贵州省兴义市第八中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（图片版，含答案）

兴义市第八中学 2025-2026 学年高二上学期 10 月数学检测
试卷
一、单选题（本大题共 8 小题）
1．复数 z i 2 i 的实部与虚部之和为（ ）
A． 1 B．1 C．2 D．3
2．已知 , , 是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列结论正确的是（ ）
A．若m / /n,n ，则m / /
B．若 , ，则 / /
C．若 / / ,m ，则m / /
D． l1, l2 , l3，则 l1 / /l2 / /l3

3．已知 a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量 a 与 e 的夹角为3 ,向量 b 满足
b2 4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是 （ ）
A． 3 1 B． 3 + 1
C．2 D．2 3

4．已知平面 的法向量为n ( 2, 2,1)，点 A( 1,3,0)在平面 内，则点 P( 2,1,4)到平面
的距离为（ ）
2 8 10
A． B． 2 C． D．
3 3 3
5．高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：8,5,8,7,8,6,9，7,7,5，
则（ ）
A．该组数据的平均数为 7，众数为7.5
B．该组数据的第 60百分位数为 6
C．如果再增加一位评委给该班也打 7分，则该班得分的方差变小
D．评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据
的众数
6．直线 3x y 1 0 的倾斜角是（ ）
A．150 B．120 C．60 D．30

7．如图，在空间四边形OABC中，M 是OA的中点，点 N在 BC上，且CN 2NB，设

MN xOA yOB zOC，则 x， y， z的值分别为（ ）
1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2A． 2 ， ， B． 2 ， ， C． ， ， D． ， ，3 3 3 3 2 3 3 2 3 3
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8 f x acos x sin x a 0, 1 f π 3 f x f π ．已知函数 ，若 且 ，则 的
3 6
最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
二、多选题（本大题共 3 小题）
9．下列选项正确的是（ ）
A．若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线一定平行
B．若直线 a2x y 1 0与直线 x ay 2 0垂直，则 a 0
C．若直线 ax 2y 1 0与直线8x ay 2 a 0平行，则 a 4
π
D．若直线 l的一个方向向量是 a 1, 3 ，则直线 l的倾斜角是 3
10．(多选)下列说法中错误的有 ( )
A．y=x0的图象是一条直线
B．幂函数的图象不过第四象限
C 1．若函数 y= 的定义域是{x > 2},则它的值域是 < 1
2
D．若幂函数的图象过点(4,2),则它的单调递增区间是[0,+∞)
11．已知函数 f x sin4x sin3x在 0, π 内的三个零点分别为 x1, x2 , x3 x1 x2 x3 ，则
（ ）
3π
A． x1, x , x7 2 3 B．
2x1 x2 x3 2π
cosx 1C 7． 1 cosx2 cosx3 D．2 sinx1sinx2sinx3 8
三、填空题（本大题共 3 小题）
12．设 A,B是一个随机试验中的两个事件，记 B为事件 B的对立事件，若
P A 0.8,P B 0.6 ，且A与 B相互独立，则 P A B ．
13．不论 a为何实数，直线 l : a 2 x a 1 y 2 a恒过一定点，则此定点的坐标
为 ．
14．如图,在母线长为 4+2 3,高为 3+2 3的倒置圆锥形容器(不计厚度)内放置一个底面半径
为 1的圆柱体．现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球,所有小球均与圆柱侧
面、圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切,则这样的小球最多能放入 个．
四、解答题（本大题共 5 小题）
15．已知VABC的三个顶点分别为 A 0,4 ， B 2,6 ，C 8,0 ，求：
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（1）边 AB和 AC所在直线的方程；
（2） AC边上的中线所在直线的方程；
（3） AC边上的垂直平分线所在直线的方程；
（4） AC边上的高所在直线的方程．
16．（1）在VABC中，已知b 40， c 32， A 60 ．求 a．
（2）在VABC中，已知 A 120 ， B 45 ， AC 2．求 BC．
π
（3）锐角VABC中，角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c， BAC ，b 2， a 3，求
3
sinC；

