华东师大版数学九年级上册 23.3.2《相似三角形的判定》教学设计
文档属性
| 名称 | 华东师大版数学九年级上册 23.3.2《相似三角形的判定》教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-02 13:19:14 | ||
图片预览
文档简介
《相似三角形的判定》教学设计
教学内容分析
华东师大版数学九年级上册《23.3.2相似三角形的判定》，本节课是在前面学习了相似三角形判定预备定理之后,对相似三角形判定方法的继续探究。在这一节课中，学生类比于全等三角形判定方法猜想相似三角形的判定定理。在证明定理时,学生将问题通过添加辅助线的方法转化为上节课所学的相似三角形判定预备定理的基本形。本节课中，既巩固了上节课所学的相似三角形判定预备定理，又得到了三个新的相似三角形判定定理，为下一节课解决问题提供了解题方法和依据。在这节课中，定理的证明提高了学生逻辑推理的能力，类比、转化、分类讨论等数学思想提高了学生解决问题的综合能力。
教学目标
1.经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分析、归纳等思想和方法，能借助国家智慧中小学平台资源验证判定定理的合理性。
2.了解“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定方法。
3.通过 “观察 — 猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，发展学生的探索发现归纳意识和合作交流的习惯，发展学生的合情推理的能力和初步的逻辑推理意识；借助双师互助的小组合作，提升自主探究与合作交流能力。
4.能够运用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单的问题，发展应用意识。
教学重难点
教学重点：经历对三角形两角分别相等相似条件的分析与作图验证的过程，能应用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似。
教学难点：三角形两角分别相等相似条件的证明过程以及综合运用判定方法一及其他知识解决问题。
教学准备
1.资源准备：（1）从国家智慧中小学平台筛选相关资源：华东师大版九年级上宜宾市兴文县香山民族初级中学校张勇老师的授课视频23.3.2相似三角形判定定理、学习任务单、作业练习。
（2）在线几何画板。
2.设备与活动准备：准备电子白板，提前将学生分组，每组分配学习任务单。
教学过程
（一）温故启新，激活最近发展区
线下教师：通过提问引导学生回顾全等三角形的判定定理、相似三角形的定义和特征，并在白板上展示两组图形（一组全等、一组相似），让学生观察差异，提问：能否像全等三角形那样，找到更简便的相似判定方法？
设计意图：引导学生将全等三角形看作相似比为1的相似三角形，揭示了全等三角形和相似三角形之间的关系.正是二者之间的这种内在联系，启发可以用类比的方法来研究相似三角形，为解决问题提供思路和方法。体会从特殊到一般的问题探究方式。这样，不仅使进一步探索的目标具体，而且可以加深学生对判定定理的理解，同时也可以培养学生用联系、类比的方法探索研究问题的。
线上教师：通过国家智慧中小学平台播放视频，激发学生的数学学习兴趣
1.情境导入
教师提问：通过影子和小棒的例子引入相似三角形的概念。
学生猜测：引导学生猜测两个影子和棒子之间的关系。
2.展示两组直角三角尺，初步猜想三角形相似的判定方法。
设计意图：从实际生活 出发创设情景，引导学生根据视频发现问题，提出问题.激发学生的学习兴趣的 同时，感受相似三角形判定定理的应用价值
（二）合作探究，推导定理（分组讨论，满足学生的个性化学习需求，同时提升学生自主学习能力）
1. 实验验证
线上教师：请学生任意在纸上画出两个三角形，使其三对角分别对应相等，并标记为△ABC 和△A1B1C1。学生使用尺子测量三角形的边长，并计算对应边的比值。
线下教师：发放任务单，暂停视频指导小组完成作图。实时查看各小组数据，选取3组典型数据（比例一致、近似一致）投屏展示，
线上教师：两组三角形对应边比例有什么规律？结合三角形内角和，第三组角有什么关系？由学生分享成果。总结归纳 三角形相似的判定定理一：两角对应相等的两个三角形相似。
用几何语言表示为：∵∠A=∠A1 ∠B=∠B1 ∴△ABC△A1B1C1
线下教师，多资源互融：打开在线几何画板工具，自主设定两组对应相等的角，动态展示变化任意度数，绘制△ABC 与△A'B'C'，观察到对应边均比例。再次从特殊到一般进行过渡，充分理解定理。
设计意图：通过自主动手画图、测量、计算以及展示交流，让学生直观感受两角分别相等的两个三角形是相似的，加强合情推理能力的培养，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣.在这一过程中发展学生的几何直观能力、动手操作能力以及数据观念最后辅以几何画板验证猜想，培养学生严谨的数学思维.
