3.3二次根式的加法和减法 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
3.3二次根式的加法和减法湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则值是( )
A. B. C. D.
2.在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为，重叠部分的面积为，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为( )
A. B. C. D.
3.计算的结果是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的值为 ．
A. B. C. D.
5.下列计算，正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为，，，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为( )
A. B. C. D.
8.若三边长分别为，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
9.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
10.甲、乙两人计算的值，当的时候得到不同的答案，甲的解答是；乙的解答是下列判断正确的是 ( )
A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都错 C. 甲对，乙错 D. 甲错，乙对
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.一个长方形的长和宽分别为和，则这个长方形的面积为______．
12.若的整数部分为，小数部分为，则的值是 ．
13.已知，则 ．
14.如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数学课上老师提出问题：比较与的大小．
“活跃小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较；
“创新小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系比较．
根据上面两个小组的思路，解决下列问题：
根据“活跃小组”的思路， ______， ______，所以 ______此空填：“”，“”或“”；
的形状是______，依据是______．
16.本小题分
定义：形如和的两个实数，叫作共轭实数，其中为有理数且，为正整数且开方开不尽．
请你写出一对共轭实数： 和 ；
共轭实数都是无理数，但它们的和与积都是有理数．请计算中你写出的一对共轭实数的和与积；
已知，求代数式的值．
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
已知：，．
化简求值：求的值；
若的整数部分是，的小数部分是，求的值．
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
海伦一秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为、、，设，则三角形的面积为：．
用公式计算如图三角形的面积；
你是否有其它方法求出这个三角形的面积？试试看．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，，
，，
原式
，
故选：．
先根据，可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：利用积的乘方的逆运算及平方差公式计算可得：，
故选：．
利用积的乘方的逆运算及平方差公式计算即可求解．
本题考查了二次根式的乘方运算，掌握以上知识点是解题的关键．
4.【答案】
【解析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：．，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解；、和不是同类二次根式，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B、，此选项的计算正确，故此选项符合题意；
C、，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D、，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
A.先判断和是不是同类二次根式，能否合并，然后判断即可；
B.根据二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可；
C.根据二次根式的除法法则进行计算，并化成最简二次根式，然后判断即可；
D.先把二次根式化简，再合并同类二次根式即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握相关运算法则．
7.【答案】
【解析】解：由题意，三个正方形的面积从左到右依次为，，，
三个正方形的边长从左到右依次为，，．
矩形的长为，宽为．
阴影部分的面积，即剪掉的面积矩形的面积三个正方形的面积和．
故选：．
依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为，，，则三个正方形的边长从左到右依次为，，，可得矩形的长为，宽为，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积矩形的面积三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解．
本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意，三边长分别为，，，
．
是直角边为，的直角三角形．
的面积．
故选：．
依据题意，由三边长分别为，，，可得，从而可得是直角边为，的直角三角形，进而可得的面积，故可得解．
本题主要考查了二次根式的应用、勾股定理的逆定理，解题时要能熟练掌握并能灵活运用勾股定理逆定理是关键．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可．
【详解】解：选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
选项，属于同类二次根式相减，即，故错误；
选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误；
选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式的化简求值，根据的性质正确化简二次根式是解题关键．根据的性质，确定的符号，进而化简得出即可．
【解答】
解：，，
．
故甲的化简错误，乙化简正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】解：长方形的长和宽分别为和
这个长方形的面积为：
故答案为：
长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将和相乘，按照二次根式乘法的运算法则计算，并化简成最简单二次根式即可．
本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】或
【解析】先进行二次根式化简，在代入求值即可；
【详解】解：当，是正数时，
，
，
当，为负数时，
，
，
，
原式或．
故答案为：或．
14.【答案】
【解析】本题考查了正方形面积与边长的关系，二次根式的计算和面积的和差关系，先根据正方形面积公式求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再根据正方形面积公式求出大正方形的面积，最后用大正方形的面积减去两个小正方形的面积，即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：大正方形的边长为，
大正方形的面积为，
阴影部分的面积为．
15.【答案】 直角三角形 勾股定理的逆定理
【解析】解：，；
；
故答案为：，，；
，，，
，
为直角三角形；依据是：勾股定理的逆定理．
根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，求出，的值，再比较大小即可；
根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则．
16.【答案】【小题】
答案不唯一
【小题】
解：，
．
【小题】
解：，
，
，
原式
．

【解析】
本题考查了新定义，二次根式的加法和乘法运算，二次根式的化简求值，理解新定义是解题的关键．
根据共轭实数的定义解答即可．
【详解】解：写出的一对共轭实数可以是和．
故答案为：， ．

根据二次根式的加法和乘法运算法则计算即可．

求出和的值，再代入代数式计算即可．
17.【答案】．
【解析】解：原式
．
将分子分母因式分解后，约分即可．
本题考查分式的运算，二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．
18.【答案】【小题】
解：，，
，
；
【小题】
，
，
，即：，
，，
．

【解析】
先进行分母有理化，再将转化为，代值计算即可；

先进行无理数的估算，确定的值，再代入代数式进行求解即可．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可；
先计算二次根式的乘除，然后利用二次根式的性质进行化简，最后进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
20.【答案】； 有其他方法，见解析．
【解析】由题意得，，
．
有其他方法，解答如下．
如图所示，过点作于，
设，则，
又在中，，在中，，
，即，
．
，
．
依据题意，先求出的值，再代入公式即可；
依据题意，过点作于，设，则，根据，得出，进而求得，然后根据三角形面积公式即可求解．
本题主要考查二次根式的应用，勾股定理，弄清海伦公式的计算方法以及勾股定理是解答此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)