第二十三章旋转单元知识点复习题（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十三章《旋转》单元知识点复习题
【题一 根据旋转的性质求解】
1．探究说理．如图，将以点为中心，沿顺时针方向旋转后得到，已知，且是的平分线，试猜想的度数，并说明理由．

2．如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，当四边形是菱形时，求的长．
3．如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合．
(1)旋转中心是______；
(2)旋转的度数是______；
(3)若，则______．
4．综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点M在上（不与点P，Q重合），将木棍绕点M顺时针旋转，得到线段，点A的对应点为N，连接．
猜想与证明：试判断线段与线段的数量关系，并证明．
5．如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并证明你的判断；
(2)如图②，若，，请求出的长；
(3)如图①，若，，请求出的长．
6．小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题，于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点在平面内转动．其中，，．
(1)如图，若，则______，______；
(2)如图，当点在直线的上方，点在直线的下方，且时，求的度数；
(3)在绕着点旋转的过程中，是否存在的情况？若存在，请先在备用图中画出图形，再求的度数．
7．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
8．【问题发现】
（1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________；
【探究猜想】
（2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明；
【探究应用】
（3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由．
【题二 关于原点对称的点的坐标】
9．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上．
(1)画出将向下平移5个单位长度得到的；
(2)画出关于原点对称的，并写出点的坐标．
10．在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）．
(1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________．
(2)线段的长为________．
(3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积．
11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点， ABC各顶点坐标分别为，，．
(1)画出 ABC关于原点的对称的图形；
(2)将 ABC绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出 ABC经过平移后得到的，已知点的坐标为，写出顶点的坐标；
(2)若 ABC和关于原点成中心对称，不画图直接写出顶点的坐标；
(3)画出 ABC绕点按顺时针方向旋转90°得到的．
13．如图， ABC三个顶点的坐标分别为．
(1)作出将 ABC向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形；
(2)作出 ABC关于原点成中心对称的图形；
(3)作出将 ABC绕点按顺时针方向旋转后得到的图形 AB3C3；并求出线段在旋转过程中扫过的面积．
14．网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形， ABC位置如图所示，且．
(1)①画出 ABC绕原点O顺时针旋转后的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）．
②若点P(m，n)在 ABC内，其旋转后的对应点为，直接写出的坐标( ， )（用m、n来表示）．
画出 ABC关于原点O成中心对称的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）．
15．如图，是 ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系．
(1)若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ．
(2)若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积．
(3)直接写出与y轴交点的坐标 ．
16．在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．
(1)如图，若点在坐标原点，点，
①点的“对应点”的坐标为______；
②若点的“对应点”的坐标为，则点的坐标为______；
(2)如图，已知的半径为1，是上一点，点，若为外一点，点为点的“对应点”，连接．
①当点在第一象限时，求点的坐标（用含，，的式子表示）
②当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积为______（用含的式子表示）
【题三 中心对称图形规律问题】
17．如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称．
（1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　；
（2）连接A1B2，求A1B2的长．
18．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形点阵中，点A与点B关于点O成中心对称．
(1)标出点O，在点阵中任选一格点C（不与A、B、O重合），作出C关于O的中心对称点D；若点A坐标为A（-2，4），请写出你作出的D点坐标；
(2)指出以A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由．
19．定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如：函数与关于原点O互为“伴随函数”．
(1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ．
函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ；
(2)已知函数与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”，若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；
(3)已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
20．如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段的中点．如图，在直角坐标系中，的顶点A、B、O的坐标分别为，，．点列，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称：点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，试写出点的坐标．
21．只用直尺（无刻度）完成下列作图：
（1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线平分这个正方形的面积；
