5.3直角三角形全等的判定 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.3直角三角形全等的判定湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，，垂足分别为，，，相交于点如果，那么图中全等的直角三角形的对数是( )
A. B. C. D.
2.如图，在中，，点在边上，，于点，若，，的面积是，则线段的长为
A. B. C. D.
3.下列判断一定正确的是( )
A. 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B. 有一个角和一边对应相等的两个直角三角形全等
C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D. 有两边对应相等，且有一个角为的两个等腰三角形全等
4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )
A. 两个锐角对应相等 B. 一条斜边和一个锐角对应相等
C. 两条直角边对应相等 D. 一条直角边和一条斜边对应相等
5.下列说法中，正确的有( )
都含有的两个直角三角形一定全等；
都含有的两个等腰三角形一定全等；
底边相等的两个等腰三角形一定全等；
边长都为的两个等边三角形一定全等；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.如图已知，，，则判定和全等的依据是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，矩形中，，连接，按下列方法作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点，则的长度为( )
A. B. C. D.
8.如图，在的斜边上截取，过点作，交于点，则下列结论一定正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在四边形中，平分，且，若，则一定等于( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，是的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，则图中的全等三角形有( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，已知，垂足为，若直接应用“”判定≌，则需要添加的一个条件是_________．
12.如图，，是边的高，，，垂足为若，则________．
13.如图，点，在上，，，若要根据“”判定≌，则需添加的一个条件可以是 写出一个即可．
14.如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以厘米秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时，与全等．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知线段，，按下列要求用直尺和圆规作直角三角形．要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明
作，使，，．
作，使，，．
16.本小题分
如图，中，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数．
17.本小题分
如图，、、、在同一条直线上，于点，于点，，，求证：．
18.本小题分
在中，，，为延长线上一点，点在上，且．
求证：；
若，求的度数．
19.本小题分
如图，在中，，于点，，点在上，．
求证：平分；
求证：．
20.本小题分
如图，在中，，，，垂足为，交线段于，是边上一点，连接，且．
求证：；
与有怎样的位置关系？证明你的结论；
当时，求证：平分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了直角三角形全等的判定及性质，三角形的面积等知识点，
判定≌，求出，求出，再利用，求出三角形的面积，然后利用面积公式求出即可，
【解答】
解；，，
，
在与
≌
，
，
，
，
，
3.【答案】
【解析】解：、有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，符合，正确，故本选项符合题意；
B、当两三角形的直角边和斜边相等时，就不全等，故本选项不符合题意；
C、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意；
D、角没有对应关系，不能成立，错误，故本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形全等的判定方法：、、、、逐个判断即可．
此题主要考查了三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法，注意、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4.【答案】
【解析】【分析】
直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
B.符合判定或，故本选项正确，不符合题意；
C.符合判定，故本选项不符合题意；
D.符合判定，故本选项不符合题意．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：都含有的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
都含有的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以错误；
底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以错误；
边长都为的两个等边三角形一定全等，因为根据或或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据或或可以判定两个三角形全等，所以正确；
所以正确的有这个．
故选：．
根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】，，
．
在和中，
故选D．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、勾股定理、直角三角形的全等判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键过点作，垂足为，由作法可知为的角平分线，所以，然后由勾股定理求得的长度，再由直角三角形全等求得的长度，最后通过勾股定理求得的长度．
【解答】
解：过点作于，如图所示，由作法得平分．
，，
，
，，
在中，，
易得，
，
，
设，则，，
在中，，解得．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有，，，，，根据推出，根据全等三角形的性质即可得到正确选项．
【解答】
解：，，
，
在和中，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和等于等知识，正确地作出所需要的辅助线是解的关键作于点，交的廷长线于点，因为平分，所以，，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，再推导出，于是得到问题的答案．
【解答】
解：作于点，交的延长线于点，则，
平分，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．由，是的中点，易得是的垂直平分线，则可证得≌，≌，≌，又由是的垂直平分线，证得≌．
【解答】
解：，是的中点，
，，
，
在和中，
≌；
同理：≌，
在和中，
≌；
是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌．
故选D．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．
先求出，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．【解答】
解：，
理由是：，
，
在和中，
，
≌．
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形全等的判定及全等三角形的性质和平行线的性质，先证明，再根据得到，进而求解
【解答】
解：，是边的高，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：添加，，
，
即，
在与中，
，
≌．
故答案为：答案不唯一．
根据直角三角形的判定方法解答即可．
此题考查直角三角形的判定，关键是根据证明≌解答．
14.【答案】，，，
【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当在线段上，时，；当在上，时，；当在线段上，时，；当在上，时，；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：，，
当在线段上，时，
，
，
，
，
点的运动时间为秒；
当在上，时，，
则，
，
点的运动时间为秒；
当在线段上，时，
，
，
这时在点未动，因此时间为秒；
当在上，时，，
则，
，
点的运动时间为秒．
综上所述，当点经过秒，或秒，秒，秒时，与全等．
故答案为：，，，．
15.【答案】【小题】
解：如图，即为所求；
；
【小题】
解：如图，即为所求．
．

【解析】
本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
作，在射线上截取线段，使得，以为圆心，为半径作弧交于点，即为所求；

作，在的反向延长线上截取线段，使得，为圆心，为半径作弧交于点，过点作于点，即为所求；
16.【答案】【小题】
证明：，
，
在和中
，即；
【小题】
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是选择合适的全等三角形判定方法．
用直角三角的判断方法，直接判定即可；

先根据等腰三角形的性质，求出的度数，再求出的度数，由的全等求出，由的全等和等腰三角形的性质求出，最后根据外角的性质，即可得出答案．
17.【答案】证明：，，
，
，
，
，在和中，，
≌，
，
．
【解析】由已知得出，推出，由证得≌得出，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
，，
，
，
≌，
，
．
【解析】本题考查的是直角三角形全等的判定，全等三角形的性质有关知识．
由可得，再由，即可证得结论；
由，，即可求得与的度数，即可得的度数，又由≌，即可求得的度数，则由即可求得答案．
19.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
平分；
平分，
，
，，
≌，
，
，
由得≌，
，
，
，即．
【解析】由可得，在根据可证明≌得到即可说明平分；
先利用角平分线证明≌得到，在根据中≌得到，即可得到．
本题考查了直角三角形全等的判定，角平分线的性质，关键是直角三角形全等的判定定理的应用．
20.【答案】【小题】
证明：，，
，
在和中，
，
；
【小题】
解：，
证明：，
，
，
．
【小题】
证明：，
，
，，
．
，
，
，
即平分．

【解析】
根据证明与全等，进而解答即可；

根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可；

证出，由等腰三角形的性质可得出结论．
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