2025-2026学年广东省东莞外国语学校高二（上）段考数学试卷（一）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年广东省东莞外国语学校高二（上）段考数学试卷（一）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 198.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-01 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省东莞外国语学校高二（上）段考数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+2y-1=0的一个方向向量是（ ）
A. （1，-2） B. （2，1） C. （2，-1） D. （1，2）
2.若平面α的法向量为，平面β的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A. 若α∥β，则m=1 B. 若l⊥α，则n=2
C. 若n=-20，则l∥α D. 若m=-10，则α⊥β
3.“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A.
B.
C. -
D.
6.过点P（1，3）作直线l,若l经过点A（a,0）和B（0，b），且a,b均为正整数，则这样的直线l可以作出（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 相交
C. 异面垂直
D. 异面不垂直
8.已知点M（1，-1），N（1，2），且点P在直线l：4x+3y-12=0上，则下列说法错误的是（ ）
A. 存在点P，使得PM⊥PN B. 存在点P，使得|PM|=2|PN|
C. |OP|（O为坐标原点）的最小值为 D. |PM|+|PN|的最小值为3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的有（ ）
A. A1C1∥平面ACD1 B. B1D⊥平面ACD1
C. 点D到平面ACD1的距离为 D. AB与平面ACD1所成的角为30°
10.下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线y=kx-2在y轴的截距是2
B. 直线的倾斜角为30°
C. 直线l的方向向量是（2，3），则直线l的斜率是
D. 点P（x0，y0）在直线l：Ax+By+C=0上，直线l方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0
11.在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），则下列命题中正确的是（ ）
A. d（A，B）=d（B，A）
B. ，则
C. O为坐标原点，动点R满足d（O，R）=1，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆
D. 已知点P（3，1），直线l：2x-y-1=0，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则k=______.
13.如图在一个60°的二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，AC=1，BD=2，则CD=______．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，B（2，4），过点P（2，1）作直线分别交射线AB，x轴正半轴于点M，N，则△MON面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为-3.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
16.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体OBCD-O1B1C1D1中，O为坐标原点，OD，OB，OO1分别为x轴、y轴、z轴正方向.
（1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标.
（2）求向量的坐标.
（3）求向量与的夹角.
17.(本小题15分)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.记，，.
（1）用表示，并求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）线段B1C上是否存在点P，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由.
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（-4，2），AB边上的中线CF所在的直线方程为x+2y-5=0.
（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x-3y+10=0，求边BC所在的直线方程；
（2）若∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x,求边BC所在的直线方程.
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°，AB=2，现将△DAC沿AC翻折至△SAC，形成三棱锥S-ABC，其中S为动点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）若SC⊥BC，三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面SAC的距离；
（3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】3x-y-3=0；
16.【答案】O（0，0，0），B（0，2，0），C1（2，2，2）；
；
17.【答案】，；
；
存在点P且
18.【答案】x+7y-30=0；
3 x+y-10=0
19.【答案】解：（1）取AC的中点E，连接SE，BE，
因为AB=BC，SA=SC，且AC的中点E，
所以SE⊥AC，BE⊥AC，
又SE∩BE=E，SE，BE 平面SBE，
故AC⊥平面SBE，
由于SB 平面SBE，
故AC⊥SB，
（2）当SC⊥BC时，由△CBS≌△ABS，则SA⊥BA，
取BS的中点O，连接OA，OC，
故O到A，B，C，S四点的距离相等，故O为三棱锥S-ABC外接球的球心，
因为AB=BC=2，，故，SB=，，
设S到平面ABC的距离为h1，B到平面ABC的距离为h2，
由等体积法可得，
而，
由于∠SEB∈（0，π），故，
所以，
从而，
故O到平面SAC的距离为．
（3）以B为原点，BC，BA，BZ分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,
过点S作平面ABC的垂线，垂足为Q，
设∠SEQ=θ为翻折过程中所旋转的角度，则，
，，
故B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），，
，
则，，
设平面SBC的法向量为，
则，
取，则，
所以，
设平面SAC的法向量为，
，，，
则，
取x2=sinθ，则y2=sinθ，
则，
设平面SBC平面与SAC的夹角为α，
故，
，
令，，
故，
由于，
故，
当且仅当t=1，即时取等号，
故平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值为，
此时．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+2y-1=0的一个方向向量是（ ）
A. （1，-2） B. （2，1） C. （2，-1） D. （1，2）
2.若平面α的法向量为，平面β的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ）
A. 若α∥β，则m=1 B. 若l⊥α，则n=2
C. 若n=-20，则l∥α D. 若m=-10，则α⊥β
3.“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线ax-y+1=0相互垂直”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线l的倾斜角，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A.
