(
D
密
封
线
内
不
要
答
题
)
学 校
姓 名
班 级
考 号
(
密
封
线
外
不
写
考
号
、 姓 名
)
九年 · 数学(省命题)
九年级期中测试 数 学
题 号 一 二 三 总 分
得 分
(
得分
评卷人
)一、选择题(每小题3分，共18分)
1.抛物线y=2(x—1) 的顶点坐标是 ( )
A.(1,0) B.(-1,2) C.(2,1) D.(-1,0)
2.我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型.下面有关科普的图标，其文
字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A.科普基地 B.全国青少年科学节 C.全国科普日 D.全国青少年科学创作活动
3.抛物线y=-x +bx+3 的部分图象如图所示，则一元二次方程一x +ba+3=0 的 根为 ( )
A.z =T =1 B.x =1,z=-1
C.z =1,x =—2 D.x =1,x =-3
(第3题) (第6题)
4.已知AB 是⊙0的弦，若0O 的半径为6 cm, 则弦AB 的长不可能为 ( )
A.13 cm B.12 cm C.10 cm D.6cm
5.用配方法解一元二次方程x -4x-4=0 的过程中，变形正确的是 ( )
A.(x—2) =0 B.(π-2) =4
C.(x-2) =8 D.(x+2) =8
6.如图，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC, 点 D 落在边AB 上，且AC//DE, 则 ∠A 的度数是 ( ) A.55° B.60° C.65° D.70°
数学试卷 第1页(共8页)
(
二、填空题(每小题3分，共15分)
)九年 · 数学(省命题) D
得分 评卷人
7.在平面直角坐标系中，点A(4,7) 关于原点对称的点的坐标是 ·
8.如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度.
(
(
第
9
题
)
) (
(第8题)
)(第11题)
9.如图，00的半径为4 cm, 若 ∠AOB=60°, 则弦AB 的长为 cm.
10.将抛物线y=-2(x+2) 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的 抛物线的解析式为
(
三、解答题(本大题共11小题，共87分)
)11. 自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动.某校拟举办一次书法作 品展览，如图，要在每张长和宽分别为50 cm 和80 cm 的矩形相片周围镶上一圈等宽 的彩纸.根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观.若所镶彩纸的宽为x cm, 根据题意，列方程为 ·
得分 评卷人
12. (6分)用适当的方法解方程：x +6x=7.
考 生 座位序号
九年 · 数学(省命题)
13. (6分)已知抛物线的顶点坐标为(-1,—3),与y 轴的交点坐标为(0,—5),求抛物线 的解析式.
14. (6分)如图，点F 为正方形ABCD 内一点，△BFC 经逆时针旋转后能与△BEA 重合.
(1)旋转中心是 ,旋转角度最小为 度；
(2)判断△BEF 的形状，并说明理由.
(第14题)
数学试卷 第3页(共8页)
九年 · 数学(省命题) D
15.(7分)西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安.如图，这是 摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，AB是 ⊙O 的一部分，D 是AB 的中点，连接OD, 与弦 AB 交于点C, 连接OA、OB. 已知AB=18cm, 碗深CD=6cm, 求OA 的长.
(第15题)
16. (7分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),
B(—2,1),C(-1,3). 将 △ABC 绕点O 按顺时针方向旋转90°得到△A B C .
(1)在平面直角坐标系中，画出△A B C ;
(2)直接写出点C 的对应点C 的坐标.
(第16题)
数学试卷 第 4 页 ( 共 8 页 )
(
密
封
线
内
不
要
答
题
)
(
密
封
线
内
不
要
答
题
)
九年 · 数学(省命题) 九年 · 数学(省命题) D
17. (7分)如图，已知抛物线y=ax +bx+3 经过点A(1,0) 和点B(—3,0),P 为第二象 限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接PA、PB, 当 S△PAB=6 时，求出点P 的坐标.
(第17题)
18. (8分)已知关于x 的一元二次方程(a+c)x -2bx+a-c=0, 其中a、b、c分别为
△ABC 三边的长.
