，3，3，4，5，3，6；
（2）10，15，12，10，18，15，10，15；
（3）7，8，9，10，11。
计算下列各组数据的算术平均数：
（1）5，7，9，11，13；
（2）80，85，90，95，100（5 名同学成绩）；
（3）12，12，13，14，14，14（6 个数据，用加权平均数计算）。
提升题
某商场 7 天的营业额（单位：万元）如下：2.5，3.2，2.8，3.2，2.5，3.5，3.2。
（1）求这组数据的众数和平均数；
（2）若第 8 天营业额为 4.0 万元，加入后新数据的众数和平均数会如何变化？
某班 20 名同学的数学成绩（单位：分）统计如下：
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下图表示的是甲、乙、丙三人的射击成绩，谁的成绩更好？你是怎么判断的？除了直观感觉外，我们如何用量化的数据来刻画谁“更好”呢？
问题：当你听到“小亮的身高在班上是中等偏上的”，“A 篮球队队员比 B 队更年轻”等诸如此类的说法时，你思考过这些话的含义吗？你知道人们是如何作出这一判断的吗？
数学上，我们常借助平均数对数据进行分析和刻画.
算术平均数
影响比赛的成绩有哪些因素？
如何衡量两个球队队员的身高？
怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？
要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些
数据呢？
想一想
北京金隅（冠军） 广东东莞银行（亚军） 号码 身高/厘米 年龄/岁 号码 身高/厘米 年龄/岁
3 188 35 3 205 31
6 175 28 5 206 21
7 190 27 6 188 23
8 188 22 7 196 29
9 196 22 8 201 29
10 206 22 9 211 25
12 195 29 10 190 23
13 209 22 11 206 23
20 204 19 12 212 23
21 185 23 20 203 21
25 204 23 22 216 22
31 195 28 30 180 19
32 211 26 32 207 21
51 202 26 0 183 27
思考：哪支球队的队员更为年轻？哪支球队队员的身高更高？
你是怎样判断的？与同伴交流.
年龄/岁 19 22 23 26 27 28 29 35
相应队员数 1 4 2 2 1 2 2 1
例如：小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的：
平均年龄为 (19×1 + 22×4 + 23×2 + 26×2 + 27×1 + 28×2 + 29×2 + 35×1)÷(1 + 4 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1) = 25.4 (岁). 你能说说小明这样做的道理吗？
归纳总结
日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”.
一般地，对于 n 个数 x1，x2，…，xn，我们把 ( x1+x2+…+xn ) 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数. 记为 x .
(1) 总共有多少人参加了本次活动？
(2) 总共植树多少棵？
(3) 平均每人植树多少棵？
例1 植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，下图反映的是植树棵数与人数之间的关系. 请根据图中信息计算：
典例精析
3
4
5
6
7
8
棵数
12
10
8
6
4
2
0
人数
0
解：(1) 参加本次活动的总人数是
1 + 8 + 1 + 10 + 8 + 3 + 1 = 32.
(2) 总共植树
3×8 + 4×1 + 5×10 + 6×8 + 7×3 + 8×1 = 155 (棵).
(3) 平均每人植树
(棵).
3
4
5
6
7
8
棵数
12
10
8
6
4
2
0
人数
0
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
某班级为了解同学年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13 岁 8 人，14 岁 16 人，15 岁 24 人，16 岁 2 人．求这个班级学生的平均年龄（结果取整数）．
解：这个班级学生的平均年龄为：
所以，他们的平均年龄约为 14 岁．
练一练
在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．
一起来看看下面的例子.
加权平均数
例2 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对 A，B，C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩 A B C
创新 72 85 67
综合知识 50 74 70
语言 88 45 67
典例精析
（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按 4∶3∶1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？
解：
(1) A 的平均成绩为
B 的平均成绩为
C 的平均成绩为
由于 70 > 68，故 A 被录用.
（2）根据题意，
A 的测试成绩为
B 的测试成绩为
C 的测试成绩为
因此候选人 B 将被录用.
4，3，1 分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称 (72×4 + 50×3 + 88×1)÷(4 + 3 + 1) 为 A 的三项测试成绩的加权平均数.
