2025-2026学年高一数学北师大版上学期期中考试模拟A卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年高一数学北师大版上学期期中考试模拟A卷（含解析） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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2025-2026学年高一数学北师大版上学期期中考试模拟A卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，有”的否定是（ ）．
A. ，有 B. ，有
C. ，使 D. ，使
2. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列运算中正确的是（ ）．
A B.
C. D.
10. 已知函数（且）图像过定点，则（ ）．
A. B.
C. 为R上的增函数 D. 的解集为
11. 若是定义在R上函数，当时，，对任意，恒成立，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的图象关于对称
C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则恒成立
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 函数的定义域为 ．
13．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 .
14. 已知集合，,若，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算（13分）
（1） (a>0,b>0)
求值：．
16.（15分）
已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且当.x>0时，
(1)求f(x)的解析式，并画出函数图象；
(2)解不等式
17.（15分）
已知，有，，有．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p和q至少有一个为真命题，求a取值范围．
18.（17分）
数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
19. （17分）
设函数，且，．
（1）求a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若存在，使得成立，求m的取值范围．
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，有”的否定是（ ）．
A. ，有 B. ，有
C. ，使 D. ，使
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，有”的否定是“，使”.
故选：C
2. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】化简集合M，N，根据交集运算求解.
【详解】因为，，
所以．
故选：A
已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
令，则，，
则，
令，，
则，所以函数的值域为.
故选：B.
4. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【分析】取特殊值可判断AC，作差法可判断B，由不等式的性质可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，得，故B正确；
对于C，取，即可判断C错误；
对于D，因为，所以，故D错误．
故选：B
5. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解.
【详解】函数是减函数，则有，
解得，则a的取值范围为.
故选：B.
6. 已知函数在上是增函数，，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据指数运算法则得到，，，结合函数在上的单调性，作出判断.
【详解】由题意可知，，
，
，
又因为函数在上是增函数，，
所以，故．
故选：D
7. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.
【详解】由题可得，则，即．
因为，所以．
故选：A
8. 已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据的奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，再根据的性质得到当或时，，
当或时，，从而求出的解集.
【详解】根据题意可得，
因为为R上的奇函数，且在上单调递增，
所以，在上单调递增，
则当或时，，
当或时，．
因为，所以，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
则当或时，，
当或时，．
因为，
当时，，
当时，，
综上：不等式的解集为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列运算中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，先求出，进而得到，A错误；
B选项，根据和进行求解即可；
C选项，根据分数指数幂的运算法则计算即可；
D选项，根据无理数指数幂的运算法则计算即可.
【详解】对于A，因为，所以，则，A错误；
对于B，因为，所以，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：BCD
10. 已知函数（且）的图像过定点，则（ ）．
A B.
C. 为R上的增函数 D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，逐个选项进行判断即可得答案.
【详解】由题意可得恒成立，故，A错误，
因为根据题意，得，，所以，故B正确，
，所以，为R上的增函数，C正确；
，解得，D正确．
故选：BCD
11. 若是定义在R上的函数，当时，，对任意，恒成立，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的图象关于对称
C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则恒成立
【答案】BD
【解析】
【分析】令可求出判断A，可得函数的奇偶性判断B，根据与时函数值符号不同判断C，利用单调性的定义判断D.
【详解】已知，
令，可得，解得，故A选项错误；
再令，得，
即，因为不恒成立，所以，
所以为奇函数，故B选项正确；
因为当时，，所以当时，，
则，不为偶函数，故C选项错误；
设任意的，，且，
则，
所以，
因为，，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
又，且当时，，当时，，
所以是R上的增函数，故D正确．
故选：BD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域的定义，列出不等式方程，求解即可.
【详解】依题意得，即，
所以函数的定义域为．
故答案为：
已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是______．
14. 已知集合，,若，则实数的取值范围为 .