（2）如图2，不过正方形EFGH的顶点作直线l平分这个正方形的面积；
（3）如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L型”图形，作直线m平分这个“L型”图形的面积．
22．如图，在平面直角坐标系中， ABC各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．

(1)在图中作出 ABC关于轴对称的图形；
(2)若 ABC与关于点成中心对称，则点的坐标是______；
(3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果）
23．古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索：
(1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ；
(2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示）
(3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由．
24．如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．
（1）求线段AC的长度．
（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．
①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．
②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题四 旋转中的规律问题】
25．两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；
（1）当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中有 个三角形；
（2）试猜想当n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？此时最少三角形的个数能否为2010个？如果能,n为多少？
图1 图2 图3
26．如图，在 ABC中，，，，在直线上，将 ABC绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题：
(1)______；
(2)猜想：______．
(3)连接，求的面积．
27．如图，在直角坐标平面内，已知面积为10的正方形的顶点A在x轴上，且点A的坐标为， 点B的坐标为． 分别过点 B、点D作x轴的垂线和， 垂足分别为M、N．
(1)利用 可求得点D的坐标为 ，用类似的方法可求出点C的坐标为 ；
(2)如果正方形绕着顶点顺时针方向在x轴上连续翻转．翻转1次(即以点 A 为旋转中心，沿着x轴的正方向顺时针旋转正方形)，点 B落在x轴上(记作那么点 的坐标为 ．继续沿着x轴的正方向翻转正方形，它在x轴上的落点分别是 按此规律翻转下去，当2024 次翻转后，在x轴上落点的坐标为 ．
28．【问题情境】数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景研究有关图形旋转活动，如图，在 ABC中，．将 ABC绕点逆时针旋转得到 ADE（点分别是点的对应点），旋转角为．
【特例分析】（1）如图1，当旋转到时，旋转角的度数为___________；
【探究规律】（2）如图2，在旋转过程中，与相交于点，与相交于点，赵辰同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论；
【拓展延伸】（3）如图3，延长直线交于点，当时，求旋转角的度数．
29．图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答．
(1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________．
①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转．
（在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．）
(2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分．
(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、．
①若将 ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________；
②若将 ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________；
③若将 ABC绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________．
30．如图1，在 ABC中，．将 ABC从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到 ADE（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点．
特例分析：
（1）如图2，当时，连接，求的长．
探究规律：
（2）如图3，连接，在 ABC绕点逆时针旋转的过程中，淇淇同学发现始终为等腰三角形，请你证明这一结论．
拓展延伸：
（3）在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
31．综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动．
如图1，在 ABC中，，．将 ABC绕点逆时针旋转，得到 ADE（点，分别是点，的对应点），旋转角为．设与相交于点，分别交，于点，．
【特殊位置】
（1）如图1，当旋转到时，同学们发现等于旋转角，都为________度．
【探究规律】
（2）如图2，在 ABC绕点逆时针旋转过程中，同学发现始终与旋转角相等，请证明这一结论．
【拓展延伸】
（3）①在 ABC绕点逆时针旋转过程中，当为等腰三角形时，旋转角等于________度；
②如图3，延长，相交于点，请判断与的关系，并说明理由．
32．如图，在钝角中，点为上的一个动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交线段于点. 已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离ycm.
小牧根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，请补充完整:
(1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是 ；
(2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表:
0.51 1.02 1.91 3.47 3 4.16 4.47
3.97 3.22 2.42 1.66 a 2.02 2.50
通过测量。可以得到a的值为 ；
(3)在平面直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为 cm.
【题五 旋转中的最值探究问题】
33．如图，在 ABC中，，，，点D在 ABC内连接、、，求的最小值．
34．如图，先将 ABC绕点C顺时针旋转得到，再将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，且．
(1)若，B、E、D三点在同一条直线上，求的长；
(2)若，，点P在边上，求线段的最小值．