例3 某老师对学生每学期总评成绩时，并不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以 2，而是按照“平时练习占 40%，考试成绩占 60% ”的比例计算，其中考试成绩更为重要. 这样，如果一个学生的平时成绩为 70 分，考试成绩为 90 分，那么他的该学期总评成绩应该为多少呢？
解：
该同学的学期总评成绩是：
70×40%
= 82(分).
+
90×60%
加权平均数
权 重
权重的意义:
各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映.
加权平均数的意义:
按各个数据的权重来反映该组数据的总体平均大小情况.
知识要点
一般地，若 n 个数 x1，x2，…，xn 的权分别
是 w1，w2，…，wn，则
叫做这 n 个数的加权平均数．
考试 测试1 测试2 测试3 期中 期末
成绩 89 78 85 90 87
小青在七年级第二学期的数学成绩如下表格， 请按图示的测试、期中、期末的权重， 计算小青同学该学期的总评成绩.
期中
30%
期末
60%
平时
10%
解：
先计算小青的平时成绩：
(89 + 78 + 85)÷3
= 84 (分).
再计算小青的总评成绩：
84×10% + 90×30% + 87×60%
= 87.6 (分).
试一试
（2）若 m 个数的平均数为 x，n 个数的平均数为 y，则这 (m + n) 个数的平均数是（ ）
A. (x + y)÷2 B. (x + y)÷(m + n)
C. (mx + ny)÷(x + y) D. (mx + ny)÷(m + n)
1.（1）某次考试，5 名学生的平均分是 82，除甲外，其余 4 名学生的平均分是 80，那么甲的得分是（ ）
A.84 B. 86 C. 88 D. 90
D
D
2. 李大伯有一片果林，共有 80 棵果树．某日，李大伯开始采摘今年第一批成熟的果子，他随机选取 2 棵果树共摘得 10 个果子，质量分别为（单位：kg）：0.28，0.26，0.24，0.23，0.25，0.24，0.26，0.26，0.25，0.23. 以此估算，李大伯收获的这批果子的单个质量和总质量分别约为（ ）
A. 0.25 kg，200 kg B. 2.5 kg，100 kg
C. 0.25 kg，100 kg D. 2.5 kg，200 kg
C
3. 已知 x1，x2，x3，…， x10 的平均数是 a，x11，x12，
x13，… ，x30 的平均数是 b，则 x1，x2，x3，… ，x30 的平均数为（ ）
A. (a + b) B. (a + b)
C. (a + 3b)÷3 D. (a + 2b)÷3
D
4. 若 x1，x2，…， xn 的平均数为 a，则：
(1) 数据 x1 + 3，x2 + 3，…，xn + 3 的平均数为 ；
(2) 数据 10x1，10x2，… ，10xn 的平均数为 .
a + 3
10a
5.一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下：
应试者 听 说 读 写
甲 85 83 78 75
乙 73 80 85 82
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照 3∶3∶2∶2 的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制)，从他们的成绩看，应该录取谁？
解：听、说、读、写的成绩按照 3∶3∶2∶2 的比确定，
则甲的平均成绩为
85×3＋83×3＋78×2＋75×2
3＋3＋2＋2
＝
81，
乙的平均成绩为
73×3＋80×3＋85×2＋82×2
3＋3＋2＋2
＝
79.3．
因为甲的成绩比乙的高，所以从成绩看，应该录取甲．
6. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占 50％、演讲能力占 40％、演讲效果占 10％ 的比例，计算选手的综合成绩（百分制）．
进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
请算出两人的名次.
解:选手 A 的最后得分是
85×50％＋95×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝42.5＋38＋9.5
＝90.
选手 B 的最后得分是
95×50％＋85×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝47.5＋34＋9.5
＝91.
由上可知选手 B 获得第一名，选手 A 获得第二名．
选手 演讲内容 （50％） 演讲能力 （40％） 演讲效果
（10％）
A 85 95 95
B 95 85 95
知识点1 众数
1.在数据2,4,4,5,5,6,8中，2出现了___次，4出现了___次，5出现了___次，
6出现了___次，8出现了___次，出现次数最多的数据是______，故这组
数据的众数是______。
1
2
2
1
1
4和5
4和5
返回
2.［2024河北中考］某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，
几天后观察并记录种子的发芽粒数分别为89，73，90，86，75，86，89，
95，89，以上数据的众数为____。
89
返回
3.某校开展视力检查，某班51名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是( )
B
A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9
返回
知识点2 算术平均数
4.一组数据3，2，4，6，5的平均数是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
5.［教材 操作·思考变式］
在学校的体育训练中，
小杰投掷实心球的7次成绩如图所示，若
去掉一个最高成绩，去掉一个最低成绩，
其余成绩的平均值作为本次训练的最终成
绩，则小杰训练中的最终成绩为( )
