华师大版 八年级上册 全册数学导学案

华东师大版八年级上期“五环四互”教学模式数学学案
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十四章
勾股定理
第1课时
§14.1.1直角三角形三边关系
（1）
【学习目标】
1.
经历探索数格子的方法发现勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．会应用勾股定理求直角三角形的边长
3.
体会有特殊到一般的数学思想.
【学习重点】：探索勾股定理的证明过程.
【学习难点】：运用勾股定理解决简单的实际问题.
【学法指导】
自学课本108-109，勾画出关键语句，完成自主学习，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、直角三角形的两个锐角
；
2、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则
这个直角三角形的面积可以
表示为：
.
3、右图是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个
正方形，正方形P的面积表示为边长AC2
，正方形Q的面积表示
为
，正方形R的面积表示为
，
两个小正方形P、
Q的面积之和与大正方形R的面积相等吗？
．即AC＋ＢＣ＝
。
这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的
等于
的平方．
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢
4、观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：
正方形P的面积＝
平方厘米；
正方形Q的面积＝
平方厘米；
请同学们小组讨论正方形R的面积该如何求
(提示：可以用“割”、“补”的方法去求.）
正方形R的面积＝
平方厘米．
正方形P、
Q、
R的面积之间的关系是：
．
正方形P、
Q、
R的面积可以分别表示为
BC2，
,
.
所以，直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系
　
．
总结结论：在一般的直角三角形中两直角边的
_____________斜边的平方.
概括归纳：勾股定理：直角三角形中两直角边的
__________等于
.
几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中，C＝
90°，
则：AC2+BC2=
；
若BC=a，AC=b，AB=c，则上面的定理可以表示为：
。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系。利用这个关系已知
直角三角形的任意两边，即可求出第三边的长度。但是要注意勾股定理运用的前提条件
在
三角形中。勾股定理的变形：a2=
,
b2=
a=
,b=
,
c=
【展示互导】
例1
在ΔABC中，∠C=
90°，
∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)已知a=5,b=12,求c.
(2)已知c=25,b=15,求a.
(注意哟！运用勾股定理求直角三角形第三边长时，一定要分清楚斜边和直角边）
【质疑互究】
已知a、b为RtΔABC的两直角边，c为RtΔABC的斜边，若RtΔABC的周长为24cm，c=10cm，求RtΔABC的面积。
【检测互评】
1.
填空题已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________
②若a=40，b=9，则c=________；
③若a=6，c=10，则b=_______；
④若c=25，b=15，则a=________。
2.
求下图中字母所代表的正方形的面积.
正方形A的面积为
，
正方形B的面积为
3.
在直角三角形中两直角边分别为6和8，则斜边为_______.
4.直角三角形中两边分别为6和8，则第三边为
.
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第十四章
勾股定理
第2课时
§14.1.1直角三角形三边关系
（2）
【学习目标】
1.
用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。
2．会应用勾股定理解决实际问题
【学习重点】：利用勾股定理解决实际问题
【学习难点】：构造直角三角形求解。
【学法指导】
自学课本第110至111页，每个同学准备四个全等的直角三角形。先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
（学生自学教材并完成填空后互助）
1.
勾股定理：直角三角形两直角边
。
2.
一直角三角形中有两条边的长为1和2，第三边长为
。
3.
在△ABC中，∠C=90°，
（1）若BC=5，AC=12，则AB=
；
（2）若BC=3，AB=5，则AC=
；
（3)
若AB=8.5，AC=7.5，则BC=
。
合作探究
：利用拼图验证勾股定理（课前准备四个全等的直角三角形）：
活动一
用四个全等的直角三角形拼出如图，并思考：
1．拼成的图中有_______个正方形，___个直角三角
形。
2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。
3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗
活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？
阅读教材124页，勾股定理的“无字证明”，了解勾股定理的其他验证方法。
例1.
.利用勾股定理解决简单的实际问题
　如图14.1.9，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，
使三角形ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC长160米，BC长128米.问从点A穿过湖到点B有多远？
【展示互导】
如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，请你求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？
【质疑互究】
【检测互评】
.1.
在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=
.
2.
在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c=
。
3.
在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=
，b=
。
4.
已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边长为
。
5.
在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，CB=8，则AB上的高为__________（等积法)
6.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，在男孩一直未动的情况下，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第十四章
勾股定理
第3课时
§14.1.2直角三角形的判定(1)
【学习目标】
1．探索并掌握直角三角形判定方法.
2．经历勾股定理的逆定理的探究过程，了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性.
3．通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
4．通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.
【学习重点】:
勾股定理的逆定理及其应用.
【学习难点】:
勾股定理的逆定理的证明及应用.
【学法指导】
自学课本第112至113页，先独立自主学习，勾画出关键语句，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.
如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是
2.
在RT△ABC中，∠C=90°.
①若a=7，b=24，则c=
；
②若a=5，c=13，则b=
；
③若c=25，b=15，则a=
；
④若b=6cm,a=8cm,则斜边AB=
，斜边AB上的高为
。
3.
一个三角形满足什么条件才是直角三角形？①
有一个角是
②有两
个角的和为
③三角形的三边a
,b
,c
满足
4.试画出三边长度分别为如下数据的三角
形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角
分类）
①
3，4，5
②
6,9,13
③
9,12,15
④
5，12，13
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.
并指出最长边所对的角是什么角
。
5.结论：如果三角形的三边长a,b,c满足
,那么这个三角形是直角三角形,
且最长边对的角是直角。
把它叫勾股定理的逆定理.
（思考）反之，如果三角形的两条较短的边的平方和不等于最长边的平方，那么这个三角形还是直角三角形吗？
___________
从勾股定理到勾股定理的逆定理：
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
勾股定理是直角三角形的性质定理,由直角三角形得到三边的关系,而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理,也可以作为证明两直线垂直的方法之一.
【展示互导】
例1
设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形，
并说出哪条边所对的角是直角.
①7，24.，25
②37，12，35
③
13，9，11
④
n2-1
,2n
,n2+1
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形，只要看两条较短的边的平方和是否等于最长的边的平方。
★★归纳：用勾股定理逆定理判断三角形是否是直角三角形的步骤:
①、确定最大边（如
c,
c边所对的角是∠C）
②、验证：与较小两边的
是否相等.
若相等，
则△ABC是以∠C=90°的直角三角形,
若不相等，则△ABC不是直角三角形.
勾股数：能够成为直角三角形的三条边长的三个
，称为勾股数。
常用的勾股数有①
3,4
；②
6,8，
，
③5,12，
；④8,15,
;
⑤7,24,
;
将一组勾股数同时扩大相同的倍数，仍是
。
【质疑互究】
若⊿A
BC三边长分别为a,b,c,且满足条a+b+c+338=10a+24b+26c,
试判断⊿ABC的形状。
【检测互评】
1.
请你完成以下为完成的勾股数：
①
8，15，_____
②
15，12，_____
③
10，
26，______
④
6，8，______
⑤
7，24，_______
2.
在△ABC中，AC=17，AB=8，BC=15，则∠ABC=________
3.
在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是
三角形，
是直角
5.
下列四条线段不能组成直角三角形的是（
）
A．a=8，b=15，c=17
B．a=9，b=12，c=15
C．a=，b=，c=
D．a：b：c=2：3：4
6..三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是(　　).
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
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第十四章
勾股定理
第4课时
§14.1.2直角三角形的判定(2)
【学习目的】
1.
掌握勾股定理及其逆定理，
2.
能够用勾股定理和勾股定理的逆定理解题
【学习重点】：逆定理的运用
【学习难点】：勾股定理和逆定理的综合运用
【学法指导】
自学课本第113至114页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.
勾股定理：直角三角形
。
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足_____________
,
那么这个三角形是
。
2.
下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（
）
A．、、7
B．5、4、8
C．、2、1
D．、3、
3.
已知Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c，若∠B=90○，则（
）
A．b2=a2+c2；
B．c2=a2+b2；
C．a2+b2=c2；
D．a+b=c
4.
若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=
m2＋n2，则△ABC是
三角形
【展示互导】
合作探究一：
用勾股定理及逆定理求四边形的面积。
例1.
如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,且∠CDA=900,
求这块草地的面积。
跟踪练习：.在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长.
探究二：
用勾股定理逆定理证明垂直
例2
.
如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE：BC=1：4，
求证：AF⊥EF
探究三：.用勾股定理逆定理
求角度(选用）
例3
.
如图2，点P是等边内一点，且PA=3，PB=4，PC=5,
求的度数.
(提示：将△BPC绕着点B逆时针旋转60度，得△BP,A,并连接PP’.)
【质疑互究】
跟踪练习：P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，
求∠APB的度数．
【检测互评】
1、
以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（
　　）
Ａ、８，15，17；　Ｂ、４，５，６；Ｃ、５，８，10；Ｄ、8，39，40
2.
下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（
）
A．、、7
B．5、4、8
C．、2、1
D．、3、
3.
若△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ2－ｃ2）＝０，则△ＡＢＣ是（　）
Ａ、等腰三角形
Ｂ、直角三角形Ｃ、等腰直角三角形
Ｄ、等腰三角形或直角三角形
4、
三角形的三边长a,
b,
c满足等式（a+b）-c=2ab,则此三角形的是
三角形。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
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第十四章
勾股定理
第5课时
§14.1.3
反证法
【学习目标】
1．通过实例，体会反证法的含义．
2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．
3．培养学生应用对立的角度解决问题的能力．
【学习重点】：反证法的证明步骤.
【学习难点】：如何找命题的反面.
【学法指导】
自学课本第114至117页，先独立自主学习，理解关键语句，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.反证法的步骤：①先假设
。
②然后通过
，推出与
、
或
③说明假设
，从而得到原结论
。
2.证明以1、2、3为边的三角形不是直角三角形。
假设这个三角形
，那么这个直角三角形较小的两边的
应该等于第三边的
，即12+22=32，
这与12+22
32相矛盾，所以假设
，即以1,2,3，为边的三角形不是直角三角形。
【展示互导】
例1，填空：
已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P.
求证：13与l2相交．
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　　　∥　　　　，
又∵　　　∥　　　　（已知），
∴　过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，
这与“　　　　　　　　　　　　　　　　　”相矛盾，
∴
假设不成立，即求证的命题成立，
∴
13与12相交．
方法总结：用反证法证明命题一般有三个步骤：
（1）假设命题的结论
（2）从这个假设出发，经过推理，得出
（3）由矛盾判断假设
，从而肯定
的结论
。
注意：①假设要正确，要注意问题的反面的多种可能，如果反面不是唯一的，有多种可能，应一一列举，不遗漏。②要推出矛盾。③反证法的三个步骤缺一不可。
【质疑互究】
用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
【检测互评】
1.用反证法证明“a>b”时应假设(
)
A.
a>b
B.
aC
.a=b
D.
a≤b
2
.用反证法证明”垂直于同一条直线的两条平行”时，第一个步骤是
3.
用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(
)
（A）假设至少有一个钝角
（B）
假设至少有两个钝角
（C）假设没有一个钝角
（D）假设没有一个钝角或至少有两个钝
4.求证在一个三角形中，如果两个角不等，那么他们所对的边也不等
。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十四章
勾股定理
第6课时
§
14.2勾股定理的应用(1)
【学习目标】
1.
能运用勾股定理解决“最短距离”问题
2.
学会将曲面展成平面问题来解决，树立数形结合的思想.
【学习重点】:学会构造直角三角形，熟练应用勾股定理来求最短距离。
【学习难点】：将几何体转化为平面图形来解决问题
【学法指导】
自学课本第120页例1，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
自学课本第120页例1
1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_____；
若AB=4，BC=3则AC=________．
2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，则第三边的长是______．
3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．问梯子至少需要
M。
4.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）
（1）将演草本卷成一个圆柱，标出A点和C点，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？
（2）如图，将圆柱的半个侧面展成一个长方形，长方形中AB是圆柱的
，
长方形中的AD是圆柱的
，从A点到C点的最短路程
是线段
的长度。求这个长度用
来解决。
（3）如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？
【展示互导】
温馨提示：大胆地展示自己和伙伴们的想法，再听听别的同学不同的看法，取长补短。方法总结：圆柱，正方体，长方体中解决最短路线的方法：
将几何体侧面展开后，把立体图形表面上两点之间的最短路线问题转化为平面上两点之间的距离，在具体问题中，关键是画出展开后的长方形，并正确标出所求距离的两个点的位置。
【质疑互究】
一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、
12cm，一只蚂
蚁想从盒底的A点爬到顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线
路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
【检测互评】
1.如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短
路程（取3）是（
）．
（A）20cm
（B）10cm
（C）14cm
（D）无法确定
2.
如果梯子的底端建筑物有5m，15m长的梯子可达到该建筑物的高度大约是（
）
A.13m
B.14m
C
15m
D.
16
m
3.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角
形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，
则
正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米．
4、.如图，直线l上有三个
正方形a,b,c,若a,c
的面积分别是5，11，则b的面积为
。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十四章
勾股定理
第7课时
§
14.2勾股定理的应用(2)
【学习目标】
1.
能够运用勾股定理解决简单实际问题
2.体会数学中的转化思想及.数形结合的思想.
【学习重点】：将实际问题转化为数学问题。
【学习难点】：准确画出几何图形。
【学法指导】
自学课本第121页例2，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
自学课本第121页例2
【展示互导】
1.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状
如图的某工厂，
问这辆卡车能否通过该工厂的厂门
分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，
与地面交于H．
跟踪练习：
一天，李京浩同学的爸爸买了一张底面是边长为250cm的正方形，厚30cm的床垫回家．到了家门口，才发现门口只有240cm高，宽100cm．你认为李京浩同学的爸爸能拿进屋吗？说明理由．
2.国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆5m时,绳子被拉直且下端刚好接触地面，试求旗杆的高．
【质疑互究】
在一棵树的10
m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20
m的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高
分析：如图，其中一只猴子从B→D→A共走了30m，另一只猴子从B→C→A也共走了30m，且树身垂直与地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决。
【检测互评】
教材121页练习题1,2.
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十四章
勾股定理
第8课时
§
14.2勾股定理的应用(3)
【学习目标】
1.
准确运用勾股定理及逆定理
2.
经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理应用方法,应用“数形结合”的思想来解决。
3.
培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。
【学习重点】：掌握勾股定理及逆定理
【学习难点】：正确运用勾股定理及逆定理
【学法指导】
自学课本第122页例3，先独立自主学习，弄清解题过程，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
自学课本第122页例3
1.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都
为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出
发一条线段AB使它的另一端点B在格点（即小正方形的顶点）
上，且长度为，（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等
腰三角形，使另一个顶点在格点上.
2.（选用）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的
边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点
A出发一条线段AB使它的另一端点B在格点（即小正方
形的顶点）上，且长度为，（2）画出所有的以
（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，
且另两边的长度都是无理数
【展示互导】
1.已知CD=６m，
AD=８m，∠ADC=90°，
BC=24m，AB=26m。
图中阴影部分的面积．
2.（选用）：已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，
BC＝4，CD＝12，AD＝13,求
四边形ABCD的面积。
【质疑互究】
如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，AD＝14cm，按如图方式折叠，使点D与点B
重合，折痕为EF，求DE的长。
变式训练：
用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
【检测互评】
1.在△ABC中，∠C=90°，（1）已知a=2.4,b=3.2,则c=_______。
(2)
已知c=17,b=15,则△ABC的面积等于______________。(3)
已知∠A=45°，c=18,则=_______。
2.△ABC的周长为40cm,
∠C=90°，BC:AC=15：8，则它的斜边长为_______。
3.为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,
地毯的长度至少需要________________米．
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十四章
勾股定理
第9课时
小结与复习(1)
【学习目标】
1.掌握直角三角形的边角之间的关系，熟练运用勾股定理和其他性质解决实际问题．
2.经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用．
3.培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值．
【学习重点】：熟练运用勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．
【学习难点】：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来．
【学法指导】
自学课本第125页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2=c2）
勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a、b、c有a2+b2=c2，那么这个三角形是直角
三角形.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系:
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理.
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.
