华师大版 2016年九年级上册 全册导学案

华东师大版九年级上册“五环四互”教学模式数学导学案
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
二次函数
第1课时
二次函数的定义
【学习目标】1.知道二次函数的一般表达式；
2.会利用二次函数的概念分析解题;
3.能在实际问题中列二次函数表达式.
【学习重难点】根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式.
【学法指导】仔细阅读教材2—4页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.定义：一般地，形如_____________________(a,b,c为
且a
）的函数，叫做二次函数。其中x是
，a叫二次项系数，b叫
，c叫_____________．
2.理解二次函数的定义时应注意：①函数关系式必须是
，②化简后自变量的最高次数是
，③二次项系数
.
3.观察：①；②；③y＝200x2＋400x＋200；④；⑤；⑥．⑦y=x3-x2(1+x).
⑧y=3x(x+1)
.
⑨y=ax2+bx+c
⑩y=(a2+1)x2+2
这十个式子中二次函数有
（只填序号）.
是二次函数，则m的值为______________．
已知二次函数y=x2-2x-4,当x=2时，函数y=
；当x=
时，函数y的值为-1.
6.用16m长的篱笆围成长方形圈养鸡，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为
.二次项系数为
，一次项系数为
，常数项为
.
【展示互导】判断一个函数是不是二次函数，要先化简整理再判断.
【质疑互究】
1.
形如y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）的函数，
①当
时是二次函数.
②当
时是一次函数.
③当
时是正比例函数.
已知函数y=(k2-1)x2+2(k-1)x+k2+2k+1
(k为常数），当k
时，为二次函数；
当k
时，为一次函数；当k
时，为正比例函数；
【检测互评】
1.下列函数中是二次函数的是（
）
A．y＝x＋
B．
y＝3
(x－1)2
C．y＝(x＋1)2－x2
D．y＝－x
2.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（
）
A.
B．
C．
D．
3.在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为
s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（
）
A．28米
B．48米
C．68米
D．88米
4.
函数是二次函数，则
．
5.函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）,
当m__________时，该函数为二次函数；
当m__________时，该函数为一次函数．
6.已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．
求：（1）函数y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；（3）当y＝－时，x的值．
7.如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请求出绿地面积(㎡)与路宽(m)之间的函数关系式.（整理为一般
形式）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第2课时
二次函数y＝ax2的图象与性质
【学习目标】1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2.会画二次函数y＝ax2(a>0)的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
【学习重难点】画出二次函数y=ax2(a>0)的图象以及探索二次函数的性质.
【学法指导】仔细阅读教材5—6页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.画函数图象的一般步骤是①
；②
；③
.
一次函数图象的形状是
，反比例函数图象的形状是
.
2.
画二次函数y＝x2的图象．
列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点，并连线（平滑的曲线）
由二次函数y＝x2的图像可知：
①二次函数y＝x2的图像是一条______________．有时也叫抛物线y＝x2.
②二次函数y＝x2中，二次函数a＝___，抛物线y＝x2的图象开口______．（填向上或向下）
③二次函数y＝x2的图像是
图形，对称轴是
.（或直线
）
④抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．抛物线y＝x2的顶点坐标为（
，
），是____________点（填“最高”或“最低”）
．
由二次函数y＝x2的图像特点，可知二次函数y＝x2具有如下性质：
①.在对称轴y轴的左边，函数图像从左向右是
的，即当x
时，
函数值y随x的增大而
.
②.在对称轴y轴的右边，函数图像从左向右是
的，即当x
时，
函数值y随x的增大而
。
③当x=0时，函数取得
值（填最大或最小）,是
.
【展示互导】
二次函数y＝ax2（a>0时）的图像与性质：
①图象：
,②开口方向：
，③顶点坐标：
,
④对称轴：
,⑤最值：
.
⑥增减性：x>0时
，x<0时
.
【质疑互究】
1.当m
时，抛物线开口向上．
2.已知a<-1,点（a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=3x2的图像上，则
y1
,
y2
,
y3
的大小关系是
.
【检测互评】
1.函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x＝______时，有最_____值是_________，当x>0时，y随x增大而_______.
2.二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向上，则m____________．
3.已知p>2,点（p-2,y1),(p,y2),(p+2,y3)都在函数y=x2的图像上，则(
)
A
.y1
<
y2
<
y3
B
.
y1
<
y3
<
y2
C
.
y3
<
y2
D
.
y2
<
y3
已知是二次函数，①求k的值；
②求顶点坐标和对称轴．
③x
时，y随x的增大而增大．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第3课时
二次函数y＝ax2的图象与性质
【学习目标】1.经历画二次函数y＝ax2(a<0)的图象的过程，知道它的图象是一条抛物线.
2.利用“形”的直观发现“数”的规律，探究二次函数y＝ax2(a<0)的性质.
3.掌握二次函数y＝ax2(a<0)的性质，并会灵活应用.
【学习重难点】二次函数y=ax2,a>0和a<0的图象和性质的异同.
【学法指导】仔细阅读教材5—6页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
函数y＝2x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝______时，有最_____值是_________，当x>0时，y随x增大而_______；
当x<0时，y随x增大而_______.
请在直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－x2，
y＝－2x2的图象．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝-x2
…
…
列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝-x2
…
…
x
…
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝-2x2
…
…
描点，并连线（平滑的曲线）
观察图像：
这三个二次函数的a都
，
它们图象都是一条
，
开口方向都
，顶点坐标都是
，
对称轴都是
，
图象都有最（
）点（填“高”或“低”），
在对称轴左边，函数图像从左向右是逐渐
，
在对称轴的右边，函数图像从左向右是逐渐
，
性质：
在对称轴左边，函数图像从左向右是逐渐
，
即当x
时，函数值y随x的增大而
，
在对称轴的右边，函数图像从左向右是逐渐
，
即当x
时，函数值y随x的增大而
；
当x=0时，函数都取得
值（填最大或最小）,是
.
3.二次函数y＝ax2（a<0时）的图像和性质：
①图象：
，②开口方向：
③顶点：
④对称轴：
，⑤最值当x=
，函数都取得
值是
.
⑥增减性：x<0时，
，x>0时，
.
【展示互导】归纳总结二次函数y＝ax2图像和性质：
抛物线
y＝ax2(a>0)
y＝ax2(a<0)
图像（草图）
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
增减性
【质疑互究】
比较第2课时和本节课的函数图像：
1.抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2
关于______对称，开口大小__________．但方向
.
2.当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜
越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a｜
越大，抛物线的
开口越________，反之，｜a｜
越小，抛物线的开口越________．
【检测互评】
抛物线的对称轴是
;开口方向是
;顶点坐标是
，
当
时，随的增大而增大.
函数y＝x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
3.若二次函数的图象的开口方向向下，则的取值范围为
.
4.两条抛物线与在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（
）
A．顶点相同
B．对称轴相同
C．开口方向相反
D．都有最小值
5.二次函数y=-x2
的图象上的两个点（x1
y1）,(x2,y2),设x1＞x2＞0,则y1
y2
.
已知y=mx,当m=
时，它的图像是开口向下的抛物线，当x
时，
y随x的增大而增大.
7.若二次函数在对称轴左边的图象上，随的增大而减小，
则的取值范围为
.
8.如图，①
y＝ax2
②
y＝bx2
③
y＝cx2
④
y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．
___________________________________
9.已知抛物线中，当x＜0时，y随x的增大而增大，求k的值．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第4课时
二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
【学习目标】1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．
【学习重难点】理解二次函数y＝ax2＋k的性质和抛物线y＝ax2＋b与y＝ax2的关系.
【学法指导】仔细阅读教材8—10页，独立思考完成【自学互助】的内容，
小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2
，y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
y＝x2+1
…
…
y＝x2－1
…
…
描点并连线：
抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
最值
y＝x2
y＝x2－1
y＝x2＋1
可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
2.抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2
经过平移得到的：（上加下减）
当k>0时，将抛物线y＝ax2
平移k个单位得到抛物线y＝ax2＋k，
当k<0时，将抛物线y＝ax2
平移个单位得到抛物线y＝ax2＋k.
3．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________;
抛物线y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．
抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向_____平移_____单位得到的．
【展示互导】归纳y＝ax2＋k的图像和性质：
y＝ax2＋k的图像和性质
a>0
a<0
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值
当x＝__时，y有最
值,为____；
当x＝_
_时，y有最
值,为____；
增减性
【质疑互究】
1.若抛物线y＝2x2＋k-5的顶点在x轴的下方，则k的取值范围是
.
2.
抛物线y＝ax2＋c以（0，2）为顶点，且过点P(2,-6),过点P作y轴的垂线交抛物线与另一点B，求△PBO的面积。
【检测互评】
1.抛物线y=-3x2+5的对称轴是
;开口方向是
;顶点坐标是
.这条抛物线可以看作是由抛物线向
平移
个单位长度得到的。
2.抛物线的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，在对称轴的左侧y随x的增大而
，在对称轴的右侧y随x的增大而
.
3．将二次函数y＝3x2－4向上平移5个单位后所得到的抛物线解析式为________________．
4.写出一个顶点坐标为(0,8),开口方向与抛物线y＝－3x2方向相反,形状相同的抛物线解析式_______________________________.
5．二次函数图象的顶点坐标为（
）.
A．（0，3）
B．（0，）
C．（，3）
D．（，）
6.若将抛物线y＝x2+1绕原点O旋转180度，则旋转后的抛物线的函数关系式是(
).
A
.y＝-x2
B
.y＝-x2+1
C
y＝x2-1
D
y＝-x2-1
7..如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象
大致是（　　）.
8.已知关于的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ2＋７，当时，ｙ随ｘ的增大而增大，则ｍ的取值范围是　　　　
.
9.已知抛物线y＝ax2
与直线y=2x-3
交于点（1，k),
①求抛物线的函数关系式；
②将该抛物线向上平移5个单位，求所得抛物线的函数关系式，并写出对称轴和顶点坐标.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第5课时
二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质
【学习目标】1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用.
【学习重难点】掌握把抛物线平移至的规律，以及二次函数
y＝a（x-h）2的图像和性质.
【学法指导】仔细阅读教材11—13页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.抛物线y＝ax2的对称轴是
，顶点坐标是
，当a>0时，抛物线的开口向
，顶点是抛物线的最
点；当a<0时，抛物线的开口向
，
顶点是抛物线的最
点.
2.抛物线y＝ax2+k的对称轴是
，顶点坐标是
，当a>0时，抛物线的
开口向
，顶点是抛物线的最
点；当a<0时，抛物线的开口向
，
顶点是抛物线的最
点.
3.二次函数y＝ax2中的a决定开口的
和
.
4.在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2
，y＝(x＋1)2，y＝(x－1)2的图象．
解：先列表(图中已经画出了y＝x2的图像）
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y＝(x＋1)2
…
…
y＝(x－1)2
…
…
描点并画图
函数
开口方向
h的值
顶点坐标
对称轴
最值
增减性
y＝x2
y＝(x＋1)2
y＝(x－1)2
可以发现：把抛物线y＝x2向_____平移______个单位，就得到抛物线y＝(x＋1)2；
把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝(x－1)2.
抛物线y＝a（x-h）2是由抛物线y＝ax2
经过平移得到的，把抛物线作左右平移，
是对x作加减，规律是：左加右减.
①抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为___________________；
②抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为___________________；
③抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_______________；
④抛物线y＝－(x－1)x2向左平移2个单位后,得到的抛物线解析式为_______________。
⑤抛物线可以看作抛物线沿x轴向______平移____个单位得到。
⑥抛物线是由抛物线__________________向右平移２个单位得到的；
【展示互导】归纳y＝a（x-h）2的图像和性质：
y＝a（x-h）2的图像和性质
a>0
a<0
开口方向
对称轴
有最高（低）点
最值
当x＝__时，y有最
值,为____；
当x＝_
_时，y有最
值,为____；
增减性
【质疑互究】
将抛物线
y=-2x2
左右平移，使得它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B,若△ABO的面积为27，求平移后的抛物线的解析式。
【检测互评】
1.抛物线y＝2
(x＋3)2的开口______________；顶点坐标为______________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
2.把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
抛物线可以看作抛物线沿x轴向______平移____个单位得到.
3.抛物线是由抛物线__________________向右平移6个单位得到的.
4.写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式
___________________________．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第6课时
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式y＝a
(x－h)2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝a
(x－h)2＋k的性质；
3．会应用二次函数y＝a
(x－h)2＋k的性质解题．
【学习重难点】掌握二次函数y＝a
(x－h)2＋k的性质并会用它解题．
【学法指导】仔细阅读教材14—15页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－(x＋1)2－1
…
…
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－(x＋1)2－1
2.归纳：
y＝a（x-h）2+k的图像和性质
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
有最高（低）点
最值
当x＝__时，y有最
值,为____；
当x＝_
_时，y有最
值,为____；
增减性
将二次函数y＝－x2，y＝－(x＋1)2的草图画在上面的平面直角坐标系内，
（画草图时应注意图像的开口方向，对称轴，顶点坐标）观察这三个函数图像的关系：
把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．
4.抛物线y＝－3x2向左平移2个单位，再向上平移5个单位，就得到抛物线
.
【展示互导】归纳：抛物线y＝a（x-h）2+k与y=ax2的关系：
1.抛物线y＝a（x-h）2+k与y=ax2形状
，位置不同.
2.抛物线y＝a（x-h）2+k是y=ax2由平移得到的.（一般地,y=a(x-h) +k(a≠0)
的
图象可以看成y=ax 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位，再沿对称轴整体上
(下)平移|k|个单位
得到的).
3.二次函数图象的平移规律：左
右
，上
下
.
4.平移前后的两条抛物线值
.
【质疑互究】1.已知二次函数y=3(x-0.5)2+k的图象上有三个点，
则y1,y2,y3的大小关系为（
）
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C
y3>y1>y2
Dy3>y2>y1
2.已知抛物线y=(x+a)2+2a2+3a-5的顶点在坐标轴上，求a的值，并写出顶点坐标.
【检测互评】1.填表.
y＝(x＋4)2-5
y＝－3
(x－9)2＋1
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
增减性
2.把抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的函数关系式为
．
3.抛物线y=2（x+1）2-1向左平移2个单位，再向上平移4个单位,所得到的新抛物线的
函数关系式为
．
4.请选择一组你喜欢的a、h、k的值，使二次函数（）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的关系式可以是
.
5.二次函数的图象可由的图象（
）.
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
6．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．
7．若抛物线y＝a
(x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为
__________________．
8.在同一坐标系中，已知反比例函数y=与二次函数y=-(x-1)2+k的图像交于点A(-1,m).
①求m,k的值;
②求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第7课时
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
【学习目标】1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式.
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
【学习重难点】配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴
【学法指导】仔细阅读教材16—18页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.抛物线的顶点坐标是
；对称轴是直线
；
2.二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为
，
所以这种形式被称作二次函数的顶点式.
