2025-2026学年四川省市成都市第七中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2025-2026学年四川省成都七中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y+2=0与直线x+y=0的距离为（　　）
A. B. 2 C. D. 1
2.直线x+y-2=0的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 120° C. 150° D. 60°
3.若掷出两枚骰子，则点数和为7的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.圆（x-4）2+y2=9和圆x2+（y-3）2=4的公切线有（　　）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
5.已知，若共面，则实数λ=（　　）
A. 2 B. 1 C. -2 D. -1
6.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，底面正方形ABCD边长为3，侧棱AA′的长为2，且∠A′AB=∠A′AD=120°，则AC′的长为（　　）
A. B. 10 C. D. 34
7.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（　　）
A. a=0.005
B. 评分在[50，60）的人数约为20
C. 估计评分的下四分位数为65
D. 估计评分的平均数为76.5
8.已知x2+y2=x,则的取值范围为（　　）
A. B. C. [-7，0] D. [-2，0]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据x1，x2， ，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（　　）
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2， ，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2， ，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2， ，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2， ，x6的极差
10.在棱长为1的正方体AC1中，有，则下列说法中正确的是（　　）
A. 直线AB1与平面A1BC1所成角的正弦值为
B. 点M到直线AB1的距离为1
C. 四棱锥M-ABCD外接球表面积为
D. 动点P在正方体AC1的表面上，满足|PC|=2|PD|，则P的轨迹长为
11.已知直线l：2tx+（1-t2）y+1+t2=0（t∈R），当t=t1和t=t2时，对应直线分别为l1和l2，则下列说法中正确的是（　　）
A. 存在t∈R，使得l过点（1，1）
B. 当l1⊥l2时，对任意t1∈R，总存在两个不同的t2值与之对应
C. l1∥l2的充要条件是t1t2=-1
D. 存在点P0，对任意t∈R，使得P0到l的距离为常数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校分别有180，270，90名教师，则从A学校中应抽取的人数为______.
13.直线l过点（-3，1），且其横截距为纵截距的两倍，则l的方程为______.
14.已知向量，平面α的法向量，则在平面α上的投影向量坐标为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线l的方程为2x+3y-9=0，点P坐标为（2，6）.
（1）若直线l′与直线l关于点P对称，求直线l′的方程；
（2）若点P′与点P关于直线l对称，求点P′的坐标.
16.(本小题12分)
已知定点A（-1，0），B（1，0），动点M满足.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求的取值范围.
17.(本小题12分)
2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立.
（1）求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.
18.(本小题12分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD，△PAD是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1.
（1）取线段PA中点M连接BM，判断直线BM与平面PCD是否平行并说明理由；
（2）求B到平面PCD的距离；
（3）线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题12分)
动圆C：x2+y2+λx+λy-（λ+1）=0（λ∈R）与直线l：y=2x交于A，B两点.
（1）证明：动圆C必过两定点，并求出这两点坐标；
（2）求|AB|的最小值；
（3）是否存在一条定直线，在其上任取点K，无论λ为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】20
13.【答案】x+3y=0或x+2y+1=0
14.【答案】
15.【答案】2x+3y-35=0；
（-2，0）
16.【答案】x2+y2=4；

17.【答案】；．
．
18.【答案】解：（1）BM∥平面PCD．
理由如下证明：取PN中点N，连接MN，
因为M为PA的中点，且AD=2，BC=1，
所以MN=BC，且MN∥BC，
所以四边形BCNM为平行四边形，
所以BM∥CN，因为CN 平面PCD，BM 平面PCD，
所以BM∥平面PCD．
（2）取AD的中点O，连接PO，OC，
因为△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD，
如图所示，
以O为坐标原点，直线OC，OD，OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），D（0，1，0），C（1，0，0），B（1，-1，0），，
，，
设平面PCD的法向量为，
所以，
令z=1，则，
，
故B到平面PCD的距离．
（3）设E（s,t,r），，
所以，
所以，
则，，
设平面EAC的法向量为=（x′，y′，z′），
则，
令，则，
又平面DAC的法向量为，
于是，
化简得3λ2-10λ+3=0，又λ∈[0，1]，
得，
即，
故存在点E，此时．
19.【答案】证明：因为动圆C的方程为x2+y2+λx+λy-（λ+1）=0（λ∈R），
即x2+y2-1+λ（x+y-1）=0（λ∈R），
由，
解得或，
则动圆C恒过两定点的坐标为（1，0）或（0，1）；
；
存在，3x+6y-5=0
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