4.5等腰三角形 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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4.5等腰三角形湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在正方形的外侧，作等边，则为( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，点是边上一点，点从点出发，沿运动到点，设点运动的路程为，点到点的距离为，在点运动过程中，随变化的关系图象如图所示，其中点为第一段函数图象的最低点，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.如图，点在的边上．小林同学进行如下操作：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；点是边上一点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点不与点重合，连接，下列结论中，不一定正确的是
A. ≌ B.
C. 是等边三角形 D.
4.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接则的度数是 ( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，是上一点，若，则等腰三角形有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7.下列说法中正确的是( )
A. 同旁内角互补
B. 面积相等的两个三角形全等
C. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一”
D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形
8.已知如图，等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；；是等边三角形；其中正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，为等边三角形，，、相交于点，于，，的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是 ．
12.如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，的度数是 ．
13.等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是 ．
14.如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长为 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
求证：；
若，求的度数．
16.本小题分
已知：如图，，相交于点，，．
求证：；
．
17.本小题分
如图，四边形中，，，，，，求的长．
18.本小题分
如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
求证：；
若，，求的度数．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，是上一点．
求证：；
若是的中点，延长交于点，且，求的度数．
20.本小题分
如图，在中，，点，分别在边，上，，连结，．
若，求，的度数；
写出与之间的关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，，
为等边三角形，
，，
，，
．
故选：．
由四边形为正方形，为等边三角形，可得出正方形的边相等，等边三角形的边相等，进而得到，且得到为直角，为，由求出的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出的度数．
此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：设点运动的路程为，点到点的距离为，在点运动过程中，随变化的关系图象如图所示，其中点为第一段函数图象的最低点，
如图，作于点，
由图象得，当点运动到点时，，，
当点运动到点时，，
，
，
，
，
是等边三角形；
当点运动到点时，的值是，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
，
的周长为，
故选：．
作于点，由图象得，当点运动到点时，，，求出，得到，推出，得到是等边三角形，根据函数图象得，推出，得到，求出，得到，求出，得到，即可得到答案．
本题考查了函数图象与几何综合，包括勾股定理，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，邻补角，等边三角形的判定，由题意可知由题意可知，，从而得到，，证明≌得到，再证明≌，由可证明，无法证实是等边三角形，逐项分析即可得到答案．
【解答】
解：由题意可知，，
，，
，，
，
，
在和中，
≌
，
，
在和中，
≌，故A正确，B正确；
，
，即，故D正确，
无法证实是等边三角形．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，先根据正方形的性质求得的度数，再根据等腰三角形中的度数求得的度数，最后根据，进行计算即可．
【解答】
解：正方形中，，
等边三角形中，，
，
又，
等腰三角形中，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：在中，，
，是等腰三角形；
，且，
，
，
，
，即是等腰三角形；
又，
，
，
等角对等边，
是等腰三角形，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：．
分别求出图形中每个角的度数，再进行判断即可．
本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是等腰三角形判定定理和性质的熟练掌握．
7.【答案】
【解析】解：、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是错误；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是错误；
C、等腰三角形的底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合，简称“三线合一”，本选项说法错误；
D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是正确；
故选：．
根据平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理判断逐一分析判断即可．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，掌握以上性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
因为，，
所以，，
所以，，
因为，
所以，
所以，，
所以；故正确；
由知：，，
因为点是线段上一点，
所以与不一定相等，则与不一定相等，故不正确；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以是等边三角形；故正确；
如图，在上截取，连接，
因为，
所以是等边三角形，
所以，，
所以，
因为，
所以，
在和中，
所以≌，
所以，
所以；故正确；
本题正确的结论有：，
故选A．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；证明且，即可证得是等边三角形；首先证明≌，则，．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，；
又，
在和中，
，
≌；
，；
；
，
，则；
，
在中，；
又，
．
故选：．
由已知条件，先证明≌得，可得，，则可求的长．
本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中的性质求解是正确解答本题的关键．
11.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．分是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】
解：当是腰长时，三角形的三边长分别为、、，
此时能组成三角形，周长
当是底边长时，三角形的三边长分别为、、，此时能组成三角形，周长．
这个等腰三角形的周长是或．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，与交于点，此时最小，
是等边三角形，，
，
，
即就是的最小值．
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
连接，则的长度即为与和的最小值．再利用等边三角形的性质可得，
即可解决问题；
本题考查的是最短路线问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
13.【答案】或
【解析】解：分两种情况讨论：
若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为；
若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：．
这个等腰三角形的顶角的度数为：或．
故答案为：或．
由等腰三角形中有一个角等于，可分别从若为顶角与若为底角去分析求解，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
14.【答案】
【解析】【分析】
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】
解：若为腰长，为底边长，
由于，则三角形不存在；
若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：．
15.【答案】解：连接，
垂直平分，
，
，
，
为线段的中点，
；
设
，
，
由三角形的外角的性质，，
，
，
在中，，
，
解得，
．
【解析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知
设，由可知，求出，然后根据三角形的内角和为列出方程求出的值即可．
16.【答案】证明：在和中，
；
由知，，
．
【解析】由已知条件，结合对顶角相等可以利用判定；
由等边对等角得结论．
此题考查了全等三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．
17.【答案】解：延长、交于，
，，
，
，
，
是等边三角形，
设，
，，
，
解得；，
．
【解析】本题考查了含角的直角三角形，用到的知识点是角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形先延长、交于，根据已知证出是等边三角形，
设，根据，和角所对的直角边等于斜边的一半，求出的值即可．
18.【答案】解：证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
≌，
．
，，
，
．
≌，
，
．
【解析】由旋转的性质可得，利用证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么由≌，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明≌是解题的关键．
19.【答案】【小题】
证明：在和中，
；
，，
在和中，
，
；
【小题】
设的度数为，
在中，，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
在中，，
，
解得．
．

【解析】
由“”可证，可得，，由“”可证，可得；

由直角三角形的性质可得，可求，由三角形内角和定理可求解．
20.【答案】解：，，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
与之间的关系：，
理由：设，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角定理得到，推出是等边三角形，得到，于是得到结论
设，，由于，根据等腰三角形的性质得到，求得，继而根据，利用等腰三角形性质结合三角形内角和推出，于是得到结论．
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