3.3.1 抛物线及其标准方程 学案-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
学案
一、学习目标
1. 掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程.
2. 进一步理解解析几何的基本思想方法.
二、基础梳理
1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2. 标准方程：
图形 标准方程 交点坐标 准线方程
三、巩固练习
1.若点是抛物线上一点,且点到焦点的距离是到轴距离的2倍,则( )
A. B. C.1 D.2
2.设抛物线上一点到轴的距离是6,则点到该抛物线焦点的距离为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
3.设点A的坐标为，点P在抛物线上移动，P到直线的距离为d，则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知抛物线的焦点为是抛物线上两个不同的点,若,则线段的中点到轴的距离为( )
A.3 B. C.5 D.
5.若点为抛物线上的动点,为抛物线的焦点,则的最小值为( )
A. B. C. D.2
6.已知抛物线上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍,则该点的横坐标为( )
A. B. C.2 D.
7.（多选）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点
到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的（ ）
A.抛物线的方程是 B.抛物线的准线方程是
C.的最小值是 D.线段AB的最小值是6
8.（多选）过抛物线的焦点F作直线,交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则( )
A.以线段AB为直径的圆与直线相离
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
C.当时,
D.的最小值为4
答案以及解析
1.答案：C
解析：抛物线的准线方程为.点到焦点的距离等于点到准线的距离，则，解得,所以.
2.答案：B
解析：点到轴的距离为6,点到抛物线的准线的距离.根据抛物线的定义知,点到抛物线焦点的距离为8.
3.答案：C
解析：点P到准线的距离为，设F为抛物线的焦点，则，所以，当三点共线时，取得最小值，故的最小值为.故选C.
4.答案：B
解析：由题意得,抛物线的准线方程为.设,则由抛物线的定义可知,,即,所以线段的中点的横坐标为,所以线段的中点到轴的距离为.
5.答案：A
解析：将抛物线方程化为标准方程,得,则.当点在抛物线的顶点时,最小,最小值为.故选A.
6.答案：B
解析：设该点的横坐标为x,则由题意可得,得,故选B.
7.答案：BC
解析：抛物线的焦点为，准线方程为，由点到焦点F的距离等于3，可得，解得，则抛物线C的方程为，准线方程为，故A错误，B正确；
易知直线l的斜率存在，，
设，，直线l的方程为
由消去y并整理，得，
所以，，
所以，
所以AB的中点Q的坐标为，
，
故线段AB的最小值是4，故D错误；
圆Q的半径，
在等腰中，，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故C正确，故选BC.
8.答案：ACD
解析：对于选项A,点M到准线的距离为,于是以线段AB为直径的圆与直线相切,进而与直线相离,A正确.对于选项B,显然BM中点的横坐标与不一定相等,因此B错误.对于选项C,D,设,直线AB的方程为,联立直线与抛物线方程可得,则.不妨设,则,于是的最小值为4;由可得,即,所以,C,D正确.故选ACD.