2、常见的勾股数
，
，
，
，
。
3、解决有关图形折叠的计算问题常见的方法是
。
4、解决立体图形的最短路线问题是分析观察找切开点和切开线，确定展开方向，展开。
5、如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形:
⑴首先确定最大边；⑵验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形.（若c2>a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c26、构筑知识系
【展示互导】
1.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是___________．
2．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差
为cm,则这个三角形是______________________．
3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外
壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行
cm
4.在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高2米的小树，两树之间相距8米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）
【质疑互究】
【检测互评】
1.
下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（
　
）
A．6，7，8
B．5，6，7
C．4，5，6
D．3，4，5
(
http:
/
/

/
)
2．
下列各命题的逆命题成立的是（
　）
(
http:
/
/
www.21cnjy.com
/
"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网
)
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
(
http:
/
/
www.21cnjy.com
/
"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网
)
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
(
http:
/
/
www.21cnjy.com
/
"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网
)
3．
在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（　　　）．
4
已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,
则图中阴影部分的面积为
5．.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，
另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（
　）
A．50cm
B．100cm
C．140cm
D．80cm
6.已知如图8，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，
CD=12，AD=13，求这个四边形的面积
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十四章
勾股定理
第10课时
小结与复习(2)
【学习目标】
1.巩固勾股定理及其逆定理的灵活运用
2.通过例题解读让学生体会常用的数学思想，包括数形结合思想，转化思想，方程思
想和分类讨论的思想。
【学习重难点】：实际问题转化为数学问题
【学法指导】
本节为习题课，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.数形结合思想
勾股定理是由图形：直角三角形的特征来研究边的关系的，其逆定理是利用三角形三遍的数量关闭系来判断一个三角形是不是直角三角形的定理。他们都是把数和几何图形统一了起来，体现了数学中的主要思想：数形结合思想，在具体的问题中还表现在将实际问题转化为数学模型，以及通过图形的展开求两点之间的最短距离。
如图，在5×5的正方形网格中，每个小正
方形的边长都为1，请在给定网格中，画出满足下
列条件的直角三角形，并分别写出三边长。
（1）三条边中只有一条边长是无理数；
（2）三条边中有两条边长是无理数；
（3）三条边中有三条边长是无理数。
2.转化思想
转化思想是一种很重要的思想方法，能把不熟悉的条件转化为熟悉的条件，把分散的条件转化为集中的条件。
如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
3.方程思想
方程思想是根据题意，将题目中的已知量与未知量之间的关系转化成方程，在求出未知量的一种数学思想方法。勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，因此在许多问题中都需要利用勾股定理来求一些线段的长度，当题目中线段之间的关系比较复杂时，往往需要把所求的线段的长度设为未知数，在根据勾股定理列出方程求解。在折叠问题中，经常会用到这种思想。
铁路上A、B两站相距25km,CD为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，如图所示，已知DA=15km，BC=10km,现在要在铁路AB上新建一个土特产品收购站E，使C、D两村到E的距离相等，则E站应距A多远？
4.分类讨论思想
分类讨论思想是一种重要的数学思想，它能将复杂的情况或者事物通过分类变得条理清楚，有章可循，当被研究的问题含有多种可能时，就需要用到分类讨论的思想，本章中一些与勾股定理有关的多解问题，解题时常需要进行分类讨论。
在一个直角三角形中，已知两边长分别为6和8，求第三边的长和周长。
【质疑互究】
体会常用的数学思想，包括数形结合思想，转化思想，方程思想和分类讨论的思想。
本节课我还存在未解决的问题是
。
【检测互评】
完成教材126-128页的复习题.
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
图1.1-1
互为逆定理
A
B
C
D
D
A
B
C
E
F
A
B
C
D
P
l3
P
l1
l2
B
A
10cm
4cm
cm
A
A
C
D
B
A
C/
_
A
_
B
_
C
_
D
图8华东师大版八年级上期“五环四互”教学模式数学学案
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十五章数据的收集与表示
第1课时
数据的收集
【学习目标】
1、
体会数据的有用性。
2、
知道收集数据的过程。
3、
掌握频数与频率的概念，会求频数与频率。
【学习重难点】
理解数据的有用性，会计算频数和频率。
【学法指导】
自学课本第130至133页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
（学生自学教材并完成填空后互助）
自主学习与交流：自学教材130----133页内容试完成下列问题
1.数据的作用：生活离不开数据，数据有助于我们发现一些有趣的现象或
，进而做出合理的
。
2.数据收集的过程。（举例说明）
第一步：
；第二步：
第三步：
；第四步：
第五步：
；第六步：
3.
叫做频数，
叫做频率。频数和频率都能反映对象出现的
。频数、总次数、频率之间的关系（用公式表示）频数=
总次数=
频率=
频率的大小除了与频数有关，还与
有关，所以频数越大，频率不一定越大。
四、合作探究
1.在一次优秀干部的评选活动中,得票结果如下表所示.(总票数为50)
候选人
小林
小明
小华
小丽
唱票记录
正正正正—
正下
T
正正
得票数
21
8
2
19
上表数据显示,小林的得票频数是____,得票频率为____;小丽的得票频数是____,得票频率为____.你能计算出小华、小明、小丽三人得票的频数和频率各是多少吗？
2.以小组为单位，做“抛硬币”的游戏.游戏时，请一个同学负责记录出现正面和反面的频数，填入下表游戏结束后，四个同学一起计算一下出现正面和反面的频率.
抛掷结果
10次
20次

50次
频数
频率
频数
频率
频数
频率
出现正面次数


出现反面次数

通过上面我们可以知道,正面出现的频数和反面出现的频数之和等于____, 正面出现的频率和反面出现的频率之和等于_________.
【展示互导】
一学期学习就要结束了，同学们将怎样渡过一个寒假，各自有怎样的安排，以及打算进行怎样的一些活动，请在全班同学中做一次调查，并回答下列问题：
（1）这次调查的问题是什么？（2）调查的对象是什么？（3）调查中你将设计哪些问
题？并以什么样的方式呈现？
【质疑互究】
【检测互评】
1.下面哪项调查适合用投票的形式进行数据的收集（
）
A.5月4日式什么节日
B.你班谁在其中考试中数学第一。
C.哪个国家在2012年的奥运会中获得的金牌最多
D.谁最适合当班长。
2.某同学随手写了下面一串数字：0100100011000011100000111101000001111101.其中
0出现的频数是____频率是____;1出现的频率____,频率是___.
3.已知一个县有40人参加全国初中物理竞赛，把他们的成绩分为六组，第一组到第四
组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.20，则第六组的频率是___________。
4.“I
like
maths
very
much”中h字母的频数和频率分别为___
__，______。
5.对100个数据进行整理时分成5组，第一组的频率是0.15，第二组的频率是0.2，
第四组和第五组的频率和是0.37,(1)第三组的频率是多少？(2)第二组数据是多少？
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十五章数据的收集与表示
第2课时
数据的表示——扇形统计图
【学习目标】
1、能识别简单的统计表、折线图、条形图、扇形图来表示你所收集到的数据，并能根据图表说出所反映和传递的信息。
2、通过对已知数据的收集与分析，会画扇形统计图，理解数据与图表之间的联系。
【学习重难点】：根据信息绘制扇形统计图，能说出图表所反映的信息。
【学法指导】
自学课本第135至138页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
（学生自学教材并完成填空后互助）
1.我们学过的统计图有
、
、
，它们都是数据的表现形式。三种统计图的各自特点是什么？
2.以整个圆表示总数，用圆内各个扇形表示各部分数占
，这样的统计图叫做扇形统计图。
3.在表示各部分数量在总数量中所占份额时常常使用
统计图。
4.制作扇形图的一般步骤
（1）先算出各部分数量占
的百分之几；[]
（2）再算出表示各部分数量的扇形的
度数；
（3）取适当的半径画一个圆，并按上面算出的
度数，在圈里画出各个扇形；
（4）每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的
，并用不同的
颜色或条纹把各个扇形区别开。
5.小明班上的同学在一次课外活动中，有8人打乒乓球，12人打排球，10人打篮球，
6人打羽毛球，剩下的4人当裁判员，请你制作扇形统计图表示参加各项活动人数占
总人数的百分比。
⑴计算参加各项活动人数占总人数的百分比．
全班人数：8＋12＋10＋6＋4＝40；
打乒乓球的：
；
打排球的：
；
打篮球的：
；
打羽毛球的：
；
当裁判员的：
。
⑵再计算相应扇形的圆心角．
3600×
＝
；3600×
＝
；3600×＝
；
3600×
＝
；3600×
＝
。
⑶画出扇形统计图．
⑷扇形统计图的扇形圆心角的度数如何计算？
【展示互导】
如图所示是天和商场5月份销售A、B、C、D四种品牌的空调机情况
的统计图。（1）哪种品牌空调机销售量最多？其对应的扇形图的
圆心角为多少？
（2）若该月C种品牌空调机的销售量为100台，那么其余三种品牌空调机销售量多少台？
【质疑互究】
【检测互评】
1.能清楚反映出个不封数量占总数量的百分比的统计图是（
）
A.条形统计图
B.扇形统计图
C.折线统计图
D.以上三种统计图都可以
每人捐书的册数
5
10
15
20
相应捐书的人数
17
22
4
2
2.某班全体同学在“献爱心”活动中都捐了图书，捐书的情况如下表所示，根据题目中所给条件回答下列问题。
（1）该班的学生共______名；
（2）全班一共捐了______册；
（3）若该班所捐图书按图所示比例送给山区学校、本市兄弟学校和本校其他班级，则
送给山区学校的书比送给本市兄弟学校的书多
册。
步行
60人
骑自行车
100人
坐公共汽车
130人
其他
10人
3.下面收集的是某校七年级300名学生上学的数据，
将表中数据制成扇形统计图
[来源:学
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十五章数据的收集与表示
第3课时
数据的表示——利用统计图表传递信息（1）
【学习目标】
【学习重点难点】：
统计图表的设计，从统计图表中获取信息。
【学法指导】
自学课本第139至141页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
阅读教材完成下列问题：
1.统计表：用
的形式表示数据。可以清楚地将
分门别地列出来，当数据之间
的关系比较复杂时，可以通过子栏目继续对数据进行
。
2.条形统计图是用
来表示数据特征的统计图。如果有两个对
象的相应数据表示
。
3.扇形统计图是用
的总体，用圆中
代表组成整体的各个部
分，扇形
的大小反映出各组成部分的数量在总数量中所占的份额的大小。+X+X+K]
4.折线统计图用
表示数量变化规律的统计图。根据数量的多少描绘出各点，
然后把各点用线段顺次连接起来所得到折线统计图。
5.中国人口占世界人口的20%，在扇形统计图中表示中国部分的圆心角度数为
。
6.能清楚的反映具体情况（或数据）的是
统计图；能反映各部分在总体中所占
的百分比是
统计图；能反映出事物的变化趋势的是
统计图。
7.解放以来，我国的国内生产总值(GDP)一直呈上扬趋势，1952年只有679亿元，1962年上升到1
149.3亿元，1970年上升到2
252.7亿元，1980年上升到4
517.8亿元，1990年上升到18
547.9亿元，2000年上升到89
404亿元(摘自《经济日报》2001年3月4日第7版).（1）设计一张统计表，简明地表达这一段文字信息；（2）再设计一张条形统计图，直观地表明这种上扬趋势；（3）从以上两张统计图表中，你能得出那些结论？
【展示互导】
根据统计图填空：
工厂共有工人________人，其中人数最多的是________，所占百分比为________，人数最少的为________，
所占百分比为________。
【质疑互究】
【检测互评】
1.
要反映某种股票的涨跌情况，最好选择（
）
A.条形统计图
B.折线统计图
C.扇形统计图
D.股票大厅的流动字幕
2.下面是一位病人在生病期间护士帮他记录的体温，请在下图用折线图恰当的表示[]
从自己画的统计图中读信息，并填空：
（1）这位病人的体温最高是
，最低是
。
（2）在4月8日温度最高值与最低值的差值为
。
（3）从体温表中，猜测一下这位病人的病情是
（填“恶化”或“好转”）
4.某地为了解从2015年以来初中学生参加基础教育课程改革的情况,随机调查了本地区1000名初中学生学习能力优秀的情况.调查时,每名学生可以在动手能力,表达能力,创新能力,解题技巧,阅读能力和自主学习等六个方面中选择自己认为是优秀的项.调查后绘制了如下图所示的统计图.请根据统计图反映的信息解答下列问题:
①学生获得优秀人数最多的一项和最有待加强的一项各是什么
②这1000名学生平均每人获得几个项目为优秀
③若该地区共有2万名初中学生,请估计他们表达能力为优秀
的学生有多少人 []
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十五章数据的收集与表示
第4课时
数据的表示——利用统计图表传递信息（2）
【学习目的】
1、能用简单的统计表、折线图、条形图、扇形图来表示你所收集到的数据，并能识别它
们各自的优点。
2、通过对数据的收集的学习，掌握分类比较的思考方法，理解数据与图表之间的联系。
【重难点】根据已知数据来绘制统计图表，从已知统计图表中获取信息和传递信息。
【学法指导】
自学课本第141至143页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.用10分钟的时间，回顾课本，认真研究例题以及典型题目。
2.把自己的疑惑写出来供小组共享，分小组解决。
3.集中解决小组不能解决的问题。
4.下图反映的是某商场今年1-5月份的商品销售额统计情况。解答下列问题：
（1）来自商场财务部的报告表明，商场1-5月份的销售总额一共是370万元。请你根
据这一信息补全图（1），并写出两条由上两图获得的信息
（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？
（3）小华观察图（2）后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看
法吗？为什么？[]
活动项目
划记
人数
体育运动
正
正
10
学科兴趣小组
正
正
10
音乐
正
正正
正
20
跳舞
正
5
美术
正
5
2.某同学对全班50位学生最感兴趣的课外活动项
目进行了调查，绘制成下面的统计表：
其中全班最感兴趣的活动项目是______，全班50人，
只有15人视力正常，则视力正常率为_____。
【展示互导】
某校八年级学生在社会实践中，调查了500位市民某天早上出行上班所用的交通工具，结果用以下扇形统计图表示．
【质疑互究】
【检测互评】
1.如图，是护士统计一位病人的体温变化图，
这位病人中午12时的体温约为（
）
A.39.0℃
B.38.5℃
C.38.2℃
D.37.8℃
2.某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，下图是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，已知该校学生共有2560人，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法中，不正确的是（
）A.被调查的学生有60人
B.被调查的学生中步行的有27人。C.估计全校骑车上学的学生有1152人
D.扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为54°
3.调查某班同学上学使用的交通工具中，自行车占60%，公交车占30%，
其他占10%，请在右下图中补全扇形统计图描述以上统计数据。
所占百分比
所对应圆周角度数
使用自行车
使用公交车
使用其他交通
[]
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十五章数据的收集与表示
第5课时
小结与复习
【学习目标】
1．当大量的数据呈现在我们面前时，会收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策
提供依据。
2．明白调查和借助统计图表是收集和表示数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表
示数据的基本手段。
3.
了解扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，条形图能准确地表示出
每个项目的具体数目，折线图能清楚地反映事物的变化趋势，会选用统计图表示数据。
【学习重点】能说出图表所反映和传递的信息。
【学习难点】根据已知数据来绘制统计图，能理解各自图表的特点并加以应用。
【学法指导】
自学课本，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
一、知识要点
1.生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这
些数据，从而为我们的决策提供依据。
2.调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本
手段。
扇形统计图能清楚地表示
，条形图能准确地表示
，
折线图能清楚地反映
。
【展示互导】
.在冬季篮球赛中，选手小明在第六、第七、第八、第九场比赛中分别得了23分、14分、11分和20分，他的前九场平均成绩高于前五场的平均成绩，如果他的前十场的平均成绩等于18分，那么他的第十场的成绩至少为（
）。
A.
27分
B.
29分
C.
31分
D.
33分
【质疑互究】
【检测互评】
1.某班全体学生进行了一次篮球投篮比赛，每人投球10个，每投进一球得1
分得分的部
分情况如下表所示
得分
0
1
2
……
8
9
10
人数
7
5
4[][]
……
3
4
1
已知该班的学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班学生有______。
2.某水果公司以2元/kg的单价新进了10000kg柑橘，为了定出合理销售价格，水果公
司需将运输中损坏的水果成本折算到没有损坏的水果售价中，销售人员从柑橘中随机抽
取若干柑橘统计柑橘损坏情况，结果如下表：
柑橘质量（kg）
50.
