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2025秋人教八上数学期中临考押题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：新教材人教版八上第13~15章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．山 B．河 C．无 D．恙
2．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
（2题图） （5题图）
3．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm
4．若点A（a，﹣2022）与点B（﹣2023，b）关于y轴对称，则（a+b）2024＝（ ）
A．2024 B．﹣2023 C．﹣1 D．1
5．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（ ）
A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm
6．在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
（6题图） （8题图） （9题图） （10题图）
7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最长边为10cm，则最短边的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OA'A的度数为（ ）
A．33° B．37° C．43° D．47°
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D．若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在△ABC中，PD，PE分别是AC，BC边的垂直平分线，且分别与AB交于点M，N连接CM，CN．有下列四个结论：①∠P＝∠A+∠B；②∠ACB＝∠MCN+∠P；③∠ACB与∠B是互为补角；④△MCN的周长与AB边长相等．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，若第三根木棒长为a cm，且a为偶数，则a＝ __________________ ．
12．如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若∠BAC＝33°，则∠EFC的度数为 ______ ．
13．若AD是△ABC的高，且BD＝5，CD＝2，则边BC的长为 ______ ．
14．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝20°，∠2＝70°，求∠B＝ ______ ．
15．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°．∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ___ ．
三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
16．如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，且AB∥DE．求证：AC＝DF．
17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A．
（1）用尺规作图：作边AB的垂直平分线，交边AC于点D；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的情况下，连结BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN．
（1）证明：AB＝BC；
（2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形．
20．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．
（1）求证：BF＝CG；
（2）若AB＝8，AC＝10，求AF的长度．
21．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点坐标A1 _________ 、B1 _________ 、C1 _________ ；
（3）在x轴上画出点P，使PB+PC最小．
五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
22．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标．
23．【问题背景】
（1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】
（2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积．
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2025秋人教八上数学期中临考押题卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：新教材人教版八上第13~15章
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A．山 B．河 C．无 D．恙
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B、C、D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称汉字；
A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使汉字沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称汉字；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．永祚寺双塔，又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的古建筑中最高的建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔，如图1所示．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意图，则其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【分析】首先利用外角和360°求得外角的度数，然后根据互补求得每个内角的度数即可．
【解答】解：∵多边形外角和为360°，
∴正八边形每个外角为360°÷8＝45°，
∴正八边形每个内角的度数为180°﹣45°＝135°，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角的知识，解题的关键是了解多边形的外角和．
3．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm
【分析】等腰三角形的一边长为3cm，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，
∴当3cm为底时，其它两边都为6cm，3cm、6cm、6cm可以构成三角形；
当3cm为腰时，其它两边为3cm和9cm，
