第一章 特殊平行四边形单元测试卷（含答案） 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

第一章 特殊平行四边形单元测试卷
(时间:120分钟 满分:120分)
第一部分(选择题 共24分)
一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的)
1.(开学考·23-24西安交大附中)下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.有一个角是直角
2.(期中·24-25西安新城区)平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直
3.如图，四边形ABCD 的对角线互相垂直，顺次连接这个四边形四条边的中点所得到的四边形EFGH是( )
A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形
4.(开学考·24-25 西安滨河学校)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,若AO=AB,则∠COD 的度数为( )
A.30° B.60° C.45° D.90°
5.(开学考·24-25 西工大附中)三个边长为8cm 的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为（ ）
A.16 cm C.28cm
6.(开学考·24-25 西安高新一中)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2 ,点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O沿逆时针方向旋转60°，得到四边形OA'B'C'(点A'与点C 重合),则点 B'的坐标是（ ）
D.(6 ,3
7.(月考·23-24西安铁一中)如图,在 ABCD中,AB=10,BC=16,E是边BC 的中点,F是□ABCD内一点,且∠BFC=90°.连接AF 并延长,交CD于点G.若EF∥AB,则DG的长为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
8.(月考·24-25西安爱知中学)如图,在正方形ABCD中,点E、F 分别是AB,CD的中点,AF,DE相交于点M,G为BC上一点,N为EG的中点.若BG=4,CG=1,则线段MN的长度为（ ）
A.
C.2
第二部分(非选择题 共96分)
二、填空题(共5 小题，每小题3分，计15分)
9.平行四边形ABCD的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得平行四边形ABCD为正方形.
10.(中考·2023 陕西)点 E 是菱形ABCD 的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE 的度数为 .
11.(开学考·24-25西安爱知中学改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB 的中点,连接CD,若CD=5,AC=6,则BC的长为 .
12.如图①，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a 的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离粦h，我们把π/n的值叫做这个菱形的“形变度”.例如，当形变后的菱形是图②中的形状时(被对角线BD 分成2个等边三角形)，这个菱形的“形变度”为2： .如图③，正方形由16个边长为1的小正方形组成，形变后成为菱形，△AEF(A，E，F是格点)同时形变为△A'E'F'，若这个菱形的“形变度’ 则 S△A'E'F'= .
13.(期中·24-25 西安铁一中)如图,已知AB=16,点C在线段AB 上,△ACD 是底边长为12 的等腰三角形,并且∠ADC=120°,以CD 为边在CD 的右侧作矩形CDEF,连接DF,点M是DF 的中点,连接MB,当MB的长最小时，矩形CDEF 的面积为 .
三、解答题(共13小题，共81分.解答应写出过程)
14.(期中·24-25 西安高新三初)(5分)如图,在菱形ABCD中,点 E,F 分别在BC,CD 边上, 求证：BE=DF.
15.(模考·2022西工大附中)(5分)如图,点E是矩形ABCD 外一点,连接BE,AE,DE,CE,∠CDE=∠DCE.求证:
16.(模考·2023西安高新一中)(5分)如图,已知矩形ABCD,AE平分 交DC的延长线于点E，过点E作EF⊥AB，垂足F在边AB 的延长线上，求证：四边形ADEF 是正方形.
17.(月考·24-25西安铁一中)(5分)已知矩形ABCD,求作:在边 BC,AD上分别取点E,F,使得四边形 AECF 为菱形，(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
18.(月考·24-25 西安滨河学校)(5分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC 的中点，四边形ABDE 是平行四边形.求证：四边形ADCE 是矩形.
19.(5分)如图、四边形ABCD为平行四边形,过点A作AF⊥AD,交BC边于点E,交 DC的延长线于点F，且CF=CD.连接AC,BF,过点 D作DG⊥BF交BF 的延长线于点G.若, 求 的度数.
20.(开学考·22-23西工大附中)(5分)如图,在正方形ABCD中,E是边AD 的中点,F是CE上一点，过点F作( ,分别交AB,CD于点G,H,若.BG=1,CH=5,,求AG的长.
21.(开学考·23-24西安交大附中改编)(6分)如图，在正方形. ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC,垂足为E,GF⊥BC,垂足为F,连接AG.写出线段AG,GE,GF 之间的数量关系，并说明理由.
22.(开学考·23-24西安滨河学校)(7分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以AO,BO为邻边作菱形AOBE,连接EO.
(1)证明：四边形AEOD 是平行四边形.