B.
C. -
D.
6.过点P（1，3）作直线l,若l经过点A（a,0）和B（0，b），且a,b均为正整数，则这样的直线l可以作出（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 相交
C. 异面垂直
D. 异面不垂直
8.已知点M（1，-1），N（1，2），且点P在直线l：4x+3y-12=0上，则下列说法错误的是（ ）
A. 存在点P，使得PM⊥PN B. 存在点P，使得|PM|=2|PN|
C. |OP|（O为坐标原点）的最小值为 D. |PM|+|PN|的最小值为3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的有（ ）
A. A1C1∥平面ACD1 B. B1D⊥平面ACD1
C. 点D到平面ACD1的距离为 D. AB与平面ACD1所成的角为30°
10.下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线y=kx-2在y轴的截距是2
B. 直线的倾斜角为30°
C. 直线l的方向向量是（2，3），则直线l的斜率是
D. 点P（x0，y0）在直线l：Ax+By+C=0上，直线l方程为A（x-x0）+B（y-y0）=0
11.在平面直角坐标系中，定义d（A，B）=max{|x1-x2|，|y1-y2|}为两点A（x1，y1），B（x2，y2）的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），则下列命题中正确的是（ ）
A. d（A，B）=d（B，A）
B. ，则
C. O为坐标原点，动点R满足d（O，R）=1，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆
D. 已知点P（3，1），直线l：2x-y-1=0，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则k=______.
13.如图在一个60°的二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若，AC=1，BD=2，则CD=______．
14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，B（2，4），过点P（2，1）作直线分别交射线AB，x轴正半轴于点M，N，则△MON面积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为-3.
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
16.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体OBCD-O1B1C1D1中，O为坐标原点，OD，OB，OO1分别为x轴、y轴、z轴正方向.
（1）建立空间直角坐标系，写出点B、C1、O的坐标.
（2）求向量的坐标.
（3）求向量与的夹角.
17.(本小题15分)
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.记，，.
（1）用表示，并求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）线段B1C上是否存在点P，使得，，是共面向量？若存在，求，若不存在，说明理由.
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（-4，2），AB边上的中线CF所在的直线方程为x+2y-5=0.
（1）若AC边上的高BE所在的直线方程为x-3y+10=0，求边BC所在的直线方程；
（2）若∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x,求边BC所在的直线方程.
19.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°，AB=2，现将△DAC沿AC翻折至△SAC，形成三棱锥S-ABC，其中S为动点.
（1）证明：AC⊥SB；
（2）若SC⊥BC，三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面SAC的距离；
（3）求平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】3x-y-3=0；
16.【答案】O（0，0，0），B（0，2，0），C1（2，2，2）；
；
17.【答案】，；
；
存在点P且
18.【答案】x+7y-30=0；
3 x+y-10=0
19.【答案】解：（1）取AC的中点E，连接SE，BE，
因为AB=BC，SA=SC，且AC的中点E，
所以SE⊥AC，BE⊥AC，
又SE∩BE=E，SE，BE 平面SBE，
故AC⊥平面SBE，
由于SB 平面SBE，
故AC⊥SB，
（2）当SC⊥BC时，由△CBS≌△ABS，则SA⊥BA，
取BS的中点O，连接OA，OC，
故O到A，B，C，S四点的距离相等，故O为三棱锥S-ABC外接球的球心，
因为AB=BC=2，，故，SB=，，
设S到平面ABC的距离为h1，B到平面ABC的距离为h2，
由等体积法可得，
而，
由于∠SEB∈（0，π），故，
所以，
从而，
故O到平面SAC的距离为．
（3）以B为原点，BC，BA，BZ分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系B-xyz,
过点S作平面ABC的垂线，垂足为Q，
设∠SEQ=θ为翻折过程中所旋转的角度，则，
，，
故B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），，
，
则，，
设平面SBC的法向量为，
则，
取，则，
所以，
设平面SAC的法向量为，
，，，
则，
取x2=sinθ，则y2=sinθ，
则，
设平面SBC平面与SAC的夹角为α，
故，
，
令，，
故，
由于，
故，
当且仅当t=1，即时取等号，
故平面SAC与平面SBC夹角余弦值的最小值为，
此时．
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