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浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【湖州专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题 1 0.94 二次函数的识别
2 0.85 根据概率公式计算概率；游戏的公平性
3 0.64 一次函数、二次函数图象综合判断
4 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号
5 0.60 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题
6 0.75 正多边形和圆的综合；用勾股定理解三角形
7 0.74 含30度角的直角三角形；求弧长；全等的性质和SSS综合（SSS）；用勾股定理解三角形
8 0.65 由频率估计概率
9 0.64 列表法或树状图法求概率
10 0.64 拱桥问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
12 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质；其他问题(实际问题与二次函数)
13 0.74 y=a（x-h） +k的图象和性质
14 0.65 圆周角定理；正多边形和圆的综合；三角形内角和定理的应用
15 0.64 列表法或树状图法求概率
16 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；90度的圆周角所对的弦是直径；用勾股定理解三角形；求过圆内一点的最长弦
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 等边对等角；圆周角定理；三角形内角和定理的应用
18 0.70 根据概率公式计算概率；列表法或树状图法求概率；已知概率求数量；由频率估计概率
19 0.64 列表法或树状图法求概率；根据概率公式计算概率
20 0.75 求抛物线与x轴的交点坐标；面积问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
21 0.74 营销问题(一元二次方程的应用)；销售问题(实际问题与二次函数)；列代数式；y=ax +bx+c的最值
22 0.65 利用垂径定理求值； 求圆弧的度数；用勾股定理解三角形
23 0.64 图形问题(实际问题与二次函数)；根据正方形的性质求线段长
24 0.4 与角平分线有关的三角形内角和问题；已知圆内接四边形求角度；利用垂径定理求值；圆周角定理2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（湖州专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．3，2， B．3，，1
C．，2， D．，，
2．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
3．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
4．如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列结论：；②；③；④对于任意实数都成立．其中，正确的序号有（ ）
A．①② B．①④ C．①②③ D．①②④
5．如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
6．如图，是正六边形，边长为2，是边上一个动点，的值可能是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是的一条弦，半径交于点，且，连接，，，则阴影部分的周长为（ ）
A． B．
C． D．
8．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他区别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是（ ）
A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球
9．将分别标有“文”、“昌”、“中”、“学”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直地接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（ ）
B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，四个扇形的面积都相等，且分别标有，，，，转动转盘一次，若指针未指在分界线上，则记为一次有效转动；若指针指在分界线上，则需要重新转动转盘，直到完成一次有效转动为止．明明和亮亮两人用如图所示的转盘做游戏，两人各转动转盘一次，转盘停止后记下指针指向的数字．如果两人转得的数字之和为奇数，则明明胜；如果两人转得的数字之和为偶数，则亮亮胜，你对这个游戏公平性的评价是 （填“公平”、“对明明有利”或“对亮亮有利”）．
12．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来用了 ，汽车前进了 ．
13．已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ．
14．如图， 正五边形内接，点F是的中点， 连接，交于点G， 则的度数是 ．
15．网购高铁票时，如果不选择座位，系统会默认随机分配座位，小林和小新同时买同一趟高铁车票，都选择系统随机分配座位，假设系统已将两人的位置分配到同一排，如图为同一排中的座位编号A，B，C，D，F，且在同一排分配到各个座位的机会是均等的，则系统分配给小林和小新相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率为 ．
16．如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数．
18．一个不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回．搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球次数 50 100 200 400 1000 2000
摸到白球的频数 18 35 72 130 332 666
摸到白球的频率
(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数为______（精确到），由此估计出袋子中红球有______个；
(2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到不同颜色的球的概率．
19．在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．
(1)若小明从箱子里任意摸出一个球，求摸出这个球是红球的概率；
(2)若小明第一次从箱子里任意摸出一个球，记下颜色后放回，第二次再从中任意摸出一个球，请用树状图法或列表法求出两次摸出的球一次是红球，一次是白球的概率．
20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，已知，且抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若E是抛物线上第四象限内的一点，且，求点E的坐标．