【详解】当时，，此时，故符合题意；
当时，，由，可得，解得；
当时，，由，可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 （1） (a>0,b>0)
（2）求值：．
【解析】
（2）
．
16. 已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且当.x>0时，
(1)求f(x)的解析式，并画出函数图象；
(2)解不等式
解析:(1) 由题知, f(x)是奇函数,定义域为R，故f(0)=0.
当x<0时，-x>0,f(x)=-f(-x)=
故
f(x)的图象如图：
(2) 由(1)中图象知, f(x)在R上为单调递增函数.
由题意， 则 即 解得x<-1或x>2,故不等式的解集为
17. 已知，有，，有．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p和q至少有一个为真命题，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）考虑与两种情况，结合根的判别式求出a的取值范围；
（2）求出q为真命题时，，得到当p，q均为假命题时，a的取值范围，从而得到当p和q至少有一个为真命题时的取值范围.
【小问1详解】
对于，当时，符合题意；
当时，，解得：．
综上，a的取值范围为．
【小问2详解】
当q为真命题时，因为，有，所以，
函数上单调递增，得．
因为当p，q均为假命题时，由或与取交集得：，
此时a的取值范围为．
故当p和q至少有一个为真命题时，a的取值范围是．
18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元
（2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果.
【小问1详解】
设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
【小问2详解】
设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得.
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
19. 设函数，且，．
（1）求a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若存在，使得成立，求m的取值范围．
【答案】（1），
（2）在上单调递增；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求出a、b的值；（2）利用定义法证明单调性；（3）利用分离参数法得到，令，，求出的最小值，即可求出m的取值范围.
【小问1详解】
由题意得，，
解得，．
【小问2详解】
在上单调递增．
证明：由（1）得．
令，
，
当时，，，
则，即，单调递增．
故在上单调递增．
【小问3详解】
由（1）知，
所以可化为．
故存在，使得成立．
令，，当时，.
设，则，
当且仅当，即时，等号成立．
故m的取值范围是．
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2025-2026学年高一数学北师大版上学期期中考试模拟A卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，有”的否定是（ ）．
A. ，有 B. ，有
C. ，使 D. ，使
2. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
3. 已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
4. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A. B. C. D.
8. 已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列运算中正确的是（ ）．
A B.
C. D.
10. 已知函数（且）图像过定点，则（ ）．
A. B.
C. 为R上的增函数 D. 的解集为
11. 若是定义在R上函数，当时，，对任意，恒成立，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的图象关于对称
C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则恒成立
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 函数的定义域为 ．
13．已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 .
14. 已知集合，,若，则实数的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 计算（13分）
（1） (a>0,b>0)
求值：．
16.（15分）
已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且当.x>0时，
(1)求f(x)的解析式，并画出函数图象；
(2)解不等式
17.（15分）
已知，有，，有．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p和q至少有一个为真命题，求a取值范围．
18.（17分）
数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
19. （17分）
设函数，且，．
（1）求a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若存在，使得成立，求m的取值范围．
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“，有”的否定是（ ）．
A. ，有 B. ，有
C. ，使 D. ，使
【答案】C
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“，有”的否定是“，使”.
故选：C
2. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】化简集合M，N，根据交集运算求解.
【详解】因为，，
所以．
故选：A
已知函数，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
令，则，，
则，
令，，
则，所以函数的值域为.
故选：B.
4. 下列命题为真命题的是（ ）．
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】B
【分析】取特殊值可判断AC，作差法可判断B，由不等式的性质可判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，因为，所以，得，故B正确；
对于C，取，即可判断C错误；
对于D，因为，所以，故D错误．
故选：B
5. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解.
【详解】函数是减函数，则有，
解得，则a的取值范围为.
故选：B.
6. 已知函数在上是增函数，，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据指数运算法则得到，，，结合函数在上的单调性，作出判断.
【详解】由题意可知，，
，
，
又因为函数在上是增函数，，
所以，故．
故选：D
7. 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.
【详解】由题可得，则，即．
因为，所以．
故选：A
8. 已知为R上的奇函数，且在上单调递增，，函数满足，且在上单调递减，，则不等式的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据的奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，再根据的性质得到当或时，，
当或时，，从而求出的解集.