(2)若∠EAO=120°,CD=2,求四边形AECD 的面积.
23.(开学考·24-25 西安爱知中学)(7分)如图,在平行四边形ABCD中, 的平分线交AD 于点E,过点A 作BE 的垂线交BE 于点 F,交 BC于点G,连接EG,CF.
(1)求证:四边形ABGE 是菱形.
(2)若 ,求 CF 的长.
24.(8分)如图,在四边形ABCD中, 动点P 从点A 开始沿AD 边以1 cm/s的速度向点 D 运动,动点Q 从点C 开始沿CB 边以3cm/s的速度向点B运动，点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t(s).
(1)当t为何值时，四边形ABQP 是矩形
(2)四边形 PQCD 能否是菱形 若能求出运动时间；若不能，请说明理由.
25.实践操作(8分)
综合与实践：
邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作……以此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.如图①，在 中，若AB=2,BC=3,则 为2阶准菱形.
(1)判断与推理：
①邻边长分别为3和5 的平行四边形是 阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图②，把 沿BE 折叠(点E在AD上),使点A落在BC 边上的点F 处，得到四边形ABFE.试判断四边形ABFE 的形状，并说明理由.
(2)操作、探究与计算：
①若一个平行四边形的邻边长分别为1，a(a>1)，且是3阶准菱形，请画出这个平行四边形及裁剪线的示意图(至少画出两种)，并在图形下方写出a的值；
②若 的周长为24，且是4阶准菱形，请直接写出 的短边长(两种即可).
26.(月考·24-25咸阳启迪中学)(10分)如图①,已知正方形ABCD,AB=4,，E 是边BC 上的一个动点(不与点B，C重合)，连接AE，点B关于直线AE 的对称点为F，连接EF并延长交CD 于点G，连接AG,AF.
线段 EG,BE,DG之间的数量关系为 .
(2)如图②,连接CF,若 求线段BE的长.
(3)如图③，在点 E 的运动过程中，作 的平分线EH 交AG 的延长线于点 H，若 求 BE 的长.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B A B D B B D
1. A 2. B
3. A 【解析】∵ E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点, 四边形EFGH是平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴ EH⊥EF,即∠HEF=90°,
∴ 四边形 EFGH 是矩形.故选 A.
4. B 【解析】∵ 四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴ AO=BO.
∵AO=AB,∴ AO=BO=AB,∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,∴∠COD=∠AOB=60°.故选 B.
5. D 【解析】如图,连接OD,OC,由题意知四边形ABCD、四边形OMNP都是正方形,∴ ∠EOF=∠DOC=90°,OD=OC,
∴ ∠EOD=∠FOC.
∴△OED≌△OFC(ASA),∴ S△OED =S△OFC,∴ S的边形OEDF = 故选D.
6. B 【解析】如图,过点 B'作B'D⊥y轴于点 D,连接OB'.∵ 将菱形OABC绕原点O沿逆时针方向旋转60°，得到四边形OA'B'C'，∠AOC=60°,菱形OABC的边长为 B'C'∥OC,∠C'OC=∠AOC=60°,∴∠C'OB'= ∠C'OC= ∴ 点B'的坐标是(3 ,3 ).故选 B.
7. B 【解析】延长EF交AD 于点M(图略).
∵四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD.
∵AB∥EF,
∴ 四边形ABEM与四边形DCEM都是平行四边形，
∴ EM=AB=10,BE=AM,EC=DM.
∵∠BFC=90°,E为BC 的中点,
∴ FM=EM-EF=2,AM=MD,即M为AD 的中点.易得F为AG的中点，
∴ DG=2FM=4.故选 B.
8. D 【解析】如图,连接DG,EF.
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB= BC= CD= AD, AB∥CD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°.
∵点E,F分别是AB,CD的中点,
∵AB=CD,∴ AE=DF.
∵AE∥DF,
∴ 四边形AEFD为平行四边形，
∴ M是ED的中点.
在正方形ABCD中,BG=4,CG=1,∴ BC=DC=5.
在 Rt△DGC中，由勾股定理得
∵在△EDG中,M是ED的中点,N是EG的中点,
∴ MN是△EDG的中位线, 故选 D.
9.∠BAD=90°(或AC=BD)(答案不唯一) 【解析】∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥BD,∴ ABCD是菱形.当∠BAD=90°时,菱形ABCD为正方形;当AC=BD时,菱形ABCD为正方形.故答案为∠BAD=90°(或AC=BD)(答案不唯一).
