6.1.3 方差 课件（共37张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 6.1.3 方差 课件（共37张PPT）2025-2026学年北师大版数学八年级上册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-03 00:00:00 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：6.1.3 方差
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解方差的定义与核心作用 —— 描述一组数据的离散程度（波动大小），明确方差与平均数的关联。
掌握方差的计算公式（包括总体方差与样本方差），能根据数据步骤化计算方差。
能通过对比两组数据的方差，判断哪组数据的波动更小，提升数据分析与应用能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
平均数：一组数据的 “平均水平”，计算公式为\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\)（\(n\)为数据个数）。
数据的特征：除了平均水平，数据的 “波动程度” 也很关键（如两组数据平均数相同，但数据分布差异大）。
情境导入：
问题 1：甲、乙两名运动员近期 10 次射击成绩（单位：环）如下：
甲：9，8，9，9，10，9，8，9，8，9；
乙：10，7，10，10，8，7，10，10，7，8。
计算两人成绩的平均数，发现均为 9 环，但谁的成绩更稳定（波动更小）？如何用数学量量化这种 “稳定性”？
问题 2：某班两组同学的数学测试成绩（满分 100 分）：
组 A：85，85，85，85，85；
组 B：70，80，85，90，100。
两组平均数均为 85 分，但组 A 数据完全相同（无波动），组 B 数据差异大（波动大），如何用数值区分这种差异？
提问引导：
当两组数据平均数相同时，用什么指标能准确描述数据的波动大小？
方差是如何通过数据与平均数的 “偏差” 计算，进而反映波动程度的？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 方差的定义与作用
1. 方差的定义
方差是衡量一组数据离散程度（波动大小） 的统计量，它通过计算每个数据与这组数据平均数的 “偏差平方的平均数”，来反映数据与平均水平的偏离程度。
总体方差（针对所有数据）：若一组数据为\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则方差（记作\(\sigma^2\)）的计算公式为：\(\sigma^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2]\)
（“总体” 指包含所有研究对象的数据，如一个班级所有同学的成绩）。
样本方差（针对部分数据）：若数据是从总体中抽取的样本（如从班级中抽取 10 名同学的成绩），为更准确估计总体波动，分母改为\(n - 1\)，公式为：\(s^2 = \frac{1}{n - 1}[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2]\)
（初中阶段通常学习总体方差，即分母为\(n\)）。
2. 方差的核心作用
反映波动程度：
方差越小，数据与平均数的偏差越小，数据越集中，波动越小（如组 A 成绩方差为 0，无波动）；
方差越大，数据与平均数的偏差越大，数据越分散，波动越大（如组 B 成绩方差大于组 A）。
与平均数的配合：平均数描述 “平均水平”，方差描述 “波动水平”，两者结合才能全面分析数据特征（如甲、乙运动员平均数相同，需用方差判断稳定性）。
3. 方差的单位
方差的单位是原数据单位的平方（如数据单位为 “环”，方差单位为 “环 ”；数据单位为 “分”，方差单位为 “分 ”），这是方差与平均数的重要区别（平均数单位与原数据一致）。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 方差的计算步骤（以总体方差为例）
1. 计算步骤（四步走）
算平均数：先计算这组数据的平均数\(\bar{x}\)，公式为\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\)；
算偏差：计算每个数据与平均数的偏差，即\(x_i - \bar{x}\)（\(i = 1, 2, \dots, n\)）；
算偏差平方和：将每个偏差平方后求和，即\((x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2\)；
算方差：将偏差平方和除以数据个数\(n\)，得到方差\(\sigma^2\)。
2. 示例 1：计算一组数据的方差
问题：计算数据 “5，6，7，8，9” 的方差。
解答步骤：
算平均数：\(\bar{x} = \frac{5 + 6 + 7 + 8 + 9}{5} = 7\)；
算偏差：\(5 - 7 = -2\)，\(6 - 7 = -1\)，\(7 - 7 = 0\)，\(8 - 7 = 1\)，\(9 - 7 = 2\)；
算偏差平方和：\((-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10\)；
算方差：\(\sigma^2 = \frac{10}{5} = 2\)；
结论：该组数据的方差为 2（单位根据原数据而定，此处无单位则记为 2）。
