5.1直角三角形的性质定理 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.1直角三角形的性质定理湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图所示，是等边三角形，为的中点，，垂足为若，则的边长为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.将一副直角三角板按如图所示方式摆放，含角的三角板的斜边经过含角的三角板的直角顶点，短的直角边与含角的三角板的斜边重合，则为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
6.周礼考工记中记载有：“半矩谓之宣，一宣有半谓之欘”意思是：直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘即：宣矩，欘宣其中，矩，图为中国古代一种强弩图，图为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.已知，某学生将一直角三角板如图所示放置，如果，那么的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.在中，，，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，，交于点，，则的长是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，在中，，，为线段的中点，则 ．
12.如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为________．
13.如图，，交于，于，若，则 ．
14.如图，在中，，，是高和的交点，则的长是______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，是边的中点，求的度数．
16.本小题分
如图，在中，，求证：是直角三角形．
17.本小题分
如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点连接，，，已知．
求证：四边形是矩形．
若还满足，则四边形的形状为______．
18.本小题分
在中，，根据下列条件解直角三角形：
，；
，．
19.本小题分
在中，，，求度数．
在中，，，，求长度．
20.本小题分
如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为，若，，三点恰好在同一条直线上：
求旋转角的度数；
若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
是的中点，
，
为等边三角形，
，，
，
．
故选：．
利用三角形的内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质可得结果．
本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．
2.【答案】
【解析】解：是等边三角形，，垂足为点，，
在直角三角形中，，，，
，
又为的中点，
，
等边三角形的边长为，
故选：．
根据题意可知，直角三角形两锐角互余的性质先求得；在直角三角形中求得的长，即可求得的长．
本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；也考查了直角三角形两锐角互余的性质，在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质．根据直角三角形两锐角互余分别求出，的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出的度数，根据即可求解．
【解答】
解：是直角三角形，，，
，
，
在中，，
同理，在中，，
点是中点，
，
即，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：如图所示：

依题意得：，，
，
．
故选：．
依题意得，，然后再根据三角形外角性质可得出的度数．
此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，解决问题的关键是理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
5.【答案】
【解析】解：，
，
点是的中点，
，
，两点间的距离为，
故选：．
根据垂直定义可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意知：，
则；
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，且，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，，
，
，
将沿折叠，点落在点处，
，
．
故选：．
根据三角形内角和定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到；然后利用折叠的性质可得，最后根据角的和差即可解答．
本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，弄清各角之间的关系是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：在中，，，，
则，
由勾股定理得：，
故选：．
根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出．
本题考查的是勾股定理、含度角的直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
在含的中，，
．
故选：．
根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可．
本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】 解：在中，，，
是直角三角形，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
即的长为，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：过点作于，如图，
是平分线上一点，，，
，
，
，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
过点作于，如图，先利用角平分线的性质得到，再证明得到，接着利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长度．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质．
14.【答案】
【解析】解：，，
，，
又，，且，
，
又，，
，
，且，，
≌
，
故答案为：．
由垂直的定义，三角形的内角和定理和角的和差求，直角三角形中两锐角互余和等腰三角形的判定与性质求得，用角角边证明≌，由其性质得，求出的长是．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，垂直定义和等腰三角形的判定与性质，证明≌是本题的关键．
15.【答案】解 在中，，是的中点，
直角三角形的性质定理．
．
，
．

【解析】见答案
16.【答案】证明：因为，所以所以因为，所以所以是直角三角形．
【解析】略
17.【答案】见解析；
正方形．
【解析】证明：边形是平行四边形，
，，
点为的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是等腰三角形，
点为的中点，
，
，
四边形是矩形；
解：，，
是等腰直角三角形，
点为的中点，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
故答案为：正方形．
根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论；
根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形．
本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键．
18.【答案】，；
，，，，
【解析】，，
，
，
即，；
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
即，，，，．
根据，，可以求出这个三角形的另一个锐角为，利用的正弦可以求出直角三角形的直角边；
根据和直角三角形两个锐角互余可以求出，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出直角边和斜边的长，再利用勾股定理求出另一直角边的长度．
本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形是利用勾股定理和三角函数求出直角三角形中未知的边和角．
19.【答案】；
或
【解析】在中，，，
；
如图，作于点，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
如图，作交的延长线于点，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
故答案为：或．
根据特殊角的三角函数值求解．
通过作高将转化为两个直角三角形，利用角的性质和勾股定理求出相关线段长度，再分两种情况计算的长度
本题考查了解直角三角形，勾股定理，注意分类讨论是解的关键．
20.【答案】解：由旋转得：≌，
，
，
，
；
过作交于，
在中，，，
，
，
，，
，
，≌，
，．

【解析】由旋转的性质得，，求出，再利用三角形内角和可求旋转角的度数；
过作交于，由角的性质求出，利用勾股定理求出，由三线合一可得的长，由全等的性质得，进而可求出的长．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
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