35．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
(1)如图1， ABC是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形．
(2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长．
(3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值．
36．如图，在平面直角坐标系中，已知 ABC的三个顶点坐标分别是，，．
(1)将 ABC向左平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标；
(2)将 ABC绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标；
(3)若点为轴上一动点，求的最小值．
37． ABC的各顶点坐标分别为，将 ABC先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到．
(1)如果将看成是由 ABC经过一次平移得到的，则平移的距离是 个单位长度；
(2)在y轴上有点D，则的最小值为 个单位长度；
(3)作出 ABC绕点O顺时针旋转后的．
38．如图1，在 ABC中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点F，G，H分别为，，的中点．
(1)观察猜想
图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ；
(2)探究证明
把 ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理；
(3)拓展延伸
把 ADE绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
39．如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒．
(1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案）
(2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t）
(3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动：
①当t为何值时，；
②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t）
40．【课本再现】如图1，在 ABC中，M、N分别是、的中点，则线段是 ABC的中位线，请叙述三角形的中位线定理：________________；
【触类旁通】如图2，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则 ABC的面积是________；
【深度发现】已知：如图3，在 ABC中，中线，交于点O，F，G分别是，的中点．连接、、、，试判断四边形的形状；
【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（），其中，三角板从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（旋转角），在三角板旋转的过程中，取的中点G，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
【题六 旋转综合的应用问题】
41．如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上．线段绕着某一定点顺时针旋转一个角度后，得到线段（点、分别是A、B的对应点，也都在格点上），在图中作出旋转中心．
42．按下列要求画图：
①将图中的直角三角形向右平移到图方格中对应的位置上；
②再将平移后的图形沿直线l翻折到图的方格中；
③最后将翻折的图形绕点旋转到图的方格中．
43．如图，是等边 ABC内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
(1)求点与的距离；
(2)求的度数；
(3)求与的面积之和，请直接写出结果．
44．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为．
(1)线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、；
(2)线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）．
45．如图，在中，，，在平面内任取一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，，．
(1)请根据题意补全图1；
(2)猜测和的数量关系并证明；
(3)作射线，交于点，把 ADE绕点旋转，当，，时，补全图形，直接写出的长．
46．如图，在 ABC中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，．
(1)如图1，当点P在 ABC内部时，求证：；
(2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶．
47．如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为．
(1)在图中作出 ABC关于x轴的对称图形；
(2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______；
(3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹）
48．如图，已知等边 ABC和等边有公共的底边．
(1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与 ABC重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点）
(2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由．
【题七 坐标系中的动点问题（不含函数）】
49．如图， ABC中，，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方．
(1)如图1所示，点坐标为，点坐标为，求点的坐标
(2)如图2所示，过作轴于，求证：；
(3)如图3所示，若轴恰好平分，与x轴交于点，过作轴于，求证：．
50．综合与实践，如图在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，
(1)求点B的坐标
(2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标．
(3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间．
51．如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动.
(1)　　　，　　　，点坐标为　　　.
(2)求经过几秒？
(3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标.
52．【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积；
【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？
53．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上．
(1)如图1，若平分，平分，试说明；
(2)如图2，连接，，求 ABC和的面积；
(3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标．