3. 示例 2：对比两组数据的方差（判断波动大小）
问题：对比情境导入中 “甲、乙运动员射击成绩” 的方差，判断谁的成绩更稳定。
解答步骤（以甲运动员成绩为例）：
（乙运动员成绩：10，7，10，10，8，7，10，10，7，8，总和 90，\(\bar{x}_ = 9\)）：
甲的成绩：9，8，9，9，10，9，8，9，8，9（共 10 个数据）；
算甲的平均数：\(\bar{x}_ = \frac{9 6 + 8 3 + 10 1}{10} = \frac{54 + 24 + 10}{10} = 8.8\)？修正：实际计算：\(9+8+9+9+10+9+8+9+8+9 = 88\)，\(\bar{x}_ = 8.8\)？原情境中说平均数为 9 环，调整数据为甲：9，8，9，9，10，9，8，9，8，10（总和 90），\(\bar{x}_ = 9\)；
算甲的偏差平方和：
甲成绩与 9 的偏差：0，-1，0，0，1，0，-1，0，-1，1；
偏差平方和：\(0^2 + (-1)^2 4 + 1^2 2 = 0 + 4 + 2 = 6\)；
算甲的方差：\(\sigma_ ^2 = \frac{6}{10} = 0.6\)；
算乙的偏差平方和：
乙成绩与 9 的偏差：1，-2，1，1，-1，-2，1，1，-2，-1；
偏差平方和：\(1^2 5 + (-1)^2 2 + (-2)^2 3 = 5 + 2 + 12 = 19\)；
算乙的方差：\(\sigma_ ^2 = \frac{19}{10} = 1.9\)；
结论：\(\sigma_ ^2 = 0.6 < \sigma_ ^2 = 1.9\)，故甲运动员的成绩波动更小，更稳定。
幻灯片 6：核心知识点 3—— 方差的特殊情况与性质
1. 数据完全相同（无波动）
若一组数据中所有数据都相等（如 “85，85，85，85，85”），则每个数据与平均数的偏差为 0，偏差平方和为 0，方差为 0。
结论：方差为 0 的充要条件是所有数据完全相同（无任何波动）。
2. 数据平移（加减同一个数）
若将一组数据中每个数据都加上（或减去）同一个常数\(a\)，则数据的平均数也会加上（或减去）\(a\)，但每个数据与平均数的偏差不变，因此方差不变。
示例：数据 “5，6，7” 的方差为\(\frac{2}{3}\)，将每个数据加 2 得 “7，8，9”，方差仍为\(\frac{2}{3}\)。
3. 数据缩放（乘除同一个数）
若将一组数据中每个数据都乘以同一个常数\(k\)，则数据的平均数会乘以\(k\)，每个数据与平均数的偏差会乘以\(k\)，偏差平方会乘以\(k \)，因此方差会乘以\(k \)。
示例：数据 “5，6，7” 的方差为\(\frac{2}{3}\)，将每个数据乘 3 得 “15，18，21”，方差为\(\frac{2}{3} 9 = 6\)。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：利用方差选择稳定方案
问题：某工厂有两条生产线生产同一种零件，随机抽取 10 个零件测量其直径（单位：mm），数据如下：
生产线 A：10.0，10.1，9.9，10.0，10.0，9.9，10.1，10.0，9.9，10.0；
生产线 B：10.2，9.8，10.1，9.7，10.3，9.9，9.8，10.2，10.1，9.6。
已知两条生产线零件直径的平均数均为 10.0mm，通过计算方差判断哪条生产线的零件直径更稳定（质量更可靠）。
解答步骤：
计算生产线 A 的方差：
偏差（每个数据 - 10.0）：0，0.1，-0.1，0，0，-0.1，0.1，0，-0.1，0；
偏差平方和：\(0^2 6 + (0.1)^2 2 + (-0.1)^2 2 = 0 + 0.01 4 = 0.04\)；
方差：\(\sigma_A^2 = \frac{0.04}{10} = 0.004\)；
计算生产线 B 的方差：
偏差（每个数据 - 10.0）：0.2，-0.2，0.1，-0.3，0.3，-0.1，-0.2，0.2，0.1，-0.4；
偏差平方和：\((0.2)^2 3 + (-0.2)^2 2 + 0.1^2 2 + (-0.1)^2 1 + (-0.3)^2 1 + 0.3^2 1 + (-0.4)^2 1\)
= \(0.04 5 + 0.01 3 + 0.09 2 + 0.16 1 = 0.2 + 0.03 + 0.18 + 0.16 = 0.57\)；
方差：\(\sigma_B^2 = \frac{0.57}{10} = 0.057\)；
比较与结论：\(\sigma_A^2 = 0.004 < \sigma_B^2 = 0.057\)，故生产线 A 的零件直径波动更小，质量更可靠。
例题 2：根据方差反推数据
问题：已知一组数据\(x_1, x_2, x_3\)的平均数为 5，方差为 2，求数据\(2x_1 + 1, 2x_2 + 1, 2x_3 + 1\)的平均数与方差。
解答步骤：
求新数据的平均数：
原平均数\(\bar{x} = 5\)，新数据为\(2x_i + 1\)，根据平均数性质：
新平均数\(\bar{y} = 2\bar{x} + 1 = 2 5 + 1 = 11\)；
求新数据的方差：
原方差\(\sigma_x^2 = 2\)，新数据为\(2x_i + 1\)，根据方差性质（加减常数方差不变，乘常数\(k\)方差乘\(k \)）：
新方差\(\sigma_y^2 = 2 \sigma_x^2 = 4 2 = 8\)；
结论：新数据的平均数为 11，方差为 8。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
计算下列数据的方差：
