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分课时教学设计
第九课时《15.3.2 等边三角形（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课选自人教版八年级上册第15章“轴对称”的15.3.2节第2课时，是在学生已掌握等边三角形的性质与判定的基础上，进一步探索直角三角形的特殊性质，是“轴对称”知识体系中“特殊图形性质推导”的延伸与深化；从教材结构来看，本节课前承等边三角形的性质与判定，后为后续学习直角三角形全等、勾股定理应用、解直角三角形等内容奠定基础，是连接“特殊三角形”与“直角三角形应用”的关键纽带，同时，本节课通过“测量猜想—构造证明—应用拓展”的流程，延续了教材中“从具体到抽象、从操作到推理”的几何学习逻辑，符合八年级学生从直观感知向逻辑推理过渡的认知特点．
学习者分析 通过上节课的学习，学生已掌握等边三角形的性质与判定，以及直角三角形的基本概念，具备一定的几何直观感知和简单推理能力，为探索含30°角直角三角形的性质奠定基础．但学生在几何证明中构造辅助线的能力较弱，如本节课需通过延长线段构造等边三角形来证明性质，对学生而言有一定难度；同时，学生将数学知识与实际问题结合的意识和能力也有待提升．
教学目标 1．通过探索、发现、证明，得到含30°角的直角三角形的性质． 2．能够利用含30°角的直角三角形的性质进行简单的证明和计算．
教学重点 含30°角的直角三角形的性质．
教学难点 含30°角的直角三角形的性质．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．通过探索、发现、证明，得到含30°角的直角三角形的性质． 2．能够利用含30°角的直角三角形的性质进行简单的证明和计算．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是等边三角形？ 答案：三条边都相等的三角形是等边三角形． 2．说一说等边三角形的性质和判定方法． 答案： 性质：（1）等边三角形的三条边都相等 （2）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60° （3）三线合一；等边三角形是轴对称图形，一共有三条对称轴 判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形 引言：利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习等边三角形的定义、性质和判定，为探究含有30°的直角三角形的性质做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论． 预设：通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半．即：BC＝AB 分析：要证明BC＝AB，只要证明2BC＝AB．为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可． 分析：要证明BC＝AB，只要证明2BC＝AB．为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可． 证明：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD． 又∵∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB． 又∵BD＝2BC， ∴BC＝ AB． 追问：你还有其他证明方法吗？ 归纳：含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 符号语言： ∵在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A=30°， ∴BC＝AB． 例1：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4ｍ，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长． 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD． ∴BC＝×7.4＝3.7（ｍ）． 又∵AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（ｍ）． 答：立柱BC的长是3.7ｍ，DE的长是1.85ｍ． 例2：已知等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a．求腰上的高． 已知：如图，在等腰△ABC 中，∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a．过 C 作腰 BA 延长线的垂线 CD，垂足为 D． 求：CD 的长． 解：在等腰△ABC 中， ∵∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a， ∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°， AC＝AB＝2a． ∴CD＝ AC＝×2a＝a．学生活动3： 学生小组合作探究，组内交流，班内汇报，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 让学生经历含30°角的直角三角形的性质的探索过程，加深对知识的理解．然后通过例题的讲解学习，加深学生对已学知识的理解，让学生能够运用含30°角的直角三角形的性质进行简单的证明和计算．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：15.3.2等边三角形（第2课时）含30°角的直角三角形 文字语言 符号语言教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，，，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 答案：B 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长． 解：连接， ∵的垂直平分线交于点、交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 选做题： 4．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 答案：5 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则的长为_____． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴是等边三角形； （2）在中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ 又， ∴, ∴ ∴ 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，，则的中线的长为（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为 ． 答案：米 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D、交于点E，若，求的长． 解：连接， ∵是的垂直平分线，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 选做题： 4．如图，在 中，， 为 的角平分线，， 于点E．若，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图，点是平分线上一点，于C，于D，连接． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 证明：（1）是平分线上的一点，，，垂足分别为， ，， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上． 是的垂直平分线； （2）∵， ， ， ∴．
教学反思 本课围绕含30°角直角三角形性质展开，通过引导学生测量猜想、构造辅助线证明，多数学生能掌握性质及简单应用，例题的实际情境也帮助学生理解知识价值．但存在不足：部分学生对“延长BC构造等边三角形”的辅助线思路仍较困惑，证明逻辑梳理不够细致；课堂练习中，性质逆用的拓展不足，未能充分满足学有余力学生的需求．后续需加强辅助线构造方法的专项引导，设计分层练习，兼顾不同层次学生的学习需求．
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同步探究学案
课题 15.3.2 等边三角形（第2课时） 单元 第十五章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．通过探索、发现、证明，得到含30°角的直角三角形的性质． 2．能够利用含30°角的直角三角形的性质进行简单的证明和计算．
重点 含30°角的直角三角形的性质．
