5.2勾股定理及其逆定理 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.2勾股定理及其逆定理湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点表示的实数是( )
A. B. C. D.
2.如图，正方形小方格边长为，则网格中的是( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
3.如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较大两个正方形的面积分别为和，则最小正方形的面积是( )
A. B. C. D.
4.将直角三角形的三边边长同时扩大倍，得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
5.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，点、、、、都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )
A. B. C. D.
7.将直角三角形的三条边同时扩大为原来的倍，得到的三角形是( )
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
8.如图，在每个小正方形边长都为的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是( )
A. B. 的面积为
C. D. 点到的距离为
9.适合下列条件的，直角三角形的个数为( )
，，；：：：：；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论错误的是( )
A.
B.
C. 的面积为
D. 点到直线的距离是
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是 ．
12.如图，正方形网格中，每一小格的边长为网格内有，则的度数是________．
13.如图是由个相同的正方形拼成，则
14.如图，在边长为的小正方形网格中，点，，都在格点处，连接，，并在图中标出了和，则 度
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，，为的三边长，且，，满足等式，求的面积．
16.本小题分
如图，四边形中，，，，，．
连接，求的长．
求四边形的面积．
17.本小题分
如图是一块地，已知，，，，，求这块地的面积．
18.本小题分
如图，在四边形中，，，，，．
判断的形状，并说明理由；
求的长．
19.本小题分
某社区推进“垃圾分类示范小区”建设，在三角形空地中设置可回收物、厨余垃圾、其他垃圾三个分类投放区，用石子小路、分隔宽度忽略不计，经测量，米，米，米，米．
求证：；
若每米石子路的造价为元，当石子路时最短，求修小路的最少花费．
20.本小题分
如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为．
求四边形的面积；
的度数为______
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】解：设原直角三角形的三边的长是、、，则，如图，
，
即，
将直角三角形的三条边长同时扩大倍，得到的三角形还是直角三角形，
故选：．
根据勾股定理得出，推出，得出，根据勾股定理的逆定理得出即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5.【答案】
【解析】解：每个小正方形的边长均为，
、，正确，不符合题意；
B、，正确，不符合题意；
C、，原结论错误，符合题意；
D、，，
，
是直角三角形，且，正确，不符合题意，
故选：．
根据勾股定理、勾股定理的逆定理计算判断即可．
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，旋转前后对应角相等，本题也可通过两角互余的性质解答．
是由绕点按逆时针方向旋转而得，由图可知，为旋转角，可利用的三边关系利用勾股定理及其逆定理解答．
【解答】
解：设小方格的边长为，得，
，，，
，
，
是直角三角形，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理，掌握勾股定理的运用是解答本题的关键，设直角三角形的三边长为，，且，将直角三角形的三条边同时扩大为原来的倍得到 即可解答．
【解答】
解：设直角三角形的三边长为，，，且，
则 ，
故以，，为边长的三角形是直角三角形．
故选C．
8.【答案】
【解析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理求出长可判定，利用网格图计算三角形的面积可判定，利用勾股定理及其逆定理判定；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定．
【详解】解：，
，本选项结论正确，不符合题意；
B.，本选项结论正确，不符合题意；
C.，，，
，
，本选项结论正确，不符合题意；
D.点到的距离，本选项结论错误，符合题意；
故答案为：
9.【答案】
【解析】解：，，，
，
为直角三角形；
：：：：，，
，
此时不是直角三角形；
，
，
为直角三角形；
，，，
，
解得，
为直角三角形，
所以直角三角形的个数为．
故选：．
若一个三角形的三边长满足其中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断，根据三角形内角和定理可判断．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、由勾股定理得：，故A正确；
B、，，，
，
，故B正确；
C、，，
，故C错误；
D、设点到直线的距离为，
则，
即：
解得：，
即点到直线的距离是，故D正确；
故选：．
根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积计算，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，三角形的外角性质等知识点，能求出、、的长度是解此题的关键．延长到，使，连接，根据勾股定理求出，，，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，再根据三角形的外角性质得出答案即可．
【解答】
解：延长到，使，连接，
，
同理，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接、，设每个小正方形的边长都是，则，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
由勾股定理得，，
，
，，
，
，
故答案为：．
将图形的有关三角形的顶点标上字母，连接、，设每个小正方形的边长都是，则，，证明≌，则，由勾股定理得，，则，所以，，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的性质、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接，
由题意看可知：小正方形网格的边长为，
由勾股定理得：，，，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
根据格点的性质可得，，，
，
故答案为：．
根据网格与勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，由即可求解．
本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用、平行线的性质，理解网格的特点、掌握勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键．
15.【答案】解：因为，所以，，所以，，因为，所以是直角三角形．所以．
【解析】略
16.【答案】解：连接，
在中，，，，
；
答：的长是．
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积，
答：四边形的面积为．
【解析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握它们的区别是解题的关键．
根据，想到构造直角三角形求的长，所以连接，即可解答；
先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后把四边形的面积分成的面积和的面积之和，即可解答．
17.【答案】解：如图，连接，
，，，
．
，，即，
为直角三角形，．
四边形的面积
答：这块地的面积为平方米．
【解析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积先根据勾股定理可求出的长，根据勾股定理的逆定理可求出，可求出的面积，减去的面积，可求出四边形的面积．
18.【答案】解：是直角三角形．
理由如下：
在中，
，，
，
是直角三角形．
在四边形中，
，由得，
，
在中，，
，
．
【解析】本题主要考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理的有关知识．
根据勾股定理的逆定理得到，从而得到是直角三角形．
直接利用勾股定理进行求解即可．
19.【答案】米，米，米．
，则，
是以为直角的直角三角形，
；
元
【解析】证明：米，米，米．
，则，
是以为直角的直角三角形，
；
解：由可知，
在中，由勾股定理得：
米；
，
，
即，
米，
需花费元
即：修小路的最少花费元．
利用勾股定理逆定理得出是以为直角的直角三角形，即可证明结论；
用勾股定理求出的长，由，利用等积法求，根据铺设石子路每米元，列式计算即可解答．
本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，运用等积法求垂线段的长是常用方法．
20.【答案】；

【解析】
；
连，
根据勾股定理得：，
，，
，，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．
利用正方形的面积减去四个顶点上三角形及小长方形的面积即可；
连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可得出结论．
本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
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