200
500
损坏质量(kg)
5.50[]
19.94
51.54
如果公司希望全部售完这批柑橘能够获得5000元利润，那么在出售柑橘时，每千克大约
定价_______元
3.下图反映的是某商场今年1~5月份的商品销售额统计情况。解答下列问题：
（1）来自商场财务部的报告表明，商场1~5月份的销售总额一共是370万元.请你根据这
一信息补全图（1），并写出两条由上两图获得的信息.（2）商场服装部5月份的销售额是多少万元？（3）小华观察图（2）后认为，5月份服装部的销售额比4月份减少了，你同意他的看法吗？为什么？
4.（2006～2014年蓬溪县农民人均纯收入
）
年份
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
人均收入
1634
2302
2709
2948
3185
3345
3510
3701
4012
（1） 通过上表数据信息农民人均纯收入有什么变化？（2）上表中2010年的农民人均纯
收入多少？（3）该表反映出我们一个什么社会问题？（4）你能否把把这些数据绘制成折线统计图？折线统计图中的连线是为了显示什么？
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
D
40%
C
20%
B
30%
A华东师大版八年级上期“五环四互”教学模式数学学案
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第13章
全等三角形
第一课时13.1
命题（１）
【学习目标】
1、掌握命题的概念,并能分清命题的组成部分。
2、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解。
3、初步培养不同几何语言相互转化的能力。
【学习重点】：命题的概念
【学习难点】：分清命题的组成部分，指出题设、结论。
【学习关键】：判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解
【学法指导】
自学课本第54至55页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
（学生自学教材并完成填空后互助）
1、定义：
的语句,叫做命题
称为真命题，
称为假命题．
2、判断下列语句是不是命题
(1)如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行;
(2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
(3)过直线L外一点P画直线L的平行线
3、许多命题都由
和
两部分组成.
是已
知事项,
是由已知事项推出的事项
4、命题常写成"如果……那么……"的形式,这时,"如果"后接的部分是
"
那么"后接的的部分是
命题的分类
：
真命题：
。
假命题：
（定理：
的真命题。）
5、把下列命题改写成"如果……那么……"的形式:，并指出题设和结论，最后判断其真假
（1）互补的两个角不可能都是锐角：
。
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行：
。
【展示互导】
1、判断下列语句是不是命题
(1)对顶角相等;
(2)如果两条直线不平行,那么同位角不相等.
(3)什么叫做对顶角？
2、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请说明理由
（1）相等的角都是直角
（2）两直线平行，内错角相等
（3）若a
2=b2
则a=b
(4)
三角形的外角大于它的内角
3、把下列命题改写成"如果……那么……"的形式:，并指出题设和结论，最后判断其真假
（1）对顶角相等：
。
（2）异号两数的和为负数：
。
本节课我还存在未解决的问题是
。
【质疑互究】
命题“同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例。
【检测互评】
1、下列语句不是命题的是（
）
A、两点之间，线段最短
B、不平行的两条直线有一个交点
C、x与y的和等于0吗？
D、对顶角不相等。
2、下列命题中真命题是（
）
A、两个锐角之和为钝角
B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角
D、锐角小于它的余角
3、把下列命题改写成"如果……那么……"的形式，并指出下列命题的题设和结论:
（1）绝对值相等的两个数相等.
(2)
两直线平行,同旁内角互补;
(3)
同旁内角互补,两直线平行;
(4)
等式两边乘同一个数,结果仍是等式;
4、判断下列语句是不是命题
（1）两条直线相交，只有一交点（
）
（2）画线段AB的中点（
）
（3）若|x|=2，则x=2（
），（4）角平分线是一条射线（
），（5）延长线段AB（
）
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第2课时
13.1
定理与证明（２）
【学习目标】
1、了解公理、定理与证明的概念，他们之间的内在联系和证明的必要性；
2、了解定理与公理都是真命题，它们都是推理论证的依据。
3、掌握已学过的公理和定理.
【学习重点】：公理、定理的区别和联系以及如何证明一个命题的真假。
【学习难点】：运用基本事实和定理解决相关的计算及证明等问题。
【学法指导】
自学课本第55至57页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；（
）
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；（
）（3）如果|a|=|b|
，那么a=b；（
）
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（
）
（5）两点确定一条直线．（
）（6）相等的角是对顶角.（
）
（7）两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等，那么内错角也相等.（
）
2、
通过自学完成下列问题:
　
1.
叫做公理。如：
（1）
（2）
（3）
2.
叫做定理。
如：
（1）
（2）
（3）
3、根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做
。
4、判断下面命题1的真假，并思考如何判断命题的真假．并对其进行证明.
命题1：同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．
问1：命题1是真命题还是假命题？
问2：你能将命题1所叙述的内容用图形语言来表达吗？
问3：这个命题的题设和结论分别是什么呢？
题设：
结论：
问4：你能结合图形用几何语言表述命题的题设和结论吗？
已知（条件）：
求证（结论）：
问5：请同学们思考如何利用已经学过的定义定理来证明这个结论呢？
【展示互导】
证明命题1：
【质疑互究】
证明：命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题。
【检测互评】
1.在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做
。
例如：
2.用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做
例如：
3.某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（
）
A．直线的公理;
B．直线的公理或线段最短公理
C．线段最短公理;
D．平行公理
4.证明：当a＞
b时，则a2＞
b2。这个命题是假命题。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第3课时
13.2..1全等三角形
【学习目标】
1、理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
2、掌握全等三角形的性质，并运用性质解决有关的问题。
3、会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养大家的符号意识。
【学习重点】：运用全等三角形的性质解决相关的计算及证明等问题。
【学习难点】：全等三角形的表示：对应顶点的字母写在对应位置
【学习关键】：会用符号表示全等三角形及他们的对应元素
【学法指导】
自学课本第59页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、能够完全重合的两个三角形叫做
（如下图）。
2、“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”，如上图记作△ABC≌△A1B1C1
叫对应顶点，A←→A1,B←→B1,C←→C1
叫对应边，AB←→A1B1,AC←→
,
←→B1C1
叫对应角,∠A←→∠A1,∠B←→∠
,∠C←→∠
注意：书写全等式时要求把对应顶点字母放在
的位置上。
3、全等三角形的性质。
全等三角形的
相等，
相等。
用符号表示为
∵△ABC≌△A1B1C1
∴
AB=A1B1,
BC=B1C1,
AC=A1C1
（全等三角形的
)
∴
∠
A=
∠
A1,
∠
B=
∠B1
,
∠
C=
∠C1（全等三角形的
)
【展示互导】
温馨提示：大胆地展示自己和伙伴们的想法，再听听别的同学不同的看法，取长补短。
在找全等三角形的对应元素时一般有什么规律
( file: / / / C:\\WINDOWS\\Temporary%20Internet%20Files\\Content.IE5\\8BPZ6AV5\\quandengbianhuan.swf"
\t
"_parent )？
有公共边的，公共边是对应边
a)
有公共角的，公共角是对应角
b)
有对顶角的，对顶角是对应角.
c)
一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边；
d)
一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角。
【质疑互究】
如图△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应角.在△EFG中，FG是最长边.
在△NMH中，MH是最长边.EF=2.1㎝,EH=1.1㎝,HN=3.3㎝.
（1）写出其他对应边及对应角.
（2）求线段MN及线段HG的长.
【检测互评】
1.
若△ABC≌△DEF，回答下列问题：
（1）若△ABC的周长为17
cm，BC=6
cm，DE=5
cm，则DF
=
cm
（2）若∠A
=50°，∠E=75°，则∠B=
2.
如图，△AOB≌△COD，那么∠ABD与∠CDB相等吗？为什么？
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
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小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第4课时
13.２.2全等三角形的判定条件
【学习目的】
1.知道三角形全等的性质与三角形全等的判定是两个相反问题，领会三角形全等判定的意义。
2．通过画图，经历探究过程，得出：只满足一个条件或两个条件对应相等的两个三角形
不一定全等，培养探究能力。
【重难点】探究“只满足一个或两个条件的两个三角形不一定全等”，归纳获得数学结论。
【学法指导】
自学课本第59至61页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.满足“一个条件对应相等”
（画图说明，并叙述画法）
（1）一边对应相等，这两个三角形全等吗？[]
（2）一角对应相等，这两个三角形全等吗？
[]
2.满足“两个条件”，分几种情况？分别是什么？答：_
选择两种情况进行画图说明.
你得出的结论是：________________________
_________
3.请你大胆的猜想“满足三个条件”的又有哪些情况 分别是：
【展示互导】
1.
如图，如果△ABC≌△A′B′C′
那么我们可知________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
2.
如果△ABC和△A′B′C′
满足条件:
__________________________________________________就能保证△ABC≌△A′B′C′
3.细心研读本节课本中的“探索”先说明，[]
(1)六个条件分别是：
(2)“六个条件中的一个”，分几种情况：
(3)
“六个条件中的两个”
分几种情况：
(4)完成探索的问题解答(在练习本上),得出的结论是:
【质疑互究】
【检测互评】
1.如图，△AOD≌△BOC，写出其中相等的角。
2.如图，△ABC≌，，
，，你能求
出那些边与角
3.如图，△ABC≌△DEF，且A和D，B和E是对应顶点，则相等的边有
，相等的角有
。
4.已知△ADC≌△CBA，且，写出相等的边、角。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第5课时
13.２.3边角边
【学习目标】
1、知道三角形全等“边角边”的内容．
2、会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件。
3、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论
【学习重难点】：掌握三角形全等“边角边”的内容，会运用“SＡS”判定三角的过程形全等。
【学习关键】：会运用“SＡS”识别三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件。
【学法指导】
自学课本第62至65页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？为什么？
（1）在上面的例子中我们已知哪些条件（从三角形的边、角关系作答），得到什么结论？
（2）由（1）中的回答，你能得到什么猜想？
2、上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：
(1)读句画图：
①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取
B、C，使
AB＝4cm，
AC＝3cm．
③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．
(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？
3、完成“做一做”，复述画图过程，写出“做一做”反映的规律___________________________
4、边角边定理：如果两个三角形有
及其
分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“
”或简记为（
），用几何语言表示为：
如图，在△ABC与△中
∵
∴
△ABC≌△（SAS）
总结:用SAS证明三角形全等的一般步骤是:
【展示互导】
1如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD
求证：DC∥AB
2
已知
AC=DB,
∠1=∠2.
求证:
∠A=∠D
3.如右图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件________，使得AC＝DF.
4.如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。
【质疑互究】
思考：如果“两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等吗？”
画一画：三角形的两条边分别为4cm和3cm，长度为3cm的边所对的角为30度,画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？把你的发现和同伴交流。
【检测互评】
1.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)面积相等的两个三角形全等.
（
）(2)两边对应相等的两个三角形全等.
（
）
(3)一边一角对应相等的两个三角形全等.
（
）
(4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
（
）
(5)两边和一角对应相等的两个三角形全等.
（
）
2.如图,已知AC和BD相交于O,且BO＝DO,AO＝CO,下列判断正确的是（　　）[来源:学
科
网Z
X
X
K]
A．只能证明△AOB≌△COD　　
B．只能证明△AOD≌△COB
C．只能证明△AOB≌△COB　　
D．能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
3.如图，已知：AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF.求证：∠D＝∠B.
证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠
（两直线平行，
相等）.
∵AE＝CF，
∴AF＝
.
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB（
）.
∴
＝
.
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上
求证：BE=AD
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第6课时
13.２.4角边角
【学习目标】
1、通过画图，经历探究ASA的过程，会简单运用这一结论证明两个三角形全等.
2、经历AAS的探究过程，会由ASA推出AAS，会简单运用AAS证明两个三角形全等.
3、知道三角对应相等的两个三角形不一定全等　
【学习重点】：ASA及AAS的探究和运用.
【学习难点】：ASA和AAS的运用.
【学习关键】：经历AAS的探究过程，会由ASA推出AAS，会简单运用ASA和AAS证明两个三角形全等.
【学法指导】
自学课本第66至70页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、思考
如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？
这时同样应有两种不同的情况：　如图所示，一种情况是两个角及这两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边．
2、探究一：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？
(1)动手试一试。已知：△ABC
BC=4cm，∠B=600，∠C=400
求作：△，使=∠B,
=∠C，
=BC，（不写作法，保留作图痕迹）
(2)
把△剪下来放到△ABC上，
(3)
观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
3、探究二、两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等
（1）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？
（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（三）：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(3)用数学语言表述全等三角形判定（三）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
【展示互导】
例1：如图19.2.9，已知∠ABC＝∠DCB，　
∠ACB＝
∠DBC，
求证：　△ABC≌△DCB．
例2：已知：如图
,
AB=AC
,
∠B=∠C，BE、DC交于O点。求证：BD=CE.
【质疑互究】
同组同学合作讨论ASA与AAS这两种全等识别法间的关系？
联系：
区别：
【检测互评】
1.满足下列哪种条件时,就能判定△ABC≌△DEF
(
)
A.
AB=DE,BC=EF,
∠A＝∠E;
B.
AB=DE,BC=EF,
∠C＝∠F
C.
∠A＝∠E,AB=EF,
∠B＝∠D;
D.
∠A＝∠D,AB=DE,∠B＝∠E
2.如右图所示,已知∠A＝∠D,∠1＝∠2,那么要
得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是:(
)
A.
∠B＝∠E
B.ED=BC
C.
AB=EF
D.AF=CD
3.如2题图,
在△ABC和△DEF中,AF=DC,
∠A＝∠D,当_______时,可根据“ASA”证明△ABC≌△DEF
4.已知,如图AB∥DC,OB=OD,
求证:OA=OC
5.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，
求证（图1）：AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请任选一种情形说明理由．

【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第7课时
13.２.4角边角
【学习目标】
1、理解ASA公理及AAS定理，会简单运用结论证明两个三角形全等。
2、明白三角形全等是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一。
3、能证明全等三角形对应边上的高、中线、角平分线相等这类型的文字命题。　
【学习重点】：ASA及AAS的运用.
【学习难点】：SAS、ASA和AAS的综合运用.
【学习关键】：经历AAS的探究过程，会由ASA推出AAS，会简单运用ASA和AAS证明两个三角形全等.
【学法指导】
自学课本第69至70页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
例4
如图13.2.13，在△ABC中，D是BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB,交AD的延长线于点E。求证：AD=ED
概括：要证明两条线段相等，先发现它们分别属于哪两个三角形，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论。这是证明两条线段相等的一个重要方法。同样，要证明两个角相等也如此。
例5
求证：全等三角形对应边上的高相等。
（先阅读教材69页下边内容和70页上边内容，再合上书按步骤完成本题）
解：已知：
求证：
【展示互导】
求证：全等三角形对应边上的中线相等。
【质疑互究】
如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向过A的直线作垂线，垂足为E，F。
（1）证明：过A的直线与斜边BC不相交时，则有EF=BE+CF，如图1。
（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，你能得到什么结论？请给出证明。
【检测互评】
1、如图，D、E分别在AB、AC上，且AD=AE，DB=CE，∠B=∠C，求证：BE=CD.
2、求证：全等三角形对应边上的中线相等。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第8课时
13.２.5边边边
【学习目标】
1、理解边边边公理的内容，能运用边边边公理证明三角形全等。
2、会运用“SSS”证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件。
【学习重难点】：运用“SSS”证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件。
【学习关键】：理解运用“SSS”证明三角形全等。
【学法指导】
自学课本第71至72页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、已知给你三条线段、、，分别为、、，你能画出这个三角形吗？
步骤：（1）画一线段AB使它的长度等于c（4.8cm）.
（2）以点A为圆心，以线段b（3cm）的长为半径画
（3）圆弧；以点B为圆心，以线段a（4cm）的长为
（4）半径画圆弧；两弧交于点C.（3）连结AC、BC.[
（5）来源:△ABC即为所求。
把你画的三角形与其他同
学的图形叠合在一起，你们会发现什么？结合画图、对比。
2、归纳：三边对应相等的两个三角形
，简写为“
”或“
”．
3、用数学语言表述：
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
4、你能解释三角形为什么具有稳定性吗
5、我们可以将前面探索得到的结论归纳成下表：
对应相等的元素
两边一角
两角一边
三角
三边
两边及其夹角
两边及其中一边的对角
两角及其夹边
两角及其中一角的对边
三角形是否全等
一定（S.A.S）
一定(S.S.S)
【展示互导】
1、完成下面的证明过程：如图，OA＝OB，AC＝BC.