54．如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接．
(1)直接写出点C、点D的坐标．
(2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由．
(3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
55．如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，．
(1)求点A、B、C的坐标．
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）．
(3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作交BC于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化 若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
56．在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为．
【实践操作】
（1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______；
【初步运用】
（2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．
①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值；
【问题解决】
②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作）
参考答案
【题一 根据旋转的性质求解】
1．解：将以点为中心，沿顺时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
2．（1）证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到，
∴ ，，．
∴ ，即．
又∵ ，
∴ ．
在和中，
，
∴ （）．
（2）解：∵ 四边形是菱形，
∴ ，．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
在中，根据勾股定理：
，
∴ ．
3．（1）解：绕某个点顺时针旋转后与重合，
点即为两三角形的公共顶点，
旋转中心是点．
故答案为：点；
（2）解：绕某个点顺时针旋转后与重合，
与重合，
，
旋转的度数为：．
故答案为：；
（3）解：由题意知和是对应线段，根据旋转的性质可得．
故答案为：．
4．解：，证明如下：
如图，连接，
由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形．
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
5．（1）解：四边形是正方形，理由如下：
∵，将绕点按顺时针方向旋转，得到，
∴，，，
∵延长交于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
由（1）可知：四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点按顺时针方向旋转，得到，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图，过点作于，
由（2）可知：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得或（舍去），
∴．
6．（1）解：由已知可知，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵，，
∴，
∴
（3）解：在绕着点旋转的过程中，存在的情况，如图，图，
如图，，，
∴，
∵，
∴，
如图，，，
∴，
∵，
∴，
综上，或．
7．解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，，
，
，
．
8．解：（1）四边形是正方形，
，
由折叠的性质得
．
故答案为：45；
（2），
证明如下：如解图①，延长到点，使得，连接．
，
，
．
，
，
．
，
．
，
，
；
（3）是等边三角形，理由如下：
如图②，连接，
四边形是菱形，
．
，
和都是等边三角形，
．
，
，
，
在和中，
，
是等边三角形．
【题二 关于原点对称的点的坐标】
9．（1）（1）如图，即为所求．
（2）（2）如图，即为所求，点的坐标为．
答：点的坐标为．
10．（1）解：点与点关于原点对称，则点的坐标为．
故答案为：；
（2）∵，，
∴．
故答案为：；
（3）在图中表示出、、三点，顺次连接，如下图所示，
由图可知，．
11．（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
12．（1）如图，为所作，
因为点平移后的对应点的坐标为，所以 ABC先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到，
所以点的坐标为；
（2）因为 ABC和关于原点成中心对称图形，
所以；
（3）如图，为所作．
13．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：由题意可得，
由勾股定理得，
在旋转过程中，线段扫过的面积为
14．（1）解：①如图即为所求
②点绕原点顺时针旋转，根据旋转规律，坐标为 ．
故答案为：n；．
（2）如图所示：即为所求
15．（1）解：∵点与点关于原点对称，
∴点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：如图所以，由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，三个顶点平移后的对应点分别为，，，依次连接，，，即为所求．
．
（3）解：设直线的解析式为．
因为的图象经过点，，则
解得
∴直线解析式为．
当时，，即与轴交点的坐标为．
故答案为：．
16．（1）解：①∵由题意可知
∴点绕点逆时针旋转，得到点，
∴点关于点的对称点为，
∴点的“对应点”的坐标为，
故答案为：；
②点的“对应点”的坐标为，
∴点关于点的对称点为，
∴点绕点顺时针旋转，得到点，
故答案为：．
（2）解：①如图，根据题意作出点，过点作平行于轴的线，过点作垂直于线，交于点，过点作垂直于线，交于点，
∵由题意可知，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵在第一象限，，
∴，，
∴，
又∵，点关于点的对称点为，
∴，
②∵，
∴，，
∴
，
∵的半径为1，是上一点，
∴，
∴
，
∴点在圆心为、半径为的圆上，
∴最长为，最短为，
∴
，
故答案为：．
【题三 中心对称图形规律问题】
17．解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴，
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴，
同理可得，
∴，
∴；
故答案为；
（2）过点作轴于点H，如图所示：
∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，．
18．（1）如图：
若点A坐标为A（-2，4）,则．
（2）平行四边形
理由：由中心对称，有
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．（1）解：设函数的伴随函数上一点为T（x，y），
则T关于原点的对称点T′（-x，-y）在函数上，即，，
∴函数的伴随函数为；
设函数的伴随函数上一点为T（x，y），
则T关于原点的对称点T′（-x，-y）在函数上，即，，