A
A. B. C. D.
返回
6. 小明期末语、数、英三科的平均分为90分，他记得语文
是88分，数学是92分，把英语成绩忘记了，则小明的英语成绩为____分。
90
返回
7.已知一组数，，的平均数为2，则，， 的平均数为
___。
3
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平均数
算术平均数
加权平均数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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幻灯片 1：封面
课程名称：6.1.1 平均数与方差 —— 众数与算术平均数
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解众数和算术平均数的定义，明确两者在描述数据特征中的不同作用（众数反映 “出现频率最高的数据”，算术平均数反映 “数据平均水平”）。
掌握众数的寻找方法和算术平均数的计算公式，能根据不同类型的数据（未分组、简单分组）准确计算或找出这两个统计量。
能结合实际问题，选择合适的统计量（众数或算术平均数）分析数据，体会两者的适用场景差异，提升数据分析能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
统计量的作用：描述一组数据的整体特征，帮助我们从数据中提取有用信息（如判断数据的集中趋势）。
生活中的统计需求：超市进货时需知道 “最畅销商品”（频率最高），计算班级考试 “平均成绩”（整体水平），这分别对应两种不同的统计量。
情境导入：
情境 1：某服装店一周内销售 T 恤的尺码如下（单位：码）：38，39，40，40，41，40，42，40，39，40。店主想知道哪种尺码最畅销，以便多进货，该关注哪个数据？
情境 2：八年级（1）班 5 名同学的数学测试成绩（单位：分）：85，90，95，80，90。老师想了解这 5 名同学的平均成绩，该如何计算？
提问引导：
情境 1 中 “最畅销尺码” 是出现次数最多的数据，这类数据在统计学中叫什么？如何快速找到它？
情境 2 中 “平均成绩” 是将所有数据求和后除以数据个数，这种计算方式得到的结果叫什么？它能反映数据的什么特征？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 众数的定义与寻找方法
1. 众数的定义
一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
关键特征：
众数是数据集中 “最集中” 的数值，反映数据的 “高频趋势”（如畅销商品尺码、最常见的身高）；
众数与数据的单位一致（如尺码为 “码”，众数单位也是 “码”；成绩为 “分”，众数单位也是 “分”）；
众数可能不止一个：若有多个数据出现的次数相同且均为最多，则这些数据都是众数（如数据 “2，2，3，3，4”，众数为 2 和 3）；
众数可能不存在：若所有数据出现的次数都相同，则这组数据没有众数（如数据 “1，2，3，4，5”，每个数据都只出现 1 次，无众数）。
2. 众数的寻找方法（三步法）
整理数据：将数据按顺序排列（或列表统计），方便观察每个数据的出现次数；
统计次数：逐一记录每个数据出现的次数（可借助 “频数统计表”，如对尺码数据统计 “38 出现 1 次，39 出现 2 次……”）；
确定众数：找出出现次数最多的数据，即为众数（若有多个数据次数相同且最多，则均为众数）。
3. 示例：寻找不同数据的众数
示例 1：未分组数据（情境 1 的 T 恤尺码）：38，39，40，40，41，40，42，40，39，40。
步骤 1：排序后：38，39，39，40，40，40，40，40，41，42；
步骤 2：统计次数：38（1 次），39（2 次），40（5 次），41（1 次），42（1 次）；
步骤 3：40 出现次数最多（5 次），故众数为 40 码。
示例 2：分组数据（某班同学身高频数表）：
身高范围（cm）
150-155
155-160
160-165
165-170
频数（人数）
5
12
18
5
分析：“160-165cm” 组的频数最多（18 人），在分组数据中，通常以 “频数最多的组” 为 “众数组”（若需具体数值，可结合组中值估算，初中阶段一般只需确定众数组）。
示例 3：多众数与无众数情况：
数据 “5，6，6，7，7，8”：6 和 7 均出现 2 次（最多），故众数为 6 和 7；
