4.2命题与证明 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.2命题与证明湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，其逆命题为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 对顶角相等
C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 若，则
2.用反证法证明命题“三角形中必有一个小于或等于”时，首先应假设这个三角形中( )
A. 存一个内角大于 B. 有一个内角小于
C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于
3.对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，正确的是( )
A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对顶角相等
C. 圆内接四边形对角相等 D. 三角形的外角和为
6.下列命题中，是真命题的是( )
A. 如果，那么 B. 两直线平行，内错角相等
C. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 D. 直角三角形的两锐角互补
7.用反证法证明“在中，如果，那么”时，应假设( )
A. B. C. D.
8.甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高”，乙说：“我不最矮”，丙说：“我没有甲高，但还是比我矮”，丁说：“我最矮”，实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.下列命题中的真命题是( )
A. 邻补角互补 B. 两点之间，直线最短
C. 同位角相等 D. 同旁内角互补
10.下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.在学校运动会上，号、号、号、号运动员取得了米赛跑的前四名．小记者来采访他们各自的名次，号说：“号第一个冲过终点，”另一名运动员说：“号不是第四名，”小裁判说：“他们的号码与他们的名次都不相同．”根据以上信息，可以确定第名是 号，第名是 号．
12.在一次体育课上，某班名学生全部面向老师站成一行横队做“向后转”练习．老师每次让其中任意名学生向后转不论原来方向如何，如果记任意名学生向后转为一次变换，那么经过第一次变换后，还有 名学生面向老师站立，至少经过 次变换后名同学全部背向老师站立．
13.门锁密码是一个三位数，甲说“它是”；乙说：“它是”；丙说：“它是”；丁说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字”，那么门锁密码是 ．
14.三个不同自然数、、，，则、、三个数中最小的数最大等于 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.
如图，，试用不同方法证明．
如图，，，，之间有怎样的数量关系？证明你的结论．
16.
填写下列空格：
已知：如图，分别平分和．
求证：．
证明：
分别平分和已知，
， ，
已知


等式的性质

说出的证明中运用了哪两个互逆的真命题．
17.本小题分
如图，有下列三个条件：，，．
从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是 ，结论是 ；
请写出中你组成的命题的证明过程．
18.本小题分
如图和中，，点、、、在同一直线上，有如下三个关系式：；；．
请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有正确的命题用序号写出命题书写形式，如：如果、，那么；
选取中一个正确的命题进行证明．
19.本小题分
如图，在内，点是射线上一点，点、分别在、上，给出下列三个信息，是的平分线；，；请选择其中两个作为条件，第三个作为结论构成一个真命题．
条件_________，结论_________填序号
请对所写的命题加以证明．
20.本小题分
如图，已知的边与的边交于点，现有三个论断：，，请你以其中两个论断作为条件，另外一个论断作为结论，写出所有的命题，然后判断这些命题是真命题还是假命题，并选择其中的一个真命题加以论证．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：以及命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假进行判断即可：
A.若，，则的逆命题是若，则，，是假命题；
B.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
C.两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
D.若，则的逆命题是若，则，是假命题．
故选：．
以及命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可．
本题考查了逆命题，正确进行计算是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于，即都大于．
故选：．
反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
此题主要考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查命题与定理中的反例．
关键点是找到符合题目条件，但不符合题目结论的选项．
【解答】
解：选项中，，，，此时虽然满足，但不成立，
故B选项中、的值可以证明此命题为假命题．
故选B．
4.【答案】
【解析】解：“在中，若，则”，
应先假设．
故选：．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5.【答案】
【解析】解：根据平行四边形的中心对称性、对顶角相等、圆内接四边形的性质和三角形的外角和逐项分析判断如下：
A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，符合题意；
C、圆内接四边形对角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、三角形的外角和为，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的中心对称性、对顶角相等、圆内接四边形的性质和三角形的外角和等知识逐项判断即可求解．
本题考查了真假命题，涉及平行四边形的对称性、对顶角相等的性质、圆内接四边形的性质和三角形的外角和等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，原命题是真命题，符合题意；
C、如果两个角相等，那么它们不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、直角三角形的两锐角互余，原命题是假命题，不符合题意；
故选：．
根据偶次方的性质即可判断，根据平行线的性质即可判断，根据对顶角的定义即可判断，根据直角三角形的性质即可判断．
本题主要考查了判断命题真假，关键是根据偶次方的性质、平行线的性质解答．
7.【答案】
【解析】用反证法证明“在中，如果，那么”时，应假设，故选A．
8.【答案】
【解析】解：根据题干分析可得：丁没有说错，则乙也没有说错，那么甲和丙比有一个人说错了；
假设甲说对了“我最高”，那么丙也说对了“我没有甲高，但还有人比我矮”；所以此假设不成立，即：甲说错了，那么丙就说对了，
由上述推理可得：这四个人的身高按从高到矮排列为：乙、甲、丙、丁．
所以排在第三位的是丙．
故选：．
根据题干可得：丁没有说错，因为如果丁说错了，这四个人就没有最矮的了，抓住这一点即可展开讨论推理，从而解决问题．
本题主要考查推理与论证，根据题干得出丁没有说错，从而得出乙也没有说错是本题进行推理的关键所在．
9.【答案】
【解析】【分析】本题考查了真命题的定义，正确的命题是真命题，根据邻补角互补，两点之间，线段最短，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补等知识内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：、邻补角互补，是真命题，符合题意；
B、两点之间，线段最短，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：．
10.【答案】
【解析】解：当时，，而，
“若，则”是假命题，
故选：
根据有理数的乘方、有理数的大小比较法则解答．
本题考查的是假命题的证明，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
11.【答案】