21．老友粉是广西南宁最具代表性的传统小吃之一，它以“酸、辣、鲜、香”著称，汤底浓郁，米粉爽滑，配料丰富，深受当地人喜爱．某超市老友粉进价为每件40元，经过一段时间的销售后发现：当老友粉的售价为每件60元时，每个星期可以售出300件，且售价每降价1元，每个星期可多售出20件．
(1)当每件老友粉降价5元时，每个星期可以售出___________件．
(2)为使每个星期老友粉销售利润达到5000元，且让客户得到实惠，每件老友粉的售价应为多少元？
(3)超市要想每个星期销售老友粉获得最大利润，每件老友粉的售价应为多少元？最大利润是多少元？
22．如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A，C分别在轴、轴上，点分别是边、上的动点，且．设，的面积为．
(1)用含的式子表示；
(2)当的值为多少时，的值最小？求这个最小值．
24．新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（湖州专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C D B C A C B B
1．C
本题考查了二次函数的定义，一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，熟记二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的定义，判断出二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可．
解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为、2、
故选：
2．C
根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为，即可求解．
解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为，则A，B，D，选项正确，C选项错误．
故选C
本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．
3．C
考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可．
解：一次函数和二次函数都经过轴上的，
两个函数图象交于轴上的同一点，排除D；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：C．
4．D
本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据图示，由二次函数图象得到：二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴有两个交点，与轴交于负半轴，由此得到系数之间的关系，逐一判定即可．
解：二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴有两个交点，与轴交于负半轴，
∴，对称轴直线，
，
∴，故①正确；
∵图像过点且对称轴为直线，
∴二次函数与轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，即，故②正确；
当时，，即，
又，
∴，故③错误；
∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，二次函数有最小值，即，
∴对于任意实数都成立，
∴对于任意实数都成立，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故选：D．
5．B
本题考查圆内接四边形，圆周角定理，中位线定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，，，，过点作于，则，进而得，根据，得，则，进而得，则，再根据三角形的中位线定理得，，则，由此得当为的直径时，为最大，最大值为4，据此可得的最大值．
解析：连接，，，，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
，，
，
，
点，分别是，的中点，
，同理，
，
当最大时，为最大，
为的弦，
当为的直径时，为最大，
当时，为最大，最大值为．
故选：B．
6．C
本题考查了正多边形与圆，设正六边形的中心为点，连接，，根据题意得出，勾股定理求得，根据，即可求解．
解：如图，设正六边形的中心为点，连接，，
∴是正六边形的外接圆的直径，则
依题意，，
∴，
∵是边上一个动点，
∴，
∵，
∴的值可能是，
故选：C．
7．A
本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接，利用证明，推出，由，得到，利用勾股定理求出，再由阴影部分的周长，计算即可．
解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，即，
∴（负值舍去），
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵阴影部分的周长，
∴阴影部分的周长．
故选：A．
8．C
本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是理解题意；由频率图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，然后问题可求解．
解：由图可知：抽出某个颜色的球的概率稳定在0.20，
，
抽出某个球的颜色最有可能的是黄球；
故选：C．
9．B
本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先列出表格得到所有等可能性的结果，再找到两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的结果，最后依据概率计算公式求解即可．
解：设“文”、“昌”、“中”、“学”分别用、、、表示，
列表如下：
由表格可知一共有12种等可能性的结果，其中两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的结果有2种，
∴两次摸出的球上的汉字能组成“文中”的概率为，
故选：B．
10．B
此题主要考查了二次函数的应用，根据所建坐标系及图形特点，选择合适的函数表达式形式，有利于减小计算量．本题选取交点式较简便．
根据所建坐标系，易求、、的坐标，因它们都在抛物线上，所以代入解析式得方程组求解，再求顶点坐标得高度长．
解：由题意得，抛物线过点、、，
设，
把代入，
得，
解得，
．
令得，
，
门的高度约为．
故选：B．
11．对亮亮有利
本题考查了画树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式是求解的关键．
根据题意，画树状图，再运用概率公式求概率，判断游戏公平性．
解：根据题意，画树状图如下．
由树状图，可知共有16种等可能的结果，其中和为奇数的结果有6种，和为偶数的结果有10种，
，，
∴这个游戏对亮亮有利，
故答案为：对亮亮有利．
12． 3 45
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键在于理解汽车停下来时的状态与二次函数的关系．
先将二次函数化为顶点式，再分析汽车停下来时的情况，即汽车从刹车到停下来，其速度逐渐减小为，再根据二次函数的最值求解即可．
解：∵，
∴对称轴为，
∵汽车刹车后前行的距离会先增加，达到最大值后停止，即汽车停下来时，取得最大值，
∴可知汽车从刹车后到停下来用了，汽车前进了．
故答案为：①3；②45 ．
13．