求证：∠AOC＝∠BOC.
证明：在△______和△_____中，
　　　　　　　　
∴
≌
（SSS）.
∴∠AOC＝∠BOC（
）
2、如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
3、如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：∠A＝∠D。（注意：此题中证明两个角相等，首先要证明什么呢？）
【质疑互究】
【检测互评】
1、下列说法中，错误的有（
）个
（1）周长相等的两个三角形全等。（2）周长相等的两个等边三角形全等。（3）有三个角对应相等的两个三角形全等。（4）有三边对应相等的两个三角形全等
A、1
B、2
C、3
D、4
2、如图，给出下列四组条件：
①AB=DE,BC=EF,AC=DF；
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有(
)
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
3、如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC
≌
△
ADE。
4、已知：如图，AD=BC,AC=BD.
求证：∠OCD=∠ODC
5、已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，
BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
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第十三章
全等三角形
第9课时
13.２.6斜边直角边
【学习目标】
1、领会HL判定，会简单运用这一判定证明两个直角三角形全等。
2、探索HL定理的过程，体验用HL定理来解题的乐趣。
3、会用HL定理来解题。
【学习重难点】：理解和运用HL解决相关的计算及证明等问题。
【学习关键】：理解和掌握HL证明三角形全等。
【学法指导】
自学课本第73至75页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
(1)动手试一试。
已知：Rt△ABC
求作：Rt△，
使=90°，
=AB,
=BC
作法：
(2)
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)
归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)
用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法
“
”、
“
”、
“
”、
“
”、
还有直角三角形特殊的判定方法
“
”
2、已知：如图，CD＝BA，DF⊥BC，AE⊥BC，CE＝BF.
求证：DF＝AE.
证明：∵CE＝BF，
∴____________.
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠CFD__________________.
在Rt△CDF和Rt△BAE中，
____________
____________
∴Rt△______≌Rt△______（HL）.
∴DF＝AE.
【展示互导】
1、如图，BD⊥AC，CE⊥AB，填空：（填SAS、ASA、AAS或HL）
(1)已知BE＝CD，利用
可以判定△BOE≌△COD；
(2)已知EO＝DO，利用
可以判定△BOE≌△COD；
(3)已知AD＝AE，利用
可以判定△ABD≌△ACE；
(4)已知AB＝AC，利用
可以判定△ABD≌△ACE；
(5)已知BE＝CD，利用
可以判定△BCE≌△CBD；
(6)已知CE＝BD，利用
可以判定△BCE≌△CBD.
(7)完成(5)的证明过程.
2、如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于E，BF⊥DC交CD的延长线于F．求证：BF=CE．
【质疑互究】
3.如图（1）所示，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点,BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。
（1）求证：MB=MD；ME=MF。
（2）当EF两点移动至如图（2）所示的位置，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明。
【检测互评】
1.可以判定两个直角三角形全等的方法有
。
2.如图，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O，（1）由AD∥BC，可得
=
，由AB∥CD，可得
=
，又由
，于是△ABD≌△CDB；（2）由
，可得AD=CB，由
，可得△AOD≌△COB；（3图中全等三角形共有
对。写出来？
3.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是　　（　　）
A．两条直角边对应相等；
B．两个锐角对应相等；C．一条直角边和它所对的锐角对应
相等；D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等；E．两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等
4、如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，在BC上截取BF=BA，作DF⊥BC，交AC于D点，
连结BD，作AE⊥BC于E点，交BD于G点，连结GF，
试说明：GD平分∠AGF和∠ADF。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第十三章
全等三角形
第10课时
13.２三角形全等的判定综合运用
【学习目标】
1、通过学生对前面所学知识的回顾与思考，进一步掌握判定三角形全等的方法。
2、会合理选择判定三角形全等的方法，进一步提高运用所学知识解决问题的能力。
【学习重难点】合理选择判定三角形全等的方法，综合运用所学知识解决问题。
【学法指导】
先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.填“一定”或“不一定”：
(1)两边对应相等的两个三角形
全等；
(2)一边一角对应相等的两个三角形
全等；
(3)两角对应相等的两个三角形
全等；
(4)三边对应相等的两个三角形
全等；
(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
全等；
(6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形
全等；
(7)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等；
(8)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形
全等；
(9)三角对应相等的两个三角形
全等.
2.在上面的结论中,SSS是
，SAS是
，
ASA是
，AAS是
.(填题号)
3.如图，（填SSS、SAS、ASA或AAS）
(1)已知BD＝CE，CD＝BE，利用
可以判定△BCD≌△CBE；[]
(2)已知AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，利用
可以判定△ABD≌△ACE；
(3)已知OE＝OD，OB＝OC，利用
可以判定△BOE≌△COD；
(4)已知∠BEC＝∠CDB，∠BCE＝∠CBD，利用
可以判定△BCE≌△CBD；
4.
在△ABC和△A′B′C′中,填写所有可能.其中(1)有__
__种可能,(2)有_
__种可能.
(1)已知:
AB＝A′B′，BC＝B′C′补充条件__________________________可得△ABC≌△A′B′C
(2)已知:
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′补充条件________________________可得△ABC≌△A′B′C
【展示互导】
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，∠B＝∠C，AD平分∠BAC[]
求证：△ABD≌△ACD
(组间交流可用哪些不同方法证明)
证明：
【质疑互究】
【检测互评】
1.
已知：如图，CE⊥AB，DF⊥AB，AC∥DB，AE＝BF.
求证：CE＝DF.
证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠_____＝∠____=90°.
∵AC∥DB，
∴∠A＝∠___B.
在△ACE和△BDF中，
___________________[]
___________________
___________________
∴△ACE≌△BDF（ASA）.
∴CE＝DF.[]
2.已知：如1题图，CE⊥AB，DF⊥AB，AF＝BE，CE＝DF.
求证：(1)∠A＝∠B；(2)AC∥DB.
3.如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
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第十三章
全等三角形
第11课时
13.3.1等腰三角形的性质
【学习目标】
1、理解等腰三角形的性质定理，并会运用它们进行有关计算和证明
2、经历探索证明方法的过程，逐步培养逻辑推理的能力。
3、经历探索等腰三角形的性质定理证明过程，培养学生审美观和逻辑推理能力
【学习
重点】：理解并会运用等腰三角形性质定理进行有关计算和证明
【学习难点】：等腰三角形性质定理的运用
【学习关键】：经历探索证明方法的过程，逐步培养逻辑推理的能力
【学法指导】
先独立自主学习课本78至81页，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、什么是等腰三角形？三角形的三边关系？
____________________________________
2、等腰三角形中，相等的两边都叫做
，另一边叫做
，两腰的夹角叫做
，腰和底边的夹角叫做
.
3、（1）等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是
；
（2）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是
；
（3）等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是
。
4、如图12.3-1拿出一张长方形的纸按图中虚线
对折，并剪去阴影部分，再把它打开，得到
的三角形ABC有什么特点？
想一想
（1）、上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？
（2）、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
（3）、由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？
（4）、大胆猜想：
等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其他性质吗
（5）、猜想与论证：a.等腰三角形的两个底角相等。（性质1）
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
证明:
作顶角的平分线AD
则有∠1＝∠2
在△ABD和△ACD中
∴
△ABD≌
△ACD
（SA
∴
∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
b.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）（性质2）
性质1：在△ABC中
∵AB=AC，
∴
=
（等边对
）
性质2：（简称：
）
①在△ABC中∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠
=∠
，
⊥
。②在△ABC中∵AB=AC，AD是∠BAC
的平分线，∴
⊥
，
=
。③在△ABC中∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠
=∠
，
=
【展示互导】
1、如图，已知在△ABC中，AB=AC，D、E在BC边上，且AD=AE，求证：BD=CE
【质疑互究】
【检测互评】
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于E，
DF⊥
AC于F。
求证：DE=DF
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第12课时
13.3.2等腰三角形的判定
【学习目标】
1、理解等腰三角形的判定定理，并会运用它进行有关计算和证明。
2、经历探索证明方法的过程，逐步培养逻辑推理的能力。
3、经历探索等腰三角形的判定定理的证明过程，培养学生审美观和逻辑推理能力。
【学习重点】：理解并会运用等腰三角形的判定定理进行有关计算和证明。
【学习难点】：等腰三角形的判定定理的运用。
【学习关键】：经历探索证明方法的过程，逐步培养逻辑推理的能力。
【学法指导】
自学课本第81至83页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
（一）思考：
如图，⊿ABC是等腰三角形，AB=AC，一不留心，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C。同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？
大家试试看合作交流，探究新知
方法一:
先用量角器量出∠C的度数，然后以BC为一边B为顶点画出∠B=∠C，∠B与∠C的一边相交于点A。
方法二
:
取BC边上的中点D，用三角板过D作BC的垂线，与∠C的一边相交得到交点A，连接AB。
你们认为这样画出来的三角形都是等腰三角形吗？
（二）要证明两条线段相等，常用什么方法？（添辅助线）
已知：在△ABC中，∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形的理由
解：
等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
简单地说：在同一个三角形中，等角对等边。
归纳总结
：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵∠B=∠C
(
)
∴
AC=AB（
）
三、学生合作探究
1、在△ABC中,
已知∠A=50°,∠B=65°判断△ABC是什么三角形,为什么
2、如图,已知∠A=36°,
∠DBC=36°,
∠C=72°,则∠1=
__,
∠2=
__,
图中的等腰三角形有
【展示互导】
如图，ＢＤ是等腰三角形ＡＢＣ的底边ＡＣ上的高，ＤＥ∥ＢＣ，
交ＡＢ于点Ｅ．
判断△ＢＤＥ是不是等腰三角形，并说明理由．
【质疑互究】
【检测互评】
1.已知：⊿ABC中，
∠
A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC
2.如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形
3.(l)如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第13课时
13.4尺
规
作
图（1）
【学习目标】
1、掌握基本作图①做一条线段等于已知线段②作一角等于已知角③平分已知角的方法
与步骤。
2、能按步骤写出作法。
3、基本作图包括：①做一条线段等于已知线段；②作一角等于已知角；③平分已知角；
④经过一点作已知直线的垂线；⑤作线段的垂直平分线。
【导学重难点】：作图并能按步骤写出作法。
【学习关键】：在中考中作图题主要有，已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知底边上的高及腰作等腰三角形；已知一锐角和斜边作直角三角形。
【学法指导】
自学课本第85至87页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、尺规作图定义：
2、作一条线段等于已知线段。
已知：线段MN＝a，求作一条线段等于a.
作法：（1）
（2）
（3）
2、作一个角等于已知角
已知：∠AOB
求作一个角等于∠AOB.
作法：（1）作
O1P1；
（2）以O为圆心，以
作弧，
交
，交
；
（3）以
为圆心，以
作弧，
交
；
（4）以
为圆心，以
半径作弧，
交
；
（5）经过
作
。
则
即为所求的角。想一想：为什么两个角相等？你会证明吗？
3、
做已知角的角平分线
已知：∠AOB
，求作∠AOB
的平分线.
作法：（1）以O
为圆心，以适当长为半径画弧，
交OA于C
点，交OB
于D
点；
（2）分别以C、D
两点圆心，以大于
CD
长为半
径画弧，两弧相交于P
点；
（3）过O、P
作射线OP
，即为所求作的角平分线.
【展示互导】
已知:
和
，求作∠ABC，使∠ABC
＝
＋
（用尺规作图）
【质疑互究】
【检测互评】
1
、把下图所示的角四等分
2
、已知：线段a和b(a＞b)
求作：一个等腰△ABC,使它的腰长等于线段a，底边长等于b。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第14课时
13.4
尺
规
作
图（２）
【学习目标】
1、掌握基本作图④经过一点作已知直线的垂线；⑤作线段的垂直平分线的方法与步骤；
2、能按步骤写出作法。
3、综合应用基本作图解决实际问题。
【导学重难点：综合应用基本作图解决实际问题。
【学习关键：能按要求画图，按步骤写出作法。
【学法指导】
自学课本第88至90页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
一、复习
已知如图，ΔABC，求作ΔA'B'C'，使ΔA'B'C'≌ΔABC.
方法1：
方法2：
2、
学生自主学习
（1）经过一已知点作已知直线的垂线
已知：直线l
及其外一点C
.
求作：过C
点垂直于直线l
的直线.
作法：①以
点为圆心，以大于C
点到直线L的距
离为半经画弧，交直线于A、B
两点；
②分别以
、
两点为圆心，以大于1/2AB的
长度为半径画弧，两弧相交于D
点；
③过
、
两点作直线
，即为所求作的垂线.
证明：
如果过直线上一点作已知直线的垂线能否利用画平角的平分线的方法解决呢？
试试看，自己完成整个作图．
作法：
（2）画线段的垂直平分线
已知：线段AB
，画出它的垂直平分线.
作法：（1）分别以
、
两点为圆心，以大于AB
线段一
半的长为半径画弧，两弧交于C、D
两点；
（2）过C、D
两点作直线，即为所求作线段AB
的
垂直平分线.
证明：
【展示互导】
作下图三角形ABC的三条高线.（不写作法，保留作图痕迹，用尺规作图）
【质疑互究】
【检测互评】
1、A、B是两个村庄，从灌溉总渠引两条水渠便于灌溉，请你选择最佳方案。（用尺规作图）
[.C
2、已知：如图线段a和h。求作：△ABC,使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h
3、已知：线段a和b，求作：一个△ABC,使它的两条直角边分别等于线段a和b
。
作法：
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第15课时
13.5.1互逆命题与互逆定理
【学习目标】
1、了解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定
成立；了解互逆定理。
2、体会数学结论在实际中的应用。
3、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命
题都有它的逆命题，命题有真假之分。
【学习重难点】：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
【学习关键】：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．
【学法指导】
自学课本第92至93页，先独立自主学习，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、一般来说，如果有两个命题，一个命题的题设是另一个命题的____________，它的结论是另一个命题的_______________，那么这两个命题叫做____________________。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的__________________。
2、每一个命题都有_____________，一个真命题的逆命题________真命题，一个假命题的逆命题____________假命题。(填“一定是”、“不一定是”、“一定不是”)
3、如是一个定理的逆命题也是________，那么称它们叫做_____________。其中的一个定理叫做另一个定理的___________________。
4、“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆定理是________
________。
5、“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”的逆定理是________________________
6、指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题，判断真假，并说明理由
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
（2）等边三角形的每个角都等于60°。
（3）全等三角形的对应角相等
（4）两直线平行，同位角相等
（5）如果，那么
（6）对顶角相等
【展示互导】
【质疑互究】
区分互逆命题与互逆定理
【检测互评】
1、
判断下列说法是否正确？请说明理由
（1）假命题没有逆命题；
（2）真命题没有逆命题；
（3）每个命题都有逆命题；
（4）真命题的逆命题是真命题
2、下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请说出逆定理：
（1）等腰三角形的两个底角相等。
（2）同旁内角互补,两直线平行.
3、下列命题的逆命题是假命题的是(
)
A
两直线平行，同位角相等
B全等三角形的对应边相等
C直角三角形两锐角互余
D等三角形对应角相等
4、已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC.
①如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC
②如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC
③若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示.
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第16课时
13.5.2
线段垂直平分线
【学习目标】
1、掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理，能够利用这两个定理进行有关计算和证明。
2、通过探索、猜测、证明的过程，进一步提高推理证明意识和能力。
【学习重点】：掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理，能够利用这两个定理进行有关计算和证明，能够证明三角形三边的垂直平分线交于一点。
【学习难点】：利用这两个定理进行有关计算和证明，并通过探索、猜测、证明的过程，进一步提高推理证明意识和能力.