∵3+3＝6＜9，
∴不能构成三角形．
∴该等腰三角形的底边长只能为3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．若点A（a，﹣2022）与点B（﹣2023，b）关于y轴对称，则（a+b）2024＝（ ）
A．2024 B．﹣2023 C．﹣1 D．1
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵点A（a，﹣2022）与点B（﹣2023，b）关于y轴对称，
∴a＝2023，b＝﹣2022，
∴（a+b）2024＝12024＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系，关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标反数．
5．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为（ ）
A．24cm B．23cm C．22cm D．21cm
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE，进而得到∠BDC＝∠CEA＝90°，再根据等角的余角相等可得∠ACE＝∠DBC，再证明△BDC≌△CEA即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠BDC＝∠CEA＝90°，
∴∠BCD+∠ACE＝90°，∠BCD+∠DBC＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
在△BDC和△CEA中，
，
∴△BDC≌△CEA（AAS）；
由题意得：BD＝EC＝4cm，DC＝AE＝20cm．
∴DE＝DC+CE＝24cm，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
6．在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边长的高线，
∴CD⊥AB，即ED⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴DE＝EF＝2，
∴S△BCE5．
故选：C．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最长边为10cm，则最短边的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【分析】由三角形内角和定理求出∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，即可得到BCAB＝5（cm），得到最短边的长是5cm，
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝3x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+3x＝180，
∴x＝30，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∵最长边为10cm，即直角三角形斜边AB＝10cm，
∴BCAB＝5（cm），
∴最短边的长是5cm，
故选：A．
【点评】本题考查三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，关键是由条件求出∠A＝30°，∠C＝90°．
8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了A'点，则∠OA'A的度数为（ ）
A．33° B．37° C．43° D．47°
【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
【解答】解：∵秋千旋转了86°，小林的位置也从A点运动到了A'点，
∴AOA′＝86°，OA＝OA′，
∴∠OAA'（180°﹣86°）＝47°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D．若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作DE⊥AB，由∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D．BC＝8，BD＝5，即可得点D到AB的距离为DE＝DC＝BC﹣BD＝8﹣5＝3．
【解答】解：作DE⊥AB，
由∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D．BC＝8，BD＝5，
得点D到AB的距离为DE＝DC＝BC﹣BD＝8﹣5＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是正确作出辅助线．
10．如图，在△ABC中，PD，PE分别是AC，BC边的垂直平分线，且分别与AB交于点M，N连接CM，CN．有下列四个结论：①∠P＝∠A+∠B；②∠ACB＝∠MCN+∠P；③∠ACB与∠B是互为补角；④△MCN的周长与AB边长相等．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由线段垂直平分线的性质，得到MC＝MA，NC＝NB，∠CDP＝∠CEP＝90°，由∠P+∠ACB+∠CDP+∠CEP＝360°，得到∠P+∠ACB＝180°，又∠A+∠B+∠ACB＝180°，得到∠P＝∠A+∠B，由等腰三角形的性质推出∠ACB＝∠ACM+∠NCB+∠MCN＝∠P+∠MCN，由补角定义得到∠ACB与∠B不互为补角，△MCN的周长＝MC+NC+MN＝AM+NB+MN＝AB．
【解答】解：∵PD，PE分别是AC，BC边的垂直平分线，
∴MC＝MA，NC＝NB，∠CDP＝∠CEP＝90°，
∵∠P+∠ACB+∠CDP+∠CEP＝360°，
∴∠P+∠ACB＝360°﹣∠CDP﹣∠CEP＝180°，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠P＝∠A+∠B，
故①符合题意；
∵MC＝MA，NC＝NB，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠NCB，
∴∠A+∠B＝∠ACM+∠NCB，
∴∠P＝∠ACM+∠NCB，
∴∠ACB＝∠ACM+∠NCB+∠MCN＝∠P+∠MCN，
∠故②符合题意；
∵∠ACB+∠B+∠A＝180°，
∴∠ACB与∠B不互为补角，
故③不符合题意；
△MCN的周长＝MC+NC+MN＝AM+NB+MN＝AB，
故④符合题意．
∴正确的是①②④，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，若第三根木棒长为a cm，且a为偶数，则a＝ 4、6、8、10、12、14、16 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，则第三根木棒应＞两边之差即3cm，而＜两边之和17cm．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
10﹣7＜a＜10+7，
3＜a＜17．
∵a为偶数，
∴a＝4、6、8、10、12、14、16．
故答案为：4、6、8、10、12、14、16．
【点评】本题考查了三角形三边关系，能够熟练运用三角形的三边关系求得第三边的取值范围．
12．如图，△ABC≌△AED，点E在边AC上，DE的延长线交BC于点F，若∠BAC＝33°，则∠EFC的度数为 33° ．
