广东省广州市奥林匹克中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省广州市奥林匹克中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 206.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-01 00:00:00 | ||
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文档简介
2025-2026学年广东省广州市奥林匹克中学高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=2025的倾斜角为（ ）
A. B. C. 0 D.
2.若圆关于点（1，2）对称的圆C2的方程为（ ）
A. （x-4）2+（y-1）2=4 B. x2+（y-1）2=4
C. （x+4）2+（y+1）2=4 D. x2+（y+1）2=4
3.若l∥α，且为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，则t的值为（ ）
A. 8 B. -8 C. -6 D. -4
4.已知直线l1：2x-ay+1=0，l2：（a-1）x-y+a=0，则“a=2”是“l1∥l2”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于( )
A. B. C. D.
6.若点P（2，3）在圆C：x2+y2+2x-2y+a=0外，则a的取值范围是（ ）
A. （-11，+∞） B. （-11，2） C. （-8，2） D. （-8，+∞）
7.已知点A（2，-3），B（-3，-2），设点（x，y）在线段AB上（含端点），则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线分别和边BC，CA，AB相交于点P，Q，R，则三点P，Q，R在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形三个顶点的坐标为A（0，1），B（2，0），C（0，-4），则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ）
A. 2x+3y-8=0 B. 2x+3y+8=0 C. 2x-3y-8=0 D. 2x-3y+8=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个命题中真命题有（ ）
A. 直线y=x-2在y轴上的截距为-2
B. 经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y=kx+2表示
C. 直线y=ax-3a+2过定点（3，2）
D. 已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是1
10.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，且，M为A1C1与B1D1的交点，设=，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，BB1的中点，M为线段A1D上的动点，则（ ）
A. 存在点M，使得直线FM⊥AC1
B. 存在点M，使得EM∥平面AA1B1B
C. 点M到直线C1D1距离的最小值为
D. 三棱锥C1-MEF的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与，则在方向上的投影向量为______.
13.已知圆C的圆心为（1，-4），且与直线l：x+y-1=0相切，则圆C被直线3x-4y-9=0截得的弦长为______.
14.已知点A（-1，2），C（-1，0），点A关于直线x-y+1=0的对称点为点B，在△PBC中，，则△PBC面积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量，.
（1）求与的夹角余弦值.
（2）若，求实数λ的值.
16.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（-2，6），C（-8，0），求：
（1）边AB所在直线的方程；
（2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程；
（3）△ABC的面积.
17.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，BB1的中点.
（1）求证：CF∥平面A1BE；
（2）求平面EA1B与平面A1BA成角的正弦值；
（3）求点A到平面A1BE的距离.
18.(本小题12分)
如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛4千米处，正沿着北偏东60°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC⊥AC，AB∥DC.
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若BC=2，CD=3，PA=AB=4，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O.
（i）求DO与平面PBC所成角的正弦值；
（ii）N为PC的中点，线段PD上是否存在点H，使得H，A，O，N四点共面？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】（2，-2，0）
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据题意，向量，，
则；
（2）根据题意，向量，．
则，
又，则有，
则．
16.【答案】lAB：x+y-4=0．
2 x+y+6=0．
12
17.【答案】（1）证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（2，2，0），F（2，0，1），A1（0，0，2），B（2，0，0），E（0，2，1），C1（2，2，2），
所以，
设平面A1BE的法向量为，则，
取x=2，则z=2，y=1，所以，
由于，所以，
又CF 平面A1BE，所以CF∥平面A1BE．
（2）解：由（1）知平面A1BE的法向量为，
易知平面A1BA的一个法向量为=（0，1，0），
设平面EA1B与平面A1BA所成角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|===，
所以sinθ==，
故平面EA1B与平面A1BA成角的正弦值为．
（3）解：由于，平面A1BE的法向量为，
所以点A到平面A1BE的距离为．
18.【答案】x2+y2-2x-6y=0．
该船有触礁的危险
19.【答案】证明：因为PA⊥平面ABCD，BCC平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AC，AC 平面PAC，PA 平面PAC，PA∩AC=A，