【学法指导】
先独立自主学习教材94至95页，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、什么是线段垂直平分线？
并且
一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。
2、线段垂直平分线有哪些性质？（结合图形）
性质1：线段是
图形。A、中心对称；
B、轴对称
性质2：
∵直线MN是线段AB的垂直平分线（已知）
∴
，
（定义）
合作探究：
探索一：1、实践
在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得出什么规律
线段垂直平分线的性质定理：
题设：
结论：
2、证明：已知，如图1直线MN⊥AB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上 ， 求证：PA=PB
3、几何语言：（如上图）
∵
点P在直线MN上，直线MN垂直平分线段AB
∴
=
探索二：1、写出线段垂直平分线性质定理的逆命题：
。
思考：以上的命题是
命题（“真”或“假”
）
2、证一证：已知：如图13.5.2（课本95页），QA=QB
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上。
因此得到线段的垂直平分线的逆定理：
到线段的
距离相等的点，在这条线段的
。
3、几何语言：（如上图）∵
QA=QB
∴
点
在
的垂直平分线上
【展示互导】
求证：三角形三边的垂直平分线交于一点。
已知：在△ABC中，OE、OF分别是△ABC边AB、AC的垂直平分线,
求证：点O在BC的垂直平分线
分析：要证点O在线段BC的垂直平分线上，用线段垂直平分线的逆定理只要证
OB=OC（想到添辅助线），由已知条件如何证得OB=OC？
证明：连结
、
、
∵OE、OF是AB、AC的垂直平分线
（已知）
∴
OA=
，OA=
（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴
=
（等量代换）
∴
点O在
的垂直平分线
（到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
即三角形三边的垂直平分线交于一点。
【质疑互究】
【检测互评】
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，ED垂直平分AB，
（1）若∠A＝50°，则∠ABD＝
，∠DBC＝
。
（2）
若BD＝10，则AD=
。
（3）
若AB＝14，△BCD的周长为24，则BC=
。
2．如下图左，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是（
）
A．∠B=∠CAE
B．∠DEA=∠CEA
C．∠B=∠BAE
D．AC=2EC
3.一题多变
（1）．如下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．
（2）一变：如下图所示，在△ABC中AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．若AB=a，△ABC的周长为b，求△BCE的周长．
4．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等。
5、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，
AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
6、
如图，已知有三个小村庄A、B、C，先计划联合打一口井，要求
水井到三个村庄的距离相等，试问水井应建在何处？并说明理由。
7、已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.
求证:点C在AD的垂直平分线上.
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第17课时
13.5.3角平分线
【学习目标】
1、理解角平分线定理及逆定理的推导过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、
计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；
2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；
3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力
【学习重点】：角平分线性质定理及其逆定理。
【学习难点】：掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。
【学法指导】
先独立自主学习课本96至98页，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1、什么是角平分线？
角平分线。
2、角平分线有哪些性质？（结合图形）
性质1：角是
图形。A、中心对称；
B、轴对称
性质2：
∵OC平分∠AOB（已知）
∴
合作探究
探索一：
1、OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．然后沿着射线OC对折，通过观察线段PD和PE有什么关系？ 由此你能得出什么规律
角平分线的性质定理：
题设：
结论：
2、证明：如图已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E。 求证:PD=PE
探索二：1、写出角平分线性质定理的逆命题：
思考：以上的命题是
命题（“真”或“假”
）
2、证一证：
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上
3、得出定理：角的内部到角两边 。 这条定理和角平分线定理互为 。
【展示互导】
求证：三角形三内角的平分线交于一点。
【质疑互究】
[来源
【检测互评】
1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
2、如图:△ABC中，AB=AC，M为BC中点，MD⊥AB于D，ME⊥AC于E。
求证：MD=ME。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第18课时
复习
【学习目标】
1.知道本章全等三角形知识结构图.
2.通过基本训练，巩固本章所学的基本内容.
3.通过典型例题的学习和综合运用，加深理解所学的基本内容，发展能力.
【学习重点】：知道本章全等三角形知识结构图.理解所学的基本内容，发展能力。
【学习难点】：灵活运用知识解决问题。
【学法指导】
先独立自主学习课本101至102页，针对自主学习中的疑惑点，课上小组讨论、互助，大胆说出自己的疑惑，形成小组内共识，经过小组间展示互导，质疑互纠小组间结论，检测互评再总结方法，提高自己。
【自学互助】
1.填空
(1)能够
的两个图形叫做全等形，能够
的两个三角形叫做全等三角形.
(2)把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做
，重合的边叫做
，重合的角叫做
.
(3)全等三角形的
边相等，全等三角形的
角相等.
(4)
对应相等的两个三角形全等（边边边或
）.
(5)两边和它们的
对应相等的两个三角形全等（边角边或
）.
(6)两角和它们的
对应相等的两个三角形全等（角边角或
）.
(7)两角和其中一角的
对应相等的两个三角形全等（角角边或
）.
(8)
和一条
对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或
）.
(9)角的
上的点到角的两边的距离相等.
2.如图，图中有两对三角形全等，填空：
(1)△CDO≌
，其中，CD的对应边是
，
DO的对应边是
，OC的对应边是
；
(2)△ABC≌
，∠A的对应角是
，
∠B的对应角是
，∠ACB的对应角是
.
3.判断对错：对的画“√”，错的画“×”.
(1)一边一角对应相等的两个三角形不一定全等.
（
）
(2)三角对应相等的两个三角形一定全等.
（
）
(3)两边一角对应相等的两个三角形一定全等.
（
）
(4)两角一边对应相等的两个三角形一定全等.
（
）
(5)三边对应相等的两个三角形一定全等.
（
）
(6)两直角边对应相等的两个直角三角形一定全等.
（
）
(7)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等.
（
）
(8)一边一锐角对应相等的两个直角三角形一定全等.
（
）
4.如图，AB⊥AC，DC⊥DB，填空：
(1)已知AB＝DC，利用
可以判定
△ABO≌△DCO；
(2)已知AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，利用
可以判△ABD≌△DCA；
(3)已知AC＝DB，利用
可以判定△ABC≌△DCB；
(4)已知AO＝DO，利用
可以判定△ABO≌△DCO；
(5)已知AB＝DC，BD＝CA，利用
可以判定△ABD≌△DCA.
5.完成下面的证明过程：
如图，OA＝OC，OB＝OD.
求证：AB∥DC.
证明：在△ABO和△CDO中，
∴△ABO≌△CDO（
）.
∴∠A＝
.
∴AB∥DC（
相等，两直线平行）.
6.完成下面的证明过程：
如图，AB∥DC，AE⊥BD，CF⊥BD，BF＝DE.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：∵AB∥DC，∴∠1＝
.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝
.
∵BF＝DE，∴BE＝
.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（
）.
【展示互导】
求证：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.[]
（先结合图形理解命题的意思，然后结合图形写出已知和求证，已知、求证及证明过程）
【质疑互究】
如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：点E是DC中点。
【检测互评】
1.如图，OA⊥AC，OB⊥BC，填空：
(1)利用“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，
已知
＝
，可得
＝
；
(2)利用“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，[]
已知
＝
，可得
＝
；
2.如图，要在S区建一个集贸市场，
使它到公路、铁路的距离相等，并且离公
路与铁路交叉处300米.如果图中1
厘米表示100米，请在图中标出集
贸市场的位置.
3.如图，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC.
求证：DE＝AB.
4.如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：AB∥DE.
[]
5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.
求证：AD是△ABC的角平分线.
6.选做题：
如图，∠ACB=90°,AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE.
求证：△ACD≌△CBE.
（第6题图）
如图，在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2.求证：AB=AC+CD
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校
班级
小组
姓名
小组评价
教师评价
第十三章
全等三角形
第19课时
《全等三角形》练习题
【学习目标】
1.知道本章全等三角形知识结构图.
2.通过基本训练，巩固本章所学的基本内容.
3.通过典型例题的学习和综合运用，加深理解所学的基本内容，发展能力.
【学习重点】：知道本章全等三角形知识结构图.理解所学的基本内容，发展能力。
【学习难点】：灵活运用知识解决问题。
一、选择题
1、下列判断不正确的是(
)
．
A．形状相同的图形是全等图形
　B．能够完全重合的两个三角形全等
C．全等图形的形状和大小都相同
D．全等三角形的对应角相等
2、如图：若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为（
）
A．2
B．3
C．5
D．2.5
3、如图：在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，则下列结论：
①△ABD≌△ACD，②∠B=∠C，③BD=CD，④AD⊥BC。其中正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4、如图：AB=AD，AE平分∠BAD，则图中有（
）对全等三角形。
A．2
B．3
C．4
D．5
5、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（
）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．HL
6、．如图，D是∠BAC的平分线上一点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，下列结论中不正确的是（　　）
A．DE=DF　
　B．AE=AF
C．△ADE≌△ADF　　D．AD=DE+DF
7、如图：EA∥DF，AE=DF，要使△AEC≌△DBF，则只要（
）
A．AB=CD
B．EC=BF
C．∠A=∠D
D．AB=BC
8、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的
玻璃，那么最省事的办法是（
）
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去
9、如图：直线a，b，c表示三条相互交叉环湖而建的公路，现在建立一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10、如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长是（
）
A．6㎝
B．4㎝
C．10㎝
D．以上都不对
二、填空题
11、如图：AB=AC，BD=CD，若∠B=28°则∠C=
；
12、已知：ΔABE≌ΔACD，AC=8cm，AD=5cm，根据全等三角形的记法，则AE=_____。
13、已知，如图2：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明ΔABC≌ΔDEF。若以“SAS”为依据，还要添加的条件为______________；
14、如图3：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成90°角方向，向前走50米
到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为_____米。
15、如图：在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=
；
16、如图，在△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠CED
=_____．
(第17题)
17、如图：两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x
=_______．
18、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm,BD=6cm,则点D到AB的距离为_____。
19、如图：AB，CD相交于点O，∠B
=∠C=90°，请你补充一个条件，使得△RtABD≌△RtCDB，你补充的条件是
；
20、如图：在△ABC中，∠B
=∠C=50°，D是BC的中点，
DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD
=
。
三、解答题
21、如图：AC=DF，AD=BE，BC=EF。求证：∠C=∠F。
证明：
22、如图，AD=BC，DC=AB，AE=CF，找出图中的一对全等三角形，并说明你的理由．
解：找到
≌
。理由如下：
23、如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C、D，连结CD交OE于点F。求证：（1）OC=OD；（2）OF⊥CD
。
24、在△ABC中,已知
,BG平分∠ABC,CG平分∠ACB.过点G作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.
（1）请问图中有多少个等腰三角形 说明理由.
（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系 若有是什么关系
25、如图：△ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE。
求证：AH=2BD
C
D
A
B
E
A
B
C
D
A
B
C
D
P
A
B
D
C
B
D
O
A
C
A
O
D
B
C
2
1
D
C
B
A
D
F
E
B
A
C
E
D
C
A
B
A
F
C
D
1
2
E
B
A
B
C
D
E
F
B
C
D
E
F
A
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
D
A
B
C
1
2
D
∠1＝∠2
AD＝AD
A
B
C
D
E
H
A
E
D
C
B
a
M
N
A
C
B
O
B
A
O
B
A
O
B
A
P
C
D
A
B
C
l
C
D
B
A
l
C
A
B
A
B
A
B
C
D
A
B
C
D
B
C
A
D
h
B
C
A
D
h
a
b
A
F
C
O
B
E
B
C
F
E
A
O
图1
图2
A
B
C
D
A
B
C
D
E
H
A
B
C
D
E
A
D
C
B
1
2
A
B
C
D
E
H
B
F
E
G
C
A
B
F
E
G
C
C
A
B
C
D
E
H
PAGE华东师大版八年级上期“五环四互”教学模式数学学案
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第11章
数的开方
11.1平方根与立方根
第1课时：平方根
【学习目标】：
1.掌握平方根的概念，并能正确的用符号表示，
2.能归纳理解并能运用平方根的性质
3.能求出一个数的平方根与算术平方根。
【学习重点】：
平方根的概念以及开方运算
【学习难点】：
平方根性质的理解与运用
【自学互助】
（一）知识衔接回顾
１．说出下列各式的结果：
　　；　　　；　　　；　　　；　　．
２．填空：；；　；　　
3.
要剪出一块面积为25cm的正方形纸片，纸片的边长应是多少
（二）、新知自学
1、平方根的定义：如果一个数的
等于a，那么
叫做a的平方根，
a的平方根记作
。
2、平方根的性质：
①正数a的平方根有
个，它们互为
，记作
②0
的平方根有
个，就是
；
③负数
平方根。
3、开平方：求一个非负数的
的运算，叫作开平方。开平方的结果是
，开平方与平方互为逆运算。
【展示互导】
1、试一试
（1）4的平方根是
（2）
0的平方根是
（3）的平方根是
（4）
－４有没有平方根 为什么
（5）3的平方根是
2、求100的平方根．
解：因为（
）2＝100，(-10)2＝（
），除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是（
）和（
），也可以说，100的平方根是±（
）.
3、交流互动
(1)
正数的平方根是什么？(2)
0的平方根是什么？(3)
负数有平方根吗？为什么？请同学概括有理数的平方根的性质．（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；负数没有平方根．）
4、下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．
(1)－64；
(2)0；
(3)(－4)2．
分析
因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0．
【质疑互究】
一个正数x的两个平方根分别是a+1和a－3,求a和x的值。
【检测互评】
一、口答
1、一个正数如果有平方根，那么有几个，它们之间关系如何
2、如果我们知道了两个平方根中的一个，那么是否可以得到它的另一个平方根 为什么
3、0的平方根有几个 是什么数
4、负数有平方根吗 为什么
5.平方和开平方运算又有联系，二者互为
逆
运算．
二、将下列各数开平方：
1、64
2、0.25
3、
4、0.09
三、填空题
(1).x2=(－7)2,则x=______.
(2).若
=2,则2x+5的平方根是______.
(3).若
有意义，则a能取的最小整数为____.(4)
的平方根是＿＿＿
(5).已知0≤x≤3,化简+
=______.
(6).
.若|x－2|+=0,则x·y=______
（四）、拓展延伸
1、求下列各数的平方根：
（1）
；（2）
0.36；（3）
324；（4）0.0049
2、若2a-1的平方根为±3,3a+b-1的正的平方根是4，求a+2b的平方根。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第2课时：算术平方根
【学习目标】
1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
2、了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根。
3、会利用开方运算求某些非负数的平方根、
【自学互助】
（一）、知识衔接回顾
1.在(-5)2、-52、52中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？为什么？
2.0.49的平方根＝____；
3.判断下列说法是否正确，并简述理由。
（1）的平方根是1。
答：
（2）1的平方根是1。
（3）的平方根是。答：
（4）是25的平方根。
答：
（二）、新知自学
1.算术平方根：
正数a的
叫做a的算术平方根．记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－。因此正数a平方根可以记作±，a称为被开方数。例如表示3的算术平方根，±表示3的平方根、这里应注意：有两个“正”，即被开方数必须为正，算术平方根也是正的．0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0．即．从以上可知，当a是正数或是0时，表示a的
平方根．
2、问题解析
例1、
求100的算术平方根．
解：因为（
）2=100，所以100的算术平方根是10．即．
注意：100的平方根是±10，而100的算术平方根是10．
例2、
求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)
36
；
(2)
2.89
；
(3)
说明：：a的平方根记作“”
，±号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的主要依据；a的算术的平方根记作“”
【展示互导】
1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？
2.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：
3.填空：
（1）若x2=25，则x=
,若（-x）2=（-12）2，则x=
.
(2)如果a的平方根是±2,b是（-3）2的算术平方根，则a+b=
.
4.选择题：
（1）下列语句写成数学式，正确的是（
）
A、9是81的算术平方根：±=9
B、5是（-5）2的算术平方根：=5
C、±6是36的平方根：=±6
D、-2是-4的负的平方根：=－2
（2）(-2)的平方根是（
）
A、2
B、-2
C、±
D、±2
【质疑互究】
若+（y－2）2=0,则x－y
=
.
【检测互评】
1.平方根和算术平方根有什么区别与联系？
2.
式子中a应该满足什么条件
3.在哪两个整数之间
4.
3.1＜＜3.2正确吗
5.
下列四个结论中，正确的是（）．
A.
3.15＜＜3.16
B.
3.16＜＜3.17
C.
3.17＜＜3.18
D.
3.18＜＜3.19
6.求下列各数的平方根和算术平方根：
7、拓展延伸
求下列各式的值：
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
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小组评价
教师评价__________
第3课时：平方根与算术平方根
【学习目标】：
1、进一步认识和理解平方根与算术平方根的概念及性质
2、能灵活的运用平方根相关知识解决实际问题
【展示互导】：
经典例题
例题1：已知，求的平方根？
变式练习：已知
例题2：求下列各式中的x的值
（1）9x2-25=0，
（2）（x-1）2=36
例题3：计算
(1)
(2)
【质疑互究】
已知a是的整数部分，b是的小数部分，求a(b-)的值。
【检测互评】
一、填空题：
1.