17．已知向量 a cos x, cos x , b 3 sin x, cos x ，函数 f x a b 1.
（1）求函数 f x 的最小正周期及函数 f x 图象的对称轴；
f 3 π π π（2）当 ，且 时，求sin 2 的值.
10 6 3 6
18．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局
1 1 1
比赛甲赢乙的概率为 ，甲赢丙的概率为 ，丙赢乙的概率为 .因为甲是最弱的，所以让
3 4 5
他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛)，每局获
胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的
冠军，比赛结束.
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大.
19．如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形，其中
AD//BC 1 1， AB AD ， AB AD BC 2， PA 4， E为棱 BC上的点，且 BE BC .
2 4
（1）求证：DE 平面 PAC；
（2）求二面角 A PC D的正弦值；
（3）设Q为棱CP上的点(不与C， P重合)，且直线QE与平面 PAC所成角的正弦值为
5 CQ
，求 的值.
5 CP
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参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可得 z i 2 i 1 2i ，故 z的实部和虚部分别为 1，2，其之和为 3．
故选:D．
2．【答案】C
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判定即可.
【详解】如图所示正方体 ABCD EFGH 中，
若直线 AB、CD分别对应m、n，底面 ABCD对应 ，显然有m / /n,n ，
但m ，即 A错误；
若底面 ABCD对应 ，侧面 ABFE、ADHE分别对应 、 ，显然有 , ，
但 ，即 B错误；
同上假设底面 ABCD对应 ，侧面 ABFE、ADHE分别对应 、 ，
则直线 AB、AE、AD分别对应 l1、l2、l3 ，显然三条直线两两垂直，即 D错误；
由面面平行的性质可知 C项正确.
故选：C
3．【答案】A
【详解】∵b2 4e·b+3=0,∴b2 4e·b+(2e)2=1,∴|b-2e|=1.设 = 2 , = ,则|
|=| |=1.
以 O点为原点, 方向为 x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则易知点 B在以点 C
为圆心，1为半径的圆上.
设 = ,则∠ = 60° ,如图,|a-b|=| |=| |.
∵A在射线 OA上运动,B在圆 C上运动,∴A,B两点间距离的最小值转化为圆心 C到射线
OA距离的最小值减去半径 r,即当 CA⊥OA时,|a-b|最小,此时|CA|=|OC|sin 60° = 3 ,
∴|a-b|min=|CA|-|CB|= 3 1 ,故选 A.
4．【答案】D

【详解】 AP 1, 2,4
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uur r
PA n 2 1 2 1 1 4
P( 2,1,4) d 10则点 到平面 的距离为 r
n 2 2 2 2 1 3
故选：D
5．【答案】C
【分析】
首先将数据从小到大排列，再根据平均数、众数、中位数、方差的定义计算可得；
【详解】
解：这组数据从小到大排列为5、5、6、 7、 7、 7、8、8、8、9，
1
故平均数为 5 2 6 7 3 8 3 9 7 ，众数为 7和8，中位数为 7，故 A错误；
10
1
方差为 5 7
2 2 6 7 2 8 7 2 3 9 7 2 1.6，10
因为10 60%
7 8
6，所以第 60百分位数为 7.5，故 B错误；
2
如果再增加一位评委给该班也打 7分，则平均分不变也为 7，
1 2 16
此时的方差为 5 7 2 6 7
2 8 7 2 3 9 7 2 1.6 ，故 C正确；11 11
对于 D：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故 D错误；
故选：C
6．【答案】B
【解析】先由直线方程求出直线的斜率，从而可求出其倾斜角
【详解】解：设直线的倾斜角为 ，
由直线 3x y 1 0得其斜率为 3 ，
所以 tan 3，
因为 [0 ,180 )，所以 120 ，
故选：B
7．【答案】C
1
【详解】因为CN 2NB，则ON OC 2OB 2ON，即ON OC
2
OB，
3 3
1
因M 是OA的中点，则OM OA，
2
2 1 1
所以MN ON OM OB OC OA .
3 3 2
故选 C．
8．【答案】D
π π
【分析】根据 f x f 可知直线 x 是 f x 图象的一条对称轴，从而可知
6 6
f π f 0 3 a x
π
，求出 ，再根据正弦型函数在 时取得最大值，列出方程，即可解
3 6
题.
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f x f π 【详解】∵ 6 ，
∴ x
π π
是 f x 的一个最大值点，即直线 x 是 f x 图象的一条对称轴，
6 6
π
又 f 3，
3
∴ f 0 3，则 a 3，
f x 3 cos x sin x 2sin x π∴ ，
3
f x x π π π π又∵ 在 时取得最大值，可得 2kπ k Z ，
6 6 3 2
∴ 12k 1 k Z ，
又∵ 1，
∴ 的最小值为 13.
故选：D.
9．【答案】AC
【分析】根据两直线的倾斜角相等且不重合可对 A项判断；由直线 a2x y 1 0和直线
x ay 2 0垂直，从而求出 a 0或a 1，即可对 B项判断；直线 ax 2y 1 0和直线
8x ay 2 a 0平行，利用两直线平行知识可对 C项判断；知道直线 l的方向向量
a 1, 3 ，从而可求解出倾斜角，即可对 D项判断.
【详解】对于 A项：两直线的倾斜角相等且不重合，可得两直线平行，故 A项正确；
对于 B项：由直线 a2x y 1 0和直线 x ay 2 0垂直，得： a2 a 0，解得：a 0或
a 1，故 B项错误；
对于 C项：直线 ax 2y 1 0和直线8x ay 2 a 0平行，
当 a 0时，得直线： 2y 1 0与直线8x 2 0不平行，
a 8