本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可．
解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点，，在二次函数的图象上，且，
∴；
故答案为：
14．/126度
此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，连接，，，，，首先根据多边形和圆的性质得到，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形内角和定理求解即可．
如图所示，连接，，，，
∵正五边形内接，
∴
∵点F是的中点
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
15．
本题考查列表法求概率：列出表格，利用概率公式进行求解即可．
解：由题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共20种等可能的情况，其中小林和小新相邻座位的结果有6种，
∴．
故答案为：．
16．
本题考查了坐标与图形性质，作出正确的辅助线，确定点C的运动轨迹是解答本题的关键．先确定点C的运动轨迹，再作点A关于原点的对称点E，连接，交于C，当最小时，也就是最小，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最小，利用勾股定理求出最小值即可．
解：∵，，即，
∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动，
如图，作点A关于原点的对称点E，连接，交于点C，
∵O为中点，M为中点，
∴为的中位线，
∴，
当最小时，也就是最小，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最小，
在中，，，根据勾股定理得：
，
∴，
∴．
故答案为：．
17．，
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键．
由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解．
解：，，
，
，
，
．
18．(1)0.33，2
(2)
本题了由频率估计概率，画树状图法求概率，掌握概率所求事件的结果数总的结果数是解题的关键．．
（1）根据表中频率的变化范围求得频率，再利用频率表示概率计算求值即可；
（2）画出树状图，根据概率=所求事件的结果数÷总的结果数计算求值即可；
（1）通过观察表格可知频率在0.33附近摆动
设红球有 x 个，则摸到白球的概率为 ．
已知摸到白球的频率稳定在0.33附近摆动，
因此可以建立方程：
解这个方程得到 ．
经检验：是方程的解，
所以红球共2个；
（2）将两个红球分别记作红1、红2，列表如下：
第一个第二个 白 红1 红2
白 （红1，白） （红2，白）
红1 （白，红1） （红2，红1）
红2 （白，红2） （红1，红2）
共有6种等可能的结果，
其中恰好摸到两个不同颜色的球的情况有4种，
（红1，白）、（红2，白）、（白，红1）、（白，红2）。
则P（不同颜色）．
19．(1)
(2)
本题主要考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点．掌握“概率所求情况数与总情况数之比”是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可．
（2）用列表法表示出所有的等可能情况，再利用概率公式求解即可．
（1）解：∵箱子里放有1个白球和2个红球，
∴小明从箱子里任意摸出一个球，摸出这个球是红球的概率为；
（2）解：列表如下：
白 红 红
白 （白，白） （白，红） （白，红）
红 （红，白） （红，红） （红，红）
红 （红，白） （红，红） （红，红）
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的球一次是红球，一次是白球的情况有4种，
所以摸出的球中两次摸出的球一次是红球，一次是白球的概率为．
20．(1)
(2)
本题考查了二次函数与一元二次方程．
（1）将代入计算即可；
（2）令，求出，设，根据列方程求解即可．
（1）解：将代入得，
解得，
∴解析式为；
（2）解：令，得，
解得，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
即，
解得（舍去），，
∴．
21．(1)
(2)50元
(3)当每件老友粉的售价为元时，超市平均每周的利润最大，其最大值为元．
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握总利润和每件利润与件数的关系列方程，列函数表达式，配方法把二次函数一般式化成顶点式．
（1）根据当老友粉的售价为每件60元时，每个星期可以售出300件，且售价每降价1元，每个星期可多售出20件列式计算即可；
（2）设每件老友粉的售价应为x元，根据总利润等于每件利润乘以售出总件数，建立方程即可解答；
（3）设每件老友粉的售价为x元，超市平均每周的利润为w元，根据w和每件利润与件数的关系列出函数表达式，配方成顶点式，利用二次函数的性质即可解答．
（1）解：当每件老友粉降价5元时，每个星期可以售出（件）
（2）解：设每件老友粉的售价应为x元，根据题意，得
解得，，
∴让客户得到实惠，每件老友粉的售价应为50元；
（3）设每件老友粉的售价为x元，超市平均每周的利润为w元，根据题意，得
，
当每件老友粉的售价为元时，超市平均每周的利润最大，其最大值为元．
22．(1)
(2)
本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．
（1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
（1）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：作，则，
在中，，
，
，
在中，，
．
23．(1)
(2)当时，S取得最小值，最小值为．
本题主要考查了二次函数的实际应用，坐标与图形的相关知识．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据代入数值列出函数关系式即可．
（2）对二次函数进行配方，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
（1）解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故
（2）解：，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，S取得最小值，最小值为．
24．(1)
(2)见解析
(3)
（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果；
（2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证；
（3）连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果．
（1）解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角．
（3）解：记圆心为，连接，连接，
∵平分，平分，
∴平分，
∴是的好望角，而，
∴，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．
本题考查圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握好望角的定义，是解题的关键．