2的平方根是_____；的平方根是_____
；5的算术平方根是_____
；
2.若（x-1）2=16，则x=__________；
3.已知，则的算术平方根是_______
4.当a=
___
时，3+的最小值为
____
5.若=3，则x=
，若=3，则x=
____
6.的整数部分为
___，小数部分为____
二、选择题
1.下列说法：
①-8是64的负的平方根；②4是8的算术平方根；③一个数的算术平方根一定是正数；④
=±7；⑤的算术平方根为4,
正确的有（）个
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若x2=16，那么5-x的算术平方根是（
）
A.±1
B.±4
C.1或9
D.1或3
3.定义“
”的运算法则为：x
y=，那么（2
6）
8值为（
）
A.3
B.4
C.5
D.6
三.计算-+-3×
四.解答题
1.已知：a、b、c满足｜a-b|++=0,求a(b+c)的值
2.已知m是2+的整数部分，n是的小数部分，求m-n的值。
【总结提升】：
1、本节课有哪些收获与不足？
2、a、b两数在数轴上位置如图：
化简：-－
学校____________
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第4课时：立方根
【学习目标】：
1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根、
2、理解立方根的性质　
3、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。
【学习重点难点】能用立方运算求某些数的立方根，
【自学互助】
1、思考：现有一只体积为216
cm3的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？
2、你能找一个数，使这个数的立方等于125吗
3.试一试，我们先来算一算一些数的立方.
23=______
;(-2)3=______;
0.53=_____;()3=_____;
03=______.
从这里可以抽象出一个什么数学概念
【展示互导】
合作探究一：立方根定义的理解
1、根据上面的自主学习，类似前面学方根定义可知：
立方根定义：,如果一个数的立方等于，那么这个数叫做_____________,记为,读作“三次根号”
如果x3=b,那么_____叫_______的立方根，记作x=_________
因为，所以_____是________的立方根，即
2.求
____________
的运算，叫做开立方，开立方与
____
互为逆运算
例题：求出下列各数的立方根（1）（2）-27
(3)0.001
(4)0
合作探究二：立方根性质的理解与掌握
观察上面各数的立方根，归纳总结
立方根的性质：
任何数都有立方根，且只有（
）个。其中正数的立方根是（
）数，负数的立方根是（
），0的立方根为______
思考讨论：平方根性质与立方根性质的区别：
例题1：求下列各数的立方根：
（1）（2）（3）（4）
例题2;解下列方程
【质疑互究】
已知x-2的算术平方根是2,2x+y+7的立方根是3，求的立方根？
【检测互评】
1、填空：（1）=______
（2）=________
（3）=________
2.若9的平方根为m，，则m-n=
________
3.若x-1是-125的立方根，则x+3的立方根为
______
4、已知为实数，，求=
；=
.
5、已知
，求x=______
二、选择题
1、的立方根是（
）
A、2
B、+2和-2
C、4
D、+4和-4
2.下列各式成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
三、解答题
1、若与互为相反数，求xy的立方根。
2.已知与互为相反数，求的值。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第5课时：11.2
实数
【学习目标】：
1、了解无理数和实数的概念;
2、会对实数按照一定的标准分类
3、会区分有理数与无理数
【学习重点】无理数概念以及实数与数轴上的点一一对应的理解
【自学互助】
1、看书8页—9页
2、回顾思考:
有理数包括（
）和（　　　　　　）
任何一个分数都可以写成（
）数形式，且必定是有限小数或（
）小数。如=（
），=（
）
【合作探究】
合作探究一：无理数的定义（看书第8页，思考下列问）
（1）是怎样的一个小数？
（2）它是有理数吗？
（3）像这样的数叫什么数呢？
无理数定义：我们把无限不循环的小数叫做（
）
（4）你能举出一些无理数吗？试一试
常见的无理数类型
（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
（2）看似循环而实际不循环的小数，
如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。
（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···
（4）开方开不尽的数。如：。
（5）无数理与有理数的和差或乘除（0除外）如;
例1：指出下更各数哪些为有理数？哪些是无理数？
0、、、｜-3｜、、2.4、、、0.、
3.1010010001……，、
合作探究二：实数的认识
1、有理数和无理数统称实数
2、实数与数轴的关系
思考：每一个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数能用数轴上的点来表示吗？
如可以用数轴上的点来表示吗？画一画，说说你的方法.
结论:数轴上的点既可以表示有理数，也可以表示（
）或者说有理数与无理数都可以用（
）来表示。
我们就说：(实数)与数轴上的点一
一对应.
3.实数知识的运用
【展示互导】
例1、比较下列各组里两个实数的大小：
（1）
（2）
（3）
，1.7
【质疑互究】
计算：|－3|－－||
【检测互评】
一．选择题
1.与数轴上的点一一对应的数是（
）
A.有理数
B.无理数
C.实数
D.整数
2.在数1.44、、、、3.14、中，无理数有（
）个。
A.1
B.2
C.3
D.4
3．下列说法中，正确的是（
）
A．无限小数都是无理数
B．带根号的数是无理数
C．无理数是无限小数
D．无理数就是开方开不尽的方根
4．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数为（
）
A．
B．
C．
D．
5.设=a.则下列结论正确的是（
）
A.4.5＜a＜5.0
B.5.0＜a＜5.5
C.5.5＜a＜6.0
D.6.0＜a＜6.5
二、填空题
1．在数轴上到原点的距离为的点表示的数是（
）。
2．比小但比大的整数（
）
3．－2的相反数是（
），|－2|=
（
）。
4.与相距3个单位的实数是（
）
4．若|x+1|=，则x=（
）
5．判断实数－2，－3，－的大小关系，用＜连结（
）
6．比较大小：
(1)
2
(2)2
4
(3)－
－
7.若
，则=
(
）
8.如图所示，点A和点B之间的整数点有(
)
9．当x=(
)时，的最小值。
10.
，－3，0，3.1415
,
,
,
,
,,
1.121221222122221…
（两个1之间依次多个2）
(1)正数集合：{
…}；
(2)无理数集合：{
…}
(3)有理数集合：{
…}
【总结提升】
1、本节课有哪些收获与不足？
2、能力提升
（1）计算：|1－|+|－|+|－2|
（2）已知a、.b是有理数，且+2a+3b=b—a+5.
则
a=
_____
b=______
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第12章
整式的乘除——12.1幂的运算
第1课时：同底数幂的乘法
【学习目标】
1．经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义．
2．了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题
【学习重点】：同底数幂的乘法运算法则的推导过程以及相关计算
【学习难点】：对同底数幂的乘法公式的理解和正确应用
【自学互助】
1、阅读教材18页——19页
试试看：
下面请同学们根据乘方的意义做下面一组题：
(1)=_________________________=
(2)
=___________________________=
(3)根据上面的规律，请以幂的形式直接写出下列各题的结果：
=
=
=
×=
2、猜一猜：当ｍ，ｎ为正整数时候，
．
=．＝＝
即:=
(
)
(m、n都是正整数)
3、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘,_______________________________　　　　　　　
　　
温馨提示：当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
用公式表示为
=
（m、n、p都是正整数）
【展示互导】经典例题：
例1：计算
（1）x2·x3
(2)
a·a6
（3）2
×24×23
(4)
例2、计算
（1）
　　
（3）
　　
【质疑互究】
【检测互评】
1.
下面的计算是否正确
如果错，请在旁边订正.
（1）．
（2）．
(
3）．
（4）．　
(5）．
（6）．
2．填空：
3．计算
（1）
　
　　　　　　
扩充练习：1、填空（1）,则x=_________
（2）
，则
x
=
_____________
（3）
，则
x
=
_______
(4)
2、
3、已知
4、已知的值。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第2课时：幂的乘方
【学习目标】：
1．能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则．
2．能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算．
【学习重点】：会进行幂的乘方的运算。
【学习难点】：幂的乘方法则的总结及运用。
【自学互助】
1、预习书19～20页
1、探索练习：
（1）（32）3=32×32×32=3（
）
（2）（am）3=am×am×am=3（
）
（3）（62）4=________×_________×_______×_______
=__________
（4）（am）n=________×________×…×_______×_______
=__________
通过上面的探索活动,发现了什么
幂的乘方公式：=______________(其中m、n都是正整数)
文字语言：幂的乘方,底数__________,指数_________
【展示互导】
例题精讲
类型一
幂的乘方的计算
例1
计算
⑴
(54)3
(2)
(3)［(a＋b)2］4
(4)
类型二
幂的乘方与同底数幂的乘法的综合应用
例2计算（1）
(2)
(3)
【质疑互究】
类型三
幂的乘方公式的逆用
（1）
若求的值。
(2)
已知=2，=3，求
【检测互评】
1?计算
(1)(103)3；
(2)(x4)3
；(4)(a2)3·a5；(5)(x2)8·(x4)4；
(6)-(xm)5?
2?下面的计算对不对 如果不对，应怎样改正：
(1)(a5)2＝a7；
(2)a5·a2＝a10?
(3)
(x5)n＝a5n
(4)an·an＝a2n
3
填空
(1)（a（
））n=
（2）(x3)（
）=
x12
(3)
（x（
））3=
(4)
(xn+1)（
）=
x2n+2
(5)［－(a＋b)2］3＝________．（6）
x12＝（x3）（_______）＝（x6）（_______）．
(7)
若x2m＝3，则x6m＝________．
（8）如果，则x的值=_________
4、?计算：
(1)(x2)3·(x2)4
(2)(a2)5·(a4)4
(3)(c2)n·cn+1.
5、思考题
（1）若xm·x2m=2，求x9m的值。
（2）若a2n=3，求（a3n）4的值。
（3）已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
（4）以知，求x
（5）如果，求n的值。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第3课时：积的乘方
【学习目标】：
1．能说出幂的乘方与积的乘方的运算法则．
2．能正确地运用幂的乘方与积的乘方法则进行幂的有关运算
【学习重点难点】：积的乘方的运算；正确区别幂的乘方与积的乘方的异同。：
【自学互助】
（一）知识回顾：1、计算下列各式：
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）
（8）
2、下列各式正确的是（
）
（A）
（B）
（C）（D）
（二）（1）预习书20～21页
我们可以发现积的乘方公式：
文字语言：_______________________________________-
这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如
（abc）n
=
[(ab)c]n=(ab)ncn
=anbncn
【展示互导】例题精讲
类型一
积的乘方的计算
例1
计算
（1）（2a）3
（2）（-3b2）3
（3）
（4）［2（a－b）3］4
类型二
幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、整式的加减混合运算
例2
计算(1)
（2）
类型三
积的乘方在生活中的应用
例1
地球可以近似的看做是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，
那么V＝πr3。地球的半径约为千米，它的体积大约是多少立方千米？
【质疑互究】
类型四
逆用积的乘方法则
例1
计算
（1）82004×0.1252004；
（2）（－8）2005×0.1252004．
【检测互评】
一、?下面的计算对不对 如果不对，在题后改正：
（1）
(2)
(3)
二、填空题
1．＝_________．　
2．＝
(　　　)2．
3.（－0.25）11×411＝_______．
4、一个正方体棱长是3×102
mm，它的体积是_________mm
5、_______
三、计算
(1)
(2)
(3)（4）
(5)
0.2520×240
思考题：1.计算（1）(a2n-1)2·(an＋2)3
（2）
(-x4)2-2(x2)3·x·x＋(-3x)3·x5
2．已知xn＝5，＝3，求的值
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第4课时：同底数幂的除法
【学习目标】了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些实际问题
【学习重点】：会进行同底数幂的除法运算。
【学习难点】：同底数幂的除法法则的总结及运用
【自学互助】
1、叙述同底数幂的乘法性质．
2、计算：①
②
③
④
3、根据除法是乘法的逆运算进行下面的运算并总结规律
①（
）
（
）
②（
）
（
）
③（
）
（
）
④（
）
（
）
规律总结1、对于除法运算应要求分母不为零，所以（
底数
）不能为零
2、同底数幂相除的运算法则：同底数幂相除（
）
即：（，m,n都是正整数，并且）
【展示互导】
例题1、计算：(1)
(2)
(3)
(5)
例题2、（1）
(2)
(3)
(4)
例题3:
【质疑互究】
已知2a-3b-4c=4,求的值。
【检测互评】
1、计算
2.下列计算正确的是（
）
3、填空：(1)
am=24,
an=4,ap=2,则am-n+p
=
4、已知4n+3×8n+1÷24N+7=64，则n的值是多少？
5、
如果am=3,an=9，那么a3n-2n的是多少
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第4课时：单项式与单项式相乘
【学习目标】
1.知道单项式的乘法法则，会利用法则进行单项式的乘法运算。
2.体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力。
【学习重难点】
单项式乘法运算法则的推导与应用.
【自学互助】
1、由
与
的乘积组成的代数式是单项式，单项式中的数字因数叫
，所有字母的指数的和叫
。
2、幂运算的三个法则：
同底数幂的乘法法则：an·an=
(m,n为正整数)，
幂的乘方法则：（am）n=
(m,n为正整数)，
积的乘方法则：（ab）m=
(m,n为正整数)。
3、单项式乘以单项式，只要将它们
、
分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
合作探究
一个长方体底面积是4xy，高是3x，那么这个长方体的体积表示为4xy·3x
。
那么4xy·3x
这两个单项式相乘该如何计算呢？
3x＝3·
，
4xy＝
·
xy，
因此4xy·3x＝4·xy·3·x
＝(4·3)·(x·x)·y
＝12x2y.
观察上式计算过程中，运用了乘法的
和
.
请仿照上面的计算完成：
（－5
a2b）·(－3
a)
=[（-5）·（
）]·（a2·a)·
=
小组讨论单项式乘以单项式是怎么相乘的？先把
相乘，
再把
相乘，
对于只在一个单项式中出现的字母，则
。
归纳单项式与单项式相乘的法则：
单项式乘以单项式，只要将它们
、
分别相乘，
对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
实质就是把单项式乘以单项式转化为有理数的乘法和同底数的幂的乘法。
【展示互导】
例1、计算
（1）（2xy2）·（x2y）
（2）（-5ab2x）·（-a2bx3y）
（2）（3）(-3x3y2)·(-2xy2)·(-4x2y3)
（4）3（a2）3 （-2a3)2
【质疑互究】
计算变压器铁芯片的面积。
1.5a
2.5a
a
2a
2a
2a
a
【检测互评】
1、下列运算中，正确的是（
）
A．a2+a3=a5
B．
a2a3=a6
C．(
a2b3)3=a5b6
D．
(a2)3=a6
2、计算的结果是（
）。
A.
B.
C.
D.
