人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程（第二课时）导学案（含答案解析）

21.3
实际问题与一元二次方程（第二课时）
导学探究
阅读教材P19-20，回答下列问题:
1.请根据你对“变化额”“变化率”的理解，填空:
(1)某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产______个，增长率是______;若三月份生产零件1140个，那么三月份比二月份减产____个，下降率是________.
(2)某厂今年一月份的总产量为100吨，设平均每月增长率是x，则二月份总产量为_____吨;三月份总产量为_________吨.(用含x的代数式表示).
(3)某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是_____元;第二次降价后的价格是______元.(用含x的代数式)
2.我市前年有汽车3万辆，据统计平均每年的增长率为x.
(1)去年我市汽车有万_______辆;
(用含x的代数式表示)
(2)今年我市汽车有万_______辆;
(用含x的代数式表示)
(3)若我市今年有汽车12万辆，根据题意，可列出方程___________________________.
3.请你总结:
(1)
增长率问题:
若原来的量为a，平均增长率是x，则第一次增长后的量为________;第二次增长后的量为__________;若两次增长后的量为A，则可列方程__________________.
(2)下降率问题:若原来的量为a，平均下降率是x，则第一次下降后的量为__________;第二次下降后的量为___________;若两次下降后的量为A，则可列方程_________________.
归纳梳理
1.本节课我们将讨论平均变化率问题，变化率有增长率和________率.
2.有关变化率的公式:
(1)增长后的量
=
原来的量+_________=
原来的量×
(1+________);
下降后的量
=
原来的量－________
=
原来的量×
(1－_______).
(2)单位时间增长量＝增长后的量一_______=原来的量×__________;
单位时间下降量=原来的量一__________=原来的量×__________
(3)如果某个量原来的值是a，每次增长的百分率是x,
则增长1次后的值是________，增长2次后的值是_________，…，增长n次后的值是______________.
如果某个量原来的值是a，每次下降的百分率是x，则下降1次后的值是__________，下降2次后的值是_________，…，下降n次后的值是____________.
3.如果设平均每次增长(或下降)的百分数为x，则原来的量a,
经过两次增长(或下降)到A，可列方程为______________(或)_______________.
典例探究
【例1】（2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．20（1+2x）=28.8
B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
总结：
增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降低率.
若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前基数为a，增长（或降低）n次后的最后产量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b，其中增长取“+”，降低取“-”，注意1与x的位置不能调换.
增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题．
练1：（2015 珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
练2.
（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
夯实基础
1．（2014秋 丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
2．（2015 泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（　　）
A．2x%
B．1+2x%
C．（1+x%） x%
D．（2+x%） x%
3．（2015 江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（　　）
A．18元
B．36元
C．64元
D．80元
4．（2015春 富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是　
　．
5.（2016·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为　100（1+x）2=169　．
6．（2014 泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？
7．（2014春 淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．
8．（2014 香洲区校级一模）据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？
9、（2016贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
典例探究答案
【例1】（2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（　　）
A．20（1+2x）=28.8
B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得出方程．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8，
故选C．
练1：（2015 珠海）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．
（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；
（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？
分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；
（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．
解答：解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得
57.5（1+x）2=82.8，
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）.
答：增长率为20%；
（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36（万元）
答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．
点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，关键是运用增长率的数量关系建立一元二次方程求解．
练2.
（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：720（1+a）2=2205
解此方程：（1+a）2=，
即：，（不符合题意，舍去）
答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
夯实基础
1．（2014秋 丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
分析：设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x），第二次后的价格是60（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
解答：解：设平均每次降价的百分率是x，依题意得：
60（1﹣x）2=48.6，
解方程得：x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去），
答：平均每次降价的百分率是10%．
故答案为：10%．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用﹣﹣增长率（下降率）问题，关键是读懂题意，掌握公式：“a（1±x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．
2．（2015 泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（　　）
A．2x%
B．1+2x%
C．（1+x%） x%
D．（2+x%） x%
解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（2+x%） x%，
故选D
3．（2015 江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了36%．假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（　　）
A．18元
B．36元
C．64元
D．80元
解：∵原价为100元的药品经过两次降价后下降了36%，
∴降价后的药品价格为100（1﹣36%）=64元，
设平均每次降价的百分率是x，依题意得：
100（1﹣x）2=64，
解方程得：x1=0.2=20%，x2=1.8（舍去），
第一次降价的价格为100×（1﹣20%）=80元．
故选D．
4．（2015春 富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销．甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克3.2元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是　20%　．
解：设平均每次下调的百分率是x．
由题意，得5（1﹣x）2=3.2．
解得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
故答案为：20%．
5.（2016·四川眉山·3分）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为　100（1+x）2=169　．
【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
100（1+x）2=169，
故答案为：100（1+x）2=169．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出形应的方程．
6．（2014 泗县校级模拟）某公司一月份营业额为100万元，第一季度总营业额为331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是x．
根据题意得100+100（1+x）+100（1+x）2=331，
解得x1=0.1，x2=﹣3.1（不合题意，舍去）．
答：该公司二、三月份营业额平均增长率是10%．
7．（2014春 淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的20元减少到12.8元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率．
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：
20（1﹣x）2=12.8
解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意舍去）．
答：每次降价的百分率为：20%．
8．（2014 香洲区校级一模）据媒体报道，我国2011年公民出境旅游总人数约5000万人，2013年公民出境旅游总人数约7200万人，若2012年、2013年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题：
（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2014年我国公民出境旅游总人数约多少万人？
解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．
根据题意得：5000（1+x）2=7200，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2
（不合题意，舍去）．
答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．
（2）如果2014年仍保持相同的年平均增长率，
则2012年我国公民出境旅游总人数为
7200（1+x）=7200×（1+20%）=8640（万人次）．
答：预测2014年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．
9、（2016贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；
（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×（1+0.2），再进行计算即可．
【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：
6000（1+x）2=8640
解得：x=0.2=20%，
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，
所以2017年该县投入教育经费为：y=8640×（1+0.2）=10368（万元），
答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．