所以BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC；
（i）；
（ii）存在点H，满足使得H，A，O，N四点共面
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=2025的倾斜角为（ ）
A. B. C. 0 D.
2.若圆关于点（1，2）对称的圆C2的方程为（ ）
A. （x-4）2+（y-1）2=4 B. x2+（y-1）2=4
C. （x+4）2+（y+1）2=4 D. x2+（y+1）2=4
3.若l∥α，且为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，则t的值为（ ）
A. 8 B. -8 C. -6 D. -4
4.已知直线l1：2x-ay+1=0，l2：（a-1）x-y+a=0，则“a=2”是“l1∥l2”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知三棱锥O-ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于( )
A. B. C. D.
6.若点P（2，3）在圆C：x2+y2+2x-2y+a=0外，则a的取值范围是（ ）
A. （-11，+∞） B. （-11，2） C. （-8，2） D. （-8，+∞）
7.已知点A（2，-3），B（-3，-2），设点（x，y）在线段AB上（含端点），则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线分别和边BC，CA，AB相交于点P，Q，R，则三点P，Q，R在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩（Lemoine）线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形三个顶点的坐标为A（0，1），B（2，0），C（0，-4），则该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ）
A. 2x+3y-8=0 B. 2x+3y+8=0 C. 2x-3y-8=0 D. 2x-3y+8=0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列四个命题中真命题有（ ）
A. 直线y=x-2在y轴上的截距为-2
B. 经过定点A（0，2）的直线都可以用方程y=kx+2表示
C. 直线y=ax-3a+2过定点（3，2）
D. 已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是1
10.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，且，M为A1C1与B1D1的交点，设=，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，BB1的中点，M为线段A1D上的动点，则（ ）
A. 存在点M，使得直线FM⊥AC1
B. 存在点M，使得EM∥平面AA1B1B
C. 点M到直线C1D1距离的最小值为
D. 三棱锥C1-MEF的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与，则在方向上的投影向量为______.
13.已知圆C的圆心为（1，-4），且与直线l：x+y-1=0相切，则圆C被直线3x-4y-9=0截得的弦长为______.
14.已知点A（-1，2），C（-1，0），点A关于直线x-y+1=0的对称点为点B，在△PBC中，，则△PBC面积的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知向量，.
（1）求与的夹角余弦值.
（2）若，求实数λ的值.
16.(本小题12分)
已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（-2，6），C（-8，0），求：
（1）边AB所在直线的方程；
（2）AC边上的垂直平分线所在直线的方程；
（3）△ABC的面积.
17.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，BB1的中点.
（1）求证：CF∥平面A1BE；
（2）求平面EA1B与平面A1BA成角的正弦值；
（3）求点A到平面A1BE的距离.
18.(本小题12分)
如图，贵阳红枫湖湖面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛2千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛4千米处，正沿着北偏东60°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC⊥AC，AB∥DC.
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）若BC=2，CD=3，PA=AB=4，P，A，B，C在同一个球面上，球心为O.
（i）求DO与平面PBC所成角的正弦值；
（ii）N为PC的中点，线段PD上是否存在点H，使得H，A，O，N四点共面？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】（2，-2，0）
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据题意，向量，，
则；
（2）根据题意，向量，．
则，
又，则有，
则．
16.【答案】lAB：x+y-4=0．
2 x+y+6=0．
12
17.【答案】（1）证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（2，2，0），F（2，0，1），A1（0，0，2），B（2，0，0），E（0，2，1），C1（2，2，2），
所以，
设平面A1BE的法向量为，则，
取x=2，则z=2，y=1，所以，
由于，所以，
又CF 平面A1BE，所以CF∥平面A1BE．
（2）解：由（1）知平面A1BE的法向量为，
易知平面A1BA的一个法向量为=（0，1，0），
设平面EA1B与平面A1BA所成角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|===，
所以sinθ==，
故平面EA1B与平面A1BA成角的正弦值为．
（3）解：由于，平面A1BE的法向量为，
所以点A到平面A1BE的距离为．
18.【答案】x2+y2-2x-6y=0．
该船有触礁的危险
19.【答案】证明：因为PA⊥平面ABCD，BCC平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AC，AC 平面PAC，PA 平面PAC，PA∩AC=A，
所以BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC；
（i）；
（ii）存在点H，满足使得H，A，O，N四点共面
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