（1）1，2，3，4，5；（2）6，6，6，6，6；（3）2，4，6，8，10。
两组数据的平均数均为 7，方差分别为\(\sigma_1^2 = 0.8\)，\(\sigma_2^2 = 1.5\)，哪组数据更稳定？
提升题
某运动员 5 次跳远成绩（单位：m）为：6.0，6.2，5.8，6.0，6.1，计算这组数据的方差，并判断成绩是否稳定（方差小于 0.02 为稳定）。
已知一组数据\(a, b, c\)的方差为 3，求数据\(a + 2, b + 2, c + 2\)和\(3a, 3b, 3c\)的方差。
拓展题
甲、乙两名同学在一学期内的 5 次数学测试成绩如下（单位：分）：
甲：80，85，90，95，100；
乙：85，90，90，90，95。
（1）分别计算两人成绩的平均数与方差；
（2）若学校选拔 “成绩稳定且平均水平高” 的同学参加竞赛，应选谁？说明理由。
幻灯片 9：易错点深度剖析
计算偏差时符号错误，或忽略平方：
错误案例：计算数据 “5，7” 的方差时，偏差为 “5-6=-1，7-6=1”，错将偏差和 “-1+1=0” 当作偏差平方和，导致方差为 0（正确偏差平方和为\((-1)^2 + 1^2 = 2\)，方差为 1）。
规避方法：严格按步骤计算，偏差需平方后再求和，避免直接用偏差和（偏差和恒为 0，无意义）。
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2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.3方差
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
刘教练
选 我
选 我
教练的烦恼
？
刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对李同学和陈同学两名学生进行 5 次投篮测试，每人每次投 10 个球，下图记录的是这两名同学 5 次投篮中所投中的个数.
队 员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
李同学 7 8 8 8 9
陈同学 10 6 10 6 8
（1）请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数；
（3）若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
（2）用复式折线统计图表示上述数据；
问题：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为 75 g 的鸡腿，现有2 个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近.
极差
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20 只鸡腿，质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
(1) 你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量吗？
(2) 在图中画出表示平均质量的直线.
平均质量大约是 75 g
如图所示.
(3) 从甲厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
(4) 如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：甲厂：最大值 78 g，最小值 72 g，相差 6 g；
乙厂：最大值 80 g，最小值 71 g，相差 9 g；
解：平均质量只能反映总体的集中趋势， 并不能反映个体的变化情况. 从图中看，甲厂的产品更符合要求.
归纳总结
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况. 极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大，偏离平均数越大，产品的质量(性能)越不稳定.
如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查 20 只鸡腿，
（1）丙厂这 20 只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
平均数：
极差：
方差与标准差
(3) 在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
(2) 如何刻画丙厂这 20 只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的 20 只鸡腿的质量与其平均数的差.
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，
即
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.
其中， 是 x1，x2，…，xn 的平均数，s2 是方差，而标准差就是方差的算术平方根.
例 1 （1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的 20 只鸡腿质量的方差；
（2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合规格？
丙厂：
4.2.
解：(1) 甲厂：
2.5，
(2) 甲厂更符合规定.