∴函数的伴随函数为；
（2）解：设函数的伴随函数上一点为T（x，y），
由中点坐标公式可得T关于点P（m，3）的对称点T′的坐标为（2m-x，6-y），则T′在函数上，即，，
若函数在上递增，
∵函数开口向上对称轴为x=1，∴m≥1，∵m＜7，∴1≤m＜7，
若函数在上递增，
∵函数开口向下对称轴为x=2m-1，∴7≤2m-1，m≥4，∵m＜7，∴4≤m＜7，
∴函数与其伴随函数在上都递增时4≤m＜7；
（3）解：二次函数，
由（2）解答可得其关于点C（2，0）伴随函数为：
，，
如图，函数的图象为M，函数的图象为N，
由图可得：对于函数，
∵x=-1或x=3时函数值为0，∴函数过（-1，0）、（3，0）两点，
当x=4处的函数值≥1时，与AB有一个交点，此时9a-4a≥1，解得：a≥，
当x=4处的函数值＜1时，与AB没有交点，此时9a-4a＜1，解得：0＜a＜，
对于函数，顶点坐标为（3，4a），
x=1或x=5时函数值为0，∴函数过（1，0）、（5，0）两点，
当4a＜1时，与AB没有交点，此时0＜a＜，
当4a=1时，与AB有一个交点，此时a=，
当4a＞1时，且x=4处的函数值≤1时，与AB有两个交点，此时4a＞1，且-a+4a≤1，解得：＜a≤，
当两函数与AB的交点重合时：，
=，=，
解得：x=，代入①得：a=，∵＜a≤，∴a=；
当4a＞1时，且x=4处的函数值＞1时，与AB有一个交点，此时4a＞1，且-a+4a＞1，解得：a＞，
M与AB没有交点，N与AB有两个交点时，0＜a＜，＜a≤不成立；
M、N分别与AB有一个交点时，a≥，或，即或；
M、N与AB有一个交点重合时，a≥，＜a≤，a=；即a=；
综上所述，两函数与AB恰有两个交点时，或或；
20．解：作关于A点的对称点，即可得到，分析题意，知6个点一个循环，
即可点，，，，，……
则的坐标与的坐标一样，
∵，
∴的坐标与的坐标一样，
∴，，．
21．（1）如图直线l如图所示．
（2）如图直线l如图所示．
（3）直线m如图所示．
22．（1）解：如图所示：

即为所求；
（2）解： 由 ABC与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，
故答案为：；
（3）解：如图所示：

点即为所求，．
23．（1）解：，
故答案为：15
（2）由题意得：
，
，
，
，
，
……
∴．
故答案为：
（3）24不是三角形数，28是三角形数，
理由：∵
6和8相差2，
不符合等式中因数与相差1的规律，
∴24不是三角形数；
又∵，
∴，
∴，
∴28是三角形数．
24．（1）把代入得：，
一次函数解析式为，
令，得，
∴，
在中，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
；
（2）①设，
∴P在线段AB上，
∴，
设直线AC的解析式为，代入，得：
，
∴，
∴，
又∵轴，则，
∴，
，
又∵，
∴得．
②如图所示，当N点在轴下方时，
∵，
∴，
∴，
∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，
当时，，，
设，
过P点作直线轴，作，，
∴，
∴，
在 AOB与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，作，则，
∵，
∴，
∴M在直线AB上，
∴
，
∴，
∴．
当N点在x轴上方时，如图所示：
点与关于对称，
则，即，
综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形．
【题四 旋转中的规律问题】
25．（1）
以上两种画图都正确（任其一种）
（2）解:当有n对点时，最少可以画2（n-1）个三角形
2（n-1）=2010
n=1006
∴当n=1006时，最少可以画2010个三角形．
26．（1）解：由题知，，，，
，
，
结合旋转的性质，以及，，，
，
故答案为：．
（2）解：由题知，从开始，每3个增加 ABC的一个周长，
，
；
故答案为：．
（3）解：，
，
，
的面积的面积 ABC的面积
．
27．（1）解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为
如下图所示，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点D作y轴的垂线，垂足为E，两条垂线交于点P，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形正方形，
∴
∴，,
∴点C的坐标为，
故答案为：，
（2）解：根据旋转的性质得到,
∵正方形的面积为10，
∴，
∴点 的坐标为，
∵每次翻转后，点的横坐标增加量为正方形的边长，即，
∴第二次翻转后的坐标为，即
∴第三次翻转后的坐标为，即，
∴第四次翻转后的坐标为，
∴第五次翻转后的坐标为，
∴落在x轴上的点以A、B、C、D周期变化，
∵，
∴第2024次翻转后的点坐标为，
故答案为：，．
28．（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：在 ABC中，，
．
是由 ABC绕点旋转得到的，
．
，
即．
在和中，
，
，
；
（3）解：是由 ABC绕点旋转得到，，
．
，
．
，
，
，
旋转角的度数为．
29．（1）解：观察分析①②的不同，变化前后，的位置不变，
而的位置由的下方变为的上方，进而可得两者对应点的连线交于点，
即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形绕点旋转，
故答案为：菱形绕点旋转．
（2）解：如图：
（3）解：①如图所示，即为所求，的坐标为，
②将 ABC绕点按顺时针方向旋转后得到，点的坐标为，
故答案为：；
③将 ABC绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是，
故答案为：．
30．（1）解：∵ ABC绕点A逆时针旋转，得到 ADE，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵ ABC绕点A逆时针旋转，得到 ADE，
∴∠E=∠ADE=∠B=∠C=30°,AE=AC=AD=AB,∠DAE=∠BAC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴，
即始终为等腰三角形；
（3）解：∵∠C=∠D=30°,∠CON=∠DOM,，
∴∠CNO=∠DMO，
∵∠DMO=∠AMB，
∴∠CNO=∠AMB，
∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
当时，，
∴，
，
作，垂足为H，
，
在中，，
，
，
解得：，
∴，
综上所述：或．
31．解：（1）∵，，
∴，
由旋转得，，
在四边形中， ，
∴，
∴，
故答案为：40；
（2）证明：由旋转可知，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∵为旋转角
∴始终与旋转角相等;
（3）①.将 ABC绕点A逆时针旋转，得到 ADE，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
当时，，
∴（不合题意，舍去），
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，当为等腰三角形时，旋转角等于或，
故答案为：或；
②，理由如下：
∵将 ABC绕点A逆时针旋转，得到 ADE,
∴，，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴．
32．（1）如图1，当∠APB=60°时，D与B重合，作PE⊥AC于E，
∵∠C=30°，∠APB=60°，
∴∠CAP=30°,
∴PC=AP，
∴CE=AE=,
∴PC=2,
∴PB=5,
∴0≤x ≤5 ；
（2）测量得a=1.74；
（3）如下图所示，

（4观察图象可知，当y=3.5时 x=0.8或者4.8.
