2025-2026学年四川省成都实验外国语学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年四川省成都实验外国语学校高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 208.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-02 07:44:08 | ||
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文档简介
2025-2026学年四川省成都实验外国语学校高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点（-2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. （-2，1，-4） B. （-2，-1，-4） C. （2，1，-4） D. （2，-1，4）
2.下列各组数据中方差最大的一组是（ ）
A. 6，6，6，6，6 B. 5，5，6，7，7 C. 4，5，6，7，8 D. 2，3，6，8，9
3.已知，，则等于（ ）
A. （4，1，-1） B. （4，1，1） C. （3，1，1） D. （3，1，0）
4.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 必然事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件
5.已知，且，则x=（ ）
A. -5 B. 3 C. 4 D. 6
6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E为CD中点，则D到平面AD1E的距离为（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
7.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1所有棱长都为1，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A1AD=60°.则对角线AC1的长度为（ ）
A.
B.
C. 2
D.
8.棱长为的正四面体A-BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足，则直线AM与直线BD所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C.下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. A与C互斥 D. P（A∪B）=P（A）+P（B）
10.已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且l⊥α，则实数k=-2
D. 在上的投影向量为
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若λ=1，μ=0，则
B. 若λ+μ=1，则D1P∥平面A1BD
C. 若，则OP⊥平面A1BD
D. 若λ=1，0≤μ≤1时，直线OP与平面A1BD所成的角为θ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数小于3”的概率是______.
13.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t=______．
14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=2，BC=1.点P在线段AC1上，点P到直线BB1的距离的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知空间三点A（1，2，3），B（2，4，1），C（3，6，x）.
（1）若A，B，C三点共线，求实数x的值.
（2）若AB⊥AC，求实数x的值.
16.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=4，E为CC1的中点.
（1）求证：AC1∥平面EDB；
（2）求直线CE与平面EDB的夹角的正弦值.
17.(本小题12分)
某校为了帮助高一学生更好地了解自己是否适合选读物理方向，在预选科之前组织了高一年级物理测试，并从中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）学校建议此次物理测试成绩在年级前65%的学生选报物理方向，其余学生建议选报历史方向，某同学想选报物理方向，根据频率分布直方图估计，他此次物理成绩应不低于多少分才能符合学校的建议？（保留小数点后一位）
18.(本小题12分)
（1）如图1，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率；
（2）如图2，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率；
（3）如图3，一电路中，Si（i=1，2，3，4，5，6，7）为未闭合的开关，Lj（j=1，2，3）为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则L1最先亮起的概率.
19.(本小题12分)
在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点.
（1）设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.
（i）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）求球O的半径；
（2）求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】x=-1；
x=8
16.【答案】证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，令AC∩BD=F，则F为AC中点，连接EF，
由E为CC1的中点，得EF∥AC1，而EF 平面EDB，AC1 平面EDB，
所以AC1∥平面EDB；
17.【答案】a=0.005；
81.7
18.【答案】；
；
19.【答案】解：（1）（i）证明：∵AC=CD=1，∠CAD=∠ADC=30°，∠BAD=120°，
∴∠BAC=90°，AB⊥AC，翻折后同样有AB⊥AC，
又AB⊥PC，PC∩AC=C，PC、AC 平面PCA，
∴AB⊥平面PCA，又AB 平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）如图，∵△ABC的外接圆圆心O1位于BC中点，作C关于AP的对称点O2，
则O2C=O2A=O2P=1，O2为△ACP的外接圆圆心，
作O1H⊥AC于H，则H为AC中点，
则O1H⊥平面ACP，O1H⊥O2H，
又△O2AC为等边三角形，∴O2H⊥AC，
而外接球球心O，满足OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ACP，
∴OO1=O2H=，BO1=，
∴球O的半径为R===；
（2）以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且垂直底面ACP的直线为z轴，建系如图：
则根据题意可得C（1，0，0），P（，，0），又AB=1，
∴设B（0，cosθ，sinθ），
∴，，
易知平面ACP的一个法向量为，
设平面BCP的法向量为，
则，取，
设二面角A-CP-B的平面角为φ，易知φ为锐角，
∴cosφ=|cos＜，＞|==，
令t=cosθ+，则t∈[，]，
∴cosφ==，
∴当，即cosθ=时，cosφ取得最小值，
∴二面角A-CP-B的余弦值的最小值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点（-2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. （-2，1，-4） B. （-2，-1，-4） C. （2，1，-4） D. （2，-1，4）
2.下列各组数据中方差最大的一组是（ ）
A. 6，6，6，6，6 B. 5，5，6，7，7 C. 4，5，6，7，8 D. 2，3，6，8，9
3.已知，，则等于（ ）
A. （4，1，-1） B. （4，1，1） C. （3，1，1） D. （3，1，0）
4.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 必然事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件
5.已知，且，则x=（ ）
A. -5 B. 3 C. 4 D. 6
6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E为CD中点，则D到平面AD1E的距离为（ ）
A. 1
B.