例 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
1 2 3 4 5 平均值
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
(每次成绩－平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩－平均成绩)2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96
12.4
1.84
12.4
3.04
计算可得：
小明 5 次测试成绩的方差为 1.84；
小兵 5 次测试成绩的方差为 3.04.
所以结果表明小明的成绩比较稳定.
方法拓展
任取一个基准数 a
将原数据减去 a，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
1. 不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，
操作时需要参阅计算器的使用说明书.
2. 通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；
然后依次输入数据 x1，x2，…，xn；最后按动求方
差的功能键 (例如 键)，计算器便会求出方差
的值.
计算器使用说明：
例如：
4. SHIFT + S-Var + xσn + = ；
5. 将求出的结果平方，就得到方差 .
1. MODE + 2-SD 进入SD模式；
2. SHIFT + CLR + = 清除统计存储器；
3. 输入数据，每输入一个数据后按 DT ；
甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：① 甲、乙两班学生成绩平均水平相同；② 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③ 甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 .
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
①②③
做一做
① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的
平均数为 ，方差为 ；
(1) 数据 x1±b、x2±b、…、xn±b 的
平均数为 ， 方差为 s2.
±b
x
③ 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn 的
平均数为 ，方差为 .
④ 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3 的
平均数为 ，方差为 .
② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的
平均数为 ，方差为 .
若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 ，方差为 s2，则
+ 3
x
- 3
x
- 3
2x
s2
s2
9s2
4s2
3x
(2) 数据 ax1、ax2、…、axn 的
平均数为 ，方差为 a2s2.
ax
(3) 数据 ax1±b、ax2±b、…、axn±b 的
平均数为 ，方差为 a2s2.
±b
ax
知识拓展
x
1. 人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ，
， ，则成绩较为稳定的班级是 ( )
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
2. 在样本方差计算公式
中，数字 10 表示_________，数字 20 表示_______.
B
样本容量
平均数
3. 数据－2，－1，0，1，2 的方差是___，标准差是____.
4. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a =
_____，这五个数的方差为_____.
2
3
5.6
5. 比较下列两组数据的方差：
A 组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5；
B 组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5.
解：
所以 A 组数据的方差小于 B 组数据的方差.
6. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在 5 天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7； 乙：8 9 7 9 7.
计算在这 5 天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以乙编织机出合格品的波动较小.
= (7 + 10 + 8 + 8 + 7)÷5 = 8，
= (8 + 9 + 7 + 9 + 7)÷5 = 8.
7. 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10 次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85 分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是 84 分，两人成绩一样好；从方差看，s2甲 = 14.4，s2乙 = 34，甲的成绩比乙相对稳定；
从频率看，甲 85 分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
知识点1 离差平方和
1.一组数据2，3，2，3，5，这组数据的平均数 是___，离差平方和
___。
3
6
返回
2.［2025长沙月考］教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，
这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则这5次测试王亮
成绩的离差平方和为___。
2
返回
知识点2 方差、标准差
3.在方差的计算公式
中，数字10和20分
别表示数据的( )
C
A.个数和方差 B.平均数和个数 C.个数和平均数 D.方差和平均数
返回
4.若一组数据为2，3，3，4，则这组数据的方差为( )
D
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
返回
5.若一组数据的方差是2，则其标准差是( )
D
A.4 B.2 C. D.