3、下列计算正确的是
（
）
A、
a2·a3=a6
B、x2+x2=2x4
C、（-2x)4=-16x4
D、（-2x2)(-3x3)=6x5
4、填空：
．=
5、计算
(1)
、－3xy2z

（x2y）2
(2)、（－3a2）3

（－2a3）2
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第6课时：单项式与多项式相乘
【学习目标】
1.让学生通过适当的尝试、总结出单项式与多项式相乘的运算法则。
2.在探究过程中，培养学生实践、探索与合作交流的能力。
【学习重点】
运算法则的灵活运用
【学习难点】
符号问题
【学法指导】
课前预习教材27页，完成自主学习。
【自学互助】
1、单项式与单项式相乘的法则：单项式乘以单项式，只要将它们
、
分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的
一起作为积的一个因式。
2、用乘法的分配率计算：m(a+b+c)=
3、单项式与多项式相乘，将单项式
乘以多项式的
，
再将所得的积
。
4、计算：a（1+b-b2）=
合作探究
请同学们认真分析27页例2的解题过程及格式，试一试吧！
5x2（2x2－3x3+8）=
5x2 (
)＋
5x2 (
)＋
5x2 (
)
=
通过自己亲自动手，同学们指导单项式乘以多项式的法则吗？
归纳：单项式与多项式相乘，将
分别乘以
，再将所得的积
。其实就是运用乘法的
，把单项式乘以多项式转化为
5、仔细看看吧！下面计算各错在哪里？
（1）(-3x2)(4x2－x＋1）=-12x4+x3
(2)
(4ab-b2)(-2ab)=-8a2b2-2ab3
(3）（3x2+xy-y2）·3x2=9x4+3x3y-y2
（4）（ab-1）（-4ab2）=-4a2b3-4ab2
（5）（-3a）（a2-2a+1）=-3a3+6a2
例1、计算
：
(1)
（x2y3－16xy）·xy2
(2)
(2a2－a－)(-12a)
【展示互导】
例2
：（1）化简、
5x(x2－2x＋4)＋x2(x－1)
（2）、解方程
【质疑互究】
已知中不含有x的三次项，试确定a的值。
【检测互评】
1、
单项式乘以多项式依据的运算律是（　　）
A．加法结合律　
B．加法交换律　
C．乘法结合律　
D．乘法分配律
2、下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3
、　　　　　　　　
；
4、
2x2(3x2－5y2)=
5
、(-2x2)(3xy2－5xy3)=
6、am(a2m＋3a－6)=
7.化简(－4x＋8)－3(4－5x)，可得下列哪一个结果？
（
）
A．－16x－10　　
B．－16x－4
　　
C．56x－40　　
D．14x－10
8、先化简再求值．
x2（x2－x－1）－x（x2－3x），其中x=－2．
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第7课时：多项式与多项式相乘（一）
【学习目标】
1.让学生通过尝试、总结出多项式与多项式相乘的运算法则。
2.在探究过程中，培养学生实践、探索与合作交流的能力。
【学习重点】
法则的灵活运用
【学习难点】
计算过程中的符号问题
【学法指导】
课前预习教材27页-29页，完成自主学习部分，
用25分钟完成合作探究，然后小组交流展示。
【自学互助】
1.计算（x2y-2xy+y2）·（-4xy）=
2、合作探究：请同学们根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．
然后进行交流讨论，通过思考、总结方法：
3、（m+n)(a+b)=
，和同伴交流多项式与多项式的乘法是怎样乘的？
4、归纳：多项式乘以多项式，先用
去乘以
，再把所得的积
。
其实也是体现了数学转化的思想，将”多×多”转化为“单×多”再转化为
。
例1：
计算：（1）（x+2）（x－3）
（2）（—3x－1）（2x+1）
（3）(x+1)(x+4)
（4）(x+4)(x2-2x-3)
【展示互导】
1、多项式是单项式的和，每一项都要包括前面的符号，在计算时一定要
注意确定积中各项的符号。
2、运用法则时，必须做到不重不漏，相乘时按一定的顺序进行。
3、乘积结果中如果有同类项要合并，所得的结果必须化为最简的形式。
例2、化简求值
8x2－(x－2)(3x＋1)－2(x＋1)(x－5)
其中x=-2
方法总结：对于化简求值的题，一般要先
，再
。
【质疑互究】
已知x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比较x,y的大小。
【检测互评】
1、计算(2a－3b)(2a＋3b)的正确结果是(
)
A．4a2＋9b2
B．4a2－9b2
C．4a2＋12ab＋9b2D．
4a2－12ab＋9b2
2、一个三角形铁板余料的底边长是(2a
+6b)米,这边上的高是(4a
-5b)米,
则这个铁板的面积是
平方米.
3.
若M，N分别是是关于X的7次多项式和5次多项式，则M.N是（
）
A一定是12次多项式
B一定是35次多项式
C一定是不高于12次的多项式
D无法确定积的次数
4、计算（1）(2x+3)(3x-2)
（2）(3x－1)(4x＋5)
（3）(－4x－y)(－5x＋2y)
5、
化简：（3x-1)(2x+3)-(x+3)(x-4)
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第8课时：多项式与多项式相乘（二）
【学习目标】
1.熟练运用法则计算（x+a)(x+b)，解决化简求值和缺项问题
2学生经历由一般到特殊的知识形成过程，在探究过程中，
培养学生实践、探索与合作交流的能力。
【学习重点】
灵活运用多项式的乘法法则
【学习难点】
多项式中的缺项问题
【学法指导】
熟悉多项式的乘法法则，完成自主学习，用约25分钟完成合作探究，小组交流展示。
【自学互助】
1计算
(x－3y)(3x＋4y)=
。
(m+m)(m-n)(m2+n2)=
合作探究一
形如（x+a)(x+b)
（其中a,b为已知数）的多项式的乘法
请同学们计算(x+1)(x+4)=
；
(m-2)(m+3)=
；
(x＋6)(x－1)=
；
(x-3)(x-6)=
；
（y-2)(y+9)=
；
小组讨论交流：（x+a)(x+b)=
其中a,b为常数。
结果中二次项的系数为
，一次项的系数为两个因式中的
，
结果中的常数项是两个因式的
。
2、试一试
（1）、（x+3)(x+7)=
，
(m+5)(m-2)=
，
(y-1)(y+8)=
,
(t-4）（t-9)=
，
（2）、若(x-4)(x+8)=x2+mx+n,则m,n的值分别为(
)
A.4,32
B.4,-32
C.-4,32
D.-4,-32
探究二
利用代数式的恒等求值
例1、已知x2+mx-15=(x+3)(x+n),求m-n的值。
例
2.已知多项式（mx+8)(2-3x)展开后不含x项，求m的值。
【展示互导】
1、化简求值
(x-2)(x-3)+2(x+6)(x-5)-3(x2-7x+13)，
其中x=3
2、若(x2＋ax－b)(2x2－3x＋1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为－6，
求a，b的值。
【质疑互究】
若使恒成立，则a=
,b=
。
【检测互评】
1.下列计算错误的是(
)
A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4
B.(y+4)(y-5)=y2+9y-20
C.(m-2)(m+3)=m2+m-6
D.(x-3)(x-6)=x2-9x+18
2.若(mx+3)(3-2x)的展开式中不含x项，则m=________
3.若(x＋a)(x＋2)＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．
4.若a2＋a＋1＝2，则(5－a)(6＋a)＝__________．
5.化简
（x＋2)(x＋3)－(x＋6)(x－1）
6.若多项式（x2+nx+3）（x2-3x+m)的乘积中不含x3项和x2项，求m和n的值。
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第9课时：两数和乘以这两数的差（一）
【学习目标】
1.能认识并运用平方差公式进行多项式的乘法运算,会运用平方差公式进行简便计算
2.培养学生归纳、合作交流的能力。
【学习重点】
平方差公式的灵活运用
【学习难点】
1.构造图形解释平方差公式
2.用公式结构特征判断题目能否用平方差公式
【学法指导】
课前预习教材30页-31页，完成自主学习，上课用25分钟
完成合作探究，小组交流展示。
【自学互助】
1.计算：（a+3)(a-3)=
(2a+3b)(2a-3b)=
2.两数和乘以这两数的差公式：
用语言描述公式
有时也简称平方差公式。
3.小组交流讨论平方差公式的特征：
公式的左边是
个
项式的乘积，并且这两个二项式中有一项
，另一个项
，公式的右边是乘积中两个项的
，即
的平方减去
的平方。
平方差公式
注意：平方差公式中的a,b可以是具体的数，也可以是单项式或者多项式。
4、下列各式中哪些可用平方差公式计算，可用的在括号里直接写出它的结果
[1](
)(x+y)(x-y)
[2]((
)x+y)(
-x+y)
[3](
)(x-y)(x-y)
[4](
)
(x-y)(
y
-
x)
[5](
)(y+x)(
-
x-y)
现在你能用平方差公式所需满足的条件是否有进一步理解？
（提示：一项_________相同,另一项_________）
5、再次训练（
关键是找准“相同项和相反项”）
（1）(1+x)(1-x)=(
)2
－(
)2=
（2）(-3+a)(-3-a)=(
)2
－(
)2
=
（3）(-0.3x-1)(-0.3x+1)=(
)2
－(
)2=
【展示互导】
例1：（1）(1+a)(-1+a)
（2）
(2x+3)(2x-3)
（3）
(m+2n)(2n-m)
(4) (-a+2b)(-a-2b)
（5）（a2-b2)(a2+b2）
（6）（-2a2+1)(-2a2-1)
【质疑互究】
例2、
化简：
(2x+5)(2x－5)－(4+3x)(3x－4)
【检测互评】
1、下列各式中不能用平方差公式计算的是（
）
A
.(x－2y)(2y+x)
B.(x－2y)(－2y+x)
C.
(x+y)(y－x)
D.
(2x－3y)(3y+2x)
2、下列各式中计算正确的是（
）
A.(a+b)(－a－b)=a2－b2
B.
(a2－b3)(a2+b3)=a4－b6
C.(－x－2y)(－x+2y)=-x2－4y2
D.(2x2+y)(2x2－y)=2x4－y4
3.若M (3x-y2)=y4-9x2,那么代数式M应该是
4、先化简，再求值：，其中．
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第10课时：两数和乘以这两数的差（二）
【学习目标】
1.灵活运用平方差公式进行简便运算，
2.掌握平方差公式的简单逆用
【学习重点】灵活用平方差公式进行简便运算
【学习难点】逆用平方差公式解题。
【自学互助】
1.计算
（－1+4m）(－1－4m)
=
；
(2x2+y)(2x2－y)=
；
498×502=(
)×(
)=
=
；
999×1001=
2、运用平方差公式进行简便运算
（1）
98×102
（2）
59×61
（3）
20
×19
（4）2008-2009×2007
【展示互导】
3、“连用”平方差公式
1.（x-3）(x+9)(x+3)
2.
(x+2)(x+4)(x-2)
3.（1-x）(1+x)(1+x)(1+x)（1+x8)(1+x16)
【质疑互究】
（1）计算
①
②
（2）已知，x+y=6,求的值。
【检测互评】
1.已知x2-y2=6,x+y=3,则x-y=
2.
2013×2015-20142=
3.
=
4.（1）
1002-992+982-972+962-952…+42-32+22-12
【总结提升】
1、本节课有哪些收获与不足？
2、计算：(2+1）(2+1)(2+1)（28+1）（216+1）（232+1）+1
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第11课时：两数和（差）的平方（一）
【学习目标】
1、经历探索完全平方公式的过程
2.会用完全平方公式进行多项式乘法计算
【学习重点】
完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
【学习难点】
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．
【自学互助】
1、
运用多项式与多项式相乘的法则计算下列各式
(1)、(a+b)2
=(a+b)(a+b)=
=
(2)、(2+x)2
=(2+x)(2+x)=
=
(3)、(a+x)2
=(a+x)(a+x)=
=
观察以上式子,它们有一定的规律吗
答:
2、合作探究
如图1，
1）.大正方形的边长为
面积可以表示为____________
2）.如果把大正方形分成四部分，每部分的面积分别表示为：
S1=
S2=
，
S3=
，S4=
，
大正方形的面积也可以表示为_____________
，
3、所以可以得到等式
我们把这个等式称为：
两数和的完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2
即两数的和的平方,等于这两数的平方和,加上这两数的积的2倍
对照公式运用两数和的完全平方公式计算（填空）
(2a+3)2
=
2
+
·
　·
+
2
=________________
4、两数差的完全平方公式:(a-b)2=
a2-2ab+b2
即两数的差的平方,等于这两数的平方和,减去这两数的积的2倍
完全平方公式:两数和的完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2
两数差的完全平方公式:(a-b)2=
a2-2ab+b2
【展示互导】
组内讨论交流完全平方公式的特征：
1.公式左边是一个
项式的
，右边是一个
次
项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的
，另一项是左边二项式中那两项乘积的
，可以简单的概括为“首平方，尾
，
乘积的
在中央”。
2.和平方差公式一样，完全平方公式中的a,b可以是具体的数，
也可以是
或
。
3.运用公式时，要特别注意判断两项乘积2倍的符号：首尾积的2倍的符号不是看中间是：“+”还是“-”,而是看首，尾项是同号还是异号：首尾项的符号如果相同，则积的2倍的符号是
，首尾的符号如果异号，则积的2倍的符号是
。
例1：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【质疑互究】
【检测互评】
１．下列各式中，能够成立的等式是（
）．
A、　
B、
C、
D、
2
.（-2x+y)2=
,
（-2x-y)2
=
,
3.(5x-
)2=
-10xy+y2
4.若x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m的值为
(
)
A、
8
B、
6
C、
+8或者-8
D、+6或者-6
5.
化简：（x+3)2-(x-1)(x-2)
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第12课时：两数和（差）的平方（二）
【学习目标】
1.能够灵活运用完全平方公式进行简便运算,
会用公式的变形解决相关问题
2.提高学生归纳，运用，合作交流的能力。
【学习重点】
灵活运用完全平方的变形求代数式的值。
【学习难点】
识别各种形式的完全平方式求字母参数的值。
【学法指导】
熟悉完全平方公式的结构特点，完成自主学习，课堂上用约25分钟完成合作探究，有疑问小组交流展示质疑。
【自学互助】
1、下列式子中是完全平方式的是(
)
A.a2+ab+b2
B.a2+2a+2
C.a2-2b+b2
D.a2+2a+1
2、计算，（-a+1)2
=
,
(-m-n)2=
,
3.1012
=
.
3、用完全平方公式进行简便运算
计算（1）1022
（2）992
（3）100.22
（4）
1.992
+2×1.99×0.01+0.012
（5）
1.23452
+2.469×0.7655+0.76552
4、求使一个代数式是完全平方的字母参数的值（重点）
1）.x2+16x+k是完全平方式，则常数k=
.
2）.二次三项式4x2
-mx+9是完全平方式，则常数m的值=
。
3）.二次三项式9x2
+(m+1)xy+25y2
是完全平方式，则常数m=
。
4）.二次三项式16x2
-16x+k2
完全平方式，则常数K=
。
【展示互导】
5、
完全平方公式的变形
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=
a2-2ab+b2
两个公式中有(a+b)2
，
(a-b)2
，a2+b2
,以及ab四个代数式，只要知道其中的两个的值，便可以求出另外两个代数式的值。常用的几个基本变形有：
a2+b2=
-2ab
a2+b2=
+2ab
(a+b)2
=(a-b)2
+
(a-b)2
=(a+b)2
巩固训练：
已知a+b=5，ab=-6。
求下列各式的值，（1）、a2+b2
（2）、（a-b)2
（3）、a2
-3ab
+b2
【质疑互究】
（1）已知则
（2）若
【检测互评】
1.
9982=
2.
如果x2+kx+81是完全平方式，那么常数K=
3
已知（a-b)2=4，(a+b)2=64，求下列代数式的值（1）a2+b2
（2）ab
【总结提升】
1、本节课有哪些收获与不足
2、能力提升
（1）
(选作）已知a2+b2+2a-4b+5=0,则a=
,b=
,
（2）
(选作）如果a=2011x+2012,
b=2011x+2013
,
c=2011x+2014
,
求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第13课时：单项式除以单项式
【学习目标】
1．理解单项式除以单项式的意义和运算法则，并能熟练运算。
2.由单项式乘以单项式类比得出单项式除以单项式的法则，让学生体会数学中的类比思想
【学习重点】
单项式除法运算法则的推导与应用
【学习难点】
含有乘方的除法运算
【学法指导】
预习教材39页-40页，完成自主学习。课堂上用约28分钟完成合作探究，有疑问的小组讨论，然后质疑展示。
【自学互助】
1、
单项式乘单项式的法则：单项式乘以单项式，只要将它们
、
分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的
一起作为积的
一个因式。
2、在上面的乘法法则中，其实主要解决了三个问题：一是系数，二是
，三是只在一个单项式中出现的字母。
3、仔细阅读教材39页试一试及右边的云图，计算：
-21a2b3c2
÷3ab
由除法的意义，上面的计算就是求一个式子，使它与3ab相乘等于-21a2b3c2
，
因为（
） 3ab=-21a2b3c2
,所以，-21a2b3c2
÷3ab=（
），
如果每次单项式除以单项式都这样计算，同学们一定会觉得不方便，仿照单项式乘以单项式的法则，请小组讨论商式中的系数和字母是怎么计算出来的？
(1).系数
，作为商的
；
(2).相同字母的幂
，作为商的
；
(3).在被除式中出现的字母，则连同它的
作为商的
。
4、现在可以总结出单项式除以单项式的法则了吗？
单项式相除，把
，
分别相除作为商的
，
对于只在
中出现的字母，则连同它的
一起作为
。
例1：计算，（1）
6x3y÷3xy
(2)12a3b2x3÷3ab2
(3)
a3b5c2÷(-
)a3b4
(4)
(5)
(54×1013)÷(3×105)
【展示互导】
例1：计算（1)
48xnyn-1z2÷(-12xn-1yn-1)
(2)
(3ab3c)2÷(-ab2)2
（3）（x2y) (3x3y4)÷(9x4y3)
(4)(2a+b)4÷(2a+b)3 (2a+b)5
【质疑互究】
已知有四个单项式：，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为，请你写出算式。
【检测互评】
1.填空48m3n4÷(-16m2n4)=
（-2xy2z3)÷(4xy3)=
6a6
÷3a2×2a3
=
2.下列计算正确的是（
）
A
、(2x2)3=2x6
B、
6a6b÷(2a2)=3a4b
C、3a2×
2a2=6a2
D、()0
×
3=0
3.下列计算结果正确的是(
).
