第六章 三角形(提升)
一、选择题(每题4分，共32分)
1．若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．如图，直线a∥b，三角板的直角顶点在直线a上，已知∠1＝25°，则∠2等于( )
A．25° B．55° C．65° D．75°
(第2题) (第3题)
3．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝8，则AD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．4.5
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．若AC＝3，BC＝4，则四边形CEDF的周长为( )
A．14 B．7 C．5 D．3.5
(第4题) (第5题) (第6题)
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点A(3，1)的对应点为点D(6，2)，则△ABC的面积与△DEF的面积之比是( )
A. B. C. D.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10 cm，S△ABC＝60 cm2，则tan B的值为( )
A. B. C. D.
7.(跨学科·物理)如图，在水槽底部A处安装一个射灯，光线从点A射向水面上的点O，折射后照到水槽壁上的点C处(MN为法线)．已知∠AON＝45°，∠COM＝60°，OF＝50 cm，A，O，B三点在一条直线上，则B，C之间的距离为( )
A．25 cm B．50(3－) cm
C. cm D. cm
(第7题) (第8题)
8．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为BC的中点，CD，AE交于点G，则下列结论中不一定正确的是( )
A．AG＝2EG B．CG＝CD
C．DG∶AD＝1∶3 D．S△ADG＝S四边形BEGD
二、填空题(每题4分，共16分)
9．如图，∠1＝________度.
(第9题) (第11题)
10．如果一个三角形的两边长分别为3，4，第三边最长且为偶数，则此三角形的第三边长是________.
11.(新考法)如图，某同学用圆规BOA画一个半径为4 cm 的圆，测得此时∠O＝90°，为了画一个半径更大的同心圆，固定A端不动，将B端向左移至B′处，此时测得∠O′＝120°，则BB′的长为________.
12.如图，甲、乙两架无人机在空中执行飞行任务，甲以3 千米/分的速度向正南方向飞行，当甲在A处时，乙在甲南偏西60°方向6 千米的B处，且乙从B沿南偏西15°方向匀速直线飞行，当甲飞行2分钟到达C处时，乙飞行到甲的南偏西75°方向的D处，则乙无人机的飞行速度为______千米/分．(结果保留根号)
三、解答题(共32分)
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE，连接DE.(14分)
(1)求证：∠DEC＝∠DCE；
(2)若AC＝BC，BE＝CE，求∠B的度数．
14.(新课标·探究建模)(18分)
【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD和BE的数量关系和位置关系．
【问题探究】
(1)如图①，当m＝1时，AD和BE的数量关系是______________________，位置关系是____________________；
(2)如图②，当m≠1时，(1)中位置关系的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
(3)当m＝，AB＝4 ，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，请直接写出BE的长．
第六章 三角形(提升)
一、1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D
二、9.130 10.6 11.(2 －4) cm 12.2
三、13.(1)证明：∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴∠AEC＝∠ACE，∠EAD＝∠CAD.
又∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴∠AED＝∠ACD，
∴∠AED－∠AEC＝∠ACD－∠ACE，
即∠DEC＝∠DCE.
(2)解：设∠B＝x，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝x.
∵BE＝CE，∴∠ECB＝∠B＝x，
∴∠AEC＝∠B＋∠ECB＝2x，∴∠ACE＝2x.
∵∠AEC＋∠ACE＋∠CAB＝180°，
∴2x＋2x＋x＝180°，解得x＝36°，∴∠B＝36°.
14．解：(1)AD＝BE；AD⊥BE
(2)成立，证明如下：
如图，延长BE交DA于点G，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠DCA＋∠ACE＝∠ACE＋
∠ECB＝90°，
∴∠DCA＝∠ECB.
∵＝＝，∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE，∴∠GAB＋∠ABG＝∠DAC＋∠CAB＋∠ABG＝∠CBE＋∠CAB＋∠ABG＝∠CAB＋∠CBA＝180°－∠ACB＝90°，
∴∠AGB＝180°－(∠GAB＋∠ABG)＝90°，即BE⊥AD.
