安徽省定远育才学校2025-2026学年高二（上）10月月考试卷数学试题（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高二（上）10月月考试卷
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知为空间中任意一点，，，，四点共面，且，，，中任意三点不共线，若，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
3.若方程表示圆，则实数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
4.( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
6.直线与直线：平行，且直线过点，则直线和的距离为 ．
A. B. C. D.
7.过点的直线与圆：相切，则切线长为( )
A. B. C. D.
8.已知，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若，则为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面，的法向量分别是，，直线的方向向量为，则( )
A. B.
C. 可以作为空间的一个基底 D. 在上的投影向量的模长为
10.下列四个命题中真命题有( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 直线必过定点
D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
11.已知椭圆的两个焦点分别为，，为坐标原点，过的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是 ( )
A. 的周长为 B. 的周长为
C. 若，则 D. 若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为_________．
13.正方体的棱长为，为的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为__________．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在棱长为的正方体中，，分别为，的中点．
求
求直线与所成角的余弦值
求平面和平面夹角的余弦值．
16.本小题分
已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．
已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程
如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点、、与、、均不重合，且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标
已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围．
17.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图．
求证：平面
判断在线段上是否存在一点，使平面平面若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，，使得是线段的中点，求圆的半径的取值范围．
19.本小题分
如图，从椭圆：上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，
求椭圆的方程；
设点关于轴的对称点为，过椭圆上不同于，的任意一点，作直线，分别交轴于点，证明：点，的横坐标之积为定值．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.
13.
14.
15.解：在棱长为的正方体中，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
．
，，
，
直线与所成角的余弦值为．
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
令，则，
则，
平面和平面所成的角为锐二面角，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
16.解：由已知得，
又，
直线的方程；
设直线的斜率分别为，
由题意知，，，
且，得，负值舍去．
直线的方程为，直线的方程为，
联立得；
设，其中，
故．
由于当且仅当时，等号成立，
故．
17.证明：，，
，
，，，平面，
平面，
又平面，
，
，，，平面，
平面；
解：由题意，以，，分别为，，轴，建立坐标系，则，
，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则
令，，
设，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，，
平面平面，
由得，，，
，在线段上不存在一点，使平面平面．
18.解：设外接圆的方程为，
将，，三点坐标代入方程得：
解得
所以外接圆的方程为．
化成标准方程为．
所以外接圆圆心，半径为．
易得直线的方程为，
设，．
因为是线段的中点，所以．
又点，都在半径为的圆上，
所以
即
因为这个关于，的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，
所以．
又，所以对任意的，成立．
而在，上的值域为，，
所以且．
又点在圆外，所以，即对任意的，成立，即．
故圆的半径的取值范围为，
19.解：由题意可知，，，，，
，
，
即，
，
，
，
，
又，
，，，
椭圆方程为；
由得，则，
设，则有，
直线的方程为，
令，整理得，
同理可得点的横坐标，
所以点，的横坐标之积，
因为，所以．
故点，的横坐标之积为定值．
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