【详解】根据题意可得，
因为为R上的奇函数，且在上单调递增，
所以，在上单调递增，
则当或时，，
当或时，．
因为，所以，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
则当或时，，
当或时，．
因为，
当时，，
当时，，
综上：不等式的解集为.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列运算中正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，先求出，进而得到，A错误；
B选项，根据和进行求解即可；
C选项，根据分数指数幂的运算法则计算即可；
D选项，根据无理数指数幂的运算法则计算即可.
【详解】对于A，因为，所以，则，A错误；
对于B，因为，所以，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确．
故选：BCD
10. 已知函数（且）的图像过定点，则（ ）．
A B.
C. 为R上的增函数 D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，逐个选项进行判断即可得答案.
【详解】由题意可得恒成立，故，A错误，
因为根据题意，得，，所以，故B正确，
，所以，为R上的增函数，C正确；
，解得，D正确．
故选：BCD
11. 若是定义在R上的函数，当时，，对任意，恒成立，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 的图象关于对称
C. 的图象关于y轴对称 D. 若，则恒成立
【答案】BD
【解析】
【分析】令可求出判断A，可得函数的奇偶性判断B，根据与时函数值符号不同判断C，利用单调性的定义判断D.
【详解】已知，
令，可得，解得，故A选项错误；
再令，得，
即，因为不恒成立，所以，
所以为奇函数，故B选项正确；
因为当时，，所以当时，，
则，不为偶函数，故C选项错误；
设任意的，，且，
则，
所以，
因为，，且，
所以，，，，，
所以，即，
所以在上单调递增，则在上单调递增，
又，且当时，，当时，，
所以是R上的增函数，故D正确．
故选：BD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
12. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义域的定义，列出不等式方程，求解即可.
【详解】依题意得，即，
所以函数的定义域为．
故答案为：
已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是______．
14. 已知集合，,若，则实数的取值范围为 .
【详解】当时，，此时，故符合题意；
当时，，由，可得，解得；
当时，，由，可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 （1） (a>0,b>0)
（2）求值：．
【解析】
（2）
．
16. 已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且当.x>0时，
(1)求f(x)的解析式，并画出函数图象；
(2)解不等式
解析:(1) 由题知, f(x)是奇函数,定义域为R，故f(0)=0.
当x<0时，-x>0,f(x)=-f(-x)=
故
f(x)的图象如图：
(2) 由(1)中图象知, f(x)在R上为单调递增函数.
由题意， 则 即 解得x<-1或x>2,故不等式的解集为
17. 已知，有，，有．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p和q至少有一个为真命题，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）考虑与两种情况，结合根的判别式求出a的取值范围；
（2）求出q为真命题时，，得到当p，q均为假命题时，a的取值范围，从而得到当p和q至少有一个为真命题时的取值范围.
【小问1详解】
对于，当时，符合题意；
当时，，解得：．
综上，a的取值范围为．
【小问2详解】
当q为真命题时，因为，有，所以，
函数上单调递增，得．
因为当p，q均为假命题时，由或与取交集得：，
此时a的取值范围为．
故当p和q至少有一个为真命题时，a的取值范围是．
18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元
（2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果.
【小问1详解】
设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
【小问2详解】
设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得.
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
19. 设函数，且，．
（1）求a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若存在，使得成立，求m的取值范围．
【答案】（1），
（2）在上单调递增；证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法求出a、b的值；（2）利用定义法证明单调性；（3）利用分离参数法得到，令，，求出的最小值，即可求出m的取值范围.
【小问1详解】
由题意得，，
解得，．
【小问2详解】
在上单调递增．
证明：由（1）得．
令，
，
当时，，，
则，即，单调递增．
故在上单调递增．
【小问3详解】
由（1）知，
所以可化为．
故存在，使得成立．
令，，当时，.
设，则，
当且仅当，即时，等号成立．
故m的取值范围是．
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