数据 “10，20，30，40”：每个数据均出现 1 次，无众数。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 算术平均数的定义与计算
1. 算术平均数的定义
一组数据的总和除以这组数据的个数，所得的结果叫做这组数据的算术平均数（简称 “平均数”），通常用符号\(\bar{x}\)（读作 “x 拔”）表示。
关键特征：
算术平均数反映数据的 “平均水平”，是数据集中趋势的核心统计量（如平均成绩、平均工资）；
算术平均数与数据的单位一致（如成绩为 “分”，平均数单位也是 “分”）；
算术平均数是唯一的：一组数据只要确定，其算术平均数就只有一个；
算术平均数易受极端值影响：若数据中存在特别大或特别小的数，会明显拉低或抬高平均数（如数据 “1，2，3，4，100”，平均数为 22，受极端值 100 影响较大）。
2. 算术平均数的计算公式
基本公式：对于一组数据\(x_1, x_2, x_3, \dots, x_n\)（\(n\)为数据个数），算术平均数为：\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n}\)
（即 “总和 ÷ 个数”）。
加权算术平均数（拓展，适用于重复数据）：
若数据中存在重复出现的情况（如某数据出现\(f_1\)次，另一数据出现\(f_2\)次……），可先统计每个数据的 “频数”\(f_i\)，再用 “数据 × 频数” 的总和除以总频数（即数据总个数），公式为：\(\bar{x} = \frac{x_1f_1 + x_2f_2 + \dots + x_kf_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k}\)
（其中\(k\)为不同数据的个数，\(f_1 + f_2 + \dots + f_k = n\)）。
3. 示例：计算算术平均数
示例 1：基本计算（情境 2 的考试成绩）：85，90，95，80，90。
步骤 1：计算总和：\(85 + 90 + 95 + 80 + 90 = 440\)；
步骤 2：确定个数：\(n = 5\)；
步骤 3：计算平均数：\(\bar{x} = \frac{440}{5} = 88\)（分），故平均成绩为 88 分。
示例 2：加权计算（T 恤尺码数据）：38（1 次），39（2 次），40（5 次），41（1 次），42（1 次）。
步骤 1：计算 “数据 × 频数” 总和：\(38 1 + 39 2 + 40 5 + 41 1 + 42 1 = 38 + 78 + 200 + 41 + 42 = 400\)；
步骤 2：总频数（总个数）：\(1 + 2 + 5 + 1 + 1 = 10\)；
步骤 3：加权平均数：\(\bar{x} = \frac{400}{10} = 40\)（码），与众数一致（此为特殊情况，通常两者不同）。
示例 3：含极端值的情况：数据 “1，2，3，4，100”。
平均数：\(\bar{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 100}{5} = 22\)，明显高于前 4 个数据，体现极端值对平均数的影响。
幻灯片 6：核心知识点 3—— 众数与算术平均数的对比与应用场景
1. 两者的核心差异
对比维度
众数
算术平均数
计算方式
无需计算，统计数据出现次数即可
需计算所有数据的总和，再除以个数
反映特征
数据的 “高频趋势”（最集中出现的数值）
数据的 “平均水平”（整体均衡情况）
受极端值影响
不受极端值影响（如数据 “1，2，2，100”，众数仍为 2）
受极端值影响大（如上述数据平均数为 26.25，被 100 拉高）
结果唯一性
可能多个或不存在
唯一确定
适用数据类型
分类数据、顺序数据、数值数据均可
主要适用于数值数据（可进行加减运算）
2. 适用场景选择
优先选众数的场景：
需了解 “最受欢迎”“最畅销”“最常见” 的数据（如超市进货选畅销商品、服装店进热门尺码）；
数据中存在极端值，且无需关注平均水平（如某公司员工工资：大部分人 3000 元，少数高管 10000 元，关注 “大多数人工资” 选众数 3000 元）；
数据为非数值类型（如投票结果 “甲、甲、乙、甲、丙”，众数为甲，无法计算平均数）。
优先选算术平均数的场景：
需了解数据的 “整体平均水平”（如班级平均成绩、家庭平均收入、产品平均使用寿命）；
数据无极端值，或需反映极端值对整体的影响（如计算公司平均利润，需考虑高额盈利或亏损的情况）；