3.将二次函数顶点式化为一般式为
，
这两个二次函数形式虽不同，但图像特点及性质应该完全相同.因此要知道
抛物线
y=x2-2x+3的
图像和性质，只需要将一般式
y=x2-2x+3化为
顶点式
即可,抛物线
y=x2-2x+3的的顶点坐标是
，
对称轴是
.
4.先用配方法把二次函数
化成顶点式，画出大致图像，说出图像特点和性质.
【展示互导】我们可以把一个一般形式的二次函数用
的方法转化为
式，从而直接得到它的对称轴和顶点坐标及图象性质，这种方法叫配方法,要注意方程的配方和代数式配方的区别.
【质疑互究】
1.将二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式.
归纳：抛物线的顶点坐标是
；
对称轴是
.用顶点坐标公式和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法.
2.用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
①
②
③
【检测互评】
二次函数可变形为
，其图象开口
，
对称轴
，顶点坐标
，当x
时，y随x的增大而增大，
当x
时，y随x的增大而减小.
2.二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
3．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
4.
已知二次函数
①将它配方化为顶点式，写出对称轴和顶点坐标.
②在给定的直角坐标系中，画出这个函数的大致图象.
③求出图像与x轴的交点坐标。
④根据图象，写出当y
＜
0时，x的取值范围；
⑤若将此图象沿轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第8课时
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
【学习目标】1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；
2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．
【学习重难点】二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点，以及a，b，c，△＝b2－4ac对图象的影响.
【自学互助】
1.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数，当函数值y=0时：
对于解析式而言，函数就变成，这是一个一元二次方程.
对于图象而言，此时就是抛物线与x轴的交点.这就是说，
二次函数，当函数值y=0时，就变成了一个一元二次方程.
①如果抛物线与x轴有两个交点，这个方程就有两个不同的解，此时△＝b2－4ac_____0;
②如图抛物线与x轴只有一个交点，这个方程就有两个相同的解，此时△＝b2－4ac_____0;
③如果抛物线与x轴没有交点，这个方程就无解，此时△＝b2－4ac_____0;
④如果抛物线与x轴有交点,这个方程就有解，此时△＝b2－4ac_____0.
2.如果一元二次方程有解，就说明抛物线与轴有交点，此时这个方程的解就是抛物线与轴交点的_____________.
3.二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为__________，与x轴的交点
坐标为
．
4.
抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标为
．与x轴的交点坐标为____________．
5.已知二次函数y＝x2＋kx＋9．
①当k为何值时，对称轴为y轴；
②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．
6.
a、b、c的符号及△＝b2－4ac与二次函数图象的关系．
①
a的正负决定抛物线的开口
，a>0，
，a<0
时
；
决定抛物线的开口
，越大，则开口
.
②
c决定抛物线与y轴
，当c>0时，抛物线与y轴的交点在
当c<0时，抛物线与y轴的交点在
,当c=0时，抛物线经过
.
③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是
，故a和b同时决定
，当b=0时，对称轴是
，当a,b同号时，对称轴在
，当a,b异号时，对称轴在
，（即左同右异）.
④抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过几个特殊点：（
0，
），（1，
）,（-1，
）
【展示互导】
如图：
由图可得：a_______0
，
b_______0
c_______
0
，
△______0
【质疑互究】
1.已知抛物线的图象如图，
判断下列式子与0的关系.（填“”“”“”）
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
2.已知二次函数y=x2+(2m+1)x+m2的图象与x轴有两个交点.
（1）求m的取值范围；
（2）当这两个交点横坐标的平方和等于7时，求m的值.
【检测互评】
1.抛物线y=x2-5x-6
与y轴的交点坐标（
，
）；与x轴交点的坐标（
，
）和（
，
）.
2.抛物线y=-2x2+3x+2
与y轴的交点坐标（
，
）；与x轴交点的坐标（
，
）和（
，
）.
3．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．
4.若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有交点，求m的范围．
5.已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.
6.
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①
②当时，函数有最大值.③当时，函数y的值都等于0.
④其中正确结论的有
.
7.已知：二次函数y=2x2-4x-6，求：
（1）函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，
（2）求函数图象与y轴交点、与x轴交点坐标，并画出草图
（3）以此函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形的面积
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第9课时
二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法
【学习目标】1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式.
【学习重难点】根据已知条件选择合适的二次函数解析式.
【学法指导】仔细阅读教材22页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.二次函数有两种常见的书写形式：
①形如的形式称为二次函数的
式，顶点坐标为
，对称轴为
；
②形如的形式称为二次函数的
式；化为顶点式为
，顶点坐标为
，
对称轴为
；
2.已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
3.已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求抛物线的解析式.
【展示互导】
用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下方法：
1．已知抛物线过任意三点，通常设函数解析式为
；
2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为
.
【质疑互究】
形如的式子，就叫做交点式（或叫两根式，其中、
是抛物线与x轴的交点横坐标）.
已知抛物线与x轴的两交点为（－2，0）和（—1，0），且过点（1，－3）,
求抛物线的解析式.
归纳：已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另外一点，可设交点式求解析式.
【检测互评】1.如图1，抛物线的函数表达式是（　　
）
）
A．
B．
C．
D．
2.抛物线的顶点是（1，-2），且过点(2，3)，求二次函数关系式。
3.
已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
4.已知抛物线经过（3，0）、（—1，0）、（—2，2）三点，求抛物线的解析式
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第10课时
用函数观点看一元二次方程
【学习目标】1．知道二次函数与一元二次方程的关系．
2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断
二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．
【学习重难点】会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数
y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．
【自学互助】
1.已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程
__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数
__________________的函数值为3的自变量x的值．
一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0时
抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0,则二次函数y＝x2＋x－2的图象
与x轴有____个交点.
4二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．
5.如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________
6.如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________
【展示互导】.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．
球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
【质疑互究】
1．特殊代数式求值：
如图，看图填空：
①a＋b＋c______0
②a－b＋c_______0
③2a－b
_______0
④.4a＋2b＋c_______0
2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
①方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；
②方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；
③方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；
④不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；
⑤不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；
⑥不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．
【检测互评】
1.抛物线y=x2+2x
与直线y=3x+6
的交点坐标为
.
2．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．
3．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的
方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（
）
A．有两个不相等的正实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根
D．无实数根
5.根据图象填空：
=
1
\
GB3
\
MERGEFORMAT
①
a_____0；②
b_____0；③
c______0；
④
△＝b2－4ac_____0；
⑤
a＋b＋c_____0；
⑥a－b＋c_____0；
⑦
2a＋b_____0；
⑧
方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；
⑨当y＞0时，x的范围为___________；
⑩当y＜0时，x的范围为___________；
6．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：
①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；
③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第11课时
实际问题与二次函数
(几何问题中的最值问题）
【学习目标】1.在实际问题中找出变量之间的二次函数关系;
2.会利用二次函数的知识求几何问题中的最值.
【学习重难点】把实际问题转化为数学问题，并用利用二次函数的知识求几何
问题中的最值.
【学法指导】仔细阅读教材19—20页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，
将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________.
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
3．抛物线y＝x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
4.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，设矩形一边长为xm，矩形面积为S㎡，
①求S与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围.
②当x是多少时，场地的面积S最大？
5.如图，在△ABC中，已知BC=20㎝，BC
边上的高AD=16㎝,
在三角形内截取一个面积最大的矩形，并且使它的一边在BC上，求此时矩形的长和宽.
【展示互导】利用二次函数求几何图形的最大面积的一般步骤：
引入自变量
2.用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量，
3.根据几何图形的特征，列出面积的计算公式，并用函数表示这个面积。
4根据函数关系式，求出最值，以及取得最值的自变量的值.（注意是否在自变量的取值范围内）
【质疑互究】
已知二次函数y=x2+bx+c,图像的对称轴为直线x=1,且经过点（2，-）
①
求此二次函数的解析式
②
设该图像与x轴交于B,C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图像上确定一点E，使得△EBC的面积最大，并求出最大面积。
【检测互评】
1.若小敏用一根长8㎝的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积
.
2.等腰梯形的周长是60㎝，底角是60度，当梯形的腰x=
时，梯形的面积最大，
最大面积是
㎝2.
若把一根120㎝的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，则它们的面积和的
最小值为
.
如图，要用长为40m的铁栏杆，一面靠墙，围城一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成
的花圃面积最大？
5.一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第12课时
实际问题与二次函数(商品价格调整问题)
【学习目标】1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；
2．应用二次函数的性质解决问题．
【学习重难点】分析商品经济等问题中的数量关系，从中构建出二次函数模型.
【学法指导】独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.已知二次函数y=-(x-3)2+5
①
若x为任意实数，y最大值=
，y有最小值吗？
（填有或无）.
②
若1≤x≤7时，y最大值=
，y最小值=
.
③
若-2≤x≤1，y最大值=
，y最小值=
.
④
若0，y最小值=
.
2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
问题分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
解：若每件涨价x元，则每件的利润为
元；每星期的销售量为
件；所获利润是
元.设所获得利润为y元，则有y=
，即y=
.
自变量x的取什范围是
.
若每件降价x元，则
【展示互导】利用二次函数求最大利润问题时，一般是利用二次函数的
坐标求最大值，但有时顶点横坐标不在
内要结合图像，所以应在自变量的范围内找图像的最高点或最低点，从而求出函数的最大值或最小值.
【质疑互究】
某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？
【检测互评】
1.已知二次函数y=(x-1)2+2,当x
时，y随x的增大而增大，
当x
时，y随x的增大而减小，当x=
时，y有最
值是
.
已知两个数的和为60，若设其中一个为x，这两个数的积为y，则y与x之间的函数
关系式为
，当x
=
时，y有最
值是
.
3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴为直线x=1，且该抛物线经过（-1，y1),(2,y2),
则y1
y2（填“>”,"<”或=）
4.一个小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t(秒）满足下面的函数关系式：
h=-5(t-1)2+6,则小球距离地面的最大高度是
.
5.当x≥3时，二次函数y=2x2-4x+1的最小值是
.
6.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.
①假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请你写出y与x的之间的函数关系式，并注明x的取值范围；
②每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少（注：销售利润=销售收入－购进成本）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第13课时
实际问题与二次函数(桥洞水面宽度问题）
【学习目标】1.会建立适当的直角坐标系解决实际问题；
2．会解决桥洞水面宽度问题．
【学习重难点】把实际问题转化为数学问题，建立直角坐标系解决实际问题.
【学法指导】仔细阅读教材26—27页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】如图中的抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水面下降1米，水面宽度增加多少？
分析：
以抛物线形拱桥的顶点为坐标原点，以拱桥的对称轴
为y轴建立直角坐标系．
此时，可设抛物线的解析式为
，其中有
个待定的系数，抛物线上有
已知点，能确定抛物线的解析式吗？水面下降1米时，水面的纵坐标是
，求此时水面的宽度就是求
，水面的宽度增加就是求哪两者的差？
解：
（2）如果以水面l所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系呢？请你试着解决这个问题.
提示：建立适当的直角坐标系，能使解决问题的过程简化.
【展示互导】.某市要在购物中心的门前广场建一个喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱OA，O恰在水池中心，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水，连喷头在内，柱高OA=1.25米，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路线落下，在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计要求水流在到OA的水平距离为1米的D点上方达到距水面最大高度CD=2.25米，如果不计其它因素，那么水池的半径OB至少要多少米，才能使喷出的水流不落到池外？
【质疑互究】
一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
（2）求支柱MN的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
【检测互评】1.某菜农搭建了一个横截面为抛物线形的大棚，有关尺寸如图所示。
⑴现建立如图所示的平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；
⑵若菜农身高为1.60米，则她在不弯腰的情况下，横向活动范围有几米？
（结果精确到0.01米）
2.要修建一个圆形喷水池，池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？(提示：建立如图所示的直角坐标系)
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第14课时
二次函数综合应用
【学习目标】灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．
【学习重难点】灵活运用二次函数的性质解决问题．
【学法指导】独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（
）
2．如图：
（1）当x为何范围时，y1＞y2
（2）当x为何范围时，y1＝y2
（3）当x为何范围时，y1＜y2
3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．
4．若A（－，y1），B（－1，y2），C（，y3）为二次函数y＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（
）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
5．抛物线y＝(x－2)
(x＋5)与坐标轴的交点分别为A、B、C，则△ABC的面积为__________．
【展示互导】
已知函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于点A(1,0),B(-3,0)两点，
①求该函数表达式.
②设（1）中的函数图像交y轴于点C，在该函数图像的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小，若存在，求出Q点坐标，若不存在，说明理由.
③（1）中抛物线的图像在第二象限内是否存在一点P,使△PBC的面积最大，若存在，求出P点坐标以及△PBC的最大面积，若不存在，说明理由.
【质疑互究】
※如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
①求A、B
两点的坐标及直线AC的函数表达式；
②P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
③点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【检测互评】如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
（1）求点P从点A运动到点D所需的时间．
（2）设点P运动时间为t（秒）
①当t＝5时，求出点P的坐标．
②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第15课时
知识回顾
【学习目标】复习二次函数的相关知识
【学习重难点】二次函数的综合运用
【学法指导】仔细阅读教材31页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.形如y=
的函数叫二次函数，其中a,b,c,为常数且
.
我们可以用
或
或
表示二次函数.
二次函数的图像是一条
，对称轴是
顶点坐标是
.
抛物线中a,b,c的作用：
①
a的正负决定抛物线的开口
，a>0时，
，a<0
时，
，
决定抛物线的开口
，越大，则开口
.
②c决定抛物线与y轴
，当c>0时，抛物线与y轴的交点在
当c<0时，抛物线与y轴的交点在
,当c=0时，抛物线经过
.
③抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是
，故a和b同时决定
，当b=0时，对称轴是
，当a,b同号时，对称轴在
，当a,b异号时，对称轴在
，（即左同右异）.
④抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过几个特殊点：（
0，
），（1，
）（-1，
）
⑤抛物线与x轴有两个交点
，
抛物线与x轴有一个交点(顶点在轴上)
抛物线与x轴没有交点
抛物线与x轴有交点
5..求抛物线的顶点、对称轴的方法：
，
.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)
，.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)
：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(3)
：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.
7.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
当时
当时
8.直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为
.
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,
).
(3)抛物线与轴的交点
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的
来判定：
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点个数，由方程ax2+bx+c=kx+n的解的个数来确定：
①方程组有两组不同的解时与有
;
②方程组只有一组解时与
；
③方程组无解时与
(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故
【展示互导】二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
【质疑互究】
思想方法总结：数形结合的思想，数学建模的思想
【检测互评】教材32页复习题A组，B组.
（6）
图1
400
300
60
70
Ｏ
y(件)
x(元)
图1
A华东师大版九年级上册“五环四互”教学模式数学导学案
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
第二十二章
一元二次方程
第1课时
22.1
一元二次方程（1）
【学习目标】
1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2.理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
【学习重难点】一元二次方程的概念和由实际问题列出一元二次方程,准确认识一元二次方程的二次项系数以及一次项系数还有常数项。
【自学互助】自学教材18页--19页。
1.
