人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）导学案（含答案解析）

21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系（第一课时）
导学探究：
阅读教材P15-16，回答下列问题：
1、回忆：一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的求根公式是__________________.由求根公式可知,
一元二次方程的根的大小由系数a、b、c决定。
2.(1)方程（x-x1）(x-x2)=
0
与方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0是同一个方程吗？_____(答“是”或“否”)。
(2)方程（x-x1）(x-x2)=
0的两个根据是_________________.
方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的两个根是_____________________>
(3)方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0的二次三项式系数为_______,
一次项系数p=________,
常数项q=________,反之，方程x2+px
+q
=0
两根x1x2的和、积分别与系数的关系是x1+
x2=________,
x1x2=__________.
3、一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1=__________,x2
=___________.
(1)
计算x1+
x2和
x1x2的值。
（2）请你根据（1）的结果，试着用文字表述这一结论。
归纳梳理
1、若一元二次方程ax2
+
bx
+
c
=
0(a≠0)的两根为x1，x2，它们与系数a、b、c的关系是x1+
x2=________,
x1x2=__________.
一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程有实数根，那么两根的和等于_______________,两根的积等于____________________.
2、运用一元二次方程根与系数的关系的前提条件是方程有实数根，即△______0.
典例探究
1．不解方程求两个根之和与积
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两根的和与积．
总结：在使用根与系数的关系时，应注意：
不是一般式的要先化成一般式；
前提条件是；
在使用时，注意“-”不要漏掉．
练1．（2014 碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（　　）
A．﹣3和﹣
B．﹣3和
C．3和
D．3和
2．已知一元二次方程的两根求系数
【例2】（2014春 富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．
总结：对于含有字母系数的一元二次方程，已知两根的值求字母系数的值，通常根据一元二次方程根与系数的关系求解，并用根的判别式进行检验．此方法要比直接将根代入求系数方便快捷得多．
练2．（2015 枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）
A．﹣10
B．10
C．﹣6
D．2
3．已知一元二次方程的一个根求另一个根
【例3】（2015 北塘区二模）已知一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为　
　．
总结：已知含字母系数的一元二次方程的一根求另一根，一般有两种方法：
把已知根代入方程，求得字母的值，解一元二次方程求出另一根；
（2）
根据方程系数中的已知数，利用根与系数的关系，选用两根之和或两根之积，直接求另一根．
练3．（2014秋 秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根，求另一个根及c的值．
4．根据一元二次方程的系数判断两根的正负
【例4】（2008 南汇区二模）方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（　　）
A．同号
B．异号
C．两根都为正
D．两根都为负
总结：
不解方程判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定；
首先计算判别式，看是大于0还是等于0，如果是等于0，则两根相等，同号；
如果判别式大于0，则计算的值，如果，可判断方程的根为一正一负；如果，再计算的值，若为正，则两根同为正，若为负，则两根同为负．
练4．（2014秋 夷陵区校级月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（　　）
A．同号
B．异号
C．两根都为正
D．不能确定
夯实基础
一、选择题
1．（2015 溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
2．（2015 金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1 x2的值是（　　）
A．4
B．﹣4
C．3
D．﹣3
3．（2014 浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（　　）
A．x1+x2=﹣3，x1 x2=﹣1
B．x1+x2=﹣3，x1 x2=1
C．x1+x2=3，x1 x2=﹣1
D．x1+x2=3，x1 x2=1
4．（2015 衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2
B．2
C．4
D．﹣3
5．（2015 广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12=0
B．x2+7x+12=0
C．x2+7x﹣12=0
D．x2﹣7x﹣12=0
6．（2015 平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（　　）
A．2
B．1
C．1或﹣1
D．﹣1
7．（2015 东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．8
8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（　　）
A．无解
B．有两正根
C．有两负根
D．有一正根及一负根
二、填空题
9．（2015 滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为　
　．
10．（2015 南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　
　，m的值是　
　．
11．（2015春 遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=　
　，m+n=　　．
三、解答题
12．（2015 东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1 x2=q．
13．（2014秋 番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
14．（2013 防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
典例探究答案：
【例1】不解方程，求方程3x2+2=1﹣4x两个根的和与积．
分析：先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解．
解答：解：设x1，x2是方程的两实数根，
方程化为一般式为3x2+4x+1=0，
根据题意得，x1+x2=﹣，x1x2=．
点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．
练1．（2014 碑林区校级模拟）方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，则x1+x2和x1x2的值分别是（　　）
A．﹣3和
B．﹣3和
C．3和
D．3和
分析：根据根与系数关系，已知方程2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2．x1+x2=；x1x2=
即可．
解答：解：已知方程为2x2﹣6x﹣5=0的两根为x1与x2，
根据根与系数的关系：x1+x2==3；x1x2==．
故选D．
点评：本题主要考查根与系数关系，已知系数确定根的相关问题，属于基础题，关键熟练掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．
【例2】（2014春 富阳市校级期末）关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根是0和﹣3，求p和q的值．