【分析】由全等三角形的性质推出∠DAE＝∠BAC＝33°，∠D＝∠C，由三角形内角和定理得到∠EFC＝∠DAE＝33°．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠DAE＝∠BAC＝33°，∠D＝∠C，
∵∠AED＝∠CEF，
∴∠EFC＝∠DAE＝33°．
故答案为：33°．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
13．若AD是△ABC的高，且BD＝5，CD＝2，则边BC的长为 7或3 ．
【分析】分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论，分别求出结果即可．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图所示：
∵BD＝5，CD＝2，
∴BC＝BD+CD＝5+2＝7；
当△ABC为钝角三角形时，如图所示：
∵BD＝5，CD＝2，
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣2＝3；
综上分析可知，边BC的长为7或3．
故答案为：7或3．
【点评】本题主要考查了三角形高的有关计算，解题的关键是画出图形，分类讨论．
14．如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝20°，∠2＝70°，求∠B＝ 40° ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠BAC+∠1，再求出∠BAC，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠2＝∠BAC+∠1（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝20°，∠2＝70°（已知），
∴∠BAC＝∠2﹣∠1＝70°﹣20°＝50°．
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°．
所以∠B的度数为40°．
故答案为：40°．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
15．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°．∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 5 ．
【分析】过B作BK⊥AC于K，作N关于AD的对称点N′，连接N′B，证明N′在AC上，当B，M，N′共线，且垂直AC时，BM+MN最短，即M，N′在BK上，即BK的长，进一步可得答案．
【解答】解：过B作BK⊥AC于K，作N关于AD的对称点N′，连接N′B，
∵AD平分∠BAC，
∴N′在AC上，
∴BM+MN＝BM+MN′，
当B，M，N′共线，且垂直AC时，BM+MN最短，
即M，N′在BK上，即BK的长，
∵AB＝10，∠BAC＝30°，
∴，
∴BM+MN的最小值是5．
故答案为：5
【点评】此题考查轴对称的性质，30°的直角三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
16．如图，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，且AB∥DE．求证：AC＝DF．
【分析】根据AB∥DE可得∠B＝∠DEF，由BE＝CF，推出BC＝EF，结合已知可证明△ABC≌△DEF，最后根据全等三角形的性质即可求解．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∵AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．
18．如图，在△ABC中，∠B＞∠A．
（1）用尺规作图：作边AB的垂直平分线，交边AC于点D；（保留作图痕迹）
（2）在（1）的情况下，连结BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．
【分析】（1）利用垂直平分线的作法即可；
（2）先计算出∠CDB＝70°，再根据等腰三角形的性质由CB＝CD得到∠CBD＝∠CDB＝70°，然后根据三角形内角和计算∠C的度数．
【解答】解：（1）如图，以A，B为圆心，大于长度为半径，两弧相交于点M，N，连接MN交AC于点D，
∴直线MN即为所求；
（2）由（1）得MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA＝35°，
∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝35°+35°＝70°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠CDB﹣∠CBD＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
【点评】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CA平分∠BCD，AM⊥CD于点M，BN⊥AC于点N，连接MN．
（1）证明：AB＝BC；
（2）若∠CAB＝30°，证明：△AMN是等边三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质、角平分线定义求出∠BCA＝∠BAC，再根据等腰三角形的判定定理即可得证；
（2）根据直角三角形的性质求出∠MAC＝60°，，ANAC，则AN＝AM，再根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证．
【解答】证明：（1）在四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD．
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA＝∠ACD，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴AB＝BC．
（2）∵∠CAB＝30°，
∴∠BCA＝∠ACD＝∠CAB＝30°，
∵AM⊥CD于点M，
∴∠MAC+∠ACD＝90°，，
∴∠MAC＝60°，
∵AB＝BC，BN⊥AC于点N，
∴，
∴AN＝AM，
∴△AMN是等边三角形．
【点评】此题考查了等边三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练运用等边三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．
（1）求证：BF＝CG；
（2）若AB＝8，AC＝10，求AF的长度．
【分析】（1）根据线段垂直平分线求出BE＝CE，根据角平分线性质求出EF＝GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE即可；
（2）求出△AFE≌△AGE，推出AF＝AG，即可得出答案．
【解答】证明：（1）连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG；
（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE，
在△AFE和△AGE中，
，
∴△AFE≌△AGE（AAS），
∴AF＝AG，
∵BF＝CG，
∴（AB+AC）（AF﹣BF+AG+CG）（AF+AF）＝AF，
∴AB+AC＝2AF，
∴AF（AB+AC）（8+10）＝9．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
