人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程（第三课时）导学案（含答案解析）

21.3
实际问题与一元二次方程（第3课时）
导学探究:
阅读教材P20-21，回答下列问题：
1、探究3中有哪些数量关系？
2、中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，这个比是多少？
上、下边衬与左、右边衬宽度之比是多少？
3.教科书是根据什么选取未知数的 又是利用怎样的数量关系列出方程的
4.如果根据正中央的长方形的长、宽比为9，7，设正中央长方形的长、宽，并利用“中央长方形面积=封面面积的四分之三”列方程，间接求上、下边衬与左、右边衬宽可以吗 若可以，你试一试.
归纳梳理
1.列方程解应用题，一般直接设元，即问什么就设什么;
有时为了好理解，也采用间接设未知数的方法，列方程求解.
2.利用一元二次方程分析解决几何图形问题，要抓住图形的特征(如面积关系、图形性质等)，在分析题意的基础上建立方程，通过解方程来解决实际问题.
3一元二次方程解决实际问题，要回到实际问题中进行解释和________，看求出的解是否符合__________.
典例探究
【例1】（2016·广西百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
总结：
解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积.
对于不规则图形的面积问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程．
练1:（2014秋 番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米.
练2．（2014 金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．
（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．
（2）怎样围能得到面积最大的草坪？
夯实基础
1、（2015 槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
2、（2015 东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为　
　m．
3．（2014 红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？
4、（2015春 昆明校级期末）如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为_______米．
5．（2014 长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．
6．（2015 赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有　28　块，白色瓷砖有　42　块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
7．光明小区要修建一个圆形花坛，平面设计图如图．
（1）花坛的直径为10m，在它周围要铺一条2m宽的鹅卵石环形小路，这条小路的面积是多少平方米？
（2）要在花坛中最大的正方形区域里种植花卉，种植花卉的面积有多大？
（3）花坛内其余的部分用来种植草坪，种植草坪的面积有多大？
典例探究答案
【例1】（2016·广西百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可；
（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．
【解答】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：
x（20-x）=96，
解得x1=12，x2=8（舍去），
答：这地面矩形的长是12米；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）．
规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）．
因为8250＞7680，
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解。
练1:（2014秋 番禺区校级月考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的6块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米.
分析：试验田的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽x，可根据此关系列出方程求出x的值，然后将不合题意的舍去即可．
解答：解：设道路为x米宽，
由题意得20×32﹣20x×2﹣32x+2x2=504，
整理得x2﹣36x+68=0，
解得x=2，x=34，
经检验x=2，x=34都是原方程的解，但是x=34＞20，因此不合题意舍去．
答：每条道路的宽度为2m．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外应熟悉以下关系：整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积﹣截去的面积．本题也可通过平移，把分散的小路集中到一起，得到的试验田为一个矩形，由此可得出方程（x-2x）（20-x）=504，并求解.
练2．（2014 金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪ABCD．
（1）当矩形草坪面积为120平方米时候，求该矩形草坪BC边的长．
（2）怎样围能得到面积最大的草坪？
分析：（1）可设矩形草坪BC边的长为x米，则AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解；
（2）根据配方法即可得到怎样围能得到面积最大的草坪．
解答：解：（1）设矩形草坪BC边的长为x米，则
x =120，
解得x1=12，x2=20（舍去）．
故该矩形草坪BC边的长为12米，．
（2）s=x =﹣x2+16x=﹣（x﹣16）2+128，
故当矩形草坪长为16米，宽为8米的时候，所围的草坪面积最大．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．
夯实基础答案
1、（2015 槐荫区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，
根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]=24，
解得：x=6或x=﹣2（舍去），
故选B．
2、（2015 东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为　
　m．
解：设路的宽度是xm．根据题意，得
（40﹣2x）（26﹣x）=864，
x2﹣46x+88=0，
（x﹣2）（x﹣44）=0，
x=2或x=44（不合题意，应舍去）．
答：路的宽度是2m．
3．（2014 红塔区模拟）如图，在长为80米，宽为60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为4524米2，则道路的宽应为多少米？
解：设道路的宽应为x米．由题意得：
（80﹣x）（60﹣x）=4524，
化简得：x2﹣140x+276=0，
解得：x1=2，x2=138（不符合题意舍去）．
答：道路的宽应为2米．
4、（2015春 昆明校级期末）如图，在长为32米，宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上小草．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为_______米．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32-x）和（20-x），根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．
【解答】解：设道路的宽是x米，
（32-x）（20-x）=540，
解得：x1=48（舍）x2=2．
答：道路的宽是2米，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形恰当的方式拼成大矩形列出等量关系。
5．（2014 长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为800平方米时，小路宽x为多少米．
解：设小路的宽为x米，根据题意得：（40﹣2x）（60﹣2x）=800，
解得：x=10或x=40（舍去）
答：小路的宽为10米．
6．（2015 赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．
（1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有　28　块，白色瓷砖有　42　块；
（2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？
解：（1）通过观察图形可知，当n=1时，黑色瓷砖有8块，白瓷砖2块；
当n=2时，黑色瓷砖有12块，白瓷砖6块；
当n=3时，黑色瓷砖有16块，用白瓷砖12块；
则在第n个图形中，黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4（n+1），白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1），
当n=6时，黑色瓷砖的块数有4×（6+1）=28块，白色瓷砖有6×（6+1）=42块；
故答案为：28，42；
（2）设白色瓷砖的行数为n，根据题意，得：
0.52×n（n+1）+0.5×0.25×4（n+1）=68，
解得n1=15，n2=﹣18（不合题意，舍去），
白色瓷砖块数为n（n+1）=240，
黑色瓷砖块数为4（n+1）=64，
所以每间教室瓷砖共需要：20×240+10×64=5440元．
答：每间教室瓷砖共需要5440元．
7．光明小区要修建一个圆形花坛，平面设计图如图．
（1）花坛的直径为10m，在它周围要铺一条2m宽的鹅卵石环形小路，这条小路的面积是多少平方米？
（2）要在花坛中最大的正方形区域里种植花卉，种植花卉的面积有多大？
（3）花坛内其余的部分用来种植草坪，种植草坪的面积有多大？
【考点】有关圆的应用题．
【专题】应用题；平面图形的认识与计算．
【分析】（1）根据环形面积=外圆面积-内圆面积，内圆半径加上环宽等于外圆半径，把数据代入公式解答即可．
（2）根据题干，圆内最大的正方形的对角线等于这个圆的直径，则根据正方形的面积=对角线×对角线÷2，求出正方形的面积是10×10÷2=50（平方厘米）．
（3）根据圆的面积S=πr
2可求出圆的面积，再减去正方形面积就是种植草坪的面积．
【解答】解：（1）10÷2=5（米），
3.14×[（5+2）2-52]
=3.14×[49-25]
=3.14×24
=75.36（平方米）．
答：这条路的面积是75.36平方米．
（2）10×10÷2=50（平方米）
答：这个正方形的面积是50平方厘米．
（3）3.14×（10÷2）2-50
=3.14×25-50
=28.5（平方米）
答：种植草坪的面积是28.5平方米．
【点评】本题的考查的知识点：圆的面积公式S=πr2，正方形的面积=对角线×对角线÷2