【题五 旋转中的最值探究问题】
33．如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，．
∴，，，
∴是等边三角形
∴
∴
∴当点B，D，F，E四点共线时，有最小值，即的长度
∵
∴
∴．
∴的最小值为．
34．（1）解：如图，连接，
∵将 ABC绕点C顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵B、E、D三点共线，
∴，
∴，
∵将线段绕点D顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点P在边上，
∴当时，的长度有最小值，
由旋转的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴点P，点E，点D三点共线，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
，
，
∴线段的最小值为．
35．（1）解：由旋转得：，，
∵，
∴，
∴四边形是等补四边形，
故答案为：是；
（2）如图2，∵，，
∴将绕点顺时针旋转得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
（3）∵，
∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
当时， BDE的面积最大，为，
则四边形面积的最大值为8．
36．（1）解：如图，即为所求，点的坐标为；
（2）解：如上图，即为所求，点的坐标为；
（3）解：如图，点与点关于轴对称，连接交轴于点，
∴PA=PA//，
的最小值为．
37．（1）解：∵将看成是由 ABC经过一次平移得到的，
∴平移的距离是个单位长度；
故答案为：；
（2）解：如图1，作关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则，，
图1
∴，
当三点共线，最小，为，即点D为所求，
∴的最小值为个单位长度；
故答案为：5；
（3）解：由旋转的性质作图，如图1，即为所作．
38．（1）解：点F，H分别是，的中点，
∴，，
点H、G是，的中点，
∴，，
∵，，
，
∴，
∵，
，
∵，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：是等边三角形．理由如下：
由旋转知，，
∵，，
，
，，
∵点F，G，H分别为，，的中点．
∴，，，，
，，，
∴是等腰三角形，
，
，
，
，
，
∴是等边三角形；
（3）解：由（2）知，是等边三角形，，
最大时，面积最大，
点在的延长线上时，最大，即最大，
此时如图，，
，
过点作于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
39．（1）解：由题意可得：,
∵平分，
∴∠COM=∠BOC=∠BOM=×60°=30° ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5；；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：①如图4，
，
当在内部时，
∵，，，
∴，
∴，
如图5：
，
当在外部时，
∵，，，
∴，
∴，
综上所述：或；
②如图6：
，
∵，，
∴；
40．课本再现：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，
故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
触类旁通：∵点， ， ， 分别是， ，， 的中点，
∴是的中线，是的中线，是的中线， 是的中线，是的中线，
∴的面积 的面积的面积的面积，
同理可得的面积的面积，
的面积的面积，
又∵是的中位线，
∴的面积的面积，
的面积，
的面积，
故答案为：；
深度发现：证明： ∵ ，都是的中线，
∴是 的中位线，
，
∵，分别是，的中点，
，
且 ，
∴四边形是平行四边形；
探索运用：取中点， 连接、， 如图：
∵是中点，
，
在中，，
，
，
∵是斜边上中线，
，
当、、不在同一直线上时，
，
当在线段上时，，
，
∴、、三点共线时， 最大值．
【题六 旋转综合的应用问题】
41．解：如图，连接,在网格中作的垂直平分线，交于点O，点O即为旋转中心.
42．解：①如图2，
②如图3，
③如图4
43．（1）解：如图，连接，
∵等边 ABC，
∴，．
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形．
∴；
（2）解：∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴是直角三角形．
∴；
（3）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点，
同理（1）得，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理（2）得，是直角三角形，且，，
∴，
同理（2）得，，
∴，
∴与的面积之和等于与的面积之和，
∴与的面积之和为．
44．（1）解：如图1中，线段BE，BF即为所求；
（2）解：由图2中网格可得：，，
∴.
