2025-2026学年山东省烟台市牟平一中高二（上）限时训练数学试卷（10月份）（含答案）

2025-2026学年山东省烟台市牟平一中高二（上）限时训练数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若，则=（　　）
A. B. C. D.
3.已知点A（-2，3）在圆C：x2+y2-2mx-4y+5=0外，则实数m的取值范围是（　　）
A. （-∞，-1）∪（2，+∞） B. （-2，-1）∪（2，+∞）
C. D.
4.已知直线l1：（m-2）x-3y-1=0与直线l2：mx+（m+2）y+1=0相互平行，则实数m的值是（　　）
A. -4 B. 1 C. -1 D. 6
5.已知向量以为基底时的坐标为（1，2，3），则向量以为基底时的坐标为（　　）
A. B. （3，-1，3） C. D.
6.已知Q为直线l：x+2y+1=0上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则（　　）
A. E是一个半径为的圆 B. E是一条与l相交的直线
C. E上的点到l的距离均为 D. E是两条平行直线
7.直角坐标系xOy中直线3x+y=0上的横坐标分别为-2，1的两点A、B，沿x轴将坐标平面xOy折成大小为α的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则α的大小为（　　）
A. B. C. D.
8.已知点A（-1，0），B（1，0），若圆（x-a+1）2+（y-a-2）2=1上存在点M满足=3，则实数a的值不可以为（　　）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.关于空间向量，以下说法正确的是（　　）
A. 若空间向量，，则在上的投影向量为
B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D. 若直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，则l⊥α
10.下列说法中正确的有（　　）
A. 若三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3-a不能构成三角形，则实数a所有可能的取值组成的集合为{-1，1}
B. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为
C. 若圆x2+y2=r2上恰有2个点到直线3x+4y-15=0的距离等于1，则r的取值范围是（2，4）
D. 已知圆C：x2+y2=4，点P为直线y=4-x上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB面积最小值为4
11.正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，x,y,z∈[0，1]，若正方体棱长为1，则下列正确的有（　　）
A. 若x=0，y+z=1，则C1P∥平面AB1C
B. 若x+y+z=1，则三棱锥P-B1CD1的体积为定值
C. 若2x=y=z,则点P到直线D1D的距离的最小值为
D. 若，，则二面角P-A1D1-B1的正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l过点（3，1），且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 .
13.一束光线从点A（2，3）射出，经y轴反射后，与圆C：x2+y2-6x+4y+12=0相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是______．
14.正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4，点P满足，点Q满足，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴相切于点M（0，-2）.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点P（2，0）且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
16.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中点.
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；
（3）若，且点F到平面EDB的距离为，求λ的值.
17.(本小题12分)
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰祶形，AB∥CD，CD∥EF，AB=DE=EF=CF=2，CD=4，，M为CD的中点.
（1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF；
（2）求直线DA与平面AEM所成角的余弦值
（3）设点N是△ADM内一动点，，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角的余弦值.
18.(本小题12分)
古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A（-1，0）和B（-2，1），且该平面内的点P满足.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设点M为直线y=x-3上的一点.过点M作轨迹C的两条切线，切点为Q，R.
（i）证明：直线QR过定点；
（ⅱ）求线段QR长度的最小值.
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，圆M是以，两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称.
（1）求圆N的标准方程；
（2）设C（0，1），D（0，4），过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.
（i）过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
（ii）设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】BCD
11.【答案】AC
12.【答案】x+y-4=0
13.【答案】（-，-）
14.【答案】-1
15.【答案】解：（1）设圆心坐标为（a,b），
圆C的圆心在直线x-y-5=0上且与y轴相切于点M（0，-2），
则，解得a=3，b=-2，
故圆心C(3，-2），半径r=|MC|=，
所以圆的方程为(x-3)2+(y+2)2=9；
（2）当l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，满足题意，
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=k(x-2），即kx-y-2k=0，
直线l过点P(2，0)且被圆C截得的弦长为，
则圆心C到直线l的距离d=，
故，解得k=-，
故直线方程为3x+4y-6=0，
综上所述，直线l的方程为x=2或3x+4y-6=0．
16.【答案】证明见解析； ； ．
17.【答案】证明：如图所示，取DM的中点为O，连接OA，OE，
因为M为CD的中点，CD=4，所以DM=CM=2，
又因为AB∥CD，CD∥EF，AB=DE=EF=CF=2，
所以AB∥CM，且AB=CM，CM∥EF，且CM=EF，
所以四边形ABCM与四边形CMEF都是平行四边形，
所以，
所以△EMD是边长为2的等边三角形，△ADM是等腰三角形，
所以OE⊥DM，OA⊥DM．
因为，DE=2，
所以，，
因为，且，
所以OA⊥OE，
因为OE∩DM=O，OE，DM 平面CDEF，所以OA⊥平面CDEF，
又OA 平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面CDEF；
；

18.【答案】（x+3）2+（y-2）2=4；
（i）设点M（x1，x1-3），而C（-3，2），那么CM中点为，且，
以CM为直径圆的方程为，
化简整理得，
以CM为直径圆与圆C的方程相减，得QR：（x1+3）x+（x1-5）y+x1+15=0．
整理得x1（x+y+1）+（3x-5y+15）=0，令，那么可得，
因此直线QR过定点．
（ii）；
19.【答案】解：（1）圆M是以，两点为直径的圆，
可得圆心M的坐标为（，），即（2，0），半径为=2，
则圆M的方程为：（x-2）2+y2=4，
因为圆N与圆M关于直线y=x对称，
可得N，M关于直线y=x对称，
所以圆N的圆心N（0，2），半径为2，
所以圆N的标准方程为：x2+（y-2）2=4；
（2）依题意可知，直线l1的斜率存在，
直线l1过点C，可设直线l1的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，
由点到直线的距离公式，可得圆心N（0，2）到直线l1的距离，
所以|PQ|=2=2；
（i）若k=0，则直线l2斜率不存在，则，|EF|=4，
则，
若k≠0，则直线l2的方程为，即x+ky-k=0，
则圆心N（0，2）到直线l2的距离，
所以，
则S=|EF| |PQ|=2=2
=，
当且仅当即k=±1时取等号，
综上所述，因为，所以S的最大值为7；
（ii）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由直线y=kx+1与圆的方程x2+（y-2）2=4联立，
消去y得（k2+1）x2-2kx-3=0，Δ=4k2+12（k2+1）＞0恒成立，
则，，直线OP的方程为，
直线DQ的方程为=，
联立，解得，
因为，，所以=，
所以，
则=
====-2，
所以G（，-2），
所以点G在定直线y=-2上．
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