自学18页问题1，走进一元二次方程。
分析：现设绿地的宽为x米，
则可列出方程
整理得_______________________
2.自学问题2
设这两年的年平均增长率为x，
可列方程_________________________
整理得_________________________
3.一元二次方程的定义：一个整式方程经过整理后只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是______,的方程叫做一元二次方程。
4.一元二次方程的一般形式：_______________________________,其中
是二次项系数，
是一次项系数，
是常数项
【展示互导】
例题1：判断下列方程是否为一元二次方程。
（1）
（2）
例题2：把下列方程化为一般形式，并指出二次项系数，一次项系数，常数项。
(1)
(3)
例题3：若关于x的方程的一元二次方程，则m的值是多少？
例题4:若一元二次方程的一个根是0，求a的值.
【质疑互究】1.一元二次方程的三个条件：
_________________、______________、___________________
2.一元二次方程化为一般形式时，方程右边必须等于_________
3.一元二次方程的二次项系数不能等于_____________________
【检测互评】
1.判断下列方程是否是一元二次方程;
（1）（
）
（2）
(
)
(3)
（
）
(4)
(
)
(5)(
)
（6)
(
)
2.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）7x－3=2x2;
3.要使是关于x的一元二次方程，求k的值.
4.若一元二次方程的一个根是0，求m的值.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第2课时
22.2
二元一次方程的解法
（1）直接开平方法
【学习目标】
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如=p(p≥0)或（mx+n）=p(p≥
0)的方程
2.理解一元二次方程解法的基本思想及其与解一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
【学习重难点]1.掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
2.理解并应用直接开平方法
解特殊的一元二次方程。
【自学互助】
1.平方根的意义:如果,那么。如:如果,那么
。
2.完全平方式:式子叫完全平方式,______________
3.若，则
或
，也就是说方程有两个解，通常记为，
。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
4.试一试：用直接开平方法解方程
（1）
（2）2、2x2=6
（3）(2x+1)2=8
【展示互导】
1.如果方程能化成=p或（mx+n）=p(p≥
0)形式，那么可用直接开平方求方程的解。
2.用直接开平方解一元二次方程的步骤
（1）将方程化为形如=p(p≥0)或（mx+n）=p(p≥
0)的形式
（2）将方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程。
（3）解这两个一次方程
（4）写出一元二次方程的两个解
【质疑互究】
1.若可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是____________________
2.解该方程
(1).
(
2)、
【检测互评】
1、填空题
（1）方程x2=16的根是x1=__________,x2=__________.
（2）若，则x1=_________,x2=__________.
（3）若9x2－25=0，则x1=__________,x2=__________.
2、选择题
（1）方程5x2+75=0的根是（
）
A.5
B.－5
C.±5
D.无实根
（2）方程3x2－1=0的解是（
）
A.x=±
B.x=±3
C.x=±
D.x=±
（3）已知方程ax2+c=0(a≠0)有实数根，则a与c的关系是（
）
A.c=0
B.c=0或a、c异号
C.c=0或a、c同号
D.c是a的整数倍
3、解方程
（2）3x2-
HYPERLINK
"http://"
EMBED
Equation.DSMT4
=0
（3)
4、已知方程的一个根是x=3，求k的值和另一个根。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第3课时
解一元二次方程(2)因式分解法
【学习目标】
1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）解某些简单数字系数的一元二次方程。
2．根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
【学习重点、难点】
重点：应用分解因式法解一元二次方程
难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.
【自学互助】
1.已经学过因式分解的方法：________________、______________、_______________
2.将下列多项式进行因式分解
（1）
=
（2）=
（3）=
（4)
=
(5)=
3.解一元二次方程的思想是_________,把一元二次方程化为________________方程.
4.如果，则a=_______或b_______。如，那么或
____________，即或________。
5.试一试，用因式分解法解下列方程
（1）
（2）
（3)
【展示互导】、因式分解法解一元二次方程的一般步骤
（1）将方程右边化为
（2）将方程左边分解成两个一次因式的
（3）令每个因式分别为
，得两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
【质疑互究】
（1)
(2)
【检测互评】
1．方程的根是
。方程的根是__________
2．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（
）
A．-1，2
B．1，-2
C．0，-1，2
D．0，1，2
3．方程（x+4）（x-5）=1的根为（
）
A．x=-4
B．x=5
C．x1=-4，x2=5
D．以上结论都不对
4.三角形的两边长分别是3和4，
第三边的长是方程的解，则第三边的长是__________
5.因式分解法解下列方程
(1)
（2）x2-2x=0
（3）3x2-6x=-3
（4）4x2-121=0
(5)
(6)
6.已知三角想的两边分别为3和8，第三边是方程x(x-7)-10(x-7)=0的一个根，求这个三角形
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第4课时
一元二次方程的解法----配方法
【学习目标】
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
【学习重难点】1、用配方法解一元二次方程。2、配方的过程。
【自学互助】
自学P25-27
1.配方填空：
（1）x2＋6x＋（
）＝（x
＋
）2；
（2）x2－8x＋（
）＝（x
－
）2；
（3）x2＋x＋（
）＝（x
＋
）2；
2.解方程
3.你能把方程转化成第二题的形式吗？试一试
4.配方法：将一元二次方程通过配方变为的形式，然后利用直接开平方的方法来解得方法。
例题1:用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；　　　　
　（2）
【展示互导】用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
【质疑互究】
用配方法求出下列代数式的最小值或最大值
1、
2、
【检测互评】
1.用配方法解方程：
(1)
x2－6x＋1＝0；
(2)
（3）（x-2）（x+5）＝8；　　　
2.则（
）、
A、
B、
C、
D、无法确定
3.已知的值。
4.
已知代数式x2-5x+7,先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第5课时
一元二次方程的解法
——
公式法
【学习目标】
1.经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程；
3.进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
【学习重难点】1、用公式法解简单系数的一元二次方程；2、推导求根公式的过程。
【自学互助】复习提问：
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
2.用配方法解方程3x2-6x-8=0;
3.你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
推导公式
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得
x2＋x＝________，
配方，得
x2＋x＋______＝______－,
即
(____________)
2＝___________
因为
a≠0，所以4
a2＞0，当b2－4
ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以
x＝_______________________
即
x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0的求根公式：
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入公式，就可以求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
【展示互导】
b2－4ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？
例题：（1)
(2)
(3)
【质疑互究】
1
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
2
当b2－4ac＝0时，方程有＿＿个＿＿＿的实数根，此时x1＝x2＝＿＿＿＿＿
3
当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
【检测互评】
1.（1)在方程中，=（
）
(2)方程(2x-1)=-4中，a=（
）,b=（
）,c=（
）.
(3)方程3x-2x+4=0中，=（
）,则该一元二次方程（
）实数根。
（4）不解方程，判断方程x-4x+4=0的根的情况（
）
（5）若x=0是方程的解，则m的值=（
）
2.应用公式法解下列方程:
(1)
x2－6x＋1＝0；
（2）
（3）
　　　
3.三角形两边长分别是3和5，第三边的长是方程的根，求证：此三角形是直角三角形。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第6课时
一元二次方程根的判别式
【学习目标】
1.知道什么是一元二次方程根的判别式；
2.知道一元二次方程根的判别式的应用。
【学习重难点】：重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；
难点：根的判别式的变式应用。
【自学互助】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件
b2－4ac___0时才有实数根
回顾上堂课内容我们知道一元二次方程的根有三种情况：
1
当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）
②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根
③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.
精讲点拨
这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝＿＿，直接判断它＿＿＿＿实数根；
【展示互导】方程根的判别式应用
例题1、不解方程，判断下列方程根的情况。
（1）x2＋2x－8＝0；
（2）5x2＝4x－1；
（3）x（3x－2）－6x2＝0；　　　　　　　　
例题2．说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根.
例题3：关于x的方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围？
【质疑互究】
1、
使用一元二次方程根的判别式应注意哪些事项？
1、
列举一元二次方程根的判别式的用途。
【检测互评】
1、方程x2-4x＋4＝0的根的情况是（
）
A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；
C.有一个实数根；
D.没有实数根.
2、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（
）
A．x2＋1＝0
B.
x2+x-1＝0
C.
x2+2x＋3＝0
D.
4x2-4x＋1＝0
3、若关于x的方程x2-x＋k＝0没有实数根，则（
）
A.k＜
B.k
＞
C.
k≤
D.
k≥
4、关于x的一元二次方程x2-2x＋2k＝0有实数根，则k得范围是（
）
A.k＜
B.k
＞
C.
k≤
D.
k≥
5、ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.
6、说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第7课时
一元二次方程的根与系数的关系
【学习目标】
1.掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值。
2.通过对一元二次方程根与系数关系的探讨，经历和体验数学的发现过程，提高探究性学习的能力。
【学习重难点】运用根与系数的关系求相关待定系数的值。
运用根与系数的关系解题必须是在b2-4ac≥0的情况下。
【自学互助】
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的解法有几种？
3.如何判断一元二次方程根的情况？
4.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
5.解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
（1）－2x＝0；（2）　＋3x－4＝0；（3）　2－5x-7＝0．
方程
　－2x＝0
＋3x－4＝0
2－5x-7＝0
6.请根据以上表格中的观察、发现进一步猜想：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是、，则=
，=
，并加以证明。（分组交流、讨论，然后小组归纳总结）
应用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x=
，可以分别求出与的值。
一般地，如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
有两个根x1、x2
，那么：
,
.这就是一元二次方程根与系数的关系。
【展示互导】1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①-3y+1=0
②
3-2x=2
③2+3x=0
④4p(p-1)=3
2.已知关于方程的一个根是2，求另一个根和m的值？
【质疑互究】
设是方程的根，利用根与系数的关系求下列各式的值
（1)
(2)
(3)
【检测互评】
1.已知、是方程2+3x-4=0的两个实数根，则+
+的值是____。
2.已知、是方程-x-3=0的两个实数根，则=
,
=
.
3.若方程x2+px+2=0的一个根是2，则另一个根是
，p=
.
4.若一个二元一次方程的两个根为-3和5，这个方程可以为____________________.
5.已知、是方程-2x-3=0的两个实数根，求
（1）的值
（2）的值
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第8课时
一元二次方程的解法（习题课）
【学习目标】能结合具体问题选择合理的方法解一元二次方程，培养探究问题的能力和解
决问题的能力。
【重点难点】选择合适的方法解一元二次方程，使运算简便。
【自学互助】
我们已经学习了几种解一元二次方程的方法？
【展示互导】选择你认为简单的方法解下列方程
（1）
（2）
(3)3x2-24x=0
（4）
（5）
【质疑互究】
请说出每种解法各适合什么类型的一元二次方程？
【检测互评】
1.你认为下列方程你用什么方法来解更简便。
（1）12y2－25＝0；
（你用__________法）
（2）
3x2＝4x.
（你用__________法）
（3）x（x＋1）－5x＝0；（你用________法）
（4）x2－6x＋1＝0；（你用________法）
（5）3x2＝4x－1；（你用___________法）
（6）x2-10x+24=0
（你用__________法）
2.用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x；　　　（2）（x＋3）2＝1；
（3）x2＋(＋1)x＝0；
（4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝；　（6）x（x＋8）＝16；
（7）x2＋2x－8＝0；
　　（8）3x2＝4x－1；
（9）（2x－3）2＝x2.
拓展提高
1.已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，则
x2+y2
的值是（
）
（A）3或-2
（B）
-3或2
（C）
3
（D）-2
2.试求出下列方程的解：
（1）(x-x)-5(x-x)+6=0
（2）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第9课时
23.3实践与探索---面积问题
【学习目标】
1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，进一步培养分析问题和
解决问题的能力。
2.会运用方程模型解决面积问题，并能求出最大面积。
【学习重点难点】一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题；会用含未知数的
代数式表示等量关系，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理。
【自学互助】
自学教材第38页问题1
方法一：设小道的宽为x米，（长方形的面积减去两条小道的面积，然后再加上减重叠的小正方形）
则可列出方程
方法二：
（思考：如果设想把小道平移到两边，如38页右图）
则可列出方程
【展示互导】解几何图形方面的应用题注意事项（1）画出示意图（2）熟练的运用面积和体积公式（3）用一元二次方程求出的解要符合实际意义，补满足的条件要舍去
【质疑互究】
我校准备建一块长30m，宽20m的长方形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少？（注：所有的小道的宽度一样，且每段小道均为平行四边形）
【检测互评】
1.一个面积为35m2的矩形花圃，它的长比宽多2m，求这个花圃的长是多少？
2.利用墙为一边，另三边的周长为33m的竹篱笆围成一个面积为130m2的长方形花坛，已知墙宽为15m，那么花坛的长与宽为多少时，才能使竹篱笆恰好合适？
3.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540,求道路的宽。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第10课时
增长率问题
【学习目标】
1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理，进一步培养分析问题和解决问题的能力。
2.会运用方程模型解决增长率问题，
3.了解增设辅助未知数的方法，明确辅助未知数的作用。
【学习重难点】：运用一元二次方程知识解决增长率的问题。难点：设辅助未知数。
【自学互助】
某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？
【质疑互究】
某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么两年中产值的平均年增长率应是多少？
温馨提示
①产值翻一番，意味着产值为原来的两倍。
②产值和平均年增长率都是未知数，其中产值是一个辅助未知数，列出方程后，辅助未知数自动消去。
【检测互评】
1.（1）某磷肥厂今年一月份的磷肥产量为4万吨，若二月份的产量增长率为x,则二月份产量为（
）,若三月份的产量的增长率是二月份的两倍，则三月份的产量为（
）。
（2）某林场现有的木材蓄积量为立方米，预计在今后两年内木材蓄积量的年平均增长率为,那么两年后该临场木材蓄积量为（
）立方米。
2.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
3.为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积有现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增产率为多少？
4.某市2016年国内生产总值(GDP)比2015年增长了12％，由于受国际金融危机的影响，预计今年比2017年增长7％，求这两年的GDP年平均增长率为多少？（只列方程,不解答）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第11课时
销售问题
【学习目标】
掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．
【学习重难点】
1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．
2．难点与关键：某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况．
【自学互助】
某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？
（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？
（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？
（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？
【展示互导】
一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，求这个小组共有多少人．
【质疑互究】
将进价40元的商品按50元出售时，每月能卖500个，已知该商品每涨价2元，其月销售额就减少20个，为保证每月8000元利润，单价应定为多少？
【检测互评】
1.某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提
高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增
加15.2%，那么应多种多少棵桃树
2.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第12-13课时
一元二次方程（复习课）
【学习目标】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
【学习重难点】
1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
【自学互助】
1．方程中只含有
未知数，并且未知数的最高次数是
，这样的
方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________
(
)其中二次项系数是
、一次项系数是
常数项
。
例1：
1、一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是___________________其中二次项系数是
、一次项系数是
常数项是
。
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________________
（2）
（3）
（4）求根公式法，求根公式是
___________________________________________
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）的根的判别式是
，当
时，它有两个不相等的实数根；当
时，它有两个相等的实数根；当
时，它没有实数根。
4.一元二次方程根与系数的关系，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）的两个根分别为x1，x2
则x1
+x2=
；x1
·x2=
例2：不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)
x(5x+21)=20
(2)
x2+9=6x
(3)x2
—3x
=
—5
例3：方程2x2+3x
—2=0的两个根分别为x1，x2
则x1+x2=
；x1·x2=
例4：已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
【展示互导】
例5：解下列方程:
(1)2
x2＋x－6＝0；
(2)
x2＋4x＝2；
(3)5x2－4x－12＝0；
(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.