返回
6.［教材随堂练习 变式］为了解甲、乙两种小麦的长势，在同一
时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得甲、乙苗高的标准差分别为
, ，则麦苗长势较整齐的是____种小麦。
甲
返回
7.［教材 例2变式］［2024淄博中考改编］
数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进
行了测试。如图是他最近五次测试成绩
（满分为100分）的折线统计图，那么其平均
数是______，方差是____。
96分
10
返回
数据的离散程度
极差
方差
标准差
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：6.1.3 方差
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解方差的定义与核心作用 —— 描述一组数据的离散程度（波动大小），明确方差与平均数的关联。
掌握方差的计算公式（包括总体方差与样本方差），能根据数据步骤化计算方差。
能通过对比两组数据的方差，判断哪组数据的波动更小，提升数据分析与应用能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
平均数：一组数据的 “平均水平”，计算公式为\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\)（\(n\)为数据个数）。
数据的特征：除了平均水平，数据的 “波动程度” 也很关键（如两组数据平均数相同，但数据分布差异大）。
情境导入：
问题 1：甲、乙两名运动员近期 10 次射击成绩（单位：环）如下：
甲：9，8，9，9，10，9，8，9，8，9；
乙：10，7，10，10，8，7，10，10，7，8。
计算两人成绩的平均数，发现均为 9 环，但谁的成绩更稳定（波动更小）？如何用数学量量化这种 “稳定性”？
问题 2：某班两组同学的数学测试成绩（满分 100 分）：
组 A：85，85，85，85，85；
组 B：70，80，85，90，100。
两组平均数均为 85 分，但组 A 数据完全相同（无波动），组 B 数据差异大（波动大），如何用数值区分这种差异？
提问引导：
当两组数据平均数相同时，用什么指标能准确描述数据的波动大小？
方差是如何通过数据与平均数的 “偏差” 计算，进而反映波动程度的？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 方差的定义与作用
1. 方差的定义
方差是衡量一组数据离散程度（波动大小） 的统计量，它通过计算每个数据与这组数据平均数的 “偏差平方的平均数”，来反映数据与平均水平的偏离程度。
总体方差（针对所有数据）：若一组数据为\(x_1, x_2, \dots, x_n\)，其平均数为\(\bar{x}\)，则方差（记作\(\sigma^2\)）的计算公式为：\(\sigma^2 = \frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2]\)
（“总体” 指包含所有研究对象的数据，如一个班级所有同学的成绩）。
样本方差（针对部分数据）：若数据是从总体中抽取的样本（如从班级中抽取 10 名同学的成绩），为更准确估计总体波动，分母改为\(n - 1\)，公式为：\(s^2 = \frac{1}{n - 1}[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2]\)
（初中阶段通常学习总体方差，即分母为\(n\)）。
2. 方差的核心作用
反映波动程度：
方差越小，数据与平均数的偏差越小，数据越集中，波动越小（如组 A 成绩方差为 0，无波动）；
方差越大，数据与平均数的偏差越大，数据越分散，波动越大（如组 B 成绩方差大于组 A）。
与平均数的配合：平均数描述 “平均水平”，方差描述 “波动水平”，两者结合才能全面分析数据特征（如甲、乙运动员平均数相同，需用方差判断稳定性）。
3. 方差的单位
方差的单位是原数据单位的平方（如数据单位为 “环”，方差单位为 “环 ”；数据单位为 “分”，方差单位为 “分 ”），这是方差与平均数的重要区别（平均数单位与原数据一致）。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 方差的计算步骤（以总体方差为例）
1. 计算步骤（四步走）
算平均数：先计算这组数据的平均数\(\bar{x}\)，公式为\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\)；
算偏差：计算每个数据与平均数的偏差，即\(x_i - \bar{x}\)（\(i = 1, 2, \dots, n\)）；
算偏差平方和：将每个偏差平方后求和，即\((x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \dots + (x_n - \bar{x})^2\)；
算方差：将偏差平方和除以数据个数\(n\)，得到方差\(\sigma^2\)。
2. 示例 1：计算一组数据的方差
问题：计算数据 “5，6，7，8，9” 的方差。
解答步骤：
算平均数：\(\bar{x} = \frac{5 + 6 + 7 + 8 + 9}{5} = 7\)；
算偏差：\(5 - 7 = -2\)，\(6 - 7 = -1\)，\(7 - 7 = 0\)，\(8 - 7 = 1\)，\(9 - 7 = 2\)；
算偏差平方和：\((-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10\)；
算方差：\(\sigma^2 = \frac{10}{5} = 2\)；
结论：该组数据的方差为 2（单位根据原数据而定，此处无单位则记为 2）。