(3)BE＝6 或4 .第六章 三角形(基础)
一、选择题(每题4分，共32分)
1．已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的长可能是( )
A．2 B．6 C．8 D．9
2．等腰三角形的一个角是80°，它的一个底角的度数为( )
A．40° B．50° C．80°或20° D．80°或50°
3．将一块含30°角的三角板和一把对边平行的直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝70°，则∠2的度数为( )
A．70° B．75° C．80° D．85°
(第3题) (第4题)
4．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为( )
A．10 B．8 C．6 D．4
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，cos C＝，BD＝，则BC的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(第5题) (第6题)
6．如图，正五边形ABCDE的顶点A，B在射线OM上，顶点E在射线ON上，∠AEO＝2∠DEN，则∠O的度数为( )
A．80° B．72° C．60° D．50°
7．如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F.若AF＝DF，EF＝1，则BE的长为( )
A．5 B．4 C．5 D．4
(第7题) (第8题)
8．如图，P是线段AB上一动点，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝3，DB＝2，M，N分别是PC，PD的中点，随着点P的运动，MN的长( )
A．先增长后缩短 B．不变，为
C．先缩短后增长 D．不变，为
二、填空题(每题4分，共16分)
9．用反证法证明命题“在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°”，应先假设________.
10．在平面直角坐标系中，已知点A(－6，0)，B(－4，－2)，O为原点，以点O为位似中心，按相似比2:1把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标为__________.
11.(数学文化)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的A－B－C)．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D.测得AB＝2 m，
BD＝1 m，AQ＝10 m，则树高PQ＝_________________________m.
12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，F，E分别是AB，CD的中点，若AB＝26，CD＝24，则△DEF的周长为________.
三、解答题(共32分)
13．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，求证：BD＝AE.(10分)
14.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝60°.(10分)
(1)求证：＝；
(2)若AB＝4，CD＝3，求AE的长．
15.(真实情境) 为提高中小学生午休质量，实现由“趴睡”变“躺睡”，某校新购了一批可躺式座椅(实物如图①所示)，可适应坐直、躺睡两种状态，该座椅的椅面AB始终与地面MN保持平行．躺睡时，根据人体工学原理，当椅面与椅背夹角在135°左右时比较舒适．如图②，若腿托AD长为24 cm，椅面AB长为45 cm，椅背BC长为42 cm，∠ABC＝136°，AD∥BC，请你求出此时座椅在地面的水平长度EF.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 44°≈0.69，cos 44°≈0.72，tan 44°≈0.97)(12分)
三角形(基础)
一、1.B 2.D 3.C 4.C 5.C 6.C 7.C 8.D
二、9.∠B≥90° 10.(－8，－4)或(8，4) 11.5 12.30
三、13.证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠DCB＝∠ECA.
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CB＝CA，CD＝CE，∴△DCB≌△ECA，∴BD＝AE.
14．(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°＝∠ADE.
∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B，
又∵∠ADC＝∠CDE＋∠ADE，
∴∠BAD＋∠B＝∠CDE＋∠ADE，
∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴＝.
(2)解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4.
∵CD＝3，∴BD＝BC－CD＝4－3＝1.
由(1)知＝，∴＝，
∴CE＝，∴AE＝AC－CE＝4－＝.
15．解：延长BA交ED的延长线于点G，延长AB交CF于点H，如图．
由题意可知，GH∥FE，EG∥HF，∠HFE＝90°，
∴四边形GHFE是矩形，
∴∠AGD＝∠BHF＝∠CHB＝90°，GH＝EF.
∵∠ABC＝136°，AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝136°，∠CBH＝180°－∠ABC＝44°，
∴∠GAD＝180°－∠DAB＝44°.
在Rt△ADG中，AG＝AD·cos∠DAG＝24·cos 44°≈24×0.72＝17.28(cm)，
在Rt△BCH中，BH＝BC·cos∠CBH＝42·cos 44°≈42×0.72＝30.24(cm)，
∴EF＝GH＝AG＋AB＋BH≈17.28＋45＋30.24≈92.5(cm)，
即此时座椅在地面的水平长度EF约为92.5 cm.