C.
D. 2
7.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1所有棱长都为1，底面ABCD为正方形，∠A1AB=∠A1AD=60°.则对角线AC1的长度为（ ）
A.
B.
C. 2
D.
8.棱长为的正四面体A-BCD中，点M为平面BCD内的动点，且满足，则直线AM与直线BD所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C.下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. A与C互斥 D. P（A∪B）=P（A）+P（B）
10.已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且l⊥α，则实数k=-2
D. 在上的投影向量为
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，且点P满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 若λ=1，μ=0，则
B. 若λ+μ=1，则D1P∥平面A1BD
C. 若，则OP⊥平面A1BD
D. 若λ=1，0≤μ≤1时，直线OP与平面A1BD所成的角为θ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数小于3”的概率是______.
13.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t=______．
14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=2，BC=1.点P在线段AC1上，点P到直线BB1的距离的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题10分)
已知空间三点A（1，2，3），B（2，4，1），C（3，6，x）.
（1）若A，B，C三点共线，求实数x的值.
（2）若AB⊥AC，求实数x的值.
16.(本小题12分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=4，E为CC1的中点.
（1）求证：AC1∥平面EDB；
（2）求直线CE与平面EDB的夹角的正弦值.
17.(本小题12分)
某校为了帮助高一学生更好地了解自己是否适合选读物理方向，在预选科之前组织了高一年级物理测试，并从中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
（2）学校建议此次物理测试成绩在年级前65%的学生选报物理方向，其余学生建议选报历史方向，某同学想选报物理方向，根据频率分布直方图估计，他此次物理成绩应不低于多少分才能符合学校的建议？（保留小数点后一位）
18.(本小题12分)
（1）如图1，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率；
（2）如图2，已知电路中4个开关每个闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率；
（3）如图3，一电路中，Si（i=1，2，3，4，5，6，7）为未闭合的开关，Lj（j=1，2，3）为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则L1最先亮起的概率.
19.(本小题12分)
在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿AC翻折至△ACP，其中P为动点.
（1）设PC⊥AB，三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上.
（i）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）求球O的半径；
（2）求二面角A-CP-B的余弦值的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】x=-1；
x=8
16.【答案】证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，令AC∩BD=F，则F为AC中点，连接EF，
由E为CC1的中点，得EF∥AC1，而EF 平面EDB，AC1 平面EDB，
所以AC1∥平面EDB；
17.【答案】a=0.005；
81.7
18.【答案】；
；
19.【答案】解：（1）（i）证明：∵AC=CD=1，∠CAD=∠ADC=30°，∠BAD=120°，
∴∠BAC=90°，AB⊥AC，翻折后同样有AB⊥AC，
又AB⊥PC，PC∩AC=C，PC、AC 平面PCA，
∴AB⊥平面PCA，又AB 平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC；
（ⅱ）如图，∵△ABC的外接圆圆心O1位于BC中点，作C关于AP的对称点O2，
则O2C=O2A=O2P=1，O2为△ACP的外接圆圆心，
作O1H⊥AC于H，则H为AC中点，
则O1H⊥平面ACP，O1H⊥O2H，
又△O2AC为等边三角形，∴O2H⊥AC，
而外接球球心O，满足OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ACP，
∴OO1=O2H=，BO1=，
∴球O的半径为R===；
（2）以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且垂直底面ACP的直线为z轴，建系如图：
则根据题意可得C（1，0，0），P（，，0），又AB=1，
∴设B（0，cosθ，sinθ），
∴，，
易知平面ACP的一个法向量为，
设平面BCP的法向量为，
则，取，
设二面角A-CP-B的平面角为φ，易知φ为锐角，
∴cosφ=|cos＜，＞|==，
令t=cosθ+，则t∈[，]，
∴cosφ==，
∴当，即cosθ=时，cosφ取得最小值，
∴二面角A-CP-B的余弦值的最小值为．
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