（5）（x＋1）（x－1）＝
（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
【质疑互究】
例6：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2
—（2m+1）x+m=0,当m取何值时：
（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
【检测互评】
1．关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是
2．已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是0和－3，则p=_______和
q=______
3．m取什么值时，关于x的方程2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0有两个相等的实数根？
求出这时方程的根.
4．解下列方程：（1）
x2＋(＋1)x＝0；
（2）（x＋2）（x－5）＝1
；(配方法）
（3）3（x－5）2＝2（5－x）。
（4）
5.说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实数根。
6.已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值
7.已知关于x的方程有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不
存在，请说明理由。
8.已知关于x的一元二次方程有两个实数根
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得成立？如果存在，求出k的值；如果不
存在，请说明理由。
9.已知关于x的一元二方程。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC时等腰三角形时，求k的值。
(
b2－4
ac≥0)
第
1
页
共
144
页华东师大版九年级上册“五环四互”教学模式数学导学案
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
第24章
解直角三角形
第1课时
24.1
测量
【学习目标】利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
【学习重难点】探索测量距离的几种方法。选择适当的方法测量物体的高度或长度
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
设疑：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你会怎么办？我们能否用学过的知识来解决这个问题呢？
1、交流讨论
2、小组发言：
探究一：利用太阳光下的影子测量旗杆高度
如图25．1．1，选一名同学与旗杆一样立于操场阳光下。
思考：（1）图中的两个三角形相似吗？为什么？
（2）根据实际情况，两个三角形中有哪些边长可以直接测量出来？你用的测量
工具是什么？
（3）本题中需要测量哪些边长就可以算出旗杆的高度？
(4)你是利用什么知识来计算旗杆高度的？
通过上面的探究，你能设计出用这种方法测量旗杆高度的方案吗？
但是如果就你一个人，又遇上阴天，这种方法还能用吗？
探究二：利用测角仪测量旗杆的高度
如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．（可让学生看99页的导图理解）
你知道计算的方法吗？（提示：先测量出教材上图25．1．2中B′C′的长度）
【展示互导】测量的关键是将实际问题转化为数学问题
【质疑互究】小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
【检测互评】
1.某一时刻，身高1.6m的小红在阳光下的影长是0.4，同一时刻同一地点，
2.测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（
）
3.如图，一棵树被台风吹得从A处拦腰折断，树梢地点B距离树的
底部C的长为6米，并且测得它与地面所成的角为45°，则树高为（
）
4.如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，
OB中点D，测得CD=31.4m
求AB长。
(AB=62.8m)
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第2课时
24.2
直角三角形的性质
【学习目标】1.巩固掌握直角三角形边与边之间以及角与角之间的关系
2.学习掌握直角三角形性质3
【学习重难点】直角三角形性质3以及运用
【自学互助】自主学习教材102-103页，完成填空直角三角形的性质
1.
2.
3.
讨论证明：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
讨论证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的一半。
如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°,如果∠A＝30°,那么BC与斜边AB有什么关系呢？为什么？
【展示互导】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的
角等于30°.
【质疑互究】如图所示：直角三角形ABC中，已知∠ACB=900，∠A=300,，CD=1，求S△ABC的值？
【检测互评】
1.直角三角形斜边上的高与中线分别是4和5，则它的面积是________
2.如右图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4,∠B＝15°,
那么腰上的高CD的长为
。
3.如图Rt△ABC中，ACB＝90o，AC＝5，BC
＝12，
斜边上的中线CD的长___________
4.如图所示，∠BAO＝90°,OA＝OB,点A的纵坐
标是2。求点B的坐标_________________
5.如图，将一长方形纸条ABCD按图示折叠，且已知
BC＝,∠BDC＝30°,那么DE的长
6.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，请你观察并猜想：MN与DE有什么样的位置关系并说明理由。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第3课时
24.3.1
锐角三角函数（1）
【学习目标】1.正弦、余弦、正切、余切的定义。
2.正弦、余弦、正切、余切的应用。
【学习重难点】
正弦、余弦、正切、余切的应用。
【自学互助】
自学教材105-107页。
1.了解直角三角形的角的对边，邻边，斜边。
2.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，对于锐角A有sinA＝________，cosA＝________，tanA＝_________，
cotA＝_____________．sinA、cosA、tanA、cotA分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=8,BC=6，AB=10，
试求出sinA，tanA
，cosB
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=15,BC=8，试求出∠B的三角函数值
【展示互导】小组内讨论
（1）取值范围：
＜sinA＜
，
＜cosA＜
，tanA＞
（2）平方关系式：＝
，tanA·cotA＝
。
（3）互余关系：
，
.
（4）相除关系：，cotA＝
1、已知锐角θ满足，则θ=_________
2、已知∠A为锐角，sinA＝2m-4,则m的取值范围____________
【质疑互究】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么求sin∠ACD
注意：同角或等角的三角函数值相等：
【检测互评】
1.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，
求sinB=_______，cotB=______
2.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、
∠C的对边，则有（?
）
A．?B．?C．?D．
3.在直角三角形ABC中，∠C=90，sinA=，求cosA的值________。
4.
在中，∠C＝90°，如果cos
A=那么的值为（?）
A．?B．?C．?D．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（
）
6．sin272°+sin218°的值是（
）．
A．1
B．0
C．
D．
eq
\f(,2)
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第4课时
24.3.1
锐角三角函数（2）
【学习目标】理解运用特殊锐角三角函数值
【学习重难点】1.掌握特殊锐角三角函数值。
2.理解并掌握特殊锐角三角函数值的应用方法。
【自学互助】
1.知识回顾：“在一个直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”，
2.（1）对于特殊角的三角函数值，可结合下图中的数据和各函数的定义来加以计算，从而记住结果：
30°
45°
60°
siaA
cosA
tanA
（2）通过30，45，60的三角函数值，我们可以得到如下规律：
在0～90之间，一个锐角A的正弦值（正切值）随角度的增大而_________。
在0～90之间，一个锐角A的余弦值
随角度的增大而__________
【展示互导】计算：
(1)Sin60-cos45
(2)
cos60+tan60
(3)sin30+cos30
(4)tan60-tan30
（5）cos260°+sin260°
（6）-tan45°．
【质疑互究】
（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
【检测互评】
1．下列各式中不正确的是（
）．
A．sin260°+cos260°=1
B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55°
D．tan45°>sin45°
2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（
）．
A．2
B．
C．
D．1
3．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（
）
A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°
C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°
4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=
eq
\f(,2)
，则△ABC的形状是（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形C．锐角三角形
D．不能确定
5．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．当锐角a>60°时，cosa的值（
）．
A．小于
B．大于
C．大于
eq
\f(,2)
D．大于1
7．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC的形状（
）．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=
eq
\f(,2)
，则cosA=________．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第5课时
24.3.2锐角三角函数（3）
【学习目标】掌握用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的方法。
【学习重难点】重点:用计算器求任意一个锐角的三角函数值以及用计算器通过一个锐角
的三角函数值来求出这个锐角的度数。
难点：由角的度数求出它的相应函数值以及由函数值确定角的度数时的按
键顺序的掌握，同时应注意有“度、分、秒”的使用方法。
【自学互助】
自学课本109-110页，记住用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的步骤，时间10分钟。
1.同桌之间讨论求一个锐角余切值的理论根据和操作方法，以及已知一个锐角的余切值求这个锐角的操作方法。
2.同桌之间互相检查课本中例题的操作过程是否准确，相互指出错误加以改正。
1.求已知锐角的三角函数值
（教材例题3）
求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）
解
先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：　
(SETUP)
显示
再按下列顺序依次按键：　
显示结果为0．897859012．
所以sin63°52′41″≈0．8979．
【展示互导】求cot70°45′的值．（精确到0．0001）
解
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示
），按下列顺序依次按键：
　
显示结果为
．
所以cot70°45′≈
．
2.由锐角三角函数值求锐角
【质疑互究】
已知cotx＝0．1950，求锐角x．（精确到1′）
分析：根据，可以求出tanx的值，然后根据课本中的例5的方法就可以求出锐角x的值．
【检测互评】
1.用计算器求下列各式的值
（1）sin67°38′24″;
(2)tan63°27′;
(3)cos18°59′27″.
2.根据下列条件求∠A的度数（用度分秒来表示）：
（1）cos∠A=0.6753;
(2)tan∠A=87.54;
(3)
sin∠A=0.4553.
3.一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4米，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5米，求梯子与地面所成的锐角。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第6课时
24.4
解直角三角形(1）
【学习目标】
1.知道“解直角三角形”的概念，理解三边之间、两锐角之间、边角之间的关系；
2.能运用三角函数解决简单的边、角计算问题；
【学习重难点】灵活运用三角函数解决实际问题。
【自学互助】
1.直角三角形中的边、角关系(看右图填空）
(1)三边之间的关系：________________
（2）两锐角之间的关系：___________；
(3)边角之间的关系：sinA=____，cosA=_______，tanA=_______，cotA＝_____________。
2.在直角三角形中，知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以运用上述关系求出其余的3个未知元素。
3.在直角三角形中由的_________元素（至少有一个边），求出________元素的过程，即解直角三角形
4.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为
a、b、c，且b=，a=，解这个三角形
【展示互导】
解直角三角形，只有下面两种情况：　
（1）　已知两条边；
（2）　已知一条边和一个锐角．
即：除直角外的5个元素（3条边和2个锐角）只要知道其中的2个元素（至少有一个元素是边），就可以求出其余的3个元素。
【质疑互究】
等腰三角形顶角∠A=120°，高AD=3，则这个三角形的周长是_____
A、18
B、12+6
C、2
D、8
【检测互评】
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
2.Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3.在Rt△ABC中，sinA=sinB，则A与B_______
A、相等
B、互补
C、互余
D、相等或互补
4.△ABC中，∠C=90°，cosA=，a=12，则斜边上的中线长_________。
5.△ABC中，∠C=90°，a=，c=2，解这个直角三角形。
6.如图的锐角三角形△ABC中，∠A=75°，∠C=45°，
AB=6，求△ABC的面积。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第7课时
24.4
解直角三角形（2）
【学习目标】能用“解直角三角形”的知识与方法解决与视角（俯角、仰角）有关的实际应
用问题；
【学习重难点】运用“解直角三角形”解决实际问题，抽去实际意义，建模“直角三角形”。
【自学互助】1.由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做
解直角三角形。
2.“解直角三角形”的运用：
有一些实际问题，情况复杂、叙述较多，貌似难解。如果我们忽略其实际意义，按照题目所提供的数据处理，可画出纯数学问题的图形；再用所学的知识与方法便能解决问题。
3.看教材113-114页
视线与观察点的水平线构成的夹角：
叫仰角
叫俯角。
如图，在一次数学课外实践活动，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【展示互导】左图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.
【质疑互究】
如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．
（取＝1.732，结果精确到1m）
温馨提示：有近似数要求的，要按要求取舍；没有近似数要求的，可用含根号等的代数式表示结果
【检测互评】
1.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=2，
则△ABC的周长是
_______。
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3，AC=10，则S△ABC=____
A、3
B、300
C、
D、150
3.如图6，四边形MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB相交于F。已知sin,求tan
的值________
4.在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60°方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距
m.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第8课时
24.4
解直角三角形（3）
【学习目标】1.理解坡度、坡角的概念
2.继续巩固解直角三角形的知识，提高学生的应用能力。。
【学习重难点】重点:
锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用
难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【自学互助】自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念，时间为8分钟。
坡度：___________________________________________________
坡角：__________________________________________________
坡度越大，坡角就______,坡面就______________
【展示互导】如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,
求此斜坡的坡度和坡角.
【质疑互究】
水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.
求坡角∠ABC的大小.（自己画图，建模）
【检测互评】
1．如图，一水库迎水坡AB的坡度︰，则该坡的坡角HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"=
。
2．小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了__________m。
3.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（　　）
　
A．
9m
B．
6m
C．
m
D．
m
4.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（　　）
A．
26米
B．
28米
C．
30米
D．46米
5.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为
A．
B．
C．
D．
h·sina
6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第9课时
第24章《解直角三角形》复习测试
一、填空题
1.若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为
；
2.若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积是
；
3.在△ABC中，∠C=900，a=6，b=8，则sinA=
；
4.在△ABC中，∠C=900，sinB=，则cosB=
；
5.若sinα=，则锐角α=
度；
6.在Rt△ABC中，∠C=900，a=20，b=，则∠B=
度；
7.在Rt△ABC中，∠C=900，sinA=，AB=10，则AC=
；
8.在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角为600，则大楼高
m；
9.在电线杆离地面8m的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成600角，则需要缆绳
m（打结部分不计）；
10.一个斜坡的坡度是1：3，高是4m，则他从坡底到坡顶部所走的路程是
m；
二、选择题
11.直角三角形的两条边长分别是3、4，则第三条边长是（
）
A、5
B、7
C、
D、5或
12.如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（
）
A、sinα=
B、cosα=
C、tanα=
D、
cotα=
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，
则cosα的值为（
）
A
、
B、
C、
D、
14.在Rt△ABC中，∠C=900，且a≠b，则下列式子中，不能表示△ABC面积的是（
）
A、
B、
C、
D、
15.如图，钓鱼竿AC长为6m，露在水面上的鱼BC长为m，某钓者
想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面
上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（
）
A、600
B、450
C、150
D、900
三、解答题
16.（1）
2cos
30°＋cot
60°－2tan
45°;（2）　
.
17.如图是直线的图象，求锐角∠OAB的四个三角函数值，并求∠OAB的大小。
18.如图，梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAC=600，∠ADC=1350，BC=，求梯形的面积和周长。
19.身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线长分别为300m、250m、200m，线与地面所成的角分别为300，450，600（假设风筝线是拉直的）问三人所放的风筝谁的最高？
20.如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，人极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东300方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由。
（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级。
21.
如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）
22.