A、a4÷a＝a4　　　　　　
B、(x－y)3÷(x＋y)2＝x－y
C、x5÷x3÷x＝x2　　　
D、(a－b)3÷(b－a)2＝a－b
4.已知那么m=
；
5.计算，a7÷a2
a+(a2)3+(-3a3）2
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
学校____________
班级
姓名
小组评价
教师评价__________
第14课时：多项式除以单项式
【学习目标】
1.知道多项式除以单项式的法则，会运用法则进行多项式除以单项式的运算。
2.在探究过程中，培养学生实践、探索与合作交流的能力。
【学习重点】
灵活运用法则进行计算
【学习难点】
法则的推导过程
【自学互助】
1、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，将
分别乘以
，再将所得的积
。
实质是把单项式乘以多项式转化为
。
2、计算：-5a5b3c÷15a4b=
3、合作探究：同学们知道（2ma+3mb+5mc)÷m怎么计算吗？根据除法的定义，
就是要求一个式子，使得它与m的积是2ma+3mb+5mc，
由于
m (
)=2ma+3mb+5mc，
所以
（2ma+3mb+5mc)÷m=
，
小组讨论交流结果中的各项是怎么得到的？
4、总结出多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项
，再把所得的商
。
其实质就是：把多项式除以单项式转化为
，体现了数学中的
思想。
【展示互导】
例1、计算：（1）（27-15+3a）÷3a
（2）（3y-x-xy）÷(-xy)
例2、计算：（1）、
（2）
（3）[3-（a-b）]÷(a-b)
例3、化简，求值：[(xy+2)(xy-2)-2+4]÷(xy)，其中x=10，y=。
【质疑互究】
已知多项式能被整除，且商式为3x+1，求的值。
【检测互评】
1.下列计算正确的是（
）
A、
a2+a2=a4
B、(a3+a2+a)÷a=a2+a
C、(2a6-4a4)÷2a4－a2=－2
D、(a3)3=a6
2.长方形的面积为4a2
-6ab+2a
,若它的一边长为2a
,则它的周长为（
）
A
4a-3b
B
8a-
6b
C
4a-3b+1
D
8a-6b+2
3.已知被除式为
x3+3x2-1
,商是x
,余式是-1
，则除式是
4.计算：(1)
(12a3-6a2+3a)÷3a
(2)(－xy－x2y2
＋0.25x4y5)÷(-0.2xy)
【总结提升】
1、本节课有哪些收获与不足？
2、能力提升
求值：
其中：
。
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教师评价__________
第15课时：因式分解—提公因式法
【学习目标】
1、让学生理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系。
2、知道公因式的概念，能够找出多项式的公因式，
较为熟练地运用提公因式法分解因式
。
3、培养学生的观察、分析、判断及自学能力。
【学习重点】
掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解。
【学习难点】
正确的找出公因式。
【学法指导】
课前预习教材42页-44页的，课堂上用约30分钟时间完成自学互助，小组交流展示。
【自学互助】
1、由前面学过的整式的乘法，我们可以得到
m(a+b+c)=ma+
，
反之，ma+
=
m(a+b+c)，
我们把ma+
这个多项式化成了整式
和
的乘积形式。
这说明根据整式的乘法我们可以把一个多项式化成几个整式的积的形式：
比如因为x(x-1)=
x2-x
，
所以
x2-x=
；
因为(a+b)(a-b)=a2-b2
，
所以a2-b2=
。
归纳：把一个多项式化成
的形式，叫做多项式的
。
也叫做分解因式。
因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
因式分解
ma+mb+mc
m(a+b+c)
整式乘法
温馨提示：
1）.因式分解的对象是多项式，而不是单项式，而且是针对多项式的整体，而不是部分。
2）.因式分解的结果是几个整式
的积的形式。
3）.因式分解只是改变了多项式的形式，而多项式的值是不变的。
2、试一试！下列各式从左到右的变形为因式分解的是
①（1-2x)(1+2x)=1-4x2
②
9-6x+x2=(x-3)2
③2x2-6xy+2=2x(x-3y)+2
④ax-ay+bx+by=a(x-y)+b(x+y)
⑤-x2y-xy-xy2=-xy(x+1+y)
⑥x2+1=x(x+)
⑦
（x-2)(x+3)=(x+3)（x-2)
3、ma+mb+mc
=
m(a+b+c)中，多项式ma+mb+mc里各项都有一个公共的因式m,它就是这个多项式各项的公因式。多项式中的
都含有一个
，我们称为
。
4、把多项式中的公因式提出来，分解成两个整式的乘积的形式这种方法叫
。
5、小组讨论交流，
多项式4xy3-8x3y2
的公因式是
,
6、归纳确定公因式的方法：
1）：若项多项式的系数是整数系数，则取各项系数的
作为公因式的系数；
2）：取各项相同的字母“因式”；
3）：取相同字母因式的
作为字母因式的指数；
温馨提示：公因式可以是单项式，也可以是多项式。
【展示互导】
例1：将下列各式因式分解
（1）3a2y-3ay+6y
(2)27a2b3-36a3b3+9a2b
3）3m(x+y)3-6(x+y)2
例2
：将下列各式因式分解
(1)、8a3b2-12ab3c
（2）、－8a3b2c＋6a2b2c2－12a3bc2
例3:利用因式分解计算
⑴
2.18×28＋46×2.18＋26×2.18
⑵
7.56×1.09＋1.09×6－12.56×1.09
【质疑互究】
1、分解因式：
2、当，求的值。
【检测互评】
1.下列各式，从左到右的变形是是因式分解的是（
）
A、
a(a+1)=a2+a
B、a2+3a-1=a(a+3)-1
C、x2-4y2
=(x+2y)(x-2y)
D、(a-b)3=-(b-a)3
2.
与的公因式是
。
3.
如果x2+6x+m因式分解得（x+2)(x+4),则m=
.
4.将下列各式因式分解
①
②
③
④
5.用因式分解计算
57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×(-20)
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第16课时：因式分解—公式法（一）
【学习目标】
1.知道平方差公式结构特点。
2.会运用平方差公式分解因式。
【学习重点】
会运用平方差公式分解因式
【学习难点】
乘法公式中的a,b是复杂的单项式或多项式时的因式分解
【自学互助】
1、下列各式从左到右的变形是否是因式分解
（1）、
（
）
（2）、
（
）
（3）、
（
）
（4）、
（
）
2、填空：（把下列各式分解因式，要求直接写出结果）
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
（5）、
3.
平方差公式是
，
4、合作探究：由平方差公式
（a+b)(a-b)=,反之=（a+b)(a-b)，
说明如果一个多项式符合平方差公式的特点，可以用平方差公式的逆用来进行因式分解，例如，a2-9
=a2-32=
,
用公式
a2-b2=(a+b)(a-b)分解因式的多项式的特点是：
①是
项式，
②能写成两项的
的形式，且这两项的符号
。
试一试1）.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（
）
A.
-a2+b2
B.
-x2-y2
C.
49x2y2-z2
D.
16m2-64n2p2
2）.分解因式：m2-25=m2-52=(
)(
);
x2－y2
=x2-(
)2=(
）（
）
25x2-9y2
=（
）2-（
）2=（
）（
）
49x2y2-z2=(
)2-(
)2=(
)(
)
归纳：先将符合公式特征的多项式的项化成
的形式再套用公式进行因式分解。
例1:因式分解
（1）、－9＋x2
(2)、9z2-(x+y)2
(3)、4(x-y)2-25(x+y)2
【展示互导】
例2、因式分解
(1)
m4-n4
(2)x3y-xy3
(3)
a2(x-1)+b2(1-x)
【质疑互究】
已知a,b,c是△ABC的三条边，判断的值的正负。
【检测互评】
1.分解因式：x2-9y2=
36x2-81y2=
2.简便运算
575
2×
12-425
2×12=
3.
若m2-n2=6,且m-n=2
,则m+n=
4.将下列各式因式分解
(1)、
0.81a2-16b2c2
(2)、2x3-8
（3）、16(a＋b)2－9(a－b)2
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第17课时：因式分解—公式法（二）
【学习目标】
1.知道完全平方公式的结构特点。
2.会完全平方公式分解因式。
【学习重点】
会灵活运用完全平方公式分解因式
【学习难点】
乘法公式中的a,b是复杂的单项式或多项式时的因式分解
【自学互助】
1.因式分解：9a2b2-25c2=
2.写出两个完全平方公式
,
.
3.计算（x-2y)2=
。
4.合作探究：
大家都知道完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2
，(a-b)2=
a2-2ab+b2
反过来，a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=
，就将多项式因式分解了
这说明我们可以将完全平方公式反过来用，对多项式进行因式分解。
什么样的多项式我们才可以用完全平方公式的逆用来因式分解呢？
请同学们小组交流完全平方式a2+2ab+b2
，a2-2ab+b2
的结构特征。
归纳：1).完全平方式有
项；
2).有两项分别是两个数的
形式即（a2+b2
），而且这两个平方项的符号
;
3).第三项是这两个数的
的
倍，符号可以为正，也可以为
。
凡是具备上述特征得多项式，都可以用完全平方公式因式分解，而且a,b可以是具体的数，也可以是单项式甚至是多项式。
火眼金睛：下列多项式中哪些是完全平方式：哪些不是？并说明理由
(1)
a2+9b2

（
）
(2)
x2+x+1
（
）
(3)
(x+y)2+4(x+y)+4 （
）
(4)
9a2+3a+1
（
）
(5)
x2-x+ （
）
(6)
x2+2xy-y2
（
）
认识了完全平方式，怎样用完全平方公式来因式分解呢？试一试
x2-4xy+4y2
=
x2
-2 (
) （
）+（
）2=（
）2
4a2-12ab+9b2=（
）2-2 (
) （
）+（
）2=（
）2
(a+b)2-12(a+b)+36=（
）2-2 (
) （
）+（
）2=（
）2
【展示互导】
例1.
将下列各式因式分解。
（1）、9x2-30x+25
（2）、a2b2+
1-2ab
（3）、x2－x＋
（4)、(a＋b)2＋4(a＋b)c＋4c2
（5）、
－a2－8ab－16b2
例2.将下列各式因式分解：(1)
x3-6x2+9x
(2)－4a2b+12ab2－9b3
【质疑互究】
已知a,b,c是△ABC的三条边，若a,b,c满足，判断△ABC的形状。
【检测互评】
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（
）
A
x2+1
B
x2+2x-1
C
x2+x+1
D
x2+4x+4
2.已知4x2+4mx+36是完全平方式，则m=
。
3.计算：10.12-10.1×2.2+1.12
=
。
4.将下列各式因式分解。
（1）
p2－22p＋121
（2）(a－b)2－8x(a－b)＋16x2
（3）－4－a2＋a
（4）
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第17课时：因式分解—公式法：（三）
十字相乘法（选用）
【学习目标】
1.让学生知道形如
x2+(p+q)x+pq
型的二次三项式的因式分解。
2.进一步培养学生的数学转化思想及对代数式恒等变形能力。
【学习重点】
形如
x2+(p+q)x+pq
型的多项式的因式分解。
【学习难点】
二次项系数不是1的二次三项式的分解问题。
【自学互助】
1.因式分解：-6x4+4x3=
9a-ab2=
a3-a2b+ab2=
2.将一个多项式因式分解时，应先看有没有
，再看能不能
运用
，注意每个因式必须要分解
。
3.直接写出结果：（x+1)(x+2)=
(x-4)(x+3)=
(x-6)(x-7)=
(x+5)(x-2)=
4.合作探究（一）：二次项系数为“1”的二次三项式的因式分解
交流能否用前面学习过的因式分解的方法对多项式x2+3x+2进行分解因式。
在前面我们计算了（x+1)(x+2)=
x2+3x+2,反之，x2+3x+2=（x+1)(x+2)，怎么分解的呢？
把二次项x2
写成x x,常数项2写成（+1） （+2），写成“十字相乘”的形式，
x2
+
3x
+
2
2x
+
x
=
3x
交叉相乘再相加得一次项3x
所以：x2+3x+2
=
(x+1)
(x+2)
再如：分解因式
x2
-x
-12
-4x+3x=-x
交叉相乘再相加得一次项-x
所以：
x2
-x
-12
=
我们把用这种对二次三项式因式分解的方法叫“十字相乘法”。
具体步骤为：①竖分二次项（可以直接写两个1）与常数项，
②交叉相乘，和相加，（相加后必须满足什么条件？）
③检验确定，横写因式，（怎样检验“十字”形式是否正确？）
【展示互导】
例1
.用十字相乘法分解因式
（1）x2+9x+20
(2)
x2-7x+12
(3)
x2-7x-8
(4)
x2+3x-18
（5）a2+7ab+12b2
(6)
（a+b)2-5（a+b)-14
【质疑互究】
5.探究二：二次项系数不为“1”的二次三项式的因式分解
将
3x2-7x+2分解因式.先画出“十字图”
(-x)+(-6x)=-7x
3x2-7x+2=
，
例2：
用十字相乘法分解因式
（1）6x2+x-35
(2)3x2-10x+3
(3)6x2-5x-6
(4)2x2-xy-y2
例3：
将下列各式因式分解
（1）x3-4x2-21x
(2)
x4+10x2-11
(3)
x4-13x2y2+36y4
【检测互评】
1.如果x2-4x+q=(x-7)(x+b)
,则b=
,q=
.
2.因式分解：x2-5x+6=
，
x2+5x+6=
x2-5x-6
=
,
x2+5x-6
=
,
3.
因式分解:y2-7yz+12z2=
2x2-5x-3=（x-3）（
）
3a3-8a2+42=
【总结提升】
1.通过本节课的学习你有哪些收获与不足？
2.本节课我还存在未解决的问题是
。
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第18课时：整式的乘除复习
【学习目标】
复习巩固本章的知识要点，强化解题方法，提炼数学思想，
【学习重点】
幂的运算法则和乘法公式的灵活运用
【学习难点】
整式乘法的综合运用
【自学互助】1、完成本章知识框架
同底数幂的乘法
幂的运算
同底数幂的除法
幂的乘方
积的乘方
单项式与单项式相乘
整式的乘法
单项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘
平方差公式
完全平方公式
，
乘法公式
单项式除以单项式
多项式除以单项式
因式分解的概念
提公因式法
因式分解
因式分解的方法
公式法
十字相乘法
因式分解的步骤
2、合作探究：专题一
幂的运算法则
例1，计算
（1）（a5)3
(a2)4
÷
a12
÷(a2)10
(2）（-2a)6
－(-3a3)2
－
[-(-2a)2
]3
专题
二
：幂的运算性质的逆用
例2
、1）（-0.125）2013×
82014
2）若10x
=2
,10y
=3，求103x+2y
和102x-3y
的值。
专题三：乘法公式的灵活运用
例3.
先化简，再求值
（1）4(x+1)2－7（x－1)(x+1)+3(1－x)2
,其中x=-2
(2)(2x－5y)2－(5y+2x)2
,
其中x=2013
,y=-
例4
.已知实数m,n满足（m+n)2=1
,(m-n)2=25
,求m2+n2+mn的值。
专题四
整式的混合运算
例5
计算
5ab2－{2a2b－[3a2b－ab(b-2a)]÷(-ab)}
专题五
因式分解的综合运用
例6
把下列各式因式分解
（1）18a2－50
(2)
2x2y－8xy+8y
(3)3m4－6m2+3
(4)
6x3－13x2+6x
3、合作探究二：本章中的主要数学思想：（1）转化思想
(2).
整体的数学思想
·
·
a
b
0
A
B