2025-2026学年广东省江门一中高二（上）第一次段考数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省江门一中高二（上）第一次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知=（1，k，-2），=（2k，2，4），若∥，则实数k的值为（　　）
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
2.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女性的人数为（　　）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 30
3.集合A={2，3}，B={1，2，4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有样本点的个数为（　　）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 11
4.如图在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1中，E为BC延长线上的一点，=3，则=（　　）
A. +- B. +-
C. ++ D. -
5.已知点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，3，2），则点C到直线AB的距离为（　　）
A. B. C. D. 2
6.如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A=“得到的点数为偶数”，记事件B=“得到的点数大于4”，记事件C=“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（　　）
A. 事件B与C互斥，A与C相互对立 B.
C. P（AB）=P（A）P（B） D. P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则点A1到平面ECC1的距离为（　　）
A. B. C. D.
8.从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（　　）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在空间直角坐标系O-xyz中，以下结论正确的是（　　）
A. 点A（-3，1，5）关于原点O的对称点的坐标为（3，-1，-5）
B. 点A（1，3，-4）关于x轴的对称点的坐标为（-1，-3，4）
C. 点P（-1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是（-1，2，-3）
D. 两点M（-1，1，2），N（1，3，3）间的距离为3
10.若，则下列说法正确的是（　　）
A. B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立 D. 事件与B不一定相互独立
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，下列说法正确的是（　　）
A. 直线AD1与A1C1所成的角为60°
B. 直线AC1与平面AA1D1D所成角的余弦值为
C. 点A1到平面AC1D1的距离为
D. 二面角D1-AB-C的大小为60°
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是，，那么至少有1人解对的概率是______.
13.已知某7个数的平均数为3，方差为s2，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为.则s2=______.
14.如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为，，则顶点D到平面α的距离是______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如图所示.
（1）求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数；
（2）从所抽查的每天体育锻炼时间在[10，20），[60，70）内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率.
16.(本小题12分)
如图，在长方体AC1中，，点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心.以D为坐标原点，DA、DC、DD1所为直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，试用向量方法解决下列问题：
（1）求异面直线AF和BE所成的角；
（2）求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
17.(本小题12分)
2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.
18.(本小题12分)
已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，E、F、M、O分别是PC、PD、BC、AD的中点，PO⊥平面ABCD.
（1）求证：EF⊥PA；
（2）求点B到平面EFM的距离；
（3）在线段PA上是否存在点N，使得直线MN与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段PN的长度，若不存在，说明理由.

19.(本小题12分)
如图，设Ox,Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，，分别是与Ox,Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系.在α-仿射坐标系中，若，则记.
（1）若，，求；
（2）若，，且，求α；
（3）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据题意可得（a+a+0.03+0.03+0.015+0.01+a）×10=1，∴a=0.005，
∴估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为：
15×0.05+25×0.05+35×0.3+45×0.3+55×0.15+65×0.1+75×0.05=44.5；
（2）∵每天体育锻炼时间在[10，20），[60，70）内的学生的人数比为0.005：0.01=1：2，
∴从所抽查的每天体育锻炼时间在[10，20），[60，70）内的学生中，用分层抽样选取的6人分别为：
[10，20）内选2人，设其为a,b；[60，70）内选4人，设其为1，2，3，4，
则再从这6人中任选2人所得的样本空间为：
Ω={（a,b），（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4），（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，其中共15个样本点，
设A=“所选2人不在同一组“，
则A={（a,1），（a,2），（a,3），（a,4），（b,1），（b,2），（b,3），（b,4）}，其中含8个样本点，
∴P（A）=．
16.【答案】解：（1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），F（1，2，），
B（2，2，0），E（1，1，），C（0，2，0）．
∴，…（4分）
∴=1-2+1=0…（6分）
所以AF和BE所成的角为90°．…（7分）
（2）设平面BEC的一个法向量为，
又 ，，
则：，．
∴x=0，令z=1，则：，∴=（0，，1）．…（10分）
∴．…（12分）
设直线AF和平面BEC所成角为θ，则：．
即 直线AF和平面BEC所成角的正弦值为．…（14分）
17.【答案】；．
．
18.【答案】（1）证明：因为PO⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PO⊥CD，
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD，
又PO∩AD=O，PO、AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，
因为E，F分别是PC、PD的中点，
所以EF∥CD，
所以EF⊥平面PAD，
又PA 平面PAD，所以EF⊥PA．
（2）解：连接OM，则OM⊥AD，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（2，4，0），M（0，4，0），F（-1，0，），P（0，0，2），C（-2，4，0），E（-1，2，），A（2，0，0），
所以=（-1，-2，），=（0，2，0），=（2，0，0），
设平面EFM的法向量为=（x,y,z），则，
取z=1，则x=，y=0，所以=（，0，1），
所以点B到平面EFM的距离为==．
（3）解：设=λ（2，0，-2），λ∈[0，1]，则N（2λ，0，2-2λ），
所以=（2λ，-4，2-2λ），
因为直线MN与平面EFM所成角的正弦值为，
所以=|cos＜，＞|==，
整理得18λ2-27λ+7=0，即（6λ-7）（3λ-1）=0，
解得λ=或λ=（舍），
所以=λ（2，0，-2）=（，0，-），||==，
故在线段PA上存在点N，使得直线MN与平面EFM所成角的正弦值为，且线段PN的长度为．
19.【答案】

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