如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）
B
B’
EMBED
Equation.KSEE3
\
MERGEFORMAT
C
C’
EMBED
Equation.KSEE3
\
MERGEFORMAT
A’
C
A
B
B
A
D
C
A
B
C
C
B
A
D
x
y
O
A
B
D
E
F
A
C
D
B
A
B
C
D
E
M
N
B
A
C
B
A
C
1
1
1
2
D
1
2
MODE
SHIFT
=
41
o’”
o’”
52
o’”
63
sin
D
=
o’”
45
o’”
70
tan
1
A
B
C
A
C
┌
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
C′
B′
x
y
O
A
B
A
B
C
D
A
.B
C华东师大版九年级上册数学导学案
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
第25章
随机事件的概率
第1课时
25.1
在重复试验中观察不确定现象
（1）
【学习目标】了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
【学习重难点】1.感受事件发生的机会是有大小区分的。
2.通过比较试验数据中某种结果发生的频率高还是不发生的频率高。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
自学教材126---127页内容，完成下列题目：
1.思考：下列事件哪些一定会发生，哪些一定不会发生，哪些有可能发生也有可能不发生？
（1）地球一直在运动
　(
)
（2）２月份没有30号
　(
)
（3）水中能捞月
　(
)
（4）服用一种药物使人永远年轻
　(
)
（5）买彩票会中奖
　(
)
（6）四川地区一年里1月15日这一天最冷
　(
)
2.合作探究：教材126页，做一做。（用三张扑克剪成两截，两人一组，各做20次，一抽一人记录，老师汇总，观察结果。）
3.思考：教材127页
【展示互导】对事件的分类，关键在于
【质疑互究】
判断下列事件分别是什么事件？简单说明原因。
（1）方程有实数解
(
)
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化
(
)
（3）某人射击一次，中靶
(
)
（4）如果,那么
(
)
（5）某电话机在1分钟内收到2次呼叫
(
)
（6）掷一枚硬币，出现正面
(
)
【检测互评】
1.教材127页练习
2.如果天气预报说：“明日降水的概率是80%，那么你会带雨具吗？”
3.下列说法正确的是（
）
A.小李喝了冰水才感冒的
B.投掷一枚均匀的骰子，每个点数出现的频率相同
C.转盘A大，转盘B大，颜色和图案都一样的情况下，用转盘A实验成功的概率大
D.明天一定会下雨
4.“a是实数，|a|≥0”这一事件是【
】
A．必然事件
B．不确定事件
C．不可能事件
D．随机事件
5.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（
）
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
6.有两个工厂生产同一型号足球，甲厂产品的次品率为0.001，乙厂产品的次品率是0.01．若两厂的产品在价格等其他方面的条件都相同，你愿意买哪个厂的产品？
7.以下事件中，必然发生的是【
】
A．打开电视机，正在播放体育节目
B．正五边形的外角和为180°
C．通常情况下，水加热到100℃沸腾
D．掷一次骰子，向上一面是5点
8.下列事件中为必然事件的是【
】
A．打开电视机，正在播放茂名新闻
B．早晨的太阳从东方升起
C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上
D．下雨后，天空出现彩虹
9.下列事件中，是必然事件的为【
】
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B．江汉平原7月份某一天的最低气温是﹣2℃
C．通常加热到100℃时，水沸腾
D．打开电视，正在播放节目《男生女生向前冲》
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第2课时
25.1
在重复试验中观察不确定现象（2）
【学习目标】在重复试验中观察不确定现象，体会随机事件发生是有规律可循的。
【学习重难点】1.通过试验与观察数据，发现不确定现象的发生并非完全没有规律可循。
2.体会随着重复试验次数的增多，事件发生的频率将呈现逐渐稳定的趋势。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
随机事件发生的可能性大小非常重要，我们用重复试验度量随机事件发生的可能性大小．如何获得随机事件发生的规律呢？数学上最直接的方法就是通过试验（观察）．
1.试验
第一步，全班每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币的试验，每人记录下试验结果，填在下表中：
姓名
试验次数
正面朝上的次数
正面朝上的比例
第二步，每个小组把本组同学的试验结果统计一下，填入下表：
组次
试验总次数
正面朝上的次数
正面朝上的比例
第三步，每组派一名同学上报该组的试验结果，用EXCEL统计，得出全班的试验结果．
2.
教材127-131页，并且根据试验数据，思考以下问题：
问题1
各组的试验结果一致吗？为什么？
问题2
事件A出现的频数与频率怎么定义的？频率的取值范围是什么？
问题3
必然事件与不可能事件出现的频率分别是多少？
问题4
随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出怎样的规律？
问题5
随机事件A发生的频率的取值范围是什么？
必然事件和不可能事件的频率分别是多少？
【展示互导】随着试验次数的增加频率将呈现逐渐
的趋势。
【质疑互究】
某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的机会有多大？
小结：______________________________________________________
【检测互评】
1.教材132页练习
2.一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5000
10000
15000
20000
男婴数
2600
5170
7770
10340
男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）估计这一地区男婴出生的机会有多大？出生女婴的机会有大？
3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表：
（1）完成上面表格（结果保留到小数点后第3位）；
（2）在此种油菜子中随机抽一粒，在相同的条件下，该油菜子发芽的机会大还是小？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第3课时：
25.2.1随机事件的概率-概率及其意义（1）
【学习目标】1．能在简单的问题中预测事件的概率．
2.知道所求具体问题概率的意思．
3.感受数学与现实生活的联系;提高用数学知识来决问题的能力.
4.
通过对概率问题的探索，体会概率在现实生活中的广泛应用。
【学习重难点】对概率定义的理解和简单事件的概率的计算。
用概率对事件进行认识。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】：
1.自学教材136---138页内容，完成下列题目：
（1）概率的定义，
（2）学习课本中表25.2.1，并把表格补充完整。
（3）如何从频率的角度解释某一具体的概率值？
（4）除实验外我们还可以用什么方法求概率？
(5)
分析概率的关键有两点：①
②
。
2.合作探究
（1）问题1：学生分组试一试，
回答：如何从频率的角度解释某一个具体的概率？
（2）在自学的基础上，跟同桌交流教材139页所有问题的答案，答案不统一的，前后桌的同学再讨论后统一答案。
【展示互导】
（
1
）
P(关注的结果)=
(
2
)
实验频率跟理论概率是统一的。
【质疑互究】从一副扑克牌（除去大小王）中任抽一张。
P（抽到红心）
=
________
P（抽到黑桃）
=
_______
P（抽到红心3）=
________
P
（抽到5）=
__________
【检测互评】
1．掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：
P（掷得点数是6）=________；
P（掷得点数小于7）=_________；
P（掷得点数为5或3）=_________；
P（掷得点数大于6）=__________.
2．甲产品合格率为98,乙产品的合格率为80，你认为买哪一种产品更可靠？
3.阿强在一次抽奖活动中，只抽了一张，就中了一等奖，能不能说这次抽奖活动的中奖率为百分之百？为什么？
4.有5张数字卡片，它们的背面完全相同，正面分别标有1，2，2，3，4·现将它们的背面朝上，从中任意摸到一张卡片，则：
P（摸到1号卡片）=
_______
P（摸到2号卡片）=
________
P（摸到3号卡片）=
_______
P（摸到4号卡片）=
________
5.
任意翻一下日历，翻出1月6日的概率为________.翻出4月31日的概率为
________.
6.
用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏.
（1）使摸到白球的概率为
，摸到红球的概率为
（2）使摸到白球的概率为
，摸到红球和黄球的概率都是
.
你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？
7.某彩票中奖率是2%，买2张一定不会中奖，买1000张一定会中奖，这种说法是否正确？答：____
_
8.“蓬溪县明天降水概率是30%”，对此消息下列说法中正确的是【
】
A．蓬溪县明天将有30%的地区降水
B．蓬溪县明天将有30%的时间降水
C．蓬溪县明天降水的可能性较小
D．蓬溪县明天肯定不降水
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第4课时
25.2.1随机事件的概率-概率及其意义（2）
【学习目标】1.围绕实际问题展开，通过分析、思考，体会如何预测概率。
2.如何运用分析的方法得到某些随机事件的概率。
【学习重难点】1.弄清所关注的结果在所有机会均等的结果中占了多大比例。
2.
概率与频率的关系。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
1.自学教材139---141页内容，完成下列题目：
（1）概率的定义，
（2）“某种结果出现的概率是0.25”是什么意思？。
（3）如何理解“机会均等”？
（4）例1中关注的对象是什么？
2.合作探究
（1）教材140页
思考1
（2）例题：教材140页
例3
（3）教材140页思考2
【展示互导】
P(关注的结果)=
【质疑互究】
班级里有15个女同学，27个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀．
①如果班长闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么每个同学被抽中的可能性是多少？男同学被抽中的可能性是多少？女同学被抽中的可能性是多少？
②如果班长已经抽出了6张纸条──2个女同学、4个男同学，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张纸条，那么这时余下的每个同学被抽中的可能性是多少？男同学被抽中的可能性是多少？女同学被抽中的可能性是多少？
【检测互评】
1.在分别写有1～20的20张小卡片中，随机地抽出1张卡片，试求以下事件的概率．
①该卡片上的数字是5的倍数；
②该卡片上的数字不是5的倍数；
③该卡片上的数字是素数；
④该卡片上的数字不是素数．
2.抛掷一枚普通的硬币三次，有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面，再掷出一个反面的机会是一样大吗？
3.一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为【
】
A．
B．
C．
D．
4.李琳的妈妈在李琳上学时总是叮咛她：“注意，别被来往的车辆碰着”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有300万人口，每天的交通事故只有几十件，事件发生的可能性太小，概率为0。”你认为她的想法对不对？
5.甲、乙两人进行掷骰子游戏，甲的骰子六个面有两个面是红色，其余面是黄、蓝、白、黑；乙的骰子六个面中，分别是红、黄、蓝、白、黑、紫，规则是各自掷自己的骰子，红色向上的得2分，其他各色向上都是1分，共进行10次，得分高的胜，你认为这个规则公平吗？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第5课时25.2.2随机事件的概率-频率与概率（1）
【学习目标】1.频率与概率的关系。
2.会用列表或树状图求概率。
【学习重难点】重点：会用列表或树状图求概率。
难点：概率与频率的关系。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
自学教材141——142页内容，完成下列题目：
1.什么是概率？
表示一个事件
2.你是如何计算一类事件发生的概率。
要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；要清楚所有机会均等的结果；这两种结果个数
就是关注的结果发生的概率。）
3.一副象棋，正面朝下，任意取其中一只，取到“马”的概率是多少？
[Ｐ（取到“马”
）=
]
4.合作探究
（1）教材141页
问题2
画树状图、列表法预测概率
在自主学习的基础上，前后桌四个人一组交流问题的答案，讨论有不同看法的问题，再跟老师交流。
【展示互导】：
①利用树状图,可以比较方便地求出某些比较复杂事件发生的概率.从上而下每一条路径就是一种可能的结果，总频数就是最后一行的频数,就是前面每次出现的频数之积(2×2=4).
②假设是三枚硬币，有多少种可能的结果？“先两个正面再一个反面”是有先后顺序的，不同于“两个正面一个反面”。
【质疑互究】有三副手套，形状、大小，完全相同，只有颜色不同。黑暗中，任意抽出两只配成一双的概率是多少？（画树状图、列表法）
【检测互评】
1.同时投掷两枚正四面体骰子，下列事件出现的概率相等吗？
（1）所得点数之差的绝对值恰为偶数；
（2）所得点数之差的绝对值恰为奇数；
（3）所得点数之差的绝对值恰为质数。
2.在九九乘法表的运算结果中随意抽取一个，将下列事件出现的概率从小到大排序：（1）恰为偶数；（2）恰为奇数；（3）小于10；（4）大于100；（5）末尾是0；（6）3的倍数。
3.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概率是
_____.(要求画树状图解答)
4.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概率是
_____.(要求画树状图解答)
5.一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意摸出1球是红球的概率是。
（1）试求袋中绿球的个数；
（2）第1次从袋中任意摸出1球（不放回），第2次再任意摸出一球，请你用树状图或列表的方法，求两次都摸到红球的概率。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第6课时
25.2.2随机事件的概率-频率与概率（2）
【学习目标】通过转盘试验分析求概率。
【学习重难点】1.会用分析方法求概率。
2.试验结果与理论分析求概率。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
1.(1)频率是指在某一不确定事件中，所考察对象出现的_____________________.
(2)概率是指一般地,在大量重复进行同一试验时,某事件的频率总接近于某个_____,在它附近摆动,这时就把这个__
__叫做这一事件的概率.
(3)当一个事件有两个步骤时,我们计算该事件的概率常借助于_______或_______
列表法是将两个步骤分别列在_
与
_
中,所有可能性写在____
中;树状图将第一步所有可能结果写在第_
_层,将第二步所有可能结果写在第
层,依次往下.
(4)用列表和树状图的方法求概率时要注意每种______________________.
2.
教材142页
问题3
通过自制转盘，学生分组试验，将结果填在教材25.2.4表与图中。
1、观察折线图的变化趋势。
2、思考教材143页的问题，找到求概率的关键。
【展示互导】有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1～12这12个整数（每个
面只有一个整数且互不相同）．投掷这个正12面体一次，记事件A为“向上一面的
数字是2或3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，请你判断
等式
P（A）=+P（B）是否成立，并说明理由．
【质疑互究】
1.
转盘甲被分成完全相等的三个扇形，颜色分别是红、蓝、绿，转盘乙被分成完全相等的两个扇形，颜色分别是红、蓝，任意转动这两个转盘，一个转盘转出蓝色，一个转盘转出红色（即配成紫色）的概率是
.
2．在拼图游戏中，从图中的四张纸片中，任取两张纸片，
能拼成“小房子”（如图所示）的概率等于
(
).
（A）1
（B（C）
（D）
【检测互评】
1.从1到9这九个自然数中任取一个，既是2的倍数又是3的倍数的概率是(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
2.某商场举办有奖销售活动，办法如下：凡购物满100元者得奖券一张，多购多得.每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率是（
）
A、
B、
C、
D、
3.如图，有一个被等分为8个角形的转盘，转动转盘，指针落在白色区域的概率是（
）
A.1
B.
C.
D.
4.“端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为；妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为．
请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第7课时
25.2随机事件的概率
2.频率与概率（3）
【学习目标】通过重复试验，用频率估计概率。
【学习重难点】学会试验方法，灵活应用。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
自学教材144——146页内容，完成下列题目：
1.
投图钉试验,
该图钉着地有
或
情况_。这两种情况可能性______.
2._____通过列表或画树状图求出图钉“钉尖朝上”的概率.
只有动手做大量的
,得到“钉尖朝上”的出现频率，来估计“钉尖朝上”的
。
合作探究：
3.
根据试验得到的结果填表(累加,可使次数变大)
试验次数
钉尖朝上
试验频率
由表中的频率的变化,可以得“钉尖朝上”的出现频率是_________.
4.