2.数学推理
已知：如图，在△ABC与△A1B1C1中，∠A＝∠A1， ∠B＝∠B1，
求证：△ABC∽△A1B1C1.
分析：根据预备定理在构作一条平行线可截出一个和原三角形相似的三角形，而如果截出的三角形又恰好能够与另一个三角形全等，则可证。思考：怎样截取呢？
证明：在AB上截取AD等于A1B1，过D作DE//BC交AC于E，
DE//BC △（ ）△（ ）
DE//BC ∠D=∠B， 又∠B=∠B1
∠D=∠B1
又AD=A1B1,∠A=∠A1
△______ △ ______
△______ △______
线上教师：推送国家智慧中小学平台的动态动画与微课，有效突破本节的难点，帮助学生实现从直观到逻辑的过渡。
线下教师引导学生逐步完成推理。组织学生书写推导步骤，形成完整定理证明。
设计意图：如何引导学生得出辅助线的作法是一个难点，此时线上教师适时点拨引导让学生发现通过构造全等三角形的方法可以实现三角形的移动从而找到证明思路，启发学生从变换的观点来看待证明过程，然后小组合作讨论辅助线的作法并写出证明过程，从而突破本节课的教学难点，并且在这一过程中培养学生合作交流、观察分析及语言概括能力，让学生体验到学习数学的成就感。培养学生的符号语言表达能力，规范几何解题格式根据探索思路继续探究一对角相等的两个三角形是否相似. 培养逻辑思维的严谨性。
（三）典例精讲
线上教师：在平台展示例题
例1 已知△ABC 中，∠A=50°，∠B=70°；△DEF 中，∠D=50°，∠F=60°，判断△ABC 与△DEF 是否相似”，引导学生用新定理分析，邀请学生提交解题思路。
例2 在两个直角三角形△ABC 和△A'B'C'中，∠B=∠B'=90°，且 ∠A=∠A'。请证明这两个三角形相似。
证明：由于直角三角形的直角相等，且还有一个对应角相等，根据 AA 定理，我们可以得出这两个三角形相似。
例3 在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB。请证明△ADE∽△EFC。
分析：要判定△ADE∽△EFC，需要找出两个角相等，而已知告诉平行线，可找出两组相等的角，从而得证。
证明：DE//BC ∴∠AED=∠B ∠AED=∠C.
又∵ EF//AB ∴∠EFC=∠B，
∴∠ADE=∠EFC
∴△ADE∽△EFC
变式思考：如果点 D 恰好是边 AB 的中点，那么点 E 是不是边 AC 的中点？
DE 和 BC 之间有什么关系？△ADE 和△AFC 之间又有什么特殊的关系？
答案：因为 DE 平行于 BC，根据中位线定理，E 是 AC 的中点。DE 是 BC 的一半，因为 D 和 E 分别是 AB 和 AC 的中点。△ADE 和△AFC 不仅是相似的，而且是全等的。
线下教师：适时暂停视频，给学生充分时间思考解答，选取学生典型错误（如忽略对应角关系），展示点评，并随时帮助学生调整学习策略。
（四）应用新知，巩固提升
1.下面是一些判断题，请大家判断以下说法是否正确：
有一对角相等的三角形一定相似。（×）
有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似。（√）
有一个角等于 100°的两个等腰三角形相似。（×）
有一个角等于 30°的两个等腰三角形相似。（×）
2.已知△ABC 和△ACD，如果要让这两个三角形相似，需要满足的条件是什么？
已知△ABE 和△ACD，如果要让这两个三角形相似，需要满足的条件是什么？
答案：如果要让△ABC 和△ACD 相似，可能需要满足的角度条件，比如 ∠A = ∠A 或者边的比例条件。如果要让△ABE 和△ACD 相似，同样需要考虑角度条件或者边的比例条件。
（五）总结拓展，作业推送
学生活动：小组讨论本节课推导定理用到了哪些旧知识？
线下教师引导总结三角形内角和定理、相似三角形定义的应用，提炼转化思想。
线上教师：播放视频，通过古代实例，传递数学文化。
古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理来测量胡夫金字塔的高度。
作业：平台推送作业练习一，同时发放配套纸质作业单。推送作业练习二，平台两角判定定理实际应用案例（如测量河宽）。如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO。
教学内容分析