当 a 0时，得： 2 a ，
1 2 a
解得： a 4或 a 4，经检验当 a 4时两直线重合不符题意，
故 a 4，故 C项正确；

对于 D项：知直线 l的方向向量为 a 1, 3 ，得： a 1, 3 ，所以得直线的斜率为
2π
3，倾斜角为 ，故 D项错误.3
故选：AC.
10．【答案】AC
【详解】A选项,因为函数 y=x0的定义域为{x ≠ 0},所以图象不是一条直线,A错误;
B选项,若 x>0,则 xa不可能小于 0,B正确;
C选项, x>2 , y=1 1当 时 函数 的值域为 0 < < ,C错误;
2
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D 1
1
选项,设幂函数为 y=xa,因为幂函数的图象过点(4,2),所以 2=4a,解得 a= ,则 y= 2= ,故单调
2
递增区间是[0,+∞),D正确.
故选 AC.
11．【答案】BCD
7x x 7x x
【详解】对于 A，B， f x sin4x sin3x sin sin 2sin
7x cos x，
2 2 2 2 2 2
7x x x 0, π 7 x 0, 7 π , 1 x 0, 1令 2sin cos 0 ，因为 ，所以
2 2 2 2
π ，
2 2
所以 cos
x 0 sin 7x ，所以 0，
2 2
x x x 7x1 π 7x2 2π 7x又 1 2 3，所以 ， ， 3 3π，2 2 2
x 2π 4π 6π解得 1 ， x2 ， x3 ，故 A错误，B正确；7 7 7
对于 C，
2π 4π 6π sin
4π 2sin 2π cos4π 2sin2π cos6π
cosx1 cosx2 cosx3 cos cos cos 7 7 7 7 77 7 7 2sin 2π
7
sin 4π sin 4π 2π sin 4π 2π 6π 2π 6π 2π
7 7 7
sin sin7 7



