云南省昆明市云南师范大学实验中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（图片版，无答案）

云南师范大学实验中学高二年级 10 月月考
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的．
1 3．已知集合 A x∣x x ,B 3,0,1,2 ，则 A B （ ）
A． 3,0 B． 0,1 C． 3,0,1 D． 0,1,2
2．已知直线 l : 4x 3y 20 0，直线m：ax 3y 0与直线 l平行，则直线 l与m
之间的距离为（ ）
8 12
A． B． C．4 D．2
5 5

3．设直线 l1的方向向量为 a (2,1, 2)，直线 l2的方向向量为b (2,2,m)，若 l1 l2，
则 m＝（ ）
A．1 B． 3 C． 2 D． 3
2x , x 0,
4．已知函数 f (x) 2 ，则 f [ f ( 2)] （ ）
log2 x , x 0
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知圆 C： (x 3)2 (y 2)2 4，直线 l： y k x 2 1，则直线 l被圆 C
截得的最短弦长为（ ）
A． 2 B．2 C．2 2 D．4
6．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中
有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，
左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳
数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别
随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（ ）
1 2 3 1
A． B． C． D．
5 5 10 4
1
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1 tan10 2cos70
7．设 sin 20 m， cos 20 n，化简 （ ）
1 tan10 cos50
n m m n
A． B． C． D．
m n n m
8．数学家欧拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线
上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形
的欧拉线.已知VABC的顶点 A 2,0 ，B 0,4 ， AC BC，则VABC的欧拉线
方程为（ ）
A．2x y 3 0 B．2x y 3 0
C． x 2y 3 0 D． x 2y 3 0
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．若直线mx 2ny 4 0始终平分圆 x2 y2 4x 2 y 4 0的周长，则mn的
取值可能是（ ）
1
A 1 1． 2 B．

2 C． D．23

10．已知 0，函数 f (x) 2sin x
π π 5π
6
在

，
2 6
上单调递减，则实数 的

取值可以是（ ）
4 5
A．1 B． C． D．2
3 3
11．下列说法正确的是（ ）
A z z z z z2 2．设 1， 2为复数，若 1 2 ，则 1 z2
B．若 4 3i 2是关于 x的方程 x px q 0 p,q R 的根，则 p 8
C．若 z 1， z C，则 z 2 的最大值为 3
D．设 z1， z2为复数，则“ z1 z2 ”是“ z1 z2 0 ”的充分不必要条件
2
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知a log0.3 0.2,b log2 0.2，则 a b ab (填“>”或“=”或“<”).
13．过点 A 1,4 作圆C： x2 y2 17的切线 l，切线 l的方程为 ．
14．若正数a，b满足 ab a b 2，则ab的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题 13分）已知直线2x 3y 1 0和直线 x y 2 0的交点为 P .
(1)求过点 P且与直线3x y 1 0平行的直线方程；
(2)若直线 l1与直线3x y 1 0 P l
10
垂直，且 到 1的距离为 ，求直线的方程.
5
16．（本题 15分）如图，在圆内接VABC中，内角 A， B，C所对的边分别为 a，
b， c，满足a cosC ccos A 2bcosB .
(1)求 B；
(2)若点D是劣弧 AC一点，由圆内接四边形的性质可知：
D B 180 ，AB 2，BC 3，AD 1，求四边形 ABCD
的面积.
17．（本题 15分）如图，四棱锥 P ABCD的底面是正方形，PD 平面 ABCD，
点E在棱 PB上.
（1）求证：平面 AEC 平面PDB；
1
（2）当 PD 2AB 2，且VA PED 时，确定3
PE
点E的位置，即求出 的值.
EB
3
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18．（本题 17分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”
知识竞赛，从所有答卷中随机抽取 100份作为样本，将样本的成绩（满分 100分，
成绩均为不低于 40分的整数）分成六组： 40,50 ， 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ，
80,90 ， 90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 a的值与样本成绩的平均数、中位数；
(2)在样本答卷成绩为 70,80 ， 80,90 ， 90,100 的三组市民中，用分层抽
样的方法抽取 13人，则样本的答卷成绩
在 70,80 中的市民应抽取多少人？
(3)若落在 50,60 的平均成绩是 57，方
差是 2，落在 60,70 的平均成绩为 69，
方差是 5，求这两组成绩的总平均数 z和
总方差 S 2．
2 n 2 2 m
参考公式：S S x z x S
2 z y 2 y 其中 z 为总样本平均数．n m n m
19．（本题 17分）在平面直角坐标系中，对于VABC及直线 l，记d1 A 、d1 B 、
d 2 2 2l C 分别表示 A、B、C到 l的距离，且 Sl dl A dl B dl C ．对
于给定的VABC，记 S1的最小值为m△ABC．
(1)已知定点 A 0,0 ，B 3,0 ，C 2,2 ，直线 l的方程为 x 7 y 9 0，求 Sl
的值；
(2)已知 A xA ,yA ，B xB ,yB ，C xC ,yC 为给定的不共线的三点，若直线 l0使
得 Sl m△ABC，求证：直线 l0过VABC的重心；0
(3)若对于VABC，满足 Sl m△ABC的不同直线 l至少有两条，试判断VABC的
形状，并予以证明．
4
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