后续需进行进一步统计分析（如计算方差、标准差，需以平均数为基础）。
3. 实例：场景选择与分析
实例 1：某鞋店要确定下月进货的鞋码，收集了上月销售数据（码数：37，38，38，39，39，39，40，40）。
分析：需选畅销码数，众数为 39（出现 3 次），故优先进 39 码的鞋；若计算平均数为 38.5，无实际意义（鞋码为整数，且无需平均水平）。
实例 2：某班 10 名同学的英语成绩：75，80，85，85，85，90，90，95，95，100。
分析：若想了解整体成绩水平，计算平均数\(\bar{x} = \frac{75+80+85 3+90 2+95 2+100}{10} = 88\)（分）；若想了解最常见的成绩，众数为 85（出现 3 次），可反映大部分同学的成绩集中在 85 分。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：众数与算术平均数的计算与分析
问题：某小组 6 名同学的体重（单位：kg）数据如下：45，48，48，50，52，60。
（1）找出这组数据的众数；
（2）计算这组数据的算术平均数；
（3）若加入一名新同学的体重 50kg，新数据的众数和平均数会发生什么变化？
解答：
（1）找众数：数据中 48 出现 2 次（次数最多），其他数据各出现 1 次，故众数为 48kg；
（2）算平均数：总和\(45 + 48 + 48 + 50 + 52 + 60 = 303\)，个数\(n=6\)，平均数\(\bar{x} = \frac{303}{6} = 50.5\)kg；
（3）加入新数据后的变化：
新数据：45，48，48，50，50，52，60；
新众数：48 和 50（均出现 2 次，次数最多），众数从 1 个变为 2 个；
新平均数：总和\(303 + 50 = 353\)，个数\(n=7\)，平均数\(\bar{x} = \frac{353}{7} 50.43\)kg，略有下降（因新数据 50 小于原平均数 50.5）。
例题 2：结合实际场景选择统计量
问题：某公司招聘员工，公布的工资待遇如下（单位：元 / 月）：
岗位：普通员工（5 人），工资 3000；主管（2 人），工资 5000；经理（1 人），工资 10000。
（1）计算该公司所有员工工资的众数和算术平均数；
（2）若你是求职者，更关注哪个统计量？为什么？
解答：
（1）众数：普通员工工资 3000 元出现 5 次（最多），故众数为 3000 元；
平均数：总和\(3000 5 + 5000 2 + 10000 1 = 15000 + 10000 + 10000 = 35000\)，总人数\(5+2+1=8\)，平均数\(\bar{x} = \frac{35000}{8} = 4375\)元；
（2）关注众数 3000 元：因普通员工岗位占比最高（5/8），求职者大概率应聘普通员工，众数更能反映实际能拿到的工资；平均数 4375 元因经理的高工资被拉高，不能真实反映普通岗位的工资水平。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
找出下列各组数据的众数：
（1）2，3，3，4，5，3，6；
（2）10，15，12，10，18，15，10，15；
（3）7，8，9，10，11。
计算下列各组数据的算术平均数：
（1）5，7，9，11，13；
（2）80，85，90，95，100（5 名同学成绩）；
（3）12，12，13，14，14，14（6 个数据，用加权平均数计算）。
提升题
某商场 7 天的营业额（单位：万元）如下：2.5，3.2，2.8，3.2，2.5，3.5，3.2。
（1）求这组数据的众数和平均数；
（2）若第 8 天营业额为 4.0 万元，加入后新数据的众数和平均数会如何变化？
某班 20 名同学的数学成绩（单位：分）统计如下：
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.1平均数与方差--众数与算术平均数
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下图表示的是甲、乙、丙三人的射击成绩，谁的成绩更好？你是怎么判断的？除了直观感觉外，我们如何用量化的数据来刻画谁“更好”呢？
问题：当你听到“小亮的身高在班上是中等偏上的”，“A 篮球队队员比 B 队更年轻”等诸如此类的说法时，你思考过这些话的含义吗？你知道人们是如何作出这一判断的吗？
数学上，我们常借助平均数对数据进行分析和刻画.