难点 含30°角的直角三角形的性质．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是等边三角形？ 2．说一说等边三角形的性质和判定方法．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助等边三角形的性质和判定，研究直角三角形的一个性质。 探究：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论． 归纳：含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________． 符号语言： ∵在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A=30°， ∴BC＝． 例1：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4ｍ，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长． 例2：已知等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a．求腰上的高． 已知：如图，在等腰△ABC 中，∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a．过 C 作腰 BA 延长线的垂线 CD，垂足为 D． 求：CD 的长．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图，在中，，，，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长． 选做题： 4．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，则的长为_____．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，在中，，则的中线的长为（ ） A． B． C． D． 2．一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为 ． 3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D、交于点E，若，求的长． 选做题： 4．如图，在 中，， 为 的角平分线，， 于点E．若，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【综合拓展类作业】 5．如图，点是平分线上一点，于C，于D，连接． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长．
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第十五章 轴对称
15.3.2 等边三角形
（第2课时）
1．通过探索、发现、证明，得到含30°角的直角三角形的性质．
2．能够利用含30°角的直角三角形的性质进行简单的证明和计算．
1．什么是等边三角形？
2．说一说等边三角形的性质和判定方法．
三条边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质
边 角 对称性
三条边都相等
三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°
三线合一；
轴对称图形，三条对称轴
图形 判定
等边三角形
A
B
C
三条边都相等的三角形
三个角都相等的三角形
有一个角是 60°的等腰三角形
等边三角形的判定
利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质．
探究：如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论．
通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半．
即：BC＝AB
分析：要证明BC＝AB，只要证明2BC＝AB．为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可．
已知：如图所示，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°．
求证：BC =AB ．
证明：如图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD．
又∵∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB．
又∵BD＝2BC，
∴BC＝ AB．
你还有其他证明方法吗？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
含30°角的直角三角形的性质
符号语言：
∵在 Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A=30°，
∴BC＝AB．
例1：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4ｍ，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长．
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD．
∴BC＝×7.4＝3.7（ｍ）．
又∵AD＝AB，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（ｍ）．
答：立柱BC的长是3.7ｍ，DE的长是1.85ｍ．
例2：已知等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a．求腰上的高．
已知：如图，在等腰△ABC 中，∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a．过 C 作腰 BA 延长线的垂线 CD，垂足为 D．
求：CD 的长．
A
C
B
15°
D
2a
15°
解：在等腰△ABC 中，
∵∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°，
AC＝AB＝2a．
∴CD＝ AC＝×2a＝a．
【知识技能类练习】必做题：
1．如图，在中，，，，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
B
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
B
【知识技能类练习】必做题：
3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点、交于点，若，求的长．
解：连接，
∵的垂直平分线交于点、交于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识技能类练习】选做题：
4．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ．
5
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，垂直平分，垂足为，过点作，垂足为F，的延长线与边的延长线交于点，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，则的长为_____．
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴是等边三角形.
直角三角形的性质——含30°角的直角三角形
文字语言
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
符号语言
∵ 在 Rt△ABC 中，
∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝ AB．
A
B
C
30°
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，在中，，则的中线的长为（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
2．一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为 ．
米
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D、交于点E，若，求的长．
解：连接，
∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．
【知识技能类作业】选做题：
4．如图，在 中，， 为 的角平分线，， 于点E．若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
B
【综合拓展类作业】
5．如图，点是平分线上一点，于C，于D，连接．
(1)求证：垂直平分；
证明：（1）是平分线上的一点，，，垂足分别为，，，
点在的垂直平分线上，
在和中，，
，
，
点在的垂直平分线上．
是的垂直平分线；
【综合拓展类作业】
5．如图，点是平分线上一点，于C，于D，连接．
(2)若，，求的长．
（2）∵，
，
，
∴．
