6.3.1 平面向量基本定理 教学设计

平面向量基本定理
教材分析：本节课选自人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章第三节第一课时.本节内容是衔接向量几何运算与代数运算之间的桥梁，它是共线向量定理的推广，是学习向量坐标表示及空间向量基本定理的基础.因此，本节内容在向量知识体系中具有核心地位和承上启下的作用.
学情分析：
学生认知基础：学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算，特别是向量线性运算和向量共线的充要条件，都为学生学习本节内容提供了知识准备.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成与分解的平行四边形法则，同时作图习惯已经养成，这也为我们学习本节内容提供了充分的认知准备.
学生认知困难：学生对于向量之间的关系的认识还只是停留在“一维”层面，而平面向量的基本定理揭示的是“二维”层面的平面向量之间的关系，这对学生有一定的难度，特别是平面向量基本定理中的“任一”、“有且只有”等数学专用语会对学生构成理解障碍.
教学目标
1.经历平面向量基本定理的探索过程，体会由力的分解到向量的分解过程，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养，感悟数形结合、类比、由特殊到一般的数学思想.
2.通过证明平面向量基本定理，理解定理，体会定理的重要性及其意义，提高逻辑推理的核心素养.
3.了解向量的一组基底的含义，会判断两个向量是否构成基底，能根据问题背景恰当选择基底表示相关向量，培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的问题，提升数学运算的核心素养.
教学重难点
重点：平面向量的基本定理及其意义.
难点：平面向量基本定理的发现过程及对定理的证明.
教学环节
一、复习引入
共线向量定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得.
思考1：可以只用这个非零向量表示这个平面内任意一个向量吗？
答：不能，只能表示与共线的向量.
思考2：你认为要表示平面内任意一个向量，至少需要几个向量？
设计意图：设置问题情境，回顾旧知，激发学生学习兴趣，蕴含本课时的设计主线，即从共线向量定理的“一维”关系转向研究平面向量基本定理的“二维”关系.
数字化资源：【PPT展示视频】
力的合成与分解.mp4
启发：我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？
师生活动：教师引导学生类比力的分解来猜想平面内任一向量都能用两个不共线的向量表示，启发学生以力的分解为背景，引出向量的分解，并通过作平行四边形来探究猜想.
设计意图：利用AI技术制作学生熟悉的物理中力的合成与分解视频，并配有字母和配音，引起学生的注意力。从而引入向量的分解，激发学生学习的主动性.
二、探究新知
小组探究活动：给定两个不共线的向量，， 是这个平面内任一向量.
任务一：小组中每个成员都在网格上任意画出一个向量，仿照力的分解过程将向量按向量，的方向分解.
任务二：分析向量能否用，来表示？怎么表示？
要求：学生先自己思考两分钟，然后小组合作探究，最后进行成果展示.
师生活动：学生观察、思考、操作、尝试、探究，教师巡视、指导，请学生代表展示交流，注意讨论与 共线以及为零向量时的特殊情况.
探究结论：当，不共线时，平面内任一向量都可以表示成的形式.
师生活动：学生总结探究结论，教师补充.
设计意图：以向量分解为情境，让学生自己动手画图，并结合共线向量定理和向量加法运算，通过画图来研究平面向量基本定理的特征，让学生更加理解定理中的“任一”提升学生的直观想象、逻辑推理的核心素养.
数字化资源：利用GeoGebra软件动态地展示.
平面向量基本定理.mp4
师生活动：教师利用信息技术展示，引导学生认识到任一向量都可以用同一平面内两个不共线的向量来表示，并引导学生直观地认识到这种表示的唯一性.
设计意图：利用信息技术展示，让学生更加直观地理解平面向量基本定理.
思考1：中，如何证明的唯一性？
证明：
如果还可以表示成的形式，
那么=，
可得，
，
即
也就是说，有且只有一对实数，使.
设计意图：证明平面向量基本定理中的唯一性，让学生更加理解定理中的“有且只有”.
思考2：你能把上述探究发现的结果，用数学的语言描述出来吗？
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数，，使．
若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
师生活动：学生总结，教师补充，让学生明白平面向量基本定理是共线向量定理的推广.
设计意图：学生自己归纳概括总结出平面向量基本定理，提高学生的概括能力.
三、典例解析
例1 如图6.3-4，不共线，且，用表示．
解：因为，
所以
．
观察，你有什么发现？
三点共线的重要结论：若三点共线，为直线外一点 存在实数 使，且.
设计意图：通过例1的学习，师生共同归纳出三点共线的向量表示，提升了学生的概括理解能力.
例2 如图6.3-5 ，是的中线， ，用向量方法证明是直角三角形．
分析：由平面向量基本定理可知，任一向量
都可由同一个基底表示，本题可取为基底，用它表示，．证明，可得，从而证得是直角三角形．
证明：如图6.3-6，设 则 ，
，于是.
所以.
因为
所以.
因此
于是是直角三角形.
设计意图：通过例2的学习，师生互动逐步推理解决利用向量的方法证明两条线段垂直问题，同时深度学习掌握直角三角形的向量判断方法.
四、达标检测
1.已知是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基底的是( ) A. B.
C. D.
【答案】C
2.已知三点共线，且对任一点 ，有，则＝(　　)
A. B. C. D.
【答案】　C
3.（教材27页练习第3题）如图，在中，，点，分别是，的中点．设
（1）用，表示，．
（2）如果， ，，有什么关系？用向量方法证明你的结论．
解析:（1）．
点，分别是，的中点，
且．．
（2）与垂直．
证明：，
．
，即与垂直．
设计意图：通过达标检测，让学生巩固本节课所学知识，了解平面向量基本定理的具体应用.
五、课堂小结
回顾一下本节课你学到了哪些知识，并画出思维导图。
数字化资源：在线思维导图
学生活动：找一名学生在黑板PPT中在线画图，其他学生在练习本上画图
设计意图：通过在线画图的形式，促使学生认真回顾本节课的内容，并且用框图形式展现出来，又能加深学生的印象，一举两得。
六、课后作业
教材第36-37页习题6.3：
1.基础题：第1题；
2.综合应用题：第11题；
3.拓广探究题：第15题.
实践亮点：
本课以AI+技术制作的视频作为引入，以其鲜明的配色和声音，成功的吸引了学生的注意力，顺利的从学生熟悉的物理背景过渡到向量基本定理的探究。本节课凸显学生主体，重视学科素养的培养，从课前让学生自己动手画向量发现平面向量基本定理，到亲自操作GeoGebra动态演示工具验证平面向量基本定理，最后利用在线思维导图建立知识框架深化理解平面向量基本定理，培养数学抽象、直观想象、逻辑推理等素养。本课融入豆包、即梦AI、GeoGebra、PPT等工具，助力“数与形”的理解，示范了课堂教学与技术融合路径。
优化展望：
1.本节课对AI+技术的操作能力仍显不足，课前视频制作还比较粗糙，后续还要加强对AI工具功能的学习和应用。
2.本节课在教学评价方面的设计略为简单，“教—学—评”一致性落实不到位，后续还要在课前预习和课后作业这两个方面补充设计。