华东师大版数学九年级上册《23.3.2相似三角形的判定》，本节课是在前面学习了相似三角形判定预备定理之后,对相似三角形判定方法的继续探究。在这一节课中，学生类比于全等三角形判定方法猜想相似三角形的判定定理。在证明定理时,学生将问题通过添加辅助线的方法转化为上节课所学的相似三角形判定预备定理的基本形。本节课中，既巩固了上节课所学的相似三角形判定预备定理，又得到了三个新的相似三角形判定定理，为下一节课解决问题提供了解题方法和依据。在这节课中，定理的证明提高了学生逻辑推理的能力，类比、转化、分类讨论等数学思想提高了学生解决问题的综合能力。
教学目标
1.经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分析、归纳等思想和方法，能借助国家智慧中小学平台资源验证判定定理的合理性。
2.了解“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定方法。
3.通过 “观察 — 猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，发展学生的探索发现归纳意识和合作交流的习惯，发展学生的合情推理的能力和初步的逻辑推理意识；借助双师互助的小组合作，提升自主探究与合作交流能力。
4.能够运用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定方法解决简单的问题，发展应用意识。
教学重难点
教学重点：经历对三角形两角分别相等相似条件的分析与作图验证的过程，能应用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似。
教学难点：三角形两角分别相等相似条件的证明过程以及综合运用判定方法一及其他知识解决问题。
教学准备
1.资源准备：（1）从国家智慧中小学平台筛选相关资源：华东师大版九年级上宜宾市兴文县香山民族初级中学校张勇老师的授课视频23.3.2相似三角形判定定理、学习任务单、作业练习。
（2）在线几何画板。
2.设备与活动准备：准备电子白板，提前将学生分组，每组分配学习任务单。
教学过程
（一）温故启新，激活最近发展区
线下教师：通过提问引导学生回顾全等三角形的判定定理、相似三角形的定义和特征，并在白板上展示两组图形（一组全等、一组相似），让学生观察差异，提问：能否像全等三角形那样，找到更简便的相似判定方法？
设计意图：引导学生将全等三角形看作相似比为1的相似三角形，揭示了全等三角形和相似三角形之间的关系.正是二者之间的这种内在联系，启发可以用类比的方法来研究相似三角形，为解决问题提供思路和方法。体会从特殊到一般的问题探究方式。这样，不仅使进一步探索的目标具体，而且可以加深学生对判定定理的理解，同时也可以培养学生用联系、类比的方法探索研究问题的。
线上教师：通过国家智慧中小学平台播放视频，激发学生的数学学习兴趣
1.情境导入
教师提问：通过影子和小棒的例子引入相似三角形的概念。
学生猜测：引导学生猜测两个影子和棒子之间的关系。
2.展示两组直角三角尺，初步猜想三角形相似的判定方法。
设计意图：从实际生活 出发创设情景，引导学生根据视频发现问题，提出问题.激发学生的学习兴趣的 同时，感受相似三角形判定定理的应用价值
（二）合作探究，推导定理（分组讨论，满足学生的个性化学习需求，同时提升学生自主学习能力）
1. 实验验证
线上教师：请学生任意在纸上画出两个三角形，使其三对角分别对应相等，并标记为△ABC 和△A1B1C1。学生使用尺子测量三角形的边长，并计算对应边的比值。
线下教师：发放任务单，暂停视频指导小组完成作图。实时查看各小组数据，选取3组典型数据（比例一致、近似一致）投屏展示，
线上教师：两组三角形对应边比例有什么规律？结合三角形内角和，第三组角有什么关系？由学生分享成果。总结归纳 三角形相似的判定定理一：两角对应相等的两个三角形相似。
用几何语言表示为：∵∠A=∠A1 ∠B=∠B1 ∴△ABC△A1B1C1
线下教师，多资源互融：打开在线几何画板工具，自主设定两组对应相等的角，动态展示变化任意度数，绘制△ABC 与△A'B'C'，观察到对应边均比例。再次从特殊到一般进行过渡，充分理解定理。
设计意图：通过自主动手画图、测量、计算以及展示交流，让学生直观感受两角分别相等的两个三角形是相似的，加强合情推理能力的培养，让学生充分体验得出结论的过程，感受发现的乐趣.在这一过程中发展学生的几何直观能力、动手操作能力以及数据观念最后辅以几何画板验证猜想，培养学生严谨的数学思维.