10.62°【解析】如图,连接BE,∵点 E 是菱形ABCD 的对称中心,∠ABC=56°,
∴ 点 E是菱形ABCD 的两条对角线的交点，∴ AE⊥ .故答案为62°.
11.8 【解析】∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB 的中点, =8.故答案为8.
12. 【解析】在题图②中，形变前正方形的面积为a ，形变后的菱形的面积为
∴ 形变前的面积与形变后的面积之比为
∵这个菱形的“形变度”为2：
∴ 形变前的面积与形变后的面积之比=这个菱形的“形变度”.
即
故答案为
13.16 【解析】如图，连接EC,过点 M作MJ⊥CD于点J,交 AB 于点T,设 MB与CF 交于点G.
∵四边形CDEF是矩形，点M是DF的中点，
∴ 点 M为对角线DF,EC的交点,∴ MD=MC.
∵MJ⊥CD,∴ DJ=JC,
∴ 点M的运动轨迹在直线MJ 上,当 BM⊥MJ 时,BM的长最小，
此时BM∥CD,CG=FG,∴∠B=∠DCA.
∵DA=DC,∠ADC=120°,AC=12,∴∠A=∠DCA=30°,
∵AB=16,AC=12,∴ BC=16-12=4,∴CG= BC=2,
∴CF=4,∴ 矩形CDEF的面积为( 故答案为16
14.【证明】∵ 四边形ABCD是菱形,∴ AB=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中
∴△ABE≌△ADF(AAS),∴ BE=DF.
15.【证明】∵ 四边形 ABCD是矩形,
∴ AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°.
∵∠CDE=∠DCE,
∴ ED=EC,∠EDA=∠ECB.
在△EDA 和△ECB中,
∴△EDA≌△ECB(SAS),
∴ EA=EB,∴∠BAE=∠ABE.
16.【证明】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴∠D=∠DAB=90°.
∵ AE平分∠DAB,∴∠EAF=45°.
∵EF⊥AB,∴∠F=90°,
∴∠D=∠DAF=∠F=90°,∠AEF=45°,
∴ 四边形AFED 是矩形,∠EAF=∠AEF,
∴ AF=EF,
∴ 矩形ADEF 是正方形,即四边形 ADEF 是正方形.
17.【解】如图所示,四边形AECF 即所求.
18.【证明】∵ 四边形ABDE是平行四边形,∴ AE∥BC,AE=BD.
∵ D为BC的中点,∴ CD=BD,
∴CD∥AE,CD=AE,∴ 四边形ADCE是平行四边形.
∵AB=AC,D为BC的中点,∴ AD⊥BC,
∴ ∠ADC=90°,∴ 四边形 ADCE是矩形.
19.【解】∵ 四边形ABCD为平行四边形,∴ AB∥DF,AB=CD.
∵CF=CD,∴CF=AB.
由AB∥CF，得四边形ABFC为平行四边形.
∵AD∥BC,AF⊥AD,∠ADC=25°,
∴ AF⊥BC,∠ADC=∠BCF=25°,
∴平行四边形ABFC为菱形，
∴ FB=FC,∴∠CBF=∠BCF=25°,
∴∠DFG=∠CBF+∠BCF=25°+25°=50°.
∵ DG⊥BG,∴∠DGF=90°,
20.【解】过点 G作GM⊥CD 于点 M,如图，∵ 四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°,BC=CD=AD.
∵GM⊥CD,
∴ 四边形GBCM是矩形,
∴GM=BC=CD,CM=BG=1, B
在△CDE和△GMH中
∴△CDE≌△GMH(ASA),∴ HM=DE.
∵CH=5,∴ HM=CH-CM=4=DE.
∵E是边AD的中点,∴AB=AD=2DE=8,
∴ AG=AB-BG=8-1=7,∴ AG的长为7.
21.【解】
理由：如图，连接CG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC,∠ABG=∠CBG,∠BCD=90°.
在△ABG和△CBG中,
∴△ABG≌△CBG(SAS),∴ AG=CG.
∵GE⊥DC,GF⊥BC,∴∠GEC=∠GFC=90°,
∴∠GEC=∠GFC=∠BCD=90°,
∴ 四边形CEGF 是矩形,∴ GF=CE.
在Rt△CEG中,GC =GE +EC ,∴AG =GE +GF .
22.(1)【证明】∵ 四边形 AOBE是菱形,
∴AE=AO,AE∥OB,即AE∥OD.