(1)如果x=1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
数学试卷 第 5 页 ( 共 8 页 )
19. (8分)梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的 大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光 融合变幻出无穷的水幕.若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条抛物线，垂直于水平面 的喷水管OA 高出地面1米，水流从A 处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水 平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米，如图所示，以喷水管底部的位置O 点 为原点，建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)为了使水落下后全部进入湖中，求喷水管离岸边至少多少米
(第19题)
20. (10分)如图，在矩形ABCD 中 ，AB=5 厘米，BC=10 厘米，点P 从 点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度运动，同时点Q 从 点B 开始沿BC 边向点C 以 2 厘 米 / 秒的速度运动，设它们的运动时间为t 秒 .
(1)根据题意知：BQ= 厘米，BP= 厘米(用含t的代数式表示);
(2)经过几秒时，△PBQ 的面积等于4平方厘米
(3)在运动过程中，△PBQ 的面积能否等于矩形ABCD 的面积的 · 若存在，求出t 的 值；若不存在，说明理由.
(第20题)
数学试卷 第 6 页 ( 共 8 页 )
九年 · 数学(省命题) 九年·数学(省命题) D
21. (10分)问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题： 如图①,点D 为等边△ABC 的边BC 上一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到 线段AE, 连接CE.
(1)【猜想证明】试猜想BD 与CE 的数量关系，并给予证明；
(2)【探究应用】如图②,点D 为等边△ABC 内一点，将线段AD 绕 点A 逆时针旋转60°得 到线段AE,连接CE, 若B、D、E三点在一条直线上，求证：EB平分∠AEC;
(3)【拓展提升】如图③,若△ABC是边长为2的等边三角形，点D 是线段BC 上的动 点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE, 连接CE. 点 D 在 运动过程中，△DEC 的周长的最小值是 ·
图① 图② 图③
(第21题)
数学试卷 第7页(共8页)
22. (12分)如图，点A(—1,0) 、B(3,0) 、C(2,m) 在抛物线y=x +bx+c 上。
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是线段AC 上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E, 求线段PE 长 度最大时点P 的坐标；
(3)点F 是抛物线上的动点，在z 轴上是否存在点D, 使得以点A、C、D、F为顶点的四 边形是平行四边形 如果存在，请直接写出所有满足条件的点D 的坐标；如果不存 在，请说明理由.
(第22题)
数学试卷 第 8 页 ( 共 8 页 )
(
密
封
线
内
不
要
答
题
)
(
.
)
九 年 级 期 中 测 试 数 学 参 考 答 案
一、1.A 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B
二、7. (一4,-7) 8.45 9.410. y=-2(x-1) -411.(50+2x)(80+2x) 一50×
三、12.解 ：x =1,xz=-7.
13. 解 ：y=—2(x+1) -3 ( 或y=—2z —4x-5).
14. 解：(1)点 B;90.
(2)△BEF 是等腰直角三角形.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC= 90°,∵△BFC 绕 点B 逆时针旋转后能与△BEA 重合，∴BE =BF,∠EBF= ∠ABC=90°,∴△BEF 是等腰直角三角形.
15.解：∵D 是 AB 的中点，∴OD⊥AB, .设OA=r cm, ∵CD=6cm, 则 OC=(r—6)cm. 在 Rt△OAC 中，由勾股定理得OC +AC =
OA , 即(r-6) +9 =r , 解得 , ∴OA 的长为 cm.
16.解：(1)如图，△A B C 即为所求。
(2)(3,1).
17. 解：(1)抛物线的解析式为y=-x -2x+3.
( 2 ) 点P 的坐标为(-2,3).
18. 解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：∵把x=1 代入方程(a+c)x-2bc+a—c=
0,得a+c—2b+a-c=0,∴2a=2b,∴a=b,∴△ABC 是等腰三角形.
(2) ∵△ABC 是等边三角形，∴a=b=c, ∵(a+c)x -2bx+a-c=0,
∴(a+a)z —2ax+a-a=0, 即 x -x=0, 解得z =0,x =1, 即这个一元二
次方程的根是x =0,xz=1.