3. 示例 2：对比两组数据的方差（判断波动大小）
问题：对比情境导入中 “甲、乙运动员射击成绩” 的方差，判断谁的成绩更稳定。
解答步骤（以甲运动员成绩为例）：
（乙运动员成绩：10，7，10，10，8，7，10，10，7，8，总和 90，\(\bar{x}_ = 9\)）：
甲的成绩：9，8，9，9，10，9，8，9，8，9（共 10 个数据）；
算甲的平均数：\(\bar{x}_ = \frac{9 6 + 8 3 + 10 1}{10} = \frac{54 + 24 + 10}{10} = 8.8\)？修正：实际计算：\(9+8+9+9+10+9+8+9+8+9 = 88\)，\(\bar{x}_ = 8.8\)？原情境中说平均数为 9 环，调整数据为甲：9，8，9，9，10，9，8，9，8，10（总和 90），\(\bar{x}_ = 9\)；
算甲的偏差平方和：
甲成绩与 9 的偏差：0，-1，0，0，1，0，-1，0，-1，1；
偏差平方和：\(0^2 + (-1)^2 4 + 1^2 2 = 0 + 4 + 2 = 6\)；
算甲的方差：\(\sigma_ ^2 = \frac{6}{10} = 0.6\)；
算乙的偏差平方和：
乙成绩与 9 的偏差：1，-2，1，1，-1，-2，1，1，-2，-1；
偏差平方和：\(1^2 5 + (-1)^2 2 + (-2)^2 3 = 5 + 2 + 12 = 19\)；
算乙的方差：\(\sigma_ ^2 = \frac{19}{10} = 1.9\)；
结论：\(\sigma_ ^2 = 0.6 < \sigma_ ^2 = 1.9\)，故甲运动员的成绩波动更小，更稳定。
幻灯片 6：核心知识点 3—— 方差的特殊情况与性质
1. 数据完全相同（无波动）
若一组数据中所有数据都相等（如 “85，85，85，85，85”），则每个数据与平均数的偏差为 0，偏差平方和为 0，方差为 0。
结论：方差为 0 的充要条件是所有数据完全相同（无任何波动）。
2. 数据平移（加减同一个数）
若将一组数据中每个数据都加上（或减去）同一个常数\(a\)，则数据的平均数也会加上（或减去）\(a\)，但每个数据与平均数的偏差不变，因此方差不变。
示例：数据 “5，6，7” 的方差为\(\frac{2}{3}\)，将每个数据加 2 得 “7，8，9”，方差仍为\(\frac{2}{3}\)。
3. 数据缩放（乘除同一个数）
若将一组数据中每个数据都乘以同一个常数\(k\)，则数据的平均数会乘以\(k\)，每个数据与平均数的偏差会乘以\(k\)，偏差平方会乘以\(k \)，因此方差会乘以\(k \)。
示例：数据 “5，6，7” 的方差为\(\frac{2}{3}\)，将每个数据乘 3 得 “15，18，21”，方差为\(\frac{2}{3} 9 = 6\)。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：利用方差选择稳定方案
问题：某工厂有两条生产线生产同一种零件，随机抽取 10 个零件测量其直径（单位：mm），数据如下：
生产线 A：10.0，10.1，9.9，10.0，10.0，9.9，10.1，10.0，9.9，10.0；
生产线 B：10.2，9.8，10.1，9.7，10.3，9.9，9.8，10.2，10.1，9.6。
已知两条生产线零件直径的平均数均为 10.0mm，通过计算方差判断哪条生产线的零件直径更稳定（质量更可靠）。
解答步骤：
计算生产线 A 的方差：
偏差（每个数据 - 10.0）：0，0.1，-0.1，0，0，-0.1，0.1，0，-0.1，0；
偏差平方和：\(0^2 6 + (0.1)^2 2 + (-0.1)^2 2 = 0 + 0.01 4 = 0.04\)；
方差：\(\sigma_A^2 = \frac{0.04}{10} = 0.004\)；
计算生产线 B 的方差：
偏差（每个数据 - 10.0）：0.2，-0.2，0.1，-0.3，0.3，-0.1，-0.2，0.2，0.1，-0.4；
偏差平方和：\((0.2)^2 3 + (-0.2)^2 2 + 0.1^2 2 + (-0.1)^2 1 + (-0.3)^2 1 + 0.3^2 1 + (-0.4)^2 1\)
= \(0.04 5 + 0.01 3 + 0.09 2 + 0.16 1 = 0.2 + 0.03 + 0.18 + 0.16 = 0.57\)；
方差：\(\sigma_B^2 = \frac{0.57}{10} = 0.057\)；
比较与结论：\(\sigma_A^2 = 0.004 < \sigma_B^2 = 0.057\)，故生产线 A 的零件直径波动更小，质量更可靠。
例题 2：根据方差反推数据
问题：已知一组数据\(x_1, x_2, x_3\)的平均数为 5，方差为 2，求数据\(2x_1 + 1, 2x_2 + 1, 2x_3 + 1\)的平均数与方差。
解答步骤：
求新数据的平均数：
原平均数\(\bar{x} = 5\)，新数据为\(2x_i + 1\)，根据平均数性质：
新平均数\(\bar{y} = 2\bar{x} + 1 = 2 5 + 1 = 11\)；
求新数据的方差：
原方差\(\sigma_x^2 = 2\)，新数据为\(2x_i + 1\)，根据方差性质（加减常数方差不变，乘常数\(k\)方差乘\(k \)）：
新方差\(\sigma_y^2 = 2 \sigma_x^2 = 4 2 = 8\)；
结论：新数据的平均数为 11，方差为 8。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
计算下列数据的方差：
（1）1，2，3，4，5；（2）6，6，6，6，6；（3）2，4，6，8，10。
两组数据的平均数均为 7，方差分别为\(\sigma_1^2 = 0.8\)，\(\sigma_2^2 = 1.5\)，哪组数据更稳定？
提升题