21．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点坐标A1 （﹣2，4） 、B1 （﹣1，1） 、C1 （﹣3，2） ；
（3）在x轴上画出点P，使PB+PC最小．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）根据（1）得出A1、B1、C1的坐标；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1，如图1即为所求；
；
（2）由（1）图可得A1的坐标为：（﹣2，4），B1的坐标为：（﹣1，1），C1的坐标为：（﹣3，2），
故答案为：（﹣2，4），（﹣1，1），（﹣3，2）；
（3）如图2，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键．
五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）
22．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A（a，0），B（0，b），且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，连接AB，∠OBA＝45°．
（1）求点A、点B的坐标．
（2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接AP，过点P作PM⊥AP，且PM＝PA，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，当S△MQA＝28时，求点R的坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质，得到关于a，b的方程组，求得a，b的值，即可得到点A、点B的坐标；
（2）根据AAS判定△CPM≌△OAP，再根据全等三角形对应边相等，即可得到CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4，CO＝CP+OP＝4+t，进而得到点M的坐标为（t，4+t）；
（3）连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，根据△BOQ是等腰直角三角形，得出Q（﹣4，0），再根据S△MQA8×（4+t）＝28，得出OP＝3，最后判定△OBR≌△OAP（ASA），即可得到OR＝OP＝3，进而得出点R的坐标为（﹣3，0）．
【解答】解：（1）∵a，b满足（a﹣4）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣4＝0，
∴a＝4，b＝4，
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）如图所示，过M作MC⊥y轴于C，则∠PCM＝∠AOP＝90°，
∵PM⊥AP，
∴∠CPM+∠APO＝∠OAP+∠APO＝90°，
∴∠CPM＝∠OAP，
在△CPM和△OAP中，
，
∴△CPM≌△OAP（AAS），
∴CM＝OP＝t，CP＝AO＝BO＝4，
∴CB＝OP＝t，
∴CO＝CP+OP＝4+t，
∴M（t，4+t）；
（3）如图所示，连接MB并延长交x轴于点Q，连接AM，过点B作PM的平行线交x轴于点R，
∵CB＝CM＝t，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠CBM＝∠OPQ＝45°，
∴△BOQ是等腰直角三角形，
∴OQ＝OB＝4，即Q（﹣4，0），
又∵A（4，0），
∴AQ＝8，
又∵M（t，4+t），
∴S△MQA8×（4+t）＝28，
∴t＝3，
∴OP＝3，
∵BR∥PM，
∴∠OBR＝∠CPM，
又∵∠CPM＝∠OAP，
∴∠OBR＝∠OAP，
在△OBR和△OAP中，
，
∴△OBR≌△OAP（ASA），
∴OR＝OP＝3，
∴R（﹣3，0）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算．
23．【问题背景】
（1）如图1，直线l经过点A，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ABD≌△CAE；
【变式探究】
（2）如图2，点A，D，E在直线上，若∠CEA＝∠BAC＝∠ADB，AB＝AC，求证：DE＝BD+CE；
【拓展应用】
（3）如图3所示，在Rt△BAD和Rt△CAE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，作BC边上的高AG，延长GA交DE于点H．若AH＝5，AG＝12，求△DAE的面积．
【分析】（1）根据垂直定义得∠BDA＝∠AEC＝90°，则∠DAB+∠DBA＝90°，再根据∠BAC＝90°得∠DAB+∠EAC＝90°，由此得∠DBA＝∠EAC，进而可依据“AAS”判定△ABD和△CAE全等；
（2）根据三角形外角性质得∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，再根据∠ADB＝∠BAC得∠EAC＝∠DBA，进而可依据“AAS”判定△EAC和△DBA全等得CE＝AD，AE＝BD，由此可证明DE＝BD+CE的结论；
（3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，则∠AGB＝∠M＝90°，进而得∠ABG+∠BAG＝90°，再根据∠BAD＝90°得∠BAG+∠DAM＝90°，由此得∠ABG＝∠DAM，进而可依据“AAS”判定△ABG和△DAM全等，则DM＝AG，同理可证明△ADC和△ENA全等得EN＝AG，则DM＝EN＝AG，然后再根据三角形的面积公式即可得S△DAE．
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB+∠EAC＝90°，
∴∠DBA＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）证明：∵∠EAB是△ABD的外角，
∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA，
∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA，
∵∠ADB＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠DBA，
在△EAC和△DBA中，
∴△EAC≌△DBA（AAS），
∴CE＝AD，AE＝BD，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示：∵AG⊥BC，∴∠AGB＝∠M＝90°，∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAM＝90°，
∴∠ABG＝∠DAM，
在△ABG和△DAM中，
，∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴DM＝AG，同理可证明：△AGC≌△ENA，
∴EN＝AG，
∴DM＝EN＝AG，
∵S△DAE＝S△AHD+S△AHE
AH DMAH EN，
＝AH×2DM
＝AH×AG
＝5×12
＝60
∴△ADE的面积等于60．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
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