算术平均数
影响比赛的成绩有哪些因素？
如何衡量两个球队队员的身高？
怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？
要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些
数据呢？
想一想
北京金隅（冠军） 广东东莞银行（亚军） 号码 身高/厘米 年龄/岁 号码 身高/厘米 年龄/岁
3 188 35 3 205 31
6 175 28 5 206 21
7 190 27 6 188 23
8 188 22 7 196 29
9 196 22 8 201 29
10 206 22 9 211 25
12 195 29 10 190 23
13 209 22 11 206 23
20 204 19 12 212 23
21 185 23 20 203 21
25 204 23 22 216 22
31 195 28 30 180 19
32 211 26 32 207 21
51 202 26 0 183 27
思考：哪支球队的队员更为年轻？哪支球队队员的身高更高？
你是怎样判断的？与同伴交流.
年龄/岁 19 22 23 26 27 28 29 35
相应队员数 1 4 2 2 1 2 2 1
例如：小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的：
平均年龄为 (19×1 + 22×4 + 23×2 + 26×2 + 27×1 + 28×2 + 29×2 + 35×1)÷(1 + 4 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + 1) = 25.4 (岁). 你能说说小明这样做的道理吗？
归纳总结
日常生活中，我们常用平均数表示一组数据的“平均水平”.
一般地，对于 n 个数 x1，x2，…，xn，我们把 ( x1+x2+…+xn ) 叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数. 记为 x .
(1) 总共有多少人参加了本次活动？
(2) 总共植树多少棵？
(3) 平均每人植树多少棵？
例1 植树节到了，某单位组织职工开展植树竞赛，下图反映的是植树棵数与人数之间的关系. 请根据图中信息计算：
典例精析
3
4
5
6
7
8
棵数
12
10
8
6
4
2
0
人数
0
解：(1) 参加本次活动的总人数是
1 + 8 + 1 + 10 + 8 + 3 + 1 = 32.
(2) 总共植树
3×8 + 4×1 + 5×10 + 6×8 + 7×3 + 8×1 = 155 (棵).
(3) 平均每人植树
(棵).
3
4
5
6
7
8
棵数
12
10
8
6
4
2
0
人数
0
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
某班级为了解同学年龄情况，作了一次年龄调查，结果如下：13 岁 8 人，14 岁 16 人，15 岁 24 人，16 岁 2 人．求这个班级学生的平均年龄（结果取整数）．
解：这个班级学生的平均年龄为：
所以，他们的平均年龄约为 14 岁．
练一练
在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．
一起来看看下面的例子.
加权平均数
例2 某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对 A，B，C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩 A B C
创新 72 85 67
综合知识 50 74 70
语言 88 45 67
典例精析
（1）如果根据三项测试的平均成绩决定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按 4∶3∶1 的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？
解：
(1) A 的平均成绩为
B 的平均成绩为
C 的平均成绩为
由于 70 > 68，故 A 被录用.
（2）根据题意，
A 的测试成绩为
B 的测试成绩为
C 的测试成绩为
因此候选人 B 将被录用.
4，3，1 分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称 (72×4 + 50×3 + 88×1)÷(4 + 3 + 1) 为 A 的三项测试成绩的加权平均数.
例3 某老师对学生每学期总评成绩时，并不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以 2，而是按照“平时练习占 40%，考试成绩占 60% ”的比例计算，其中考试成绩更为重要. 这样，如果一个学生的平时成绩为 70 分，考试成绩为 90 分，那么他的该学期总评成绩应该为多少呢？
解：
该同学的学期总评成绩是：
70×40%
= 82(分).
+
90×60%
加权平均数
权 重
权重的意义:
各个数据在该组数据中所占有的不同重要性的反映.
加权平均数的意义:
按各个数据的权重来反映该组数据的总体平均大小情况.
知识要点
一般地，若 n 个数 x1，x2，…，xn 的权分别
是 w1，w2，…，wn，则
叫做这 n 个数的加权平均数．
考试 测试1 测试2 测试3 期中 期末
成绩 89 78 85 90 87
小青在七年级第二学期的数学成绩如下表格， 请按图示的测试、期中、期末的权重， 计算小青同学该学期的总评成绩.
期中
30%
期末
60%
平时
10%
解：
先计算小青的平时成绩：
(89 + 78 + 85)÷3
= 84 (分).