上述试验结果绘制成折线图,观察折线图的走向趋势，他说明什么？为了估计概率更为准确你想该怎么办？(
试验次数要
)
【展示互导】
1.一个试验，虽然结果有有限个，但各个结果出现的可能性不相等，这时只有动手做大量的
。因为当试验次数很大时，试验
稳定于
，并可据此估计某一事件发生的概率。
2.试验方法是一种数学方法，它是一种发现问题的重要方法，但试验要保证足够的
，而且试验必须是随机的。
【质疑互究】
掷一只啤酒盖，有
、
两种可能，但出现的可能性一样吗？
【检测互评】
教材147页
练习题
（此题能用分析法得出概率吗？）
1．下列说法正确的是（
）
A、投掷一枚图钉，钉尖朝上、朝下的概率一样
B、统一发票有“中奖”和“不中奖”两种情形，所以中奖的概率是
C、投掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是
D、投掷一枚均匀的骰子，每一种点数出现的概率都是，所以每投6次，一定会出现
一次“1点”.
2.一位保险推销员对人们说：“人有可能得病，也有可能不得病，因此，得病与不得病的
概率各占50%”他的说法（
）
A、正确
B、有时正确，有时不正确
C、不正确
D、应由气候等条件确定
3.某位同学一次掷出三个骰子三个全是“6”的事件是
（
）
A、不可能事件B、必然事件C、不确定事件，可能性较大D、不确定事件，可能性较小
4.
从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是___________．
5.某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示)；
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
6.如图所示，把一个木制正方体的表面涂上颜色，然后将正方体分割成个大小相同的小正方体．从这些小正方体中任意取出一个，求取出的小正方体：
（1）三面涂有颜色的概率；
（2）两面涂有颜色的概率；
（3）各个面都没有颜色的概率．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第8课时25.2.3随机事件的概率-列举所有机会均等的结果（1）
【学习目标】1.学习用树状图法和列表法来计算随机事件发生的概率；
2.培养学生分析问题、解决问题的能力；养成良好的解题习惯。
【学习重难点】重点：用树状图法和列表法来计算随机事件发生的概率；
难点：能正确、完整画出树状图或列出表格来计算随机事件的概率。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
自学教材P149——151页“问题6”前面的内容，思考：
1.认真理解例4中树状图是如何画出来的，并“先两个正面，再一个反面”和“两个正面，一个反面”一样吗？
2.回答150页中“思考”中的提问；
3.理解“问题5”中用列表的方法列举出所有等可能的结果。
【展示互导】
1、个人独立自学后，小组内个人展示、交流。
2、全班展示：学生板演练习，学生自由更正，教师巡视，师生评价。
【质疑互究】
在复杂情况下计算概率的常用方法有两种：
，
当一个实验包含两步时，两种方法都可以。
当实验在三步或三步以上时，用
就更简便，
提示：在解题时，要注意列举出所有等可能的结果，避免重复和遗漏。
要注意“放回”“不放回”等文字的阅读理解。
【检测互评】
1．甲、乙两人合伙的生意，赚得100元的利润，双方约定用博彩的方法决定利润的
归属．于是甲从口袋里摸出两枚硬币，对乙说，你投下去，若有两个正面朝上利润归你；
若一正一反朝上利润归我；若两个反面朝上利润各分一半．那么这种博彩方法公平吗
若不公平，对谁更有利 为什么
2．某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为【
】A．
B．
C．
D．
3.如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面的数字不同的概率你能求得出来吗？与同伴交流
4.如果有两组同样的牌，每组3张，它们的牌面数字分别是3，4，5，那么从每组牌中各摸出一张牌，两张牌面数字和为几的概率最大？两张牌面数字和等于8的概率是多少？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第9课时25.2.3随机事件的概率-列举所有机会均等的结果（2）
【学习目标】1.能利用列表或树状图的方法计算一些复杂的随机事件发生的概率；形成对
某一事件发生的概率的较为全面的理解．
2.经历实验、统计等活动的过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识
和能力．初步形成随机观念．
3.发展学生初步的辨证思维能力，感受概率的应用价值．
【学习重难点】
1.学会列表或树状图的方法计算随机事件的概率。
2.灵活运用两种方法，形成技能技巧。
【自学互助】
自学教材151-152页“问题6、问题7”的内容，思考：
1.问题6：教材151表25.2.6下的填空。
2.若问题改为：积为偶数的概率大，还是积为奇数的概率大？如何列表？
3.问题7：此游戏公平吗？
4.请用列表法，看看所得结论是否一致？
【展示互导】
1、个人独立自学后，小组内个人展示、交流。
2、全班展示：学生板演练习，学生自由更正，教师巡视，师生评价。
提示：1.一般说来列表法和树状图法是可以互换的，也就是说对于一个题都实用。但也
有规律。
2.在复杂情况下计算概率的常用方法选择规律：
当一个实验包含两步时，两种方法都可以。
当实验在三步或三步以上时，用树状图就更简便，
在解题时，要注意列举出所有等可能的结果，避免重复和遗漏。
【质疑互究】
1．小芳随意买了一张足球赛门票，座号是2的倍数和座号是9的倍数的概率哪个大
答：_______________
2．一个转盘中，红色占，黑色占，白色占，转动转盘，转盘停止后，指针落在________区域的概率最大．
3．数字11444114411111444411144444中，1和4出现的频数分别_________
【检测互评】
1.小明和小颖按如下规则的游戏：桌上有5支铅笔，每次取出1支或2支，由小明先取，最后取完铅笔者获胜．如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应取走_______支．
2．一个均匀的立方体的六个面上，分别标有数1、2、3、4、5、6．如图是这个立方体表面积的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面上的数的
的概率是__________
3．一副扑克牌(去掉大王、小王)任意抽取其中一张，抽到黑球的概率是
(
)
A．1
B.
c．
D.以上结论都不对
4．口袋里有相同的6个红球、4个白球和2个黑球，从口袋里摸出了2个球．若两个
都是红色，则甲胜；若两个都是黑色球，则乙胜．请你猜一猜，谁获胜的概率大
(
)
A．甲大
B．乙大
C．甲、乙一样大
D.无法判定
盒中有红球、白球、黑球各1粒，从盒中第一次取1粒然后放回盒中，每二次再取1
粒然后再放回盒中，则这个实验可能出现的情况有
(
)
A．9种
B.
6种
c．3种
D.以上结论都不对
6．有五粒完全相同的白球，它们上面分别标有4，5，5，5，6，6，7，7．每粒球只标一个数，现将它们放人不透明的布袋中，小明从中任意摸出一粒球．
(1)摸出标有5与6的球的概率相同吗 为什么
(2)摸到标有奇数的球的概率大还是摸到标有偶数的球的概率大
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第10课时
第25章
随机事件的概率
复习课
【学习目标】熟悉本章知识结构；了解本章知识要点。
【学习重难点】重点：掌握本章知识要点。
难点：灵活运用本章知识解决实际问题。
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
自学教材158页
小结内容
完成下列题目：
1.下列事件中，是不可能事件的是【
】
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．射击运动员射击一次，命中9环
C．明天会下雨
D．度量三角形的内角和，结果是360°
2.2014年“十·一”期间，小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两家抽到同一景点的概率是【
】
A.
B.
C.
D.
3.一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是【
】
A．
B．
C．
D．
4.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是【
】
A．
B．
C．
D，
5.有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为【
】
A．
B．
C．
D．
6.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是【
】
A．
B．
C．
D．
7.“服务他人，提升自我”，七一学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的5名同学（3男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰好是一男一女的概率是【
】
A．
B．
C．
D．
8.有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是【
】
A.
B.
C.
D.
9.一个不透明的口袋里有4张形状完全相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4，口袋外有两张卡片，分别写有数字2，3，现随机从口袋里取出一张卡片，求这张卡片与口袋外的两张卡片上的数能构成三角形的概率是【
】
A．
B．
C．
D．1
10.从3，0，－1，－2，－3这五个数中。随机抽取一个数，作为函数和关于x的方程中m的值，恰好使函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率是
。
【展示互导】、【质疑互究】
1.个人独立自学后，小组内个人展示、交流。
2.全班展示：学生板演练习，学生自由质疑互究，教师巡视，师生评价。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要
求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第11课时
第25章
随机事件的概率
习题课
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.
小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏（　　）
A.对小明有利
B.对小亮有利
C.游戏公平
D.无法确定对谁有利
2.
随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
3．某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
4.某市决定从桂花、菊花、杜鹃花中随机选取一种作为市花，选到杜鹃花的概率是(
)
A．1
B．
C．
D．0
5．从只装有4个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是，摸到红球的概率是，则（
）
A．
B．
C．
D．
6.连掷两次骰子，它们的点数都是4的概率是（
）
A.
B.
C.
D.
7.
口袋中有9个红球和3个白球，则摸出一个球是白球的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．问第2局的输者是（
）
A.甲
B.乙
C.丙
D.不能确定
9.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为（
）
A．
10.做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（
）
A、0.22
B.
0.44
C.
0.50
D.
0.56
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.一个质地均匀的小正方体的六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6．如果任意抛掷小正方体两次，那么得到的数字和是1的概率为_______.
12.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共10
000尾，一渔民通过多次捕捞试验后发现，鲤鱼、鲫鱼出现的频率分别是31%和42%，则这个水塘里大约有鲢鱼_________尾.
13.小芳掷一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她掷第11次时，正面向上的概率为______.
14.有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡
片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是________．
15.如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是________．
16.从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数
100
400
800
1
000
2
000
5
000
发芽种子粒数
85
318
652
793
1
604
4
005
发芽频率
0.850
0.795
0.815
0.793
0.802
0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为_________（精确到0.1）．
17．如图所示，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是_________．
18.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有_____个.
三、解答题（共46分）
19.（5分）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率是多少
20.（6分）如图所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率:(1）指针指向绿色；(2）指针指向红色或黄色；(3)指针不指向红色．
21.（7分）有形状、大小和质地都相同的四张卡片，正面分别写有A、B、C、D和一个等式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张.
（1）用画树状图或列表的方法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况（结果用A、B、C、
D表示）；
（2）小明和小强按下面规则做游戏：抽取的两张卡片上若等式都不成立，则小明胜，若至少有一个等式成立，则小强胜.你认为这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，则这个规则对谁有利，为什么？
22．（7分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字4、5、6的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：（1）两次取出小球上的数字相同；（2）两次取出小球上的数字之和不小于10．
23.（7分）“学雷锋活动日”这天，阳光中学安排七、八、九年级部分学生代表走出校园参与活动，活动内容有：A．打扫街道卫生；B．慰问孤寡老人；C．到社区进行义务文艺演出．学校要求一个年级的学生代表只负责一项活动内容．
(1)若随机选一个年级的学生代表和一项活动内容，请你用列表法(或画树形图)表示所有可能出现的结果
(2)求九年级学生代表到社区进行义务文艺演出的概率．
24.（7分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）试验，他们共做了60次试验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
（2）小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗？为什么？
25.（7分）把一副扑克牌中的三张黑桃牌（它们的正面牌数字分别为3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上.小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽取一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽取一张牌，记下牌面数字.当两张牌的牌面数字相同时，小王赢；当两张牌的牌面数字不同时，小李赢.现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.
第12课时
综合与实践（骰子与概率）
【学习目标】1.学会用数据说话的意识，巩固收集、整理、描述、分析数据的技能。
2.提高书面和口头两方面的数学交流能力。
【学习重难点】重点：科学实践能力的培养。
难点：不均匀骰子的制作与实验操作。
【学法指导】自主预习，大胆猜想，合作实验
【学习过程】
实验材料的准备：制作一枚不均匀的骰子。
学生分组进行抛掷实验，认真记录结果。
出现结果
1
2
3
4
5
6
记录次数
合计
汇报结果，看看是否与猜想一致。
第19题图华东师大版九年级上册“五环四互”教学模式数学导学案
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
第23章
图形的相似
§
23.1.1
成比例线段
第一课时
【学习目标】1.理解相似图形，线段的比以及成比例线段的基本概念.
2.能够通过计算判断四条线段是否成比例，并会求出未知线段.
【学习重难点】灵活理解并运用成比例线段解题
【学法指导】仔细阅读教材48--49页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.具有
的图形称为相似图形.
2.两条线段的长度的比值叫线段的比.
线段a=5㎝
,
b=25cm
，则a:b=
,
若线段a=3m
,
b=10㎝
，则=
，求线段的比时两条线段的长度单位
.
3.对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做
，简称
，此时也称这四条线段____________.其中a、b、c、d叫做组成比例的
，线段a、d叫做比例
，线段b、c叫做比例
，线段
叫做a、b、c第四比例项.
4.比例线段的有序性
如叫做线段a、b、c、d成比例，线段d叫做
的第四比例项；
如果=则叫线段
成比例，线段
叫做
的第四比例项；反之，若a,d,c,b四条线段成比例，则
.
5.若a,b,c,d是成比例线段，且a=2㎝,b=0.6㎝,c=4㎝,则d=
.
6.判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(明确顺序）　
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
7.判断下列线段是否是成比例线段：　
①a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；②a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4．
【展示互导】如何判断四条线段是否成比例:
1.已经明确顺序的四条线段，则分别算出前两条和后两条线段线段的比，再判断即可.
2.没明确顺序的四条线段，一排：先统一四条线段的长度单位，再按大小顺序排好；
二算：分别计算出前两条线段的比和后两条线段的比，三判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段，反之，这四条线段不成比例.
【质疑互究】
已知三条线段的长分别为1㎝，㎝，2㎝，请你给出一条线段，使得这四条线段成比例.
【检测互评】
1.已知点P是线段AB上一点，且AP=20㎝,PB=O.5m,则AB:PB=
.
2.正方形的对角线与它的边长之比是（
）
A
2:1
B
1:2
C
1:
D
:1
3.已知m、n、p、q是成比例线段，其中m=2cm，n=6cm，q=27cm，则p=_______cm.
4.如果线段d线段a,b,c,的第四比例项，其中a=2㎝,b=4㎝,c=5㎝,则d=
.
5.已知，，c，则,,的第四比例项d为____.
6.下列各组线段的长度成比例的是（
）
A
2cm
,3cm,4cm
,1cm
B
1cm
,2cm
,2cm
,4cm
C
1.5cm
,2.5cm
,4.5cm
,5.5cm
D
1.1cm,
2.2cm,
3.3cm,
4.4cm
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.1.1
成比例线段
第二课时
【学习目标】1.掌握并会推导比例的性质.
2.会用比例的性质进行解题.
【学习重难点】比例性质的灵活运用
【学法指导】仔细阅读教材50页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.比例的基本性质
①
对于四条线段a、b、c、d，如果(比例式），那么（等积式），即两外项之积等于两内相之积).反之，如果，那么.(即比例式与等积式可以互化).
②如果作为比例线段的两个内项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，那么线段b叫做线段
a、
c的比例中项.
③已知2a=3b,则a:b=
.
=,则a:b=
，，则a:b=
2.合比性质
在比例式的两边都加上1,通分后可得
,
两边同时都减去1，通分后可得
.