7 7 7 7
2sin 2π
7
sin 4π sin 6π sin 2π sin 8π sin 4π sin 4π π 2π π sin sin sin sin 4π
7
7 7 7 7 7 7 7 7 7 12π ，
2sin 2π 2sin 2
7 7
故 C正确；
对于 D，因为 sinx1sinx2sinx sin
2πsin 4πsin 6π sin πsin 2π 3π3 sin ，7 7 7 7 7 7
8sin2 π sin2 2π sin2 3π 1 cos 2π 1 cos 4π 6π 1 cos 1 E F G，7 7 7 7 7 7
E cos 2π cos 4π cos 6π其中 ， F cos
2π cos 4π cos4π cos6π cos6π cos2π，
7 7 7 7 7 7 7 7 7
G cos 2π cos 4πcos 6π .
7 7 7
因为
F 1 cos 4π 2π cos 4π 2π 1 cos
6π 4π cos 6π 4π 1 6π 2π 6 π 2π
2 7 7 7 7 2 7 7 7 7
cos cos
2 7 7 7 7
1 cos 6π cos 2π 1 cos10π 2π 1 8π 4π 1 6π cos cos cos cos cos
2π +cos 4π cos 2π +cos 6π cos 4π
2 7 7 2 7 7 2 7 7 2 7 7 7 7 7 7
cos 2π cos 4π 6π cos E，
7 7 7
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π π 2π 4π 2π 2π 4π
G cos π cos 2π 4π
2sin cos cos cos sin cos cos
cos 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 2sin π 2sinπ
7 7
2sin 2π cos 2π cos4π sin4π cos4π 2sin4π cos4π sin8π
7 7 7 7 7 7 7 7 1 ，
4sin π 4sinπ 8sinπ 8sinπ 8
7 7 7 7
2 π
所以8sin sin 2
2π sin 2 3π 1 E 7 F G ，即sin2
π sin2 2π 3π 7 sin2 ，
7 7 7 8 7 7 7 64
sin π sin 2π sin 3π 7所以 ，故 D正确.
7 7 7 8
故选 BCD.
12．【答案】0.88
【详解】由题意知 P(B) 0.4 , P(AB) P(A)P(B) 0.32 ,
所以 P A B P (A) P (B ) P (AB ) 0.8 0.4 0.32 0.88 .
13．【答案】 3, 4
【分析】将直线重新整理并令 a的系数为零，通过解方程组可得定点坐标.
【详解】将直线 l : a 2 x a 1 y 2 a整理为 a x y 1 2x y 2 0；
直线过定点与 a无关，所以 x y 1 0，且2x y 2 0；
联立解方程组可得 x 3, y 4；
可得定点坐标为 3, 4 .
故答案为： 3, 4
14．【答案】6
【详解】如图 1,设圆锥 OO'的底面圆半径为 R,
则 R2=BO'2=OB2-OO'2=(4+2 3)2-(3+2 3)2=7+4 3,解得 BO'=R=2+ 3．
图 1 图 2
由题意,小球与圆柱侧面、圆锥侧面、圆锥底面相切,作轴截面的左半部分如图 2所示,因为
1 OA
= ,所以 OA=2,则 AB=OB-OA=2+2 3,则∠BAC=30°．设圆 O
BO' OB 1
的半径为 r1,则
BC= 3r1+r1=1+ 3,解得 r1=1,即小球的半径为 1．
作俯视图如图 3,
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图 3
因为△O'O1O2为等边三角形,所以∠O1O'O2=60°,
360°
由 =6可知,这样的小球最多能放入 6个．
60°
15．【答案】（1） lAB : x+ y-4= 0， lAC : x 2y 8 0
（2） 2x y 10 0
（3） 2x y 6 0．
（4） 2x y 2 0．
y 4 x 0
【详解】（1）解法 1：由两点式得边 AB所在直线方程为 ，即 x y 4 0．
6 4 2 0
x y
由截距式得边 AC所在直线方程为 1，即 x 2y 8 0．
8 4
4 6
解法 2：因为 kAB 10 2 ，所以边 AB所在直线方程为 y x 4，即 x y 4 0．
4 0 1 1
因为 kAC 0 8 2 ，所以边 AC所在直线方程为 y x 8 ，即 x 2y 8 0．2
（2）解法 1：设 AC的中点为D x, y ，由中点坐标公式可得D 4,2 ，
y 6 x 2
由两点式得 BD所在直线方程为 ，即 2x y 10 0．
2 6 4 2
解法 2：设 AC的中点为D x, y ，由中点坐标公式可得D 4,2 ，
k 6 2则 BD 2 2 4 ，
所以 BD所在直线方程为 y 6 2 x 2 ，即 2x y 10 0．
4 0 1
（3）因为 kAC D 4,20 8 2 ， AC的中点 ，
所以 AC边上的垂直平分线所在直线方程为 y 2 2 x 4 ，即 2x y 6 0．
k 4 0 1（4）因为 AC B 2,60 8 2 ， ，
所以 AC边上的高所在直线方程为 y 6 2 x 2 ，即 2x y 2 0．
16．【答案】（1）8 21 2 6 3 3 2 3；（ ） ；（ ）
6
【详解】（1）在VABC中，由余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A，
2 2 2
可得 a 40 32 2 40 32
1
1344，所以
2 a 8 21
；
BC AC
（2）在VABC中，由正弦定理得 ，
sin A sin B
3
BC AC sin A 2 sin120
2
因此 2 6 .
sin B sin 45 2
2
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3 2
a b
（3）在VABC中，由正弦定理得 ，即 3 sin B，解得 sin B 3 ，sin A sin B
2 3
6
又VABC为锐角三角形，所以 cosB 1 sin2 B ，
3
所以 sinC sin π A B sin A B sin AcosB cos Asin B
3 6 1 3 3 2 3
.
2 3 2 3 6
kπ π
17．【答案】（1）最小正周期为 π，对称轴为 x ,k Z
2 3
（2 3 3 4）
10

