4.6线段的垂直平分线 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
4.6线段的垂直平分线湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：平分；平分；；其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，点在上方，作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线若射线恰好经过点，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，按下列步骤作图：
第一步：在，上分别截取，，使；
第二步：分别以点，为圆心、适当长大于的一半为半径作圆弧，两弧相交于点；
第三步：作射线交于点；
第四步：过点作于点．
下列结论中，一定成立的是 ( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，按以下步骤作图：利用尺规在，上分别截取，，使；分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若的面积为，，为上一动点，则的最小值为( )
A. 无法确定 B. C. D.
7.如图，在中，，，是的两条中线，是上一动点，则下列线段的长度等于的最小值的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是( )
是的平分线；；点在的垂直平分线上；若，则点到的距离是；：：．
A. B. C. D.
9.如图，在中，是的垂直平分线，交于点若，，则图中阴影部分的面积是 ( )
A. B. C. D.
10.如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为 ．
12.如图，在中，是的中点，交于，点在上，且是等边三角形，，，求的长为________．
13.在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点则与的数量关系是 ．
14.如图，在矩形中，，连接，在和上分别截取，，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，则线段的长是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，作的垂直平分线交于点，延长至点，使．
若，求的周长；
若，求的值．
16.本小题分
已知：是外一点．
尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为，保留作图痕迹，不要求写作法和证明；
在的条件下，若点在上不与，两点重合，且，求的度数．
17.本小题分
已知：如图，中，是的垂直平分线，于点，且为的中点．
求证：；
若，求的度数．
18.本小题分
如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的；
在直线上找出一点，使得的值最大，该最大值为 保留作图痕迹并标上字母
在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与，两点构成以为底边的等腰三角形．
19.本小题分
如图，在平面直角坐标系中有，两点，请在轴上找一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在轴上．
利用无刻度的直尺和圆规在图中找出所有符合条件的点不写作法，保留作图痕迹；
若点的坐标为，点的坐标为，请求出点的坐标．
20.本小题分
如图，在中，，是高线，，．
用直尺与圆规作的平分线不写作法，保留作图痕迹．
在的前提下，判断；中哪一个是正确的，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的中垂线交于点，交于点，
，
的周长为，
，
又，
，，
的周长．
故选：．
利用中垂线得到，再根据，解出，，继而得到结果．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，明确点、、在一条直线上时，有最小值是解题的关键．根据题意知，故当点在上时，有最小值为．
【解答】
解：如图，连接．
是的垂直平分线，
．
．
当点，，在一条直线上时，有最小值，最小值等于．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解答】
证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
平分，正确；
，，
，
平分，正确；
，
，
，
，
，
正确；
，，
垂直平分，即垂直平分，
，故正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】本题考查轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
连接，只要证明，即可推出，由，可得、、共线时，的值最小，最小值为的长度．
解：如图，连接，
，是中线，
，，
，
，
，
、、共线时，的值最小，最小值为的长度，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，解决本题的关键是综合掌握以上知识．根据中，，，可得，根据作图过程可得是的平分线，可以判断；再根据直角三角形两个锐角互余可以判断；根据，可以判断；根据角平分线的性质可以判断；根据高相等，面积的比等于底与底的比可以判断，进而可得结论．
【解答】
解：在中，，，
，
根据作图过程可知：
是的平分线，故正确；
，
，
，故正确；
，
，
点在的垂直平分线上，故正确；
，
，
根据角平分线上的点到角的两边距离相等，
点到的距离是，故正确；
，
，
点到的距离，
：：，故错误．
综上所述：正确的有，共个．
故选C．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】【分析】
直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
【解答】
解：因为是的边的垂直平分线，
所以，
因为，，
所以的周长是：．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．如图作于，连接由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长．
【解答】
解：如图，作于，连结．
垂直平分线段，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，
，，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为．
周长的最小值为．
故答案为．
12.【答案】解：连接，作于点，
是的中点，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
在中，，
，，
，，
，，
，
在中，，
，
，
，
．
【解析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
连接，作于点，根据根据线段垂直平分线的性质，及等边三角形性质，证得，再根据含角的直角三角形的性质求出，结合等腰三角形的三线合一解答即可．
13.【答案】
【解析】【分析】
根据尺规作图得到平分，再根据已知条件，得出，再根据，得到，进而可证明，可得结论．
本题考查作图基本作图，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出各个角的度数，属于中考常考题型．
【解答】
解：，，
，
由作图可知平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】解：如图，连接，设垂直平分线交于点，
，
，
，
，
故的周长为．
设，
，
又，
，
在中，．
．
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形、勾股定理等知识，抓住正切的定义是解题关键．
连接，设垂直平分线交于点，再根据线段垂直平分线的性质求解即可；
设，则，，由勾股定理可表示出，从而可计算出．
16.【答案】【小题】
作法不唯一，如图，，即为所求作
【小题】
如图，连接，，为的两条切线．，当点在优弧上时，；当点在劣弧上时，综上所述，的度数为或

【解析】 见答案
见答案
17.【答案】【小题】
证明：连接，

于点，且为线段的中点，
垂直平分，
，
垂直平分，
，
；
【小题】
解：，，
，
，
，
．

【解析】
本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和外角的性质，
由题意可判定垂直平分，由垂直平分，可得，即可证明结论；

首先根据等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
18.【答案】【小题】
解：如图所示，即为所求；

【小题】
解：如图所示，点即为所求．的值最大，最大值为线段的长，，
故答案为：；
【小题】

【解析】
本题主要考查作图轴对称变换，掌握轴对称变换的特点，结合格点作图是解题的关键．
分别作出的顶点关于直线的对称点，顺次连接可得；

作射线，与直线的交点即为点；

利用格点作线段的中垂线，从而得出符合条件的格点．
解：如图所示，在正方形网格中存在个格点、与两点构成以为底边的等腰三角形，
故答案为：．
19.【答案】【小题】
如图，点，即为所求作．
【小题】
如图，连接，设满足条件的点的坐标为，，，易得，解得或，设点的坐标为由题意，得，易得，解得同理，可得综上所述，满足条件的点的坐标为或．

【解析】 略
见答案
20.【答案】【小题】
解：如图，即为的平分线
【小题】
解：正确，
理由如下：
为的平分线，
，
是高线，
，
，
．
所以正确．

【解析】 略
略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)