19. 解：(1)y=—(x—2) +5.
( 2 ) 将y=0 代入函数解析式y=—(x—2) +5 得 0 = —(x-2) +5, 解得x =
√5+2,xz=-√5+2. ∵I <0, 不符合题意，故舍去，∴为了使水落下后全部进
入湖中，喷水管离岸边至少( √5+2)米.
20. 解：(1)2t;(5—t).
(
BP
=4,
)(2)∵△PBQ 的面积等于4平方厘米，∠B=90°,
一 t)=4, 解得t =1,t =4, 即经过1或4秒时，△PBQ 的面积等于4平方厘米.
(3)△PBQ 的面积不能等于矩形ABCD 的面积的,理由如下：假设经过 x 秒，
△PBQ 的面积等于矩形ABCD 的面积的 ·,根据题意， ×10,整理，得x —5x+25=0, 此时△=( 一5) -4×1×25<0,∴此方程无 解，∴△PBQ 的面积不能等于矩形ABCD 的面积的 ·
21. (1)解：BD=CE, 理由如下：∵将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE,∴AD =AE,∠DAE =60°,∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC,∠BAC=60°=
∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE.
(2)证明：∵将线段AD 绕 点A 逆时针旋转60°得到AE,∴AD=AE,∠DAE=
60°,∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠ADB=120°,∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC, ∠BAC=60°=∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE, ∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ADB=∠AEC=120°, ∴∠BEC=60°, ∴∠BEC=∠AED=60°, ∴EB 平 分 ∠AEC.
(3)解：2+ √ 3.
22.解：(1)抛物线的解析式为y=x —2x—3.
( 2 ) 把C(2,m) 代 入y=x —2x-3 中，可得 m=-3, 故 C(2,-3). 由待定系数 法可得直线AC 的解析式为y=-x-1, 设 P(p, 一 p—1),E(p,p -2p—3), 故 时 ，PE 最大，此时
( 3 ) 点D 的坐标为(1,0)或(4+ √ 7,0)或(4— √ 7,0)或(-3,0).九年·数学(省命题) D 时较美观.若所镶彩纸的宽为x cm, 考 生座位序号(第11题)
二、填空题(每小题3分，共15分) 7.在平面直角坐标系中，点A(4,7)关于原点对称的点的坐标是___. 8.如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_______度. B0 A (第9题) 9.如图，◎O的半径为4 cm,若∠AOB=60°,则弦AB的长为_____cm. 10.将抛物线y=-2(x+2)2先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的 11.自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动.某校拟举办一次书法作 品展览，如图，要在每张长和宽分别为50 cm和80 cm的矩形相片周围镶上一圈等宽 13的彩纸.根据美学观点，彩纸面积为相片面积的- 根据题意，列方程为____. 三、解答题(本大题共11小题，共87分) 数学试卷 第2页(共8页)(第8题)评卷人 抛物线的解析式为____. 评卷人 12.(6分)用适当的方法解方程：x2+6x=7.
得分 得分
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
总 分
D.(-1,0) 总 E B D.6 cm D.70°
三 D (第6题)
C
九年级期中测试 数学 A二 C.(2,1) C.全国科普日 D.全国青少年科学创作活动 B.x =1,xz=-1 D.z =1,zz=-3 C.10 cm一 一、选择题(每小题3分，共18分)
九年·数学(省命题) 题 号 得 分 1.抛物线y=2(x—1)2的顶点坐标是
B.(—1,2) 2.我国青少年科普已从“知识普及”向“创新能力培养”转型.下面有关科普的图标，其文 字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是 B.全国青少年科学节 3.抛物线y=-x2+bx+3的部分图象如图所示，则一元二次方程一z2+bx+3=0的 y 3 0 B.12 cm-1; (第3题)A.x =π =1 C.z =1,z =-2 4.已知AB是⊙O的弦，若0O的半径为6cm,则弦 AB的长不可能为 5.用配方法解一元二次方程x2-4x-4=0的过程中，变形正确的是 B.(x-2)2=4 D.(x+2)2=8A.(x-2)2=0 C.(x-2)2=8 6.如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC,点D落在边AB上，且AC//DE,则 C.65° 数学试卷 第1页(共8页)B.60°评卷人
得分 A.(1,0) A.科普基地 根为 A.13 cm ∠A的度数是 A.55°
U密封线内不要答题 密封线外不写考号、姓名
名 级 号
学 校 姓 班 考
的解析式.