所以，比例的合比性质：如果，那么.
①已知，则__________
,
__________.
②已知，则_________.__________.
3.等比性质
如果(b+d+f+……+n≠0)，那么.
①若=2，则__________;______________.
②已知则
=
.
【展示互导】1.由乘积式，可以得到
个不同的比例式.
2.比例的基本性质，可以用来检验比例变形是否正确.
已知四条线段满足=，则下列式子中正确的是：（
）
A
a:b=c2:d2
B
a:d=
c:b
C
a:b=(a+c):(b+d)
D
a:b=(a-d):(b-d)
【质疑互究】
已知
，求的值.
【检测互评】
1.已知，则
_________
，_________.
2.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝
.
3．若x是a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
3．若a:b:c=2:3:7,且a＋b＋c=36,则a=
；
b=
；
c=
.
4．已知(b+d+f≠0).b+2d-3f≠0，则=_______，=________
5.已知△ABC的三边长a、b、c满足==且a+b+c=12，则这个三角形的面积是
.
6.已知，求的值.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.1.2
平行线分线段成比例
第三课时
【学习目标】1.知道平行线等分线段，平行线分线段成比例定理及其推论的内容.
2.能够用平行线分线段成比例定理及其推论解决问题.
【学习重难点】平行线分线段成比例定理和推论的应用．
【学法指导】仔细阅读教材51--54页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.观察图23.1.2和图23.1.3，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也
，简称平行线等分线段定理.
2.（平行线分线段成比例定理）观察图23.1.4和图23.1.5，三条平行线截直线m得两条线段AD(上）和DB(下），截直线n也得两条线段
（
）和
（
）,这四条线段得比例关系是
.所以，两条直线被一组
所截，所得的
成比例.
如图：KN∥LP∥MQ，
定理中的“对应线段”为便于理解这里给出一些简单的形象化的语言
表示
表示
表示
表示
表示
表示
3.（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如左图：△ABC中，DE∥BC，则
.
如右图：AB∥CD，则
.
=
.
4.
如图：已知AD∥EF∥BC，AE=4，DF=3，FC=6,求BE的长
SHAPE
\
MERGEFORMAT
【展示互导】
利用平行线分线段成比例求线段长度的方法：一般先确定图中的平行线，由此确定线段间的比例关系，结合所求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系，然后带入数据计算。
【质疑互究】
如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N．求证：．
【检测互评】
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=　
　．
2.已知，如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=1：2：3，若EG=3，则AC=　
．
3.如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=4：7，那么CF：CB等于（　　）
　
A．
7：11
B．
4：8
C．
4：7
D．
3：7
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.2.
相似图形
第四课时
【学习目标】1.知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.
2.识别两个多边形是否相似的方法.
【学习重难点】相似多边形的性质和判定
【学法指导】仔细阅读教材57—59页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.形状__________（大小
）的平面图形叫相似图形.
2.相似多边形的对应角_________，对应边
.
3.如图，四边形ABCD与A‘B‘C‘D‘是相似的，根据图中的条件，求出未知的x,y及角α。
4.相似多边形的判定：两个边数相等的多边形，如果
，
，则这两个多边形相似.
5.以下五个命题，①所有的正方形都相似，②所有的矩形都相似，③所有的三角形都相似，④所有的等腰直角三角形都相似，⑤所有的正方形都相似.其中正确的命题有
.
6.如图2，DE∥BC，根据图中数据，能判定△ABC与△ADE
相似吗？为什么？
【展示互导】
判断两个边数相同的多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比例，书写时要把对应顶点的字母写在对应的位置上.
【质疑互究】
如图,四边形AEFD与EBCF是相似梯形，AE：EB=2：3，
EF=12cm
求AD、BC的长.
【检测互评】
1.如果多边形ABCDEF与多边形ABCDEF相似，且∠A=68,则∠A=_______.
2.两个相似多边形的最长边分别是10cm
和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm
,则另一个多边形的最短边长为__________.
3.下列所给的条件中，能确定相似的有（
）
（1）两个半径不相等的圆；
（2）所有的正方形；
（3）所有的等腰三角形；
（4）所有的等边三角形；
（5）所有的等腰梯形；
（6）所有的正六边形．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4.做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm,80cm，三角形框架乙的一边长为20cm,符合条件的三角形框架共有（
）种.
A:
1
B:
2
C:
3
D:
4
5.如图所示的相似四边形中，求未知边x,y的长度和角ａ的大小.
6.如图，一个矩形ABCD的长AD=
6
cm，宽AB=
4
cm，E、F分别是AD、BC的中点，
连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似吗？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.1
相似三角形
第五课时
【学习目标】1.知道相似三角形的概念及表示方法；
2.会根据概念判断两个三角形相似.
3.能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长.
【学习重难点】相似三角形的判定定理的预备定理.
【学法指导】仔细阅读教材61--63页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.在相似多边形中，最为简单的就是________________________.相似用符号“___________”来表示，读作“___________．如图23．3．1所示的两个三角形中，
∠__＝∠__，
∠__＝∠___，
∠___＝∠____，．即△ABC与△A′B′C′相似，记作__________________，读作____________________________.
2.在书写两个三角形相似时，和全等一样，要求对应的顶点应写在
.
3.如果＝k，那么这个比值k就表示△ABC与△A′B′C′的相似比，而△A′B′C′与△ABC的相似比就为
.
当k=
时，这两个三角形全等.
故全等三角形是相似三角形的特例.
4.预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与
相似
.
如图1中，DE∥BC，则△ADE∽
,=
=
.
如右图，AB∥DE,则△ABC∽
,=
=
.
5.如图4，△ABC与△ACD都是直角三角形，∠ACB=∠ADC=90°，
已知△ABC∽△ACD,AB=20,BC=12,
求AD的长.
【展示互导】
在寻找由平行线构造的相似三角形中的对应线段时，一般从“A”型或“X”型中寻找得出对应线段.
【质疑互究】
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE与△DEF相似，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
【检测互评】
1.全等三角形是相似比为__________的相似三角形.
2.如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3,B′C′=1.8,那么△A′B′C与△ABC的相似比为
.
3.若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于
________
4.如图1，△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中共有相似三角形_______对.
5.如图2，直线AB与CD相交于点O，连接AC、BD，AC∥BD；
已知AC=4,BD=8,AB=9；则BO的长是______
6.如图3，△ABC中，DE
∥BC，则
A、
B、
C、
D、
7.点E是平行四边形ABCD的边AD上的点，F是对角线BD上的点，EF∥AB；DC=15,CB=12,DE=3；求EF的长.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第六课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（1）.
2.能运用相似三角形判定定理（1）解决角或边的计算、证明问题.
【学习重难点】相似三角形判定定理（1）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材64—66页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.全等三角形的判定方法有
，
，
，
，对于直角
三角形
还有
.
2.相似三角形的判定方法：
①
定义法
如果两个三角形三个角
，三条边
,那么
这两个
三角形相似.
②
相似三角形的判定定理（1）：如果两个三角形有两个角
,那么
这两个三角形相似.
简称为“两角
，两三角形相似”。（推理过程见教材65-66页）
能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢
.

图24.3.3

③几何语言：如上图，在三角形△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A=∠A′,∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.两个直角三角形，若有
对应相等，则它们一定相似.
4如上右图，D,E分别是△ABC中AB,AC边上的点，请添一个条件
使得△ABC和△ADE相似.
5.如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D．（1）求证：△ABC∽△ADE.
（2）如果AB=2AD，BC=4，求DE的长。
【展示互导】判定定理（1）是两个三角形相似最常用的方法，运用这种方法时，应特别
注意公共角，对顶角，同角的补（余）角相等等知识。
【质疑互究】
如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
(1)与∠A相等的角有
,
与∠B相等的角有
.
（2）请指出图中所有的相似三角形；并选择一组进行证明.
（3）求证：CD2=AD DB
（4）写出其他类似（3)的结论.
归纳：直角三角形被
分成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
【检测互评】1.判断题.
（1）有一对角相等的三角形一定相似.
（
）
（2）有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似.（
）
（3）有一个角等于100°的两个等腰三角形相似.（
）
（4）有一个角等于30°的两个等腰三角形相似.
（
）
（5）有一对角相等的两个等腰三角形一定相似.（
）
2.如图，点D,E分别在△ABC中A,CBC边上,
如果∠1=∠2，则
∽
.
如果∠1=∠B，则
∽
.
3.在△ABC中，∠ACB=90度，CD┴AB于点D,CD=2,
4.BD=4,则AD=
,AC=
4.如图2，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P作
直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的
直线共有_______条.
A、1
B、2
C、3
D、4
5.如图4,点E、C分别在AB、AD上，BC与DE相交于点O，如果BC┴AD，DE┴AB,则图中有几对相似三角形？分别写出来.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第七课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（2）；
2.能根据条件，灵活运用相似三角形判定定理（2）解决角，边以及
比例式，乘积式的计算，证明问题.
【学习重难点】相似三角形的判定定理（2）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材67—69页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1．已经学习过的判断两个三角形相似的方法：
①定义法：对应边_________，____________相等的两个三角形______________.
②
判定定理（1）如果一个三角形的
分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形
.简称为两角对应
，两三角形相似.
2.相似三角形的判定定理（2）
.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
，且
，那么这两个三角形
.简单地说；
且
，两三角形相似.（定理证明过程详见教材68页）

图24.3.3

几何语言：如上图，在三角形△ABC和△A′B′C′中，
∵，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？说明理由。（注意结合教材69页例4的解题过程）
4.如图，点D,E分别在△ABC的边AB、AC上,AD AB=AE AC,
求证：△ADE∽△ACB.
【展示互导】当题目中给出两条边的长度时，通常考虑判定定理（2），也要注意公共角，对顶角等隐含条件，特别注意相等的角是对应成比例的两条边的夹角.
【质疑互究】在△ABC中，BD、CE分别是AC与AB边上的高，
求证：①△AEC∽△ADB
②△ADE∽△ABC
③如果∠A=60度，求证：BC=2DE．
【检测互评】
1．在△ABC与△A B C中，AB:AC=
A B :
A C ,
∠B
=∠B ,则这两个三角形
A
相似且不全等
B
全等或相似
C
不一定相似
D
一定不相似
2.如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.如图，AB AD=AC AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE。
4.△AOB∽△DOC,点E、F分别是OB、OC的中点，求证：△AOE∽△DOF.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第八课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（3）.
2.能根据条件，灵活运用相似三角形判定定理解决角、边以及
比例式、乘积式的计算、证明问题.
【学习重难点】相似三角形的判定定理（3）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材69—70页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.已经学习过的判断两个三角形相似的方法：
①定义法：对应边_________，____________相等的两个三角形______________.（不常用）
②判定定理（1）：如果一个三角形的______分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形_______。简称为两角对应
，两三角形相似.
③判定定理（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
，
并且_______，那么这两个三角形______
.简单地说；_____________且
，
两三角形相似.
2.相似三角形的判定定理（3）：如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边________________，那么这两个三角形_________，简单的说：________________________，两三角形相似。完成此定理的证明过程.
已知：在△ABC与△A′B′C′中，
，
求证：△ABC∽△A′B′C′。
证明：在AB上取AD=A′B′,在AC上取AE=A′C′,连接DE.
几何语言：几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，
∵
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.在△ABC和△DEF中，AB=15cm,BC=20cm,AC=25cm;
DE=6cm,EF=8cm,DF=10cm..
求证：△ABC与△DEF相似.
4.如图4，△ABC中，∠B=48°，∠ADC=77°；.
求∠C的度数.
【展示互导】当题目中出现三角形三边的长时，一般考虑此判定定理，通过计算对应三边的比值是否相等，来判断相似。
【质疑互究】
如图6，E是△ABC外一点，D在
BE上；且∠BAD=20°，
；求∠EBC的度数.
【检测互评】
1.(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或
___________=____________时，△
AOC∽△DOB；
(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽
.
2.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，
因此△ABC∽_________∽_____________．
3.点D、E在△ABC的边AB、AC上．
(1)若∠1=∠2，则__________∽___________；
(2)若∠2=∠B，则__________∽___________
4.已知：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°.求证：△PAQ∽△BPR．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.3相似三角形的性质
第九课时
【学习目标】1.知道相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应中线、角平分
线、高的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
2.灵活运用相似三角形的性质解决实际问题.
【学习重难点】相似三角形的性质及应用.
【学法指导】仔细阅读教材71—72页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似三角形的对应角
，对应边
.
2.相似三角形的对应边的比值称为
.
3.相似三角形对应边上高的比等于_________，
相似三角形对应边上的中线的比等于
;
相似三角形对应角的角平分线的比等于
;
相似三角形的周长比等于
;
4.相似三角形的面积比等于____________________.
5.两个相似三角形对应边的比为1:3，那么相似比为_____，对应边上高的比为
，对应边上的中线的比等于______；对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
6.两个相似三角形的面积之比为2:1，则它们的周长之比为
.
7.已知△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'=16：9，若AB=2，则A'B'=________
8.如上图，D、E分别是AB,AC的中点，并且DE∥BC,则△ADE与△ABC
的面积的比为
，△ADE与四边形BDEC的面积的比为
。
【展示互导】在运用相似三角形的性质时，1.要注意“对应”两字，应找准对应线段，同时注意相似比是有顺序的.2.把一般的线段之比转化为对应边之比.
【质疑互究】如图，在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG：DE=1：2，BC=12cm，AM=8cm，求矩形的各边长．
【检测互评】1.△ABC∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么
△ABC的面积为
.
2.如果两个相似三角形的相似比是3：5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为
cm.
3.梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，△AOD与△BOC的面积比等于1:9.则=
,，△AOB与△BOC的面积之比为
4.在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　）
A．
3：4
B．
9：16
C．
9：1
D．
3：1
5.在△ABC中，DE∥BC,AH┴BC,于点H,，且AD=5，BD=10，AG=3，求HG的长．
6.有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下面一、二两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断一、二两种设计方案哪个更好？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.4相似三角形的应用
第十课时
【学习目标】1.能够应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度.
2.
能够将实际问题转化为数学问题.
【学习重难点】利用相似三角形的性质解决实际问题.
【学法指导】仔细阅读教材72—73页中的例6，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似三角形的对应角
，对应边
.
2.常见的相似三角形的判定方法：
判定定理1
.
判定定理2
.
判定定理3
.
3.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
4.小玉用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图所示，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，且已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小玉计算出教学大楼的高度AB是多少米？
【展示互导】常见的测量物体高度的方法有：利用同一时刻阳光下的影子，，利用镜子反射.
