2025-2026学年苏科版九年级数学上学期期中测试卷（1-4章）（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年苏科版九年级数学上学期期中测试卷（1-4章）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 925.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-03 14:46:17 | ||
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文档简介
2025-2026学年九年级数学上学期期中测试卷（1-4章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．9
5．如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．无法确定
6．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若是方程的根，则代数式的值是 ．
12．如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °．
13．已知数据，，，的平均数为m，方差为，则数据，，，的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ．
14．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ．
15．若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为 ．
16．如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果；
(1)求证：．
(2)连接，求证：．
18．（6分）已知：实数满足．
(1)求证：；
(2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由；
(3)若，，，求的值．
19．（6分）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数．
(1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）；
(2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值；
(3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值．
20．（8分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图中的信息解答以下问题：
(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整；
(2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人；
(3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
21．（8分）根据以下素材，完成下列任务．
背景素材
背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．
素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．
问题解决
任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.
22．（9分）如图所示，，为的直径，、分别交于、，连结、．
(1)试判断与是否相等，并说明理由；
(2)过点作，垂足为，求证：是的切线．
23．（9分）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．
我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”．
(1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”．
①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；
②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______．
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值．
24．（10分）2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图
体育成绩频数分布表
组别 成绩（x分） 频数 频率
A 35＜x≤38 1
B 38＜x≤41 0.05
C 41＜x≤44
D 44＜x≤47 6
E 47＜x≤50
（1）在这次考察中，共调查了 名学生；并请补全频数分布直方图；
（2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？
（3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下：
李杰成绩（个/分） 170 175 180 190 195
次数 1 1 3 2 3
陈亮成绩（个/分） 165 180 190 195 200
次数 2 2 3 2 1
则李杰10次成绩的中位数是 ；陈亮10次成绩的众数是 ，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．
25．（10分）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接．
(1)求证：点是的中点；
(2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？
(3)①当在的左侧时，求证：；
②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系；
③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明．
参考答案
一、选择题
1．C
解：由题知，
因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以且，
∴，
当时，，故选项A不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C符合题意；
当时，，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．A
解： 为的直径，且于点，
，，
，
，即，
，
设与交于点G，
，
，
，
，
，
故选：A．
3．B
解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意；
若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意；
若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意，
故选：B．
4．C
解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选：C．
5．C
解：连接并延长交于点，连接，，
∵是直径，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴是的中位线，
∴，
故选：．
6．C
解：∵，
∴或，
当时，则，
当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，
∴，，，
解得：，
∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：，
故选：C
7．C
根据题意，不妨设七年级两名学生为，八年级两名学生为，
则就坐的情况与位置1，2，3，4对应的有：
；；；；；；
；；；；；；
；；；；；；
；；；；；；
总共有24种情况，七年级两名同学均与校长相邻，即在2,3号位置的有4种，
所以七年级两名同学均与校长相邻的概率．
故选：C．
8．A
解：如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于，
∵由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由等边三角形的性质可得：，，而，
∴，，
∴，
∴；
∴的长；
故选：A
9．D
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
解得，
∵，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
∴a的取值范围是．
故选：D．
10．D
解：如图1，连接，
点是和的角平分线的交点，
点是的内心，
平分，
为直径，
，
，
为定值，
点的轨迹为一段弧，
此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上，
如图2，过圆心作，连接，，
设，则，
为直径，
，
平分，
，
，
，
如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，
是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角，
，
，
，
点，，，，四点共圆，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，
点的运动路径为，
由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为，
点的运动路径为，
点和点的运动路径比为．
故选：D．
二、填空题
11．
解： 是方程的根，
，即，
，
故答案为：．
12．
解：如图，连接，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
13． ks