分析：根据根与系数的关系得到0﹣3=p，0×（﹣3）=q，然后解两个方程即可．
解答：解：根据题意得0﹣3=p，0×（﹣3）=q，
所以p=﹣3，q=0．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．
练2．（2015 枣庄）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（　　）
A．﹣10
B．10
C．﹣6
D．2
分析：根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故选A．
点评：本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n是解此题的关键．
【例3】（2015 北塘区二模）已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为　
．
分析：设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可．
解答：解：设方程另一根为t，
根据题意得2+t=6，
解得t=4．
故答案为4．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系．
练3．（2014秋 秭归县校级期中）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x﹣c=0的一个根，求另一个根及c的值．
分析：设方程另一个根为x1，先利用两根之和计算出x1，然后利用两根之积求出c的值．
解答：解：设方程另一个根为x1，
根据题意得x1+2﹣=4，x1 （2﹣）=c，
∴x1=2+，
∴c=（2﹣）（2+）=4﹣3=1．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．．
【例4】（2008 南汇区二模）方程2x2+3x﹣5=0的两根的符号（　　）
A．同号
B．异号
C．两根都为正
D．两根都为负
分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得到方程的两根之和与两根之积，再进一步结合有理数的运算法则进行分析．
解答：解：设方程的两根是a，b，根据一元二次方程根与系数的关系，得
a+b=＞0，ab=﹣＜0，
根据两数的积为负数，则两数必异号，则a，b异号．
故选B．
点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，同时能够结合有理数的运算法则判断方程的两根的符号．
练4．（2014秋 夷陵区校级月考）方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根的符号为（　　）
A．同号
B．异号
C．两根都为正
D．不能确定
分析：首先由△=b2+4ac＞0，可知方程有两个不等的实数根，再由x1x2=﹣＜0可知两根异号．
解答：解：∵ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0），
∴△=b2+4ac＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程ax2+bx﹣c=0（a＞0、b＞0、c＞0）的两个根为x1，x2，
∵x1x2=﹣＜0，
∴两根异号．
故选B．
点评：本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2
=．同时考查了根的判别式．
夯实基础答案：
一、选择题
1．（2015 溧水县一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（　　）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
解：根据题意得x1+x2=﹣=．
故选D．
2．（2015 金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1 x2的值是（　　）
A．4
B．﹣4
C．3
D．﹣3
解：x1 x2=﹣3．
故选D．
3．（2014 浠水县校级模拟）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，则（　　）
A．x1+x2=﹣3，x1 x2=﹣1
B．x1+x2=﹣3，x1 x2=1
C．x1+x2=3，x1 x2=﹣1
D．x1+x2=3，x1 x2=1
解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的两根，
∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣1．
故选A．
4．（2015 衡阳）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（　　）
A．﹣2
B．2
C．4
D．﹣3
解：设一元二次方程的另一根为x1，
则根据一元二次方程根与系数的关系，
得﹣1+x1=﹣3，
解得：x1=﹣2．
故选A．
5．（2015 广西）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12=0
B．x2+7x+12=0
C．x2+7x﹣12=0
D．x2﹣7x﹣12=0
解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
故选：A．
6．（2015 平南县一模）一元二次方程x2+px=2的两根为x1，x2，且x1=﹣2x2，则p的值为（　　）
A．2
B．1
C．1或﹣1
D．﹣1
解：∵一元二次方程x2+px=2，即x2+px﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣p，x1x2=﹣2，
又x1=﹣2x2，
∴x2=±1，
当x2=1时，x1=﹣2，p=1；
当x2=﹣1时，x1=2，p=﹣1．
故选C．
7．（2015 东西湖区校级模拟）已知x=2是方程x2﹣6x+m=0的根，则该方程的另一根为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．8
解：设关于x的方程x2﹣6x+m=0的另一个根是t，
由根与系数的关系得出：t+2=6，
则t=4．
故选：C．
8．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述正确的是（　　）
A．无解
B．有两正根
C．有两负根
D．有一正根及一负根
解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，
又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1 x2==﹣＜0，
所以有一正根及一负根．
故选D．
二、填空题
9．（2015 滨湖区一模）已知方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2的值为　5　．
解：∵方程x2﹣5x+2=0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2=5，
故答案为：5．
10．（2015 南京）已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是　3　，m的值是　﹣4　．
解：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，
解得：m=﹣4，a=3．
故答案是：3，﹣4．
11．（2015春 遂宁校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x+2=0的两个根是m和n，则mn=　2　，m+n=　4　．
解：∵m和n是方程x2﹣4x+2=0的两个根，
∴m+n=4，mn=2．
故答案为：2，4．
三、解答题
12．（2015 东莞模拟）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两个根x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1 x2=q．
证明：∵a=1，b=p，c=q
∴△=p2﹣4q
∴x=即x1=，x2=，
∴x1+x2=+=﹣p，
x1 x2=.=q．
13．（2014秋 番禺区校级月考）已知方程x2﹣kx﹣6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
解：设方程另一根为x2，
由题意得2 x2=﹣6，解得x2=﹣3，
∵2+（﹣3）=k，
∴k=﹣1．
即它的另一个根为﹣3，k的值为﹣1．
14．（2013 防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．
解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，
∴，
解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．