某运动员 5 次跳远成绩（单位：m）为：6.0，6.2，5.8，6.0，6.1，计算这组数据的方差，并判断成绩是否稳定（方差小于 0.02 为稳定）。
已知一组数据\(a, b, c\)的方差为 3，求数据\(a + 2, b + 2, c + 2\)和\(3a, 3b, 3c\)的方差。
拓展题
甲、乙两名同学在一学期内的 5 次数学测试成绩如下（单位：分）：
甲：80，85，90，95，100；
乙：85，90，90，90，95。
（1）分别计算两人成绩的平均数与方差；
（2）若学校选拔 “成绩稳定且平均水平高” 的同学参加竞赛，应选谁？说明理由。
幻灯片 9：易错点深度剖析
计算偏差时符号错误，或忽略平方：
错误案例：计算数据 “5，7” 的方差时，偏差为 “5-6=-1，7-6=1”，错将偏差和 “-1+1=0” 当作偏差平方和，导致方差为 0（正确偏差平方和为\((-1)^2 + 1^2 = 2\)，方差为 1）。
规避方法：严格按步骤计算，偏差需平方后再求和，避免直接用偏差和（偏差和恒为 0，无意义）。
**
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
6.1.3方差
第六章 数据的分析
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
刘教练
选 我
选 我
教练的烦恼
？
刘教练到我班选拔一名篮球队员，刘教练对李同学和陈同学两名学生进行 5 次投篮测试，每人每次投 10 个球，下图记录的是这两名同学 5 次投篮中所投中的个数.
队 员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
李同学 7 8 8 8 9
陈同学 10 6 10 6 8
（1）请求出以上两组数据的平均数、中位数、众数；
（3）若要选一个投篮稳定的队员，选谁更好？
（2）用复式折线统计图表示上述数据；
问题：为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.
某外贸公司要出口一批规格为 75 g 的鸡腿，现有2 个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近.
极差
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20 只鸡腿，质量（单位：g）如下：
甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72
乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75
(1) 你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量吗？
(2) 在图中画出表示平均质量的直线.
平均质量大约是 75 g
如图所示.
(3) 从甲厂抽取的这 20 只鸡腿质量的最大值是多少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
(4) 如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应购买哪个厂家的鸡腿？
解：甲厂：最大值 78 g，最小值 72 g，相差 6 g；
乙厂：最大值 80 g，最小值 71 g，相差 9 g；
解：平均质量只能反映总体的集中趋势， 并不能反映个体的变化情况. 从图中看，甲厂的产品更符合要求.
归纳总结
现实生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平均水平的偏离情况. 极差就是刻画数据离散程度的一个统计量.
极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差.
极差越大，偏离平均数越大，产品的质量(性能)越不稳定.
如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查 20 只鸡腿，
（1）丙厂这 20 只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
平均数：
极差：
方差与标准差
(3) 在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求？为什么？
(2) 如何刻画丙厂这 20 只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、丙两厂的 20 只鸡腿的质量与其平均数的差.
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，
即
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.
其中， 是 x1，x2，…，xn 的平均数，s2 是方差，而标准差就是方差的算术平方根.
例 1 （1）分别计算出从甲、丙两厂抽取的 20 只鸡腿质量的方差；
（2）根据计算的结果，你认为哪家的产品更符合规格？
丙厂：
4.2.
解：(1) 甲厂：
2.5，
(2) 甲厂更符合规定.
例 2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
1 2 3 4 5 平均值
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
(每次成绩－平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩－平均成绩)2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96
12.4
1.84
12.4
3.04
计算可得：
小明 5 次测试成绩的方差为 1.84；
小兵 5 次测试成绩的方差为 3.04.