解数据，，，的平均数为m，方差为，
，，
，
数据，，，的平均数为，
数据，，，的方差为，标准差为．
故答案为；；ks．
14．8.8
解：如图，连接．
∵点N是的中点，
∴，
又∵，
∴M，N，O三点共线，
∵，
，
，
，
；
故答案为：8.8．
15．
解：∵，，
∴由根与系数的关系得：，；，；…，；
∴原式
故答案为：
16．
解：连接，
∵是的直径，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，是的中点，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）证明：作，
，
，
∴平分，
，
（2）证明：如图所示：
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
18．（1）解：∵实数m满足，
∴关于m的方程有解，
∴，
∴
（2）解：无整数根，理由如下：
假设有整数根，
若m为奇数时，
∵a，b都是奇数，
∴为奇数，与相矛盾；
若m为偶数时，
∵a，b都是奇数，
∴为奇数，与相矛盾；
∴假设错误，
综上所述，方程无整数根；
（3）解：若，，则，
∵，
∴，
∴m、是方程的两根，
∴，，
∴．
19．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的值为．
（2）解：设，k、m为正整数，
∴，
∴，
∵41只有因数1和41，
∴，解得：，
∵，
∴．
（3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解，
∴恒成立，即，
∴，
∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数，
∴或为整数，
设(k为非负整数)，则，解得：，
∵a为正整数，
∴k为正奇数，且，
设（为正整数），则，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，，不符合题意；
，
当时，，此时，，都不是整数；
∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10．
20．（1）解：本次抽取的学生人数共有：
（人），
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是：
，
等级人数为：
（人），
故答案为：，，
补全条形统计图如下：
（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人），
故答案为：；
（3）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
21．任务1：解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，
根据题意得：，
解得：，，
∵此次销售尽量让利于顾客，
∴，
答：下调后每辆汽车的售价为万元．
22．（1）解：，理由如下：
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
，
，
；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∵为半径，
∴，
∴，
∴是的切线．
23．（1）解：当时，代入得，，
∴，即，
故答案为：；
依题意， ，
整理得，，
解得，，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是“幸运方程”，
∴是完全平方数，
即是完全平方数，
∴或或，
解得或或，
∵为整数，
∴，
当时，方程化为，
∴；
∴方程的“幸运数”为；
（3）解：∵是“幸运方程”
∴的两个根为整数，
设方程的两个根分别为，
∴
∴
∴，
∴
∵为整数，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
综上所述，的值为或；
方程的“幸运数”为，
当时，
当时，
∴
方程的“幸运数”为
∵与互为“开心数”，
∴，即
当时，方程为：
解得：或（舍去，不是整数）
当时，方程为：
解得：
综上所述，或
24．解：（1）共调查的学生数是：3÷0.05＝60（名），
41＜x≤44的人数有：60﹣1﹣3﹣6﹣45＝5（名），
补图如下：
（2）根据题意得：
1100×＝550（名），
答：估计该年级体考成绩满分的总人数约有550名；
（3）李杰10次成绩的中位数是＝185；
陈亮10次成绩的众数是190；
李杰10次成绩的平均成绩是：＝185，
李杰10次成绩的方差是： [（170﹣185）2+（175﹣185）2+3（180﹣185）2+2（190﹣185）2+3（195﹣185）2]＝55；
陈亮10次成绩的平均成绩是：＝185，
陈亮10次成绩的方差是： [2（165﹣185）2+2（180﹣185）2+3（190﹣185）2+2（195﹣185）2+（200﹣185）2]＝135；
两位同学的平均成绩一样，但李杰的方差小于陈亮的方差，
所以应派李杰参赛；
故答案为：185，190．
25．（1）如图，连接，
，
，，
，
，
，
，
即点是的中点；
（2）当时，四边形是菱形，
证明如下：
如图，连接，，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（3）证明：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
②当在的内部时，①的结论不成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
故当在的内部时，①的结论不成立；
③当在的右侧时，①或②中的结论都不成立，理由如下：
如图：设与的延长线交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
是的直径，
，
，
，
，
综上所述，当在的右侧时，①或②中的结论都不成立．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，内接于，为的直径，且于点，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．9
5．如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（ ）
A．1.5 B．2 C． D．无法确定
6．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．为表彰文明有礼好少年，七、八年级分别选出两名同学和校长合影，校长坐在最中间，四名同学随机就座，则七年级两名同学均与校长相邻的概率为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，是由众多边长为2的正三角形组成的网格，B、C、D均为顶点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段为的直径，的角平分线与的角平分线交于一点 ，且的角平分线与交于点， 点为上一动点，当点从点运动到点时，则与两点的运动路径比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若是方程的根，则代数式的值是 ．
12．如图，点在的边上，，，以为圆心为半径的圆交于点，且，则的度数是 °．
13．已知数据，，，的平均数为m，方差为，则数据，，，的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ．
14．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O 为圆心、为半径的圆弧，点N是的中点，，交于点 M．“会圆术”给出 的弧长l的近似值计算公式： ．当时，则l的值约为 ．
15．若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为 ．
16．如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．（6分）如图，在中，，圆O的圆心在内部，与的边顺时针分别交于点E、D、F、G、N、M（点E在线段上），射线交边于点P．如果；
(1)求证：．
(2)连接，求证：．
18．（6分）已知：实数满足．
(1)求证：；
(2)若，都是奇数，关于的方程是否有整数根？并说明理由；
(3)若，，，求的值．
19．（6分）定义：我们把一个整数平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，我们就将这些数都称为完全平方数．
(1)如果一个完全平方数满足，则满足条件的值为 （请写出所有满足条件的数）；
(2)是正整数，如果和都是完全平方数，求的值；
(3)如果关于的一元二次方程至少有一个整数解，请直接写出满足题意的正整数的值．
20．（8分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据统计图中的信息解答以下问题：
(1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是_______，并把条形统计图补充完整；
(2)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_______人；
(3)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．
21．（8分）根据以下素材，完成下列任务．
背景素材
背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升．
素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．
素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆，售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．
问题解决
任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.