故答案为：．
45．（1）解：如图，
（2）解：，证明如下：
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：①当点在左侧时，如图：
∵，，，
∴；
②当点在右侧时，如图：
∵，，，
∴；
∴综上所述，的长为．
46．（1）证明：∵，
∴，
即，
∵由旋转有，
又，
∴，
∴
（2）证明：取的中点M，连接，
由旋转可得，
∵，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
∴在和中，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴在 AQM和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
47．（1）解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示：
；
（2）解：关于y轴对称点为，
故答案为：；
（3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求：
理由如下：
由对称可知，
的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立，
∴当P为与y轴的交点时，的周长最小．
48．（1）解：将绕点B逆时针旋转能与重合；
将绕点C顺时针旋转能与重合；
将绕线段的中点旋转能与重合；
∴满足题意的点为点B或点C或线段的中点；
故答案为：点B或点C或线段的中点；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵等边 ABC和有公共边，
∴，，
∴，
根据平移的性质得，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【题七 坐标系中的动点问题（不含函数）】
49．（1）解：如图1，过点作轴于，
，，
，，
是等腰三角形，
，，
，
，
，
在 AOB和中，
，
，
，，
，
．
（2）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在 AOB和中，
，
，
，，
，
．
（3）证明：如图3，延长与的延长线相交于，
，
轴，
，
，
，
，
，
轴平分，轴，
，
，
．
50．（1）解：点A坐标为，点C的坐标，
，，
长方形，
，，，
点B的坐标为；
（2）解：当点P移动到4秒时，点P的移动距离为，
点P沿着的路线移动，且，，
点P在上，坐标为，即．
（3）解：①如图，当点在上时，
点P移动到距离x轴4个单位长度，
，
点P的移动距离为，
点P移动的时间为秒；
②如图，当点在上时，
点P移动到距离x轴4个单位长度，
，
点P的移动距离为，
点P移动的时间为秒；
综上可知，点P移动的时间为秒或秒．
51．（1）解：∵，
，，
∴，，
∴点E 坐标为；
故答案为：4，6，.
（2）解：，
，
设经过x秒，，
依题意，得，
解得 ，
∴经过2秒.
（3）解：当点P在y轴右侧时，
依题意，得 ,
解得,
则,
此时点P 的坐标为;
当点P在y轴左侧时，
依题意，得 ,
解得 ,
则,
此时点P 的坐标为 ．
综合以上可得点P的坐标为或 ．
52．解：
[阅读材料]能，作于，作于，如图，
，
，
，
，
；
[解决问题]
作轴于，
，
，
，
在 AOB和中，
，
，
，
，，
，
，
，
；
；
[拓展延伸]
作轴于，
，
，
，
在和中，
，
，
，
轴，轴，
，
轴，
，
点为y轴负半轴上一动点，
，
．
53．（1）解：∵平分，
∴
∴
∵平分，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
（2）∵，，，
∴
∴
∴
∴
（3）设动点在轴上时：
∵，
∴
∴，
∵
∴
∴，
设动点在轴上时：
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
则
54．（1）解：∵线段的两个端点坐标分别为，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，
∴；
（2）解：理由如下：
过点F作，如图所示：
由平移的性质得：，
∴，
∴
∵
∴，
即：；
（3）解：存在；理由如下：
由平移的性质得：．
∵
∴，边上的高为2，
∴．
①当点P在x轴上时，如图所示：
则，
∴，
∴点P的坐标为：或；
②当点P在y轴上时，
设点P的坐标为，
若点P在y轴负半轴，如图所示：
则，
即，
解得：，
∴；
点P在y轴正半轴时，如图所示：
则，
即，
解得：，
∴；
综上所述，点P的坐标为：或或或．
55．（1））∵，
∴，，
解得，，
∴、．
∴，．
∵，
∴，
解得，，
∵C在第四象限，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴；
（3）在图3中，，大小不会发生变化，
理由如下：过D作，，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵AN平分，MN平分，
∴，，
∴，
∴．
56．解：（1）∵，轴，
∴；
∵，轴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴或；
（2）①如图，
∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，
∴，
由题意得 ，
∵轴，
∴点的纵坐标相等，
∴，
∴；
②过点A作 轴于点 G，
由题意，得 ，
∴，
设点，
∵，
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．