1.3公式法 湘教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

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1.3公式法湘教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.小梅和小丽在因式分解关于的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.把多项式分解因式，得，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.若可以用完全平方式来分解因式，则的值为( )
A. B. 或 C. D. 或
4.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是( )
A. B. C. D.
5.若、、是三角形的三边，则代数式的值是( )
A. 正数 B. 负数 C. 等于零 D. 不能确定
6.已知可以被到之间的某两个整数整除，则这两个数是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.对任意整数，都能( )
A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除
8.已知，，，则的值是( )
A. B. C. D.
9.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
10.若已知正实数，满足，其中是正实数，是的小数部分，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知，则的值是 ．
12.分解因式： 要求因式中任意一项的系数都是有理数．
13.已知：，则 ；
14.分解因式： ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：
．
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
分解因式：
，求的值．
16.本小题分
阅读：分解因式．
解：原式
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．
请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：
分解因式：
；
．
17.本小题分
一个两位数的十位上的数为，个位上的数为，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为，十位上的数为，个位上的数为，这个三位数记作．
能被整除吗？请说明理由；
小明发现：如果能被整除，那么就能被整除请补全小明的证明思路小明的证明思路：因为 ______ ______，又因为代数式，都能被整除，所以能被整除．
18.本小题分
因式分解：
；
19.本小题分
甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，请将原多项式分解因式．
20.本小题分
如图，在半径为的圆形钢板上冲出半径为的四个小圆孔若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积取
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意易得，
，，
；
则的值为．
故选：．
由题意易得，然后可得、的值，进而问题可求解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了多项式的乘法和因式分解的概念，解题的关键是明确因式分解后两多项式相等运用多项式乘以多项式的法则求出的值，对比系数可以得到，的值．
【解答】
解：，
，
，．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：由条件可知，
即，
，解得或．
故选：．
根据完全平方公式即可得解．
本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是用公式法分解因式的有关知识，能用平方差公式分解因式的条件：是两项；这两项的符号相反，并且都是完全平方数．由题意对各个选项进行逐一分析即可求解．
【解答】
解：．，不能利用平方差公式进行分解，故A错误；
B.，不能利用平方差公式进行分解，故A错误；
C.，符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，故正确；
D.两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故错误．
故选C
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】解：原式
．
则这两个数是和．
故选：．
先对原式进行因式分解，然后即可求出这两个整数．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到即可确定答案，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：
，
对任意整数，都能被整除，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
，
故选：．
先根据已知条件式得到，，，再把原式变形为，最后利用完全平方公式求解即可．
本题主要考查了因式分解的应用，解答本题的关键要明确：因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
9.【答案】
【解析】解：、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了用完全平方公式法进行因式分解，掌握完全平方公式的式子特点是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，是的小数部分，
设，其中是的整数部分，是的小数部分，
，
，
是的小数部分，
，
，
，
是正整数，
是正整数，
只有当，时，成立，
，
，解得，，
，，
．
故选：．
根据，其中是正实数，是的小数部分，可以得到、的值，进而求得所求式子的值．
本题主要考查代数方程的求解、整数与小数部分的关系，以及代数式变形的能力．关键在于将题目中的条件转化为方程，并通过合理的代数运算找到答案．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用，把变形为，将代入，整理后再次代入即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解析：
．
这两个二次因式都是有理数域上的不可约多项式．
根据因式分解的意义即可求得答案．
本题考查因式分解的意义，充分理解题意及因式分解的意义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可．
【详解】解：，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了因式分解．先用提公因式法分解因式，再运用平方差公式分解因式．
【解答】
解：原式
．
故答案为：．
15.【答案】解：
；
由于，，
则原式．
【解析】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分组分解是解题关键．
首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
首先将前两项以及后两项组合，进而分解因式，再将已知条件带入求值即可．
16.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：
．

【解析】
本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
仿照题意得到，再利用平方差公式分解因式即可；

先把原式提取公因数，再仿照题意得到，最后利用平方差公式分解因式即可．
17.【答案】能被整除，理由见解析；
，．
【解析】解：能被整除，理由为：
，
能被整除．
，
，都能被整除，
就能被整除，
故答案为：，．
根据给定的运算可表示出，即可得证；
根据，结合已知条件即可证得．
本题考查了代数式，因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18.【答案】解：
；
解：
．

【解析】【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19.【答案】．
【解析】解：，
，
，
，
．
根据多项式乘多项式分别将和展开，合并同类项，与对比即可得到、的值并代入多项式，分解因式即可．
本题考查十字相乘法分解因式等，掌握多项式乘多项式的方法和完全平方公式是解题的关键．
20.【答案】剩余钢板的面积为．
【解析】解：用大圆的面积减去个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入计算可得：
则剩余钢板的面积为．
用大圆的面积减去个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入后可得结果．
本题是因式分解的应用，熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键．
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