【详解】（1）因为 a cos x, cos x , b 3 sin x, cos x ，

所以 a b 3sin xcos x 3 1 1 cos2 x sin 2x cos2x
2 2 2
sin 2x π 1

，所以 f x sin 2x
π 1

6
.
2 6 2
最小正周期为 π，令 2x π kπ π ,k kπ π Z ,得 x ,k Z，
6 2 2 3
即 f x kπ π图象的对称轴为 x ,k Z .
2 3
（2）由 f 3 得 sin 2
π

4
，10 6 5
π π 2 π π π , 因为 ，所以 ，所以 cos 2
π
1 sin
2 2 π 3 ；6 3 6 2 2 6 6 5
sin 2 π sin 2 π π 1 sin π 3 π 6
2
6 3 2 6
cos
2
2
6
1 4 3 3 3 3 4
2
.
5 2 5 10
1
18．【答案】(1)
12
(2)甲第一局选择和乙比赛
【详解】 1 若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
4 1 1 4
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为 ；
5 3 4 60
1 1 1 1
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为 ，
5 4 3 60
4 1 1
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为 .
60 60 12
2 若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲
胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲
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乙比甲胜，
1 1 1 3 4 1 2 1 1 1 29
所以甲能获得冠军的概率为 ，
3 4 3 4 5 3 3 5 4 3 180
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为
1 1 1 2 1 1 3 4 1 1 17
，
4 3 4 3 5 4 4 5 3 4 120
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第 1 问的结
1
果 ，
12
29 17 1
因为 ，所以甲第一局选择和乙比赛，最终获得冠军的概率最大.
180 120 12
2
19．【答案】（1 5）见详解；（2） ；（3） .
5 3
【详解】（1）因为 PA 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，
所以 PA AB， PA AD，又因为 AB AD ，
则以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得 A(0,0,0)， B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)， P(0,0,4)，E(2,1,0)，

所以DE (2, 1,0)， AC (2,4,0)， AP (0,0,4)，

因为DE AC 2 2 1 4 0 0，DE AP 0，所以DE AC，DE AP，
又 AP AC A， AP 平面 PAC， AC 平面 PAC，
所以DE 平面 PAC .
（2）由（1）可知DE 平面 PAC，

DE (2, 1,0)可作为平面 PAC的法向量，

设平面 PCD的法向量 n (x, y, z)
uuur uuur
因为 PD (0,2, 4)， PC (2,4, 4) .
n PD 0, 2y 4z 0,
所以 即
n PC 0, 2x 4y 4z 0,

不妨设 z 1，得 n ( 2,2,1) .

cos DE, n DE n 2 ( 2) ( 1) 2 0 2 5 ，
DE n 22 ( 1)2 ( 2)2 22 1 5
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又由图示知二面角 A PC D为锐角，
所以二面角 A PC D 5的正弦值为 .
5
CQ uuur uur
（3）设 (0 1)，即 ，DE (2, 1,0)，
CP CQ CP ( 2 , 4 , 4 )
uuur
所以Q (2 2 , 4 4 , 4 )，即QE (2 , 4 3, 4 )，
5
因为直线QE与平面 PAC所成角的正弦值为 ，
5

QE DE 2 2 (4 3) 0 5
所以 cos QE DE ，
QE DE 22 ( 1)2 (2 )2 (4 3)2 ( 4 )2 5
2 CQ 2
即 36 2 24 9 3，解得 ，即 .3 CP 3
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