22．（9分）如图所示，，为的直径，、分别交于、，连结、．
(1)试判断与是否相等，并说明理由；
(2)过点作，垂足为，求证：是的切线．
23．（9分）我们知道：关于的一元二次方程（，，，均为整数），如果时，这个方程的实数根就可以表示为，其中就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即，通过观察公式，我们可以发现，如果的值是一个完全平方数（若（为整数），则是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为，，不都为整数；方程的两根，，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．
我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”（，，，均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”．
(1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”．
①当时，该幸运方程的“幸运数”是______；
②若该幸运方程的“幸运数”是，则的值为______．
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值及该方程的“幸运数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求的值．
24．（10分）2019年4月，西大附中初2019级中招体育考试已经顺利结束，在所有师生共同努力下，取得了历史性的好成绩．初二小明为了解初三哥哥姐姐们中招体育考试成绩的情况，采取抽样调查的方法，从年级各班随机调查了若干名同学的体考成绩，并将调查结果进行了整理，分成了5个小组，根据体考成绩制定出部分频数分布表和部分频数分布直方图
体育成绩频数分布表
组别 成绩（x分） 频数 频率
A 35＜x≤38 1
B 38＜x≤41 0.05
C 41＜x≤44
D 44＜x≤47 6
E 47＜x≤50
（1）在这次考察中，共调查了 名学生；并请补全频数分布直方图；
（2）被调查的学生中，有30人是满分50分，若西大附中初2019级全年级有1100多名学生，请估计该年级体考成绩满分的总人数约有多少名？
（3）初三哥哥姐姐们体测取得的辉煌成绩让初二的学弟学妹们信心大增，为了调动初二学子跳绳积极性，初二年级将举行1分钟跳绳比赛，每班推荐一人参赛，小明所在的班级李杰和陈亮两人均想报名参赛，为了公平选拔，班主任让小明统计了两人近10次的跳绳成绩（单位：个/分），如下：
李杰成绩（个/分） 170 175 180 190 195
次数 1 1 3 2 3
陈亮成绩（个/分） 165 180 190 195 200
次数 2 2 3 2 1
则李杰10次成绩的中位数是 ；陈亮10次成绩的众数是 ，请你通过计算两位同学的平均成绩和方差帮班主任选一名同学参赛，并说明理由．
25．（10分）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接．
(1)求证：点是的中点；
(2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？
(3)①当在的左侧时，求证：；
②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系；
③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明．
参考答案
一、选择题
1．C
解：由题知，
因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以且，
∴，
当时，，故选项A不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
当时，，故选项C符合题意；
当时，，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．A
解： 为的直径，且于点，
，，
，
，即，
，
设与交于点G，
，
，
，
，
，
故选：A．
3．B
解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意；
若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意；
若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意，
故选：B．
4．C
解：∵，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得．
故选：C．
5．C
解：连接并延长交于点，连接，，
∵是直径，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴是的中位线，
∴，
故选：．
6．C
解：∵，
∴或，
当时，则，
当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，
∴，，，
解得：，
∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，
∴，
∴，
∴，
解得：，
综上：，
故选：C
7．C
根据题意，不妨设七年级两名学生为，八年级两名学生为，
则就坐的情况与位置1，2，3，4对应的有：
；；；；；；
；；；；；；
；；；；；；
；；；；；；
总共有24种情况，七年级两名同学均与校长相邻，即在2,3号位置的有4种，
所以七年级两名同学均与校长相邻的概率．
故选：C．
8．A
解：如图，由题意可得：为所在圆的圆心，为格点，取格点，连接，过作于，
∵由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
由等边三角形的性质可得：，，而，
∴，，
∴，
∴；
∴的长；
故选：A
9．D
解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴，
解得，
∵，，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，
∴a的取值范围是．
故选：D．
10．D
解：如图1，连接，
点是和的角平分线的交点，
点是的内心，
平分，
为直径，
，
，
为定值，
点的轨迹为一段弧，
此圆弧的圆心一定在弦的中垂线上，
如图2，过圆心作，连接，，
设，则，
为直径，
，
平分，
，
，
，
如图2，以点为圆心，为半径画圆，延长，交圆于点，连接，，
是圆中弦所对的圆心角，而是圆中弦所对的圆周角，
，
