人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程（第一课时）导学案(含答案解析)

21.3
实际问题与一元二次方程（第1课时）
导学探究
阅读教材P19，回答下列问题:
1.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染3个人.
(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.
(2)在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.
2.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染x个人.
(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.
(2)在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.
3.回忆、类比:用一元一次方程解决问题有哪些步骤 关键是什么
你能类比出用一元二次方程解决问题的步骤吗
归纳梳理
1.列一元二次方程解应用题的步骤:
审、设
、找、列、解、检、答.
2.循环比赛问题:
(1)若n(n≥2)支球队进行单循环比赛(每两支球队之间只比赛一场)，一共需要进行_______场比赛;
(2)若n(n≥2)支球队进行双循环比赛(每两支球队之间主客场比赛两场)，一共需要进行________场比赛.
典例探究
【例1】（2014秋 剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
总结：
传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播.
解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
练1．（2014秋 集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？
【例2】
市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛
总结:
n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行n(n-1)场比赛.
练2．（2015 山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（　　）
A．39
B．40
C．50
D．60
夯实基础
1．（2015 兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.（2015 东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（　　）人患了该病．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】首先设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．
【解答】解：设每轮一人传染了x人，由题意得：
1+x+（1+x）×x=121，
（1+x）2=121，
∵1+x＞0，
∴1+x=11，
x=10．
∴每轮一人传染了10人；
设最开始有y人被传染，则根据题意得：
y+10y+10（y+10y）+10[y+10y+10（y+10y）]=2662，
解得：y=2．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键.
3．（2014春 信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有________人被传染．
4．（2014 襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
5（2014 东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
典例探究答案：
【例1】（2014秋 剑阁县校级期中）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，
（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？
分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有121人患病，可求出x，
（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．
解答：解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=121，
x=10或x=﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；
（2）121+121×10=1331（人）．
答：第三轮后将有1331人被传染．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．
练1．（2014秋 集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？
分析：设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．
解答：解：由题意，得
n+n2+1=111，
解得：n1=﹣11（舍去），n2=10．
故n的值是10．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．
【例2】
市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛
【解析】计算n支球队进行单循环比赛(每两队之间只赛一场)的总场数P，可这样来考虑:由于单循环赛中每一支球队都和其他的球队进行一场比赛，即每一支球队比赛(n-1)场，n个球队应赛n(n-1)场，但两个队之间只需比赛一场，故实际进行比赛的总场数P=n(n-1)（n为不小于2的整数）
解答：设应邀请n支球队参加比赛,则n(n-1)=15
[答案】6支
练2．（2015 山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（　　）
A．39
B．40
C．50
D．60
解：设九（1）班共有x人，根据题意得：
x（x﹣1）=780，
解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），
答：九（1）班共有40名学生．
故选B．
夯实基础答案
1．（2015 兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
解：根据题意得：1+x+x（1+x）=49，
解得：x=6或x=﹣8（舍去），
则x的值为6．
故选：B．
2.（2015 东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（　　）人患了该病．
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】首先设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．
【解答】解：设每轮一人传染了x人，由题意得：
1+x+（1+x）×x=121，
（1+x）2=121，
∵1+x＞0，
∴1+x=11，
x=10．
∴每轮一人传染了10人；
设最开始有y人被传染，则根据题意得：
y+10y+10（y+10y）+10[y+10y+10（y+10y）]=2662，
解得：y=2．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键.
3．（2014春 信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有_______人被传染．
解：设一个患者一次传染给x人，由题意，得
x（x+1）+x+1=81，
解得：x1=8，x2=﹣10（舍去），
第三轮被传染的人数是：81×8=648人．
故答案为：648．
4．（2014 襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
答：每支支干长出9个小分支．
5（2014 东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）=49
x=6或x=﹣8（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了6个人；
（2）49×6=294（人）．
答：第三轮将又有294人被传染．