(2)判断△BEF的形状，并说明理由. 九年·数学(省命题)
数学试卷 第3页(共8页) (1)旋转中心是______,旋转角度最小为______度；
E
B A
(第14题) 14.(6分)如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC经逆时针旋转后能与△BEA重合. 13.(6分)已知抛物线的顶点坐标为(-1,—3),与y轴的交点坐标为(0,—5),求抛物线F
C
D
(2)直接写出点C的对应点C 的坐标.
数学试卷 第4页(共8页) (1)在平面直角坐标系中，画出△A B C ;
A
B
C
(第16题) o y B(-2,1),C(—1,3).将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A B C . 16.(7分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5), A AB交于点C,连接OA、OB.已知AB=18 cm,碗深CD=6cm,求OA的长.
D 摔碗酒瓷碗正面的形状示意图，AB是◎O的一部分，D是AB的中点，连接OD,与弦 15.(7分)西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安.如图，这是(第15题) C 0
x 九年·数学(省命题) DB
密封线内不要答题
C e B
九年·数学(省命题) D CB 2 若存在，求出t的 (第20题)Dry45 A0 12(第19题)
19.(8分)梅溪湖音乐喷泉，位于梅溪湖文化艺术中心之间的水面上，是国内独具特色的 大型音乐喷泉，也是亚洲最长的音乐喷泉，喷泉可随着音乐的节奏律动，与绚丽的灯光 融合变幻出无穷的水幕.若某一个泉眼喷出水流的轨迹是一条抛物线，垂直于水平面 的喷水管OA高出地面1米，水流从A处喷出，喷出的抛物线形水柱在与喷水管底部水 平距离为2米处达到最高，此时水柱高度为5米，如图所示，以喷水管底部的位置O点 数学试卷 第6页(共8页)为原点，建立平面直角坐标系。 (1)求抛物线的函数解析式； (2)为了使水落下后全部进入湖中，求喷水管离岸边至少多少米 20.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=5厘米，BC=10厘米，点P从点A开始沿AB 边向点B以1厘米/秒的速度运动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/ 秒的速度运动，设它们的运动时间为t秒. (1)根据题意知：BQ=______厘米，BP=______厘米(用含t的代数式表示); (2)经过几秒时，△PBQ的面积等于4平方厘米 (3)在运动过程中，△PBQ的面积能否等于矩形ABCD的面积的 值；若不存在，说明理由.
A
yA 可 (第17题)
P
B
九年·数学(省命题) 17.(7分)如图，已知抛物线y=az2+bx+3经过点A(1,0)和点B(-3,0),P为第二象 数学试卷 第5页(共8页)限内抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式； (2)连接PA、PB,当S△PAB=6时，求出点P的坐标. 18.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+c)z2-2bx+a-c=0,其中a、b、c分别为 △ABC三边的长. (1)如果x=1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
密封线内不要答题
线段AE,连接CE. 九年·数学(省命题)
B
D
数学试卷 第7页(共8页) A图① C EB
(第21题) 图② D A 运动过程中，△DEC的周长的最小值是________.
C E
B
D
图③ 点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE,连接CE.点D在 (3)【拓展提升】如图③,若△ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动 到线段AE,连接CE,若B、D、E三点在一条直线上，求证：EB平分∠AEC; (2)【探究应用】如图②,点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得 (1)【猜想证明】试猜想BD与CE的数量关系，并给予证明； 如图①,点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到 21.(10分)问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：
C
E
在，请说明理由. 度最大时点P的坐标； (1)求抛物线的解析式；
数学试卷 第8页(共8页)
1.