，
，
点，，，，四点共圆，
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，运动轨迹为，
点的运动路径为，
由图2可知，当点从点运动到点时，点的运动轨迹为，
点的运动路径为，
点和点的运动路径比为．
故选：D．
二、填空题
11．
解： 是方程的根，
，即，
，
故答案为：．
12．
解：如图，连接，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
13． ks
解数据，，，的平均数为m，方差为，
，，
，
数据，，，的平均数为，
数据，，，的方差为，标准差为．
故答案为；；ks．
14．8.8
解：如图，连接．
∵点N是的中点，
∴，
又∵，
∴M，N，O三点共线，
∵，
，
，
，
；
故答案为：8.8．
15．
解：∵，，
∴由根与系数的关系得：，；，；…，；
∴原式
故答案为：
16．
解：连接，
∵是的直径，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，是的中点，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）证明：作，
，
，
∴平分，
，
（2）证明：如图所示：
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
18．（1）解：∵实数m满足，
∴关于m的方程有解，
∴，
∴
（2）解：无整数根，理由如下：
假设有整数根，
若m为奇数时，
∵a，b都是奇数，
∴为奇数，与相矛盾；
若m为偶数时，
∵a，b都是奇数，
∴为奇数，与相矛盾；
∴假设错误，
综上所述，方程无整数根；
（3）解：若，，则，
∵，
∴，
∴m、是方程的两根，
∴，，
∴．
19．（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴满足条件的值为．
（2）解：设，k、m为正整数，
∴，
∴，
∵41只有因数1和41，
∴，解得：，
∵，
∴．
（3）解：∵关于的一元二次方程至少有一个整数解，
∴恒成立，即，
∴，
∵因为方程至少有一个整数解且a是正整数，
∴或为整数，
设(k为非负整数)，则，解得：，
∵a为正整数，
∴k为正奇数，且，
设（为正整数），则，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，，不符合题意；
，
当时，，此时，，都不是整数；
∴满足题意的正整数的值是：1；3；6；10．
20．（1）解：本次抽取的学生人数共有：
（人），
扇形统计图中所对应扇形圆心角的度数是：
，
等级人数为：
（人），
故答案为：，，
补全条形统计图如下：
（2）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人），
故答案为：；
（3）解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中被抽取的人恰好是名男生名女生的结果有种，
被抽取的人恰好是名男生名女生的概率．
21．任务1：解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,
根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；
任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，
根据题意得：，
解得：，，
∵此次销售尽量让利于顾客，
∴，
答：下调后每辆汽车的售价为万元．
22．（1）解：，理由如下：
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
，
，
；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，
∵为半径，
∴，
∴，
∴是的切线．
23．（1）解：当时，代入得，，
∴，即，
故答案为：；
依题意， ，
整理得，，
解得，，
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是“幸运方程”，
∴是完全平方数，
即是完全平方数，
∴或或，
解得或或，
∵为整数，
∴，
当时，方程化为，
∴；
∴方程的“幸运数”为；
（3）解：∵是“幸运方程”
∴的两个根为整数，
设方程的两个根分别为，
∴
∴
∴，
∴
∵为整数，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
综上所述，的值为或；
方程的“幸运数”为，
当时，
当时，
∴
方程的“幸运数”为
∵与互为“开心数”，
∴，即
当时，方程为：
解得：或（舍去，不是整数）
当时，方程为：
解得：
综上所述，或
24．解：（1）共调查的学生数是：3÷0.05＝60（名），
41＜x≤44的人数有：60﹣1﹣3﹣6﹣45＝5（名），
补图如下：
（2）根据题意得：
1100×＝550（名），
答：估计该年级体考成绩满分的总人数约有550名；
（3）李杰10次成绩的中位数是＝185；
陈亮10次成绩的众数是190；
李杰10次成绩的平均成绩是：＝185，
李杰10次成绩的方差是： [（170﹣185）2+（175﹣185）2+3（180﹣185）2+2（190﹣185）2+3（195﹣185）2]＝55；
陈亮10次成绩的平均成绩是：＝185，
陈亮10次成绩的方差是： [2（165﹣185）2+2（180﹣185）2+3（190﹣185）2+2（195﹣185）2+（200﹣185）2]＝135；
两位同学的平均成绩一样，但李杰的方差小于陈亮的方差，
所以应派李杰参赛；
故答案为：185，190．
25．（1）如图，连接，
，
，，
，
，
，
，
即点是的中点；
（2）当时，四边形是菱形，
证明如下：
如图，连接，，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（3）证明：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
②当在的内部时，①的结论不成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
故当在的内部时，①的结论不成立；
③当在的右侧时，①或②中的结论都不成立，理由如下：
如图：设与的延长线交于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
是的直径，
，
，
，
，
综上所述，当在的右侧时，①或②中的结论都不成立．
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