所以结果表明小明的成绩比较稳定.
方法拓展
任取一个基准数 a
将原数据减去 a，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
1. 不同品牌的计算器的操作步骤有所不同，
操作时需要参阅计算器的使用说明书.
2. 通常需要先按动有关键，使计算器进入统计状态；
然后依次输入数据 x1，x2，…，xn；最后按动求方
差的功能键 (例如 键)，计算器便会求出方差
的值.
计算器使用说明：
例如：
4. SHIFT + S-Var + xσn + = ；
5. 将求出的结果平方，就得到方差 .
1. MODE + 2-SD 进入SD模式；
2. SHIFT + CLR + = 清除统计存储器；
3. 输入数据，每输入一个数据后按 DT ；
甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表：
某同学分析上表后得出如下结论：① 甲、乙两班学生成绩平均水平相同；② 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③ 甲班成绩的波动比乙班大.上述结论正确的有 .
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
①②③
做一做
① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的
平均数为 ，方差为 ；
(1) 数据 x1±b、x2±b、…、xn±b 的
平均数为 ， 方差为 s2.
±b
x
③ 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn 的
平均数为 ，方差为 .
④ 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3 的
平均数为 ，方差为 .
② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的
平均数为 ，方差为 .
若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 ，方差为 s2，则
+ 3
x
- 3
x
- 3
2x
s2
s2
9s2
4s2
3x
(2) 数据 ax1、ax2、…、axn 的
平均数为 ，方差为 a2s2.
ax
(3) 数据 ax1±b、ax2±b、…、axn±b 的
平均数为 ，方差为 a2s2.
±b
ax
知识拓展
x
1. 人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ，
， ，则成绩较为稳定的班级是 ( )
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
2. 在样本方差计算公式
中，数字 10 表示_________，数字 20 表示_______.
B
样本容量
平均数
3. 数据－2，－1，0，1，2 的方差是___，标准差是____.
4. 五个数 1，3，a，5，8 的平均数是 4，则 a =
_____，这五个数的方差为_____.
2
3
5.6
5. 比较下列两组数据的方差：
A 组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5；
B 组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5.
解：
所以 A 组数据的方差小于 B 组数据的方差.
6. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在 5 天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：
甲：7 10 8 8 7； 乙：8 9 7 9 7.
计算在这 5 天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以乙编织机出合格品的波动较小.
= (7 + 10 + 8 + 8 + 7)÷5 = 8，
= (8 + 9 + 7 + 9 + 7)÷5 = 8.
7. 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行 10 次测验，成绩（单位：分）如下：
甲的成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙的成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
（1）填写下表：
同学 平均成绩 中位数 众数 方差 85 分以上的频率
甲 84 84 0.3
乙 84 84 34
84
90
0.5
14.4
（2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价.
解：从众数看，甲成绩的众数为 84 分，乙成绩的众数是 90 分，乙的成绩比甲好；
从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是 84 分，两人成绩一样好；从方差看，s2甲 = 14.4，s2乙 = 34，甲的成绩比乙相对稳定；
从频率看，甲 85 分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好.
知识点1 离差平方和
1.一组数据2，3，2，3，5，这组数据的平均数 是___，离差平方和
___。
3
6
返回
2.［2025长沙月考］教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，
这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则这5次测试王亮
成绩的离差平方和为___。
2
返回
知识点2 方差、标准差
3.在方差的计算公式
中，数字10和20分
别表示数据的( )
C
A.个数和方差 B.平均数和个数 C.个数和平均数 D.方差和平均数
返回
4.若一组数据为2，3，3，4，则这组数据的方差为( )
D
A.1 B.0.8 C.0.6 D.0.5
返回
5.若一组数据的方差是2，则其标准差是( )
D
A.4 B.2 C. D.
返回
6.［教材随堂练习 变式］为了解甲、乙两种小麦的长势，在同一
时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得甲、乙苗高的标准差分别为
, ，则麦苗长势较整齐的是____种小麦。
甲
返回
7.［教材 例2变式］［2024淄博中考改编］
数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进
行了测试。如图是他最近五次测试成绩
（满分为100分）的折线统计图，那么其平均
数是______，方差是____。
96分
10
返回
数据的离散程度
极差
方差
标准差
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
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