0
(第22题) E y4P 边形是平行四边形 如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存 (3)点F是抛物线上的动点，在z轴上是否存在点D,使得以点A、C、D、F为顶点的四 (2)点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE长 22.(12分)如图，点A(-1,0)、B(3,0)、C(2,m)在抛物线y=z2+bz+c上.C
B 九年·数学(省命题) D
密封线内不要答题
(2)(3,1). A
次方程的根是z =0,z =1. (2)点P的坐标为(-2,3). Bo CB y
∴(a+a)x2-2ax+a-a=0,即x2-x=0,解得x =0,x =1,即这个一元二 (2)∵△ABC是等边三角形，∴a=b=c,∵(a+c)z2-2bz+a-c=0, 0,得a+c-2b+a-c=0,∴2a= 2b,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形. 18.解：(1)△ABC是等腰三角形，理由如下：∵把z=1代入方程(a+c)z2-2bz+a-c= 17.解：(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. 16.解：(1)如图，△A B C 即为所求. OA2,即(r-6)2+92=P,解得：
14.解：(1)点B;90. 80=3×50×80
x A1 ∠ABC=90°,∴△BEF是等腰直角三角形.
r=39,∴OA的长为 ∵CD=6cm,则OC=(r-6)cm.在Rt△OAC中，由勾股定理得OC2+AC2= 15.解：∵D是AB的中点，∴OD⊥AB,∴AC=BC=—AB=9cm. 90°,∵△BFC绕点B逆时针旋转后能与△BEA重合，∴BE = BF,∠EBF= (2)△BEF是等腰直角三角形.理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC= 13.解：y=-2(x+1)2—3(或y=—2z2-4x-5).
三、12.解：z =1,x =—7.
二、7.(一4,—7) 8.45 9.4 10.y=-2(x-1)2—4 11.(50+2x)(80+2z)-50× 一、1.A 2.A 3.D 4.A 5.C 6.B参考答案 九年级期中测试 数学39 cm.
设OA=r cm,
(3)解：2+√3. 分∠AEC. 20.解：(1)2t;(5—t).
(3)点D的坐标为(1,0)或(4+√7,0)或(4—√7,0)或(-3,0). PE=-p+p+2=-(p一2)2+4,即当 法可得直线AC的解析式为y=-x-1,设P(p,一p—1),E(p,p2-2p—3),故 (2)把C(2,m)代入y=x2-2x-3中，可得m=-3,故C(2,-3).由待定系数 22.解：(1)抛物线的解析式为y=x2—2x—3. ∴∠ADB=∠AEC=120°,∴∠BEC=60°,∴∠BEC=∠AED=60°,∴EB平 =AC,∠BAC=60°=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS), 60°,∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠ADB=120°,∵△ABC是等边三角形，∴AB (2)证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,∴AD=AE,∠DAE= ∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE. = AE,∠DAE= 60°,∵△ABC是等边三角形，∴AB= AC,∠BAC=60°= 21.(1)解：BD=CE,理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,∴AD 解，∴△PBQ的面积不能等于矩形ABCD的面积的 ×10,整理，得 x2-5x+25=0,此时△=(-5)2-4×1×25<0,∴此方程无 △PBQ的面积等于矩形ABCD的面积的 (3)△PBQ的面积不能等于矩形ABCD的面积的 一t)=4,解得t=1,t =4,即经过1或4秒时，△PBQ的面积等于4平方厘米. (2)∵△PBQ的面积等于4平方厘米， 入湖中，喷水管离岸边至少(√5+2)米.
19.解：(1)y=—(x—2)2+5.
12
p=2
12 ,根据题意，得 12
时，PE最大，此时 ×2z(5-x)=_×5 ,理由如下：假设经过x秒， ∠B=90°,∴BQ×BP=4,即层×z(5 √5+2,zz=-√5+2.∵I <0,不符合题意，故舍去，∴为了使水落下后全部进 (2)将y=0代入函数解析式y=—(x-2)2+5得0=—(z-2)2+5,解得x =P(2,一).