再计算小青的总评成绩：
84×10% + 90×30% + 87×60%
= 87.6 (分).
试一试
（2）若 m 个数的平均数为 x，n 个数的平均数为 y，则这 (m + n) 个数的平均数是（ ）
A. (x + y)÷2 B. (x + y)÷(m + n)
C. (mx + ny)÷(x + y) D. (mx + ny)÷(m + n)
1.（1）某次考试，5 名学生的平均分是 82，除甲外，其余 4 名学生的平均分是 80，那么甲的得分是（ ）
A.84 B. 86 C. 88 D. 90
D
D
2. 李大伯有一片果林，共有 80 棵果树．某日，李大伯开始采摘今年第一批成熟的果子，他随机选取 2 棵果树共摘得 10 个果子，质量分别为（单位：kg）：0.28，0.26，0.24，0.23，0.25，0.24，0.26，0.26，0.25，0.23. 以此估算，李大伯收获的这批果子的单个质量和总质量分别约为（ ）
A. 0.25 kg，200 kg B. 2.5 kg，100 kg
C. 0.25 kg，100 kg D. 2.5 kg，200 kg
C
3. 已知 x1，x2，x3，…， x10 的平均数是 a，x11，x12，
x13，… ，x30 的平均数是 b，则 x1，x2，x3，… ，x30 的平均数为（ ）
A. (a + b) B. (a + b)
C. (a + 3b)÷3 D. (a + 2b)÷3
D
4. 若 x1，x2，…， xn 的平均数为 a，则：
(1) 数据 x1 + 3，x2 + 3，…，xn + 3 的平均数为 ；
(2) 数据 10x1，10x2，… ，10xn 的平均数为 .
a + 3
10a
5.一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩（百分制）如下：
应试者 听 说 读 写
甲 85 83 78 75
乙 73 80 85 82
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照 3∶3∶2∶2 的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制)，从他们的成绩看，应该录取谁？
解：听、说、读、写的成绩按照 3∶3∶2∶2 的比确定，
则甲的平均成绩为
85×3＋83×3＋78×2＋75×2
3＋3＋2＋2
＝
81，
乙的平均成绩为
73×3＋80×3＋85×2＋82×2
3＋3＋2＋2
＝
79.3．
因为甲的成绩比乙的高，所以从成绩看，应该录取甲．
6. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制，然后再按演讲内容占 50％、演讲能力占 40％、演讲效果占 10％ 的比例，计算选手的综合成绩（百分制）．
进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示：
选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果
A 85 95 95
B 95 85 95
请算出两人的名次.
解:选手 A 的最后得分是
85×50％＋95×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝42.5＋38＋9.5
＝90.
选手 B 的最后得分是
95×50％＋85×40％＋95×10％
50％＋40％＋10％
＝47.5＋34＋9.5
＝91.
由上可知选手 B 获得第一名，选手 A 获得第二名．
选手 演讲内容 （50％） 演讲能力 （40％） 演讲效果
（10％）
A 85 95 95
B 95 85 95
知识点1 众数
1.在数据2,4,4,5,5,6,8中，2出现了___次，4出现了___次，5出现了___次，
6出现了___次，8出现了___次，出现次数最多的数据是______，故这组
数据的众数是______。
1
2
2
1
1
4和5
4和5
返回
2.［2024河北中考］某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，
几天后观察并记录种子的发芽粒数分别为89，73，90，86，75，86，89，
95，89，以上数据的众数为____。
89
返回
3.某校开展视力检查，某班51名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 7 4 4 7 11 10 5 3
这51名同学视力检查数据的众数是( )
B
A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9
返回
知识点2 算术平均数
4.一组数据3，2，4，6，5的平均数是( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
5.［教材 操作·思考变式］
在学校的体育训练中，
小杰投掷实心球的7次成绩如图所示，若
去掉一个最高成绩，去掉一个最低成绩，
其余成绩的平均值作为本次训练的最终成
绩，则小杰训练中的最终成绩为( )
A
A. B. C. D.
返回
6. 小明期末语、数、英三科的平均分为90分，他记得语文
是88分，数学是92分，把英语成绩忘记了，则小明的英语成绩为____分。
90
返回
7.已知一组数，，的平均数为2，则，， 的平均数为
___。
3
返回
平均数
算术平均数
加权平均数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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