3.2.1单调性与最大（小）值 同步练习（含解析）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值
一、单选题
1．下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的值域为，则实数的取值不可能为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是关于的方程的两个实数根.则的最小值（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
8．对于恒成立，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．设函数，若函数与在上均为单调递增函数，则实数的取值范围为 ．
10．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
11．已知函数，则当时；的最大值为 ．
12．若对于任意 ，不等式 恒成立，设 ，则 取值范围为
13．填空题：（1）函数的定义域为
（2）函数的图像如图所示，则函数的减区间是 ．

四、解答题
14．已知一个二次函数当时取得最小值，且其图象过点.
(1)求此函数的图象与轴的交点坐标；
(2)当时，求此函数的最大值.
15．已知二次函数（为实数）
(1)若时，且对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)对，时，恒成立，求的最小值．
16．已知，是关于x的方程的两个实数根．
(1)若，求m的值；
(2)求的最小值．
17．已知二次函数，恒有.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值.
参考答案
1．B
【分析】利用一次函数与二次函数的单调性对各选项逐一分析判断即可得解.
【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；
对于B，易知开口向上，对称轴为，
所以在区间上为增函数，故B正确；
对于C，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，故D错误.
故选：B.
2．B
【分析】先利用，将自变量转化到上，再利用在上是增函数，可比较出大小.
【详解】因为，
所以，
，
因为在上是增函数，且，
所以，即.
故选：B.
3．C
【分析】求出给定二次函数的单调递减区间，再利用集合的包含关系求解作答.
【详解】函数的单调递减区间为，
因为函数在区间上是减函数，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
4．D
【分析】分讨论，当时结合二次函数的图象性质列出不等式组即可.
【详解】当时，，即值域为，满足题意；
当时，设，若使函数的值域为，
则只需取大于等于零的实数，
即只需的图象与轴有交点即可，
因此，解得
综上，
故选：D．
5．C
【分析】根据韦达定理可得，，进而得出.变形可得，根据二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
且，所以.
则.
根据二次函数的性质可知，在时单调递减，
所以，.
故选：C.
6．B
【分析】运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值即得.
【详解】解：由题意可知：若关于的不等式在上恒成立，
①当时，恒成立，
即有恒成立，
由的对称轴为，可得处取得最大值，
由的对称轴为，可得处取得最小值，
则，
②当时，恒成立，
即有恒成立，
由，（当且仅当）取得最大值，
由，（当且仅当）取得最小值2，
则，
综上所述，若关于的不等式在上恒成立，则①②必须同时满足，可得.
故选：B.
7．D
【分析】解方程，结合关于的不等式在时恒成立，则要，从而得到，求出的最小值.
【详解】令，解得，
其中，，
令，解得，
因为，所以，
要想关于的不等式在时恒成立，
则，所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D
8．ABC
【分析】求出的最小值，即可求出参数的取值范围.
【详解】设，则，
则的图象如下所示：
由图可知当时取得最小值，
即当且仅当时取等号，
因为对于恒成立，所以，
故符合题意的有A、B、C.
故选：ABC
9．
【分析】利用分式函数、二次函数在上的单调性求出的范围得解.
【详解】由函数在上单调递增，得，解得，
由函数在上单调递增，得，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
10．
【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】根据题意得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
11．9
【分析】将函数分离常数可得，再由反比例函数性质可得当时，取最大值9.
【详解】易知，
所以，
由反比例函数性质可知当时，取最大值，；
故答案为：9
12．
【分析】变换得到 恒成立，构造，计算函数值域，得到，换元得到，即，计算范围即可.
【详解】对于任意 ，不等式 恒成立，
即当 时，不等式 恒成立，
设 ，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
的值域为 ，
所以原不等式恒成立，等价于 ，即 ，
设 ，则 ，所以 ，
故 ，
当 时， ，显然当 时 ，
而 ，故 ，故此时 ；
当 时， ，显然 .
综上所述：
的范围是 .
故答案为：.
13．
【分析】（1）利用分式函数分母不为，求出定义域即可；
（2）利用图象可以求出函数单调递减区间．
【详解】（1）由，得，
所以函数的定义域为，
（2）由图象知，函数在单调递减，故函数的减区间是，
故答案为：，
14．(1)
(2)5
【分析】（1）设二次函数为顶点式，利用待定系数法求得解析式，再令求得结果.
（2）根据二次函数的单调性求得结果.
【详解】（1）因为二次函数当时取得最小值，
所以可设其解析式为()，即（），
又因为函数图象过点，所以，得，
所以函数为.
令，得，，
所以此函数的图象与轴的交点坐标为.
（2）函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，
故当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
当时，，当时，，
故当时，函数的最大值5.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，转化为恒成立，进而得到对恒成立，令，化简得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，求得，得到，结合基本不等式，即可求得最小值.
【详解】（1）解：因为时，，可得，即，
对，恒成立，即恒成立，所以恒成立，
因为，所以对恒成立，
令，则，
则，
当且仅当，即，此时时，等号成立，
所以，即实数的取值范围时．
（2）解：对，时，恒成立，所以，解得，
所以，当且仅当且，
即时，取等号，所以最小值是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据求m的范围，再利用韦达定理代入求解可得；
（2）先配方，利用韦达定理，结合二次函数性质可得.
【详解】（1）因为，是关于x的方程的两个实数根，
所以，即
所以，
所以，
整理得，解得（舍去）或，
所以.
（2）由（1）可得，
令，
因为在区间上单调递减，
所以，当时，取得最小值.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出即可；
（2）根据对称轴与区间中点的关系分类讨论求解即可.
【详解】（1）由，得，
则，所以且，解得，
又，则，
故．
（2），对称轴，
当，即时，时，，解得；
当，即时，，
时，，不合题意；
当，即时，时，，解得（舍），
综上，．