【质疑互究】★
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
【检测互评】
1.一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为
(
)
A.7.5米
B.8米
C.14.7米
D.15.75米
2.晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是
（
）
A.变长
B.变短
C.先变长后变短
D.先变短后变长
3.如下图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度为
．
4.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
5.龙龙和泉泉两人来到了一座古塔前，龙龙站在古塔前从一小块积水处看到塔顶的倒影,这时泉泉测得积水处C距龙龙CE为2米，龙龙的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高AB。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§24.3.4相似三角形的应用
第十一课时
【学习目标】1.能够应用相似三角形的有关性质，测量简单的河流的高宽度；
2.
能够将实际问题转化为数学问题.
【学习重难点】能够运用三角形相似的知识，把实际问题抽象为数学问题，
解决不能直接测量物体的度宽问题.
【学法指导】仔细阅读教材72—73页中的例7，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
【展示互导】
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE
=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗
【质疑互究】
小明和小亮两人来到一条河边准备估算河的宽度，她们发现一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小明站在离南岸边一定距离的地方看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，她们测量了一个数据就能估算河宽，你知道她们是怎么做的吗？
【检测互评】
1.如图,小东设计两个直角来测量河宽DE,他量得AD=2m,BD=3m,CE=9m,则河宽DE为
(
).
(A).5m
(B).4m
(c).6m
(D).8m
2.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，
AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为
.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§24.3.4相似三角形的应用
第十二课时
【学习目标】利用比例的性质和相似三角形的性质证明比例式或等积式.
【学习重难点】通过构建相似三角形或转换等量关系，证明比例式或等积式.
【学法指导】仔细阅读教材74页例8，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.比例的基本性质：如果(比例式），那么
（乘积式），
反之，如果，那么
.即比例式与乘积式可以互化.
2.四条线段能直接构成两个相似三角形.
如图,在平行四边形ABCD中,
E是AD上的一点。求证：AE·OB=OE·CB
3.四条线段不能直接构成两个三角形
已知，如图，F为平行四边形
ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说明AE2=EG·EF
【展示互导】
证明等积式，通常通过证明三角形相似，对应边成比例得到。所以证明等积式，关键要找证明哪两个三角形相似，找相似的三角形的方法是“三点定形法”，通过对比例式“横看”或“竖看”所得出的两组”三个不同点”确定两个三角形.
【质疑互究】
D是AC上一点，BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于F、G,且∠CAE=∠DBC,求证：BF2=FG·EF
【检测互评】
1.如图，已知，说明：·　　　　
2.如图，DE
⊥AB于点E，BC
⊥AD于点C，试说明：
3.在⊿ABC中,AB=AC,
∠DAE=∠B,求证：AB2=CD·BE
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.4中位线
第十三课
【学习目标】1.知道三角形中位线的概念.
2.经历三角形中位线的性质定理的形成过程，掌握定理，并能熟练利用它们
解决简单的问题.
3.知道三角形的重心的概念和重心的性质.
【学习重难点】三角形中位线定理的证明及应用
【学法指导】仔细阅读教材77—79页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.中线：连接三角形一条边的
与所对的顶点的线段，
叫三角形的
.
2.中位线：我们把连结三角形两边
的线段叫做三角形的_____________，
每个三角形都有
条中位线.
3.三角形中位线定理：三角形的中位线
第三边，并且
等于
.（证明过程详见教材77页）
几何语言：如图：△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC．（
）
4.已知：　在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是
DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
5.三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的_________，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的____.
如上中图：△ABC的三条中线相交于点O，则=
.
=
.
6.
三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
7.梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF
并延长并BC延长线于点G．求证：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
归纳：梯形的中位线平行于
,并且等于
.
【展示互导】
1.中位线定理体现了中位线与第三边的位置关系和数量关系，在运用时可选择使用，
2.重心定理中线被重心所分得的两条线段，长线段（重心与顶点）是短线段（重心与对边
中点）的2倍.
【质疑互究】
1.三角形的三条中位线将原三角形分得的4个小三角形
.
三角形的三条中位线组成的三角形的面积是原三角形面积的
.
三角形的三条中位线组成的三角形的周长是原三角形周长的
.
2.顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为原四边形的“中点四边形”.
①任意四边形的中点四边形是
.②矩形的中点四边形是
.
③菱形各边中点四边形是
.
④正方形中点四边形是
.
归纳：中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的关系.
⑤若中点四边形是矩形，则原四边形的对角线
.
⑥若中点四边形是菱形，则原四边形的对角线
.
⑦若中点四边形是正方形，则原四边形的对角线
.
【检测互评】
1.已知三角形的三条中位线分别为5厘米、8厘米、7厘米，则这个三角形的
周长为
.
2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG的长为
3.如下图，已知在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，则BF与DE的关系是（
）.
A.相等
B。互相垂直
C.垂直平分
D.互相平分
4.如右上图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，O在AD上，且为△ABC的重心，EF过点O平行于AC,则DF与BC的数量关系是（
）.
A.
B.
C.
D.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
专题
相似三角形中的辅助线(选用）
第十四课时
【学习目标】1.提高相似三角形的性质和判定的综合运用.
2.掌握相似三角形中常见的辅助线的作法.
【学习重难点】通过做平行线构造相似.
【自学互助】1.两条直线被一组
所截，所得的
成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段
．
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形
.
2.△ABC中，D为BC上一点，BD:DC=3:1，G为AD的中点，BG交AC于E点.
求EG:GB的值。
【展示互导】
已知,如图,梯形ABCD中,AB∥DC,AB=3DC,F是对角线的中点,BE交AD于F点.求AF:FD的值.
【质疑互究】
△ABC中，AB＜AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE、BC的延长线相交于点F，证明：AB DF=AC EF．
【检测互评】
1.如图,△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的点,BD:DC=1:3,AE:AC=1:4.求AF:FD的值.
2.ɑABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.5
位似图形
第十五课
【学习目标】1.知道位似图形，位似中心的定义、性质，能按要求放大或缩小一个图形；
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形.
【学习重难点】运用位似变化放大或缩小一个图形.
【学法指导】仔细阅读教材80—81页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似与
、
、
一样，
也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形
或
，
保持
不变．
2.位似的有关概念：两个相似多边形的对应点的连线相交于
，像这样的相似叫做
，这两个图形叫
，这个交点叫做
.
放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种_______关系．利用位似的方法，可以把一个多边形
或
．
3.画五边形ABCDE的相似形，以点O为位似中心，使它与原图的相似比为1∶2，
（1）使两个图形在点O同侧；
（2）使两个图形在点O的两侧.
4.画出所给图中的位似中心．
【展示互导】
画位似图形的步骤：
1.确定位似中心.位似图形的位似中心可以在两个位似图形的内部，也可以在两个位似图形的外部或在图形的顶点处（或边上).
2.以图形各顶点与位似中心作射线,并按照相似比取点.
3.顺次连接各点，得到的图形就是所求的图形.
【质疑互究】
已知形如木屋架的五边形ABCDE，点O在BC上，以O点为位似中心把五边形ABCDE缩小到原来的1∶2。
【检测互评】
1.下列命题正确的是（
）
A.全等图形一定是位似图形
B.相似图形一定是位似图形
C.相似图.形一定是全等图形
D.位似图形是具有某种特殊位置的相似图形
2.由位似变换得到的图形与原图形是（
）
A．全等
B．相似
C．不一定相似
D．肯定不全等
3.将△DEF按照如下方法作图，任取一点P，连接PD,PE,PF,并取它们的中点A,B,C,连接AC,BC,AB,下列说法正确的是
.
①△DEF
与
△ABC是位似图形，②△DEF
与
△ABC是相似图形；
③△DEF
与
△ABC的周长之比是2:1，④△DEF
与
△ABC的面积之比是4:1.
4.任意画一个五边形，再把它放大到原来的1.5倍．（选两个不同的点做位似中心画）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.6.1
用坐标确定位置
第十六课时
【学习目标】1．认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，
描述物体的位置.
2．能在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标.
3．理解平面上表示一个点的位置有不同的方式，灵活运用不同的方式确定物体的位置.
【学习重难点】用建立恰当的直角坐标和方位坐标确定物体的位置.
【学法指导】仔细阅读教材84—87页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.确定物体的位置用一对　　　　　　　　　　.
平面上画两条____________具有
的数轴，就组成了_____________________；坐标平面上的点用____________来描述它的位置.（完成教材85页试一试）
2．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角
坐标系，用点的坐标来表示各点的位置.
A:_______________B:________________
C:________________D:________________
3.地球仪上是通过
，
来确定位置的.
4.右图是国际象棋的棋盘，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示.E2在什么位置 A、B、C的位置分别描述为
，
，
.
5.用角度（方向）和距离确定点的位置
选择一个观测点，按照“上北，下南，左西，右东”建立方位坐标系，，再由已知的角度确定被观测点所在的方向，由距离确定其点的位置，这种方法在军事和地理中经常用到。方向角是以南北方向为准向两边偏，即“北偏东××度”，“北偏西××度”，“南偏东××度”，“南偏西××度”。方向角的取值范围是“0≤≤90”。常说的东北方向是指
（完成教材86页做一做）
【展示互导】
1.注意平面直角坐标系中，点的坐标的有序性.
2.原点的位置不同则某地的坐标也会不同，选择的单位长度不同，某地的坐标也会不同.
【质疑互究】
李亮家在学校北偏东60°距学校1000米的A处，张明家在学校北偏西30°距学校2000米的B处，王强家在学校的西南方向距学校2500米的C处，请你绘制一张表示这三个同学的家及学校位置的简图.
【检测互评】
1.已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），
（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．

（第1题）

2.对于边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.6.2
图形的变换与坐标
第十七课时
【学习目标】1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、相似的变
换之后，点的坐标相应发生变化.
2．探索图形在平移、轴对称、相似的变换，它们点的坐标的变化规律.
【学习重难点】运用图形坐标变化与图形变换规律解题.
【学法指导】仔细阅读教材88—92页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.我们知道，图形变换包括：__________、_________、_________、_________
.
2.在平面直角坐标系中关于x轴对称的两个点的坐标特征为
；
关于y轴对称的两个点的坐标特征为
；
关于原点对称的两个点的坐标特征为
.
3.点A（3，－2）关于
x
轴对称的点是_________，点A（3，4）关于
y
轴对称的点是__________，
P（2，3）关于原点对称的点是____________.
4.图形的平移：
左右平移
向右平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
向左平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
上下平移
向上平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
向下平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
归纳：图形沿着X轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标
，横坐标
右
左
.
图形沿着Y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标
，纵坐标
上
下
.
5.在平面直角坐标系中A(2,3);
B(7,4);C(8,5)将△ABC先向左平移1个单位，再向上平移3个单位长度得△ABC，直接写出△ABC各顶点的坐标；
【展示互导】图形位似变换后对应点的坐标变化取决于位似中心的位置及位似比的大小.
【质疑互究】
将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出变化后三个顶点的坐标。
①沿y轴向上平移2个单位；
②　关于y轴对称；
③　以点B为位似中心，放大到2倍。
【检测互评】
1、已知△ABC各顶点的坐标为A（2,1），
B（0,3），C（4,0）
（1）把△ABC向上平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
____
（2）把△ABC向右平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
___
（3）把△ABC先向下平移一个单位，再向左平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为
.
（4）关于X轴对称的三角形三个顶点坐标为
（5）关于原点对称的三角形三个顶点坐标为
2.如图，的顶点的坐标为（4，0），把沿轴向右平移得到如果那么的长为
.
3将点A
(3
,
l)绕原点O按顺时针方向旋转90°到点B，则点B的坐标是
.
4.若若已知点M(-1,0),点N(0,1)，则直线MN与y轴对称的直线解析式是__________,与x轴对称的直线解析式是__________,关于原点成中心对称的直线的解析式是：
将直线MN向右平移1个单位，然后向下平移一个单位，所得到的直线的解析式是：
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
回顾与思考
第十八、十九课时(2课时）
【学习目标】1．能理清本章的知识及其联系，填出知识结构图.
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，
提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识.
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也
发生变化，让学生体会到数与形之间的关系.
【学习重难点】相似三角形的判定和性质的运用
【学法指导】仔细阅读教材94页本章知识结构，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】知识系统：
三个概念：①成比例线段：线段a,b,c,d,满足
，
则称线段a,b,c,d是成比例的线段.
②三角形的中位线：连结三角形两边
的线段叫做三角形
的______________，每个三角形都有
条中位线.
③三角形的重心：三角形三条边上的
交于一点，这个点就是三角形的
.
五个性质：①比例的性质：
基本性质：如果(比例式），那么（乘积式），
反之，如果，那么。
合比性质：如果
那么
等比性质:如果(b+d+f+……+n≠0)，那么，
②平行线分线段成比例的基本事实及其推论：
两条直线被一组
所截，所得得
成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
③相似三角形的性质：
相似三角形的对应角
，对应边
.
相似三角形对应边上高的比，
对应边上的中线的比，对应角的角平分线的比都等于
相似三角形的周长之比等于______。面积之比等于____________________.
④相似多边形的性质：
相似多边形的对应角
，对应边
.
⑤三角形中位线的性质：
三角形的中位线
第三边，并且等于
,
一个判定：相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的两个三角形相似.
②两角
，两三角形相似.
③两边
，且
，两三角形相似.
④三边
，两三角形相似.
一个应用：相似三角形的应用
应用相似三角形可以物体的高度，河流的宽度，以及证明比例式和等积式.
一个作图：作一个图形的位似图形.
【展示互导】小组内和全班展示以上内容
【质疑互究】
本章常用的数学思想方法：
方程的思想：在本章有关推理，求值问题中，常常用对应边成比例，周长之比等于相似比等来建立方程求解.
例1.
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长.
分类的思想：相似三角形的对应边，对应角或其他条件不确定时，需要进行分类.
例2
一个钢筋三角架边长分别是20㎝，50㎝，60㎝，现要做一个与它相似的三角架，而只有30㎝和50㎝的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作另两边，共有几种截法？余料最少的截法截出的三角架三边长分别是多少？
转化思想：在证明有关比例式和等积式的问题时，要适当将其进行等价转化.
例
3
已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF//BC，DE交CB延长线于M，
AF交BC延长线于N，求证：MC＝BN
【检测互评】
1.已知求m的值。
2.如图，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．求证：．
3.（选用）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
4.如图5，AC⊥BD,垂足为C,过D作DF⊥AB，垂足为F，交AC于E,求证：EDBF=BDCE.
5.如图6，四边形ABCD是平行四边形，E是DC延长线上的一点，AE交BD于G，交BC于F，求证：AG2=FGGE
6.
如图已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
7.如图所示，在△ABC中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点.求证：四边形DEFG为平行四边形.
8.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
L
K
M
N
P
Q
C
B
B
A
C
D
E
A
D
E
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
E
2
1
A
B
C
D
E
A
D
C
E
B
A
D
E
B
C
M
A
B
C
D
E
N
M
D
B
A
P
C
E
B
C
A
D
A
B
D
C
E
A
B
C
F
G
E
D
A
D
C
B
E
F
A
B
C
D
E
F
O
A
C
D
E
G
C
D
A
B
E
F
B
A
C
D
E
F