【解析】本题主要考查了推理能力，根据号是第名，号可能是名或名，再讨论可得答案．
【详解】解：根据题意，所有信息均为真实的。由号所说可知，第名是号运动员。由小裁判所说可知，运动员的号码与名次均不相同，即号不是第名，号不是第名，号不是第名，号不是第名。由另一名运动员所说可知，号不是第名。结合以上信息进行推理：第名是号。对于第名：号不是第名，号是第名，号的号码与名次不同，所以号不是第名。排除、、号后，可知第名是号。故第名是号，第名是号．
故答案为：；．
12.【答案】

【解析】本题考查有理数的混合运算的应用，根据题意建立模型是解题的关键．
直接计算即可得到经过第一次变换后，学生面向老师站立的人数；根据转化过程中有学生需多次转身建立模型计算即可．
【详解】解：如果记任意名学生向后转为一次变换，那么经过第一次变换后，还有名学生面向老师站立，
，，
即共次变换，转化过程中有学生需多次转身以抵消多余四次，
例如：第一次选号变换，
第二次选号和号变换，
第三次选号和号变换，
第四次选号和号变换，
第五次选号和号变换，
第六次选号变换，
故答案为：，．
13.【答案】
【解析】本题考查的知识点是逻辑推理．通过分析题目中所给的条件，运用排除法和逐步推理的方法，对每个数位上的数字进行分析和判断，从而确定门锁密码；在推理过程中，需要根据“每人都只猜对了位置不同的一个数字”这一关键条件，对每个数字的位置进行合理推断．
【详解】解：分析个位数字：甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和乙都猜了个位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以个位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以个位数字只能是；
分析十位数字：甲猜的数是，乙猜的数是，丙猜的数是；其中甲和丙都猜了十位数字是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，所以十位数字不可能是；而丙猜了个位数字是，所以十位数字只能是；
分析百位数字：由于个位数字已经确定是，十位数字只能是，因为每人都只猜对了位置不同的一个数字，那么丙猜的和乙猜的，所以百位数字只能是甲猜的；
综上，门锁密码是．
14.【答案】
【解析】本题考查了整数的运算，先理解题意，得，为了让最小的数最大，我们假设这四个数尽可能接近，则我们尝试让这四个数都接近或者，再进行分类讨论，即或结合、、是不同自然数以及问题进行分析，即可作答．
【详解】解：，
，
为了让最小的数最大，我们假设这四个数尽可能接近，
则，
我们尝试让这四个数都接近或者，
假设，
那么
此时，
、、是不同的自然数，
我们要找两个不同的自然数、，使得它们的和为，并且都大于这样才能保证是最小的
取，，此时，满足且，，都是不同的自然数，也满足是最小的数；
假设
那么，
此时
，
、至少要比大因为是不同的自然数
那么最小是，最小是，
，
不满足
不能等于，
综上：、、三个数中最小的数最大等于．
故答案为：
15.【答案】【小题】
证明：方法如图所示，过点作．
辅助线的作法，
两直线平行，内错角相等．
已知，
平行于同一条直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
等式的性质，即．
方法如图所示，延长交于点．
已知，
两直线平行，内错角相等．
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
等量代换．
【小题】
解：．
证明如下：如图所示，
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，已知，
两直线平行，同位角相等，
等量代换，即．

【解析】 见答案
见答案
16.【答案】【小题】

角平分线的定义
两直线平行，内错角相等
等量代换
内错角相等，两直线平行
【小题】
两个互逆的真命题为：
两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．

【解析】
根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出；
【详解】解：、分别平分和已知
，角平分线的定义
已知
两直线平行，内错角相等
等量代换
等式的性质
内错角相等，两直线平行
故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；

在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
17.【答案】【小题】
或或
或或
【小题】
命题一：已知，求证：
证明：，
，
．
，
，
，
；
命题二：已知，求证：
证明：，
，
．
，
，
，
；
命题三：已知，求证：
证明：，
，
．
，
，
，
．

【解析】
本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
三个命题分别是：已知，求证：；已知，求证：；已知，求证：；
【详解】解：命题一：已知，求证：；
命题二：已知，求证：；
命题三：已知，求证：；

命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明．
18.【答案】解：正确的命题：如果，，那么；如果，，那么，
如果，，那么，
证明如下：，
，
在和中
≌
，
，
即．
如果，，那么，证明如下：
，
，
，
，
即，
在和中
≌
．
【解析】根据全等三角形的判定方法来判断即可作答；
根据全等三角形的判定与性质，即可证明．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的常用的判定方法有，，，、等．
19.【答案】解：答案不唯一
证明：是的平分线，，，
，
在与中，
，
，
．
【解析】解：条件是的平分线；，，结论．
见答案；
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定及性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
选择条件是，结结论是答案不唯一；
根据角平分线的性质可得，再结合证明可得．
20.【答案】真命题；真命题；真命题 证明略
【解析】略
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