2.数学推理
已知：如图，在△ABC与△A1B1C1中，∠A＝∠A1， ∠B＝∠B1，
求证：△ABC∽△A1B1C1.
分析：根据预备定理在构作一条平行线可截出一个和原三角形相似的三角形，而如果截出的三角形又恰好能够与另一个三角形全等，则可证。思考：怎样截取呢？
证明：在AB上截取AD等于A1B1，过D作DE//BC交AC于E，
DE//BC △（ ）△（ ）
DE//BC ∠D=∠B， 又∠B=∠B1
∠D=∠B1
又AD=A1B1,∠A=∠A1
△______ △ ______
△______ △______
线上教师：推送国家智慧中小学平台的动态动画与微课，有效突破本节的难点，帮助学生实现从直观到逻辑的过渡。
线下教师引导学生逐步完成推理。组织学生书写推导步骤，形成完整定理证明。
设计意图：如何引导学生得出辅助线的作法是一个难点，此时线上教师适时点拨引导让学生发现通过构造全等三角形的方法可以实现三角形的移动从而找到证明思路，启发学生从变换的观点来看待证明过程，然后小组合作讨论辅助线的作法并写出证明过程，从而突破本节课的教学难点，并且在这一过程中培养学生合作交流、观察分析及语言概括能力，让学生体验到学习数学的成就感。培养学生的符号语言表达能力，规范几何解题格式根据探索思路继续探究一对角相等的两个三角形是否相似. 培养逻辑思维的严谨性。
（三）典例精讲
线上教师：在平台展示例题
例1 已知△ABC 中，∠A=50°，∠B=70°；△DEF 中，∠D=50°，∠F=60°，判断△ABC 与△DEF 是否相似”，引导学生用新定理分析，邀请学生提交解题思路。
例2 在两个直角三角形△ABC 和△A'B'C'中，∠B=∠B'=90°，且 ∠A=∠A'。请证明这两个三角形相似。
证明：由于直角三角形的直角相等，且还有一个对应角相等，根据 AA 定理，我们可以得出这两个三角形相似。
例3 在△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB。请证明△ADE∽△EFC。
分析：要判定△ADE∽△EFC，需要找出两个角相等，而已知告诉平行线，可找出两组相等的角，从而得证。
证明：DE//BC ∴∠AED=∠B ∠AED=∠C.
又∵ EF//AB ∴∠EFC=∠B，
∴∠ADE=∠EFC
∴△ADE∽△EFC
变式思考：如果点 D 恰好是边 AB 的中点，那么点 E 是不是边 AC 的中点？
DE 和 BC 之间有什么关系？△ADE 和△AFC 之间又有什么特殊的关系？
答案：因为 DE 平行于 BC，根据中位线定理，E 是 AC 的中点。DE 是 BC 的一半，因为 D 和 E 分别是 AB 和 AC 的中点。△ADE 和△AFC 不仅是相似的，而且是全等的。
线下教师：适时暂停视频，给学生充分时间思考解答，选取学生典型错误（如忽略对应角关系），展示点评，并随时帮助学生调整学习策略。
（四）应用新知，巩固提升
1.下面是一些判断题，请大家判断以下说法是否正确：
有一对角相等的三角形一定相似。（×）
有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似。（√）
有一个角等于 100°的两个等腰三角形相似。（×）
有一个角等于 30°的两个等腰三角形相似。（×）
2.已知△ABC 和△ACD，如果要让这两个三角形相似，需要满足的条件是什么？
已知△ABE 和△ACD，如果要让这两个三角形相似，需要满足的条件是什么？
答案：如果要让△ABC 和△ACD 相似，可能需要满足的角度条件，比如 ∠A = ∠A 或者边的比例条件。如果要让△ABE 和△ACD 相似，同样需要考虑角度条件或者边的比例条件。
（五）总结拓展，作业推送
学生活动：小组讨论本节课推导定理用到了哪些旧知识？
线下教师引导总结三角形内角和定理、相似三角形定义的应用，提炼转化思想。
线上教师：播放视频，通过古代实例，传递数学文化。
古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理来测量胡夫金字塔的高度。
作业：平台推送作业练习一，同时发放配套纸质作业单。推送作业练习二，平台两角判定定理实际应用案例（如测量河宽）。如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A、B、D，使AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C，测得AC＝120 m，CB＝60 m，BD＝50 m，请你帮助他们算出峡谷的宽AO。