贵州省新高考协作体2026届高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

贵州省新高考协作体2026届高三上学期第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知单位向量，满足，则向量与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
5.一艘渔船在海上由南向北航行航线视为一条直线，当船航行到点时，测得远处一座灯塔在其北偏东的方向上．渔船继续向北航行到达点，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则此时渔船与灯塔的距离为( )
A. B. C. D.
6.设，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是函数的一个周期
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上的最小值是
D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数有一个极大值 B. 函数有且仅有一个零点
C. 函数图像的对称中心为 D. 不等式的解集为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记若为偶函数，为奇函数，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 的周期为
C. D. 的图象关于直线对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.已知是双曲线的两个焦点，是上一点，且，则点到轴的距离为 ．
14.已知圆锥内有一个半径为的球，球与圆锥的侧面和底面均相切．当圆锥的侧面积最小时，圆锥的高为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，且，成等比数列．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项之积
16.本小题分
如图，在梯形中，，为的中点，，，将沿折叠，得到图所示的四棱锥，且．
若为的中点，证明：平面；
求平面与平面所成角的大小．
17.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，是线段的中点，是坐标原点，记直线的斜率为．
证明为定值，并求出该定值
若，求的面积．
18.本小题分
已知函数，
讨论函数的单调性．
若是方程的两根．
证明：；
若，，证明：．
19.本小题分
某人工智能神经网络由若干个相同的神经元节点组成，每个节点被激活的概率均为，且各节点是否被激活相互独立．若网络中超过一半的节点被激活，则整个网络能够正常执行任务．记为网络中共有个神经元节点时，网络能正常执行任务的概率．
若，求；
若，网络中共有个神经元节点，记网络中被激活的神经元节点个数为，未被激活的神经元节点个数为，求的数学期望；
若，，试比较和的大小，并证明你的结论．
参考答案
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15.【详解】设等差数列的公差为，
由，成等比数列，
得，解得舍去，
所以；
由得，
设数列的前项之积为，
则．

16.【详解】证明：为的中点，，
所以，
将沿折叠后，得到四棱锥，
所以，又为的中点，所以，
又即，，
且，平面，所以平面，
又平面，所以，
又即，所以，
由且，平面，
所以平面．
因为，所以，
将沿折叠后，有
由题意知：，
所以所在直线两两互相垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，
所以，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，所以，
，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，所以，
设平面与平面所成角为，
所以，
又，所以，所以平面与平面所成角的大小为．

17.【详解】证明：由已知椭圆，则，，
所以，即得点，点．
设直线，点，点，点．
联立，消去得，整理得，
依题意有，所以，，
又是线段的中点，所以，，
因此，所以．
综上，为定值，且该定值为．
根据已知作图如下．
由可知，直线，
又，所以，则直线，即．
又由可知，，则，，
所以，
而点到直线的距离，所以．
综上，的面积为．

18.【详解】由，得，
当时，，
所以函数在上单调递增；
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
由得，要使方程的两根为，
则，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以．
令，则，
则，，所以，
要证，只要证，即，即，
只要证，即证，令，
即证，
即证，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即其中成立，
故原不等式成立；
因为，
所以与异号，
因为是方程的两根，
所以也是方程的两根，
由韦达定理得，
由得，所以，所以，
所以．

19.【详解】每个节点被激活的概率，且各节点是否被激活相互独立，
又网络有个神经元节点，要使网络正常执行任务，需超过一半节点被激活，即至少个节点被激活，
设个节点中被激活节点个数为，根据独立事件概率公式得，
，
．
，网络有个神经元，表示被激活的节点个数，则，表示未被激活的节点个数，则，
，
二项分布，
．
设表示个节点中被激活的节点数，则，
设表示个节点中被激活的节点数，则，
表示个节点中至少个节点被激活的概率，即，
表示个节点中至少个节点被激活的概率，即．
把分解为“原有个节点的激活数”与“新增个节点的激活数”的和，
即，其中且与互相独立．
若原有，则无论新增节点如何激活，总激活数都满足大于等于，
若原有，则需要新增节点至少激活个，才能使总激活数大于等于，
．
，
，
，
，
，即．
若，，．

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