又∵四边形ABCD是矩形,∴ AO=OD,
∴ AE=OD,∴ 四边形AEOD 是平行四边形.
(2)【解】设 AB与EO的交点为M(图略).
∵四边形ABCD是矩形,∴ AB=CD=2.
∵ 四边形 AOBE是菱形,∠EAO=120°,
∴∠EAM=60°,∴∠AEM=30°.
又AM= AB=1,∴AE=2AM=2.
根据勾股定理得
∴四边形 AEOD 的面积
23.(1)【证明】∵ BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC且AD=BC,
∴∠CBE=∠AEB,
∴∠ABE=∠AEB=∠CBE,∴ AB=AE.
∵AF⊥BE,∴∠AFB=∠GFB=90°.
在△ABF 和△GBF中
∴△ABF≌△GBF(ASA),∴AB=GB,∴AE=GB.
∵AD∥BC,∴AE∥BG,∴四边形ABGE是平行四边形.又∵AB=GB,∴四边形ABGE 是菱形.
(2)【解】过点 F 作FM⊥BC于点M，如图所示.
∵ 四边形 ABGE 是菱形,∠ABC 30°,BG=AB=4.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴ BC=AD=5.
在 Rt△BFG中, 则
在 Rt△BFM中, 则BM=3,
∴CM=BC-BM=5-3=2,
∴在Rt△FMC中,
24.【解】根据题意,得 AP=t cm,CQ=3t cm,
∵AD=24 cm,BC=26 cm,
∴ DP=AD-AP=(24-t) cm,BQ=BC-CQ=(26-3t) cm.
(1)∵在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,
∴当AP=BQ时,四边形 ABQP是矩形,
∴t=26-3t,解得t=6.5,
∴当t=6.5时,四边形ABQP 是矩形.
(2)不能.理由：若四边形 PQCD是菱形，则 PD=CQ,即24-t=3t,
解得t=6,∴ PD=24-t=24-6=18(cm).
过点 D作DE⊥BC于点E(图略),则四边形ABED是矩形,
∴ BE=AD=24 cm,∴ EC=BC-BE=26-24=2(cm).
∵DE=AB=8cm,
∴ 四边形 PQCD不能是菱形.
25.【解】(1)①3
分析：如图①所示.
利用邻边长分别为3和5的平行四边形经过3次操作，所剩四边形是边长为1 的菱形，
∴邻边长分别为3和5的平行四边形是3阶准菱形.
②四边形ABFE 是菱形.
理由如下：
由折叠知∠ABE=∠FBE,AB=BF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥BF,∴∠AEB=∠FBE,
∴∠AEB=∠ABE,∴ AE=AB,∴ AE=BF,
∴ 四边形 ABFE是平行四边形，
∴ 四边形ABFE是菱形.
(2)①如图②所示.(答案不唯一)
②2或 .(答案不唯一)
分析：如图③所示.
∴ ABCD的短边长为2或
26.【解】(1)45 EG=BE+DG
分析：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD,∠B=∠D=90°.
∵点B关于直线AE 的对称点为F,∴AB=AF,BE=EF,
∴ AF=AD,∠AFG=90°=∠D.
∵AG=AG,
∴ Rt△AFG≌Rt△ADG(HL),
∠BAD=45°,EG=BE+DG.
(2)∵ 四边形 ABCD是正方形,
∴ BC=CD=AB=4,∠BCD=90°.
∵CF∥AG,∴∠AGF=∠CFG,∠AGD=∠FCG.
由(1)知 Rt△AFG≌Rt△ADG,
∴∠AGF=∠AGD,FG=DG,∴∠GFC=∠FCG,
∴GF=GC,∴ FG=DG=CG= CD=2.
设BE=x,则EG=x+2,EC=4-x,
.线段 BE的长为
(3)过点 H作HM⊥EG,交 EG的延长线于点 M,作 HN⊥BC,交BC的延长线于点 N，如图.
∵点B关于直线AE的对称点为 F，
∵ EH平分∠CEG,
∵∠EAH=45°,∴∠EAH=∠AHE=45°,∴ AE=EH.
∵∠AEB+∠HEN=90°,∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠HEN.
∵∠ABE=∠ENH=90°,
∴△ABE≌△ENH(AAS),∴ BE=NH.
∵EH平分∠CEG,HM⊥EG,HN⊥BC,
∴ MH=HN,∴ MH=BE.
∵AB=4,∴ BE=1.