福建省南安市侨光中学、晋江市侨声中学2025-2026学年高二上学期质量监测联考一数学试卷（含解析）

2025-2026学年高二上学期11月质量监测联考数学试卷
一、单选题
1．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
3．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：
116 785 812 730 134 452 125 689 024 169
334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（ ）
A． B． C． D．
4．与直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
6．本周末为校友返校日，据气象统计资料，这一天吹南风的概率为，下雨的概率为，吹南风或下雨的概率为，则既吹南风又下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线上总存在点，使得过点作的圆：的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是
A．或 B． C． D．或
二、多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量与空间任意向量都不能构成基底，则；
B．若非零向量满足，，则有；
C．若是空间向量的一组基底，且，则四点共面；
D．若向量是空间向量一组基底，则也是空间向量的一组基底.
10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（ ）
A．A与相互独立 B．A与互为对立
C．与互斥 D．与相互独立
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．点，则的取值范围是
C．当三点不共线时，射线是的平分线
D．在上存在点，使得
三、填空题
12．已知直线与直线平行，则平行线间的距离为 .
13．已知，且，则的最大值为 .
14．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，设平面与平面的交线为，则点A到直线的距离为 .
四、解答题
15．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是．
(1)求的长
(2)求异面直线与所成角的余弦值
16．已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
(1)求点的坐标；
(2)求直线在轴上的截距．
17．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
(1)若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答3对道题目的概率．
(2)若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率．
(3)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
18．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程；
(3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.
19．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，，平面平面.
(1)求证：；
(2)如图，且，求点M到平面PBC的距离；

(3)设四棱锥P-ABCD的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D A B D C AD ABD
题号 11
答案 ABC
1．C
由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．
【详解】依题意，是直线的一个方向向量，
所以直线的斜率，
所以直线的倾斜角为．
故选：C．
2．A
由点关于某坐标轴对称的点的特征以及两点距离公式即可求解.
【详解】点关于z轴的对称点为B，
所以.
故选：A.
3．B
查出20个随机数中表示今后3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数的个数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数有：
116 812 730 217 109 361 284 147 318 027共10个，
故今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是，
故选：B
4．D
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为,代入已知直线即可求得结果.
【详解】解析：
设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即.
故选:D.
5．A
【详解】，且，所以，
连接，则平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设圆的半径为，则、、、，
，，
设异面直线与所成的角为，
则：，
因此异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A．

6．B
根据概率的加法公式即可求解.
【详解】记吹风为事件，下雨为事件，
因为，
所以既吹南风又下雨的概率为，
故选：B.
7．D
以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，由求出a即可．
【详解】∵平面，平面，
∴，，又底面是正方形，
∴，则两两垂直，
以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
由，，分别为，的中点，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，设，则，
∵平面，
∴，则，即，
解得，故．
故选：D．
8．C
【详解】
如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由及知，四边形MACB为正方形，故若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心到直线的距离，即∴，故选C．
9．AD
根据空间向量基底的概念，可判定A正确；举出反例，说明满足，，但
与不共线，可判定B错误；设，结合，列出方程组，求解即可判定C错误；假设，列出方程组，求解即可判定D正确.
【详解】对于A，若向量与空间任意向量都不能构成基底，
即向量与空间任意向量共面，所以，所以A正确；
对于B，若向量，
此时满足，，但与不共线，所以B错误；
对于C，因四点共面，等价于存在实数，使得，
即，
可得，
因为，故需使 ，而此方程组无解，
故四点不共面，即 C错误；
对于D，假设存在不全为的实数，使得，
可得，
因为向量是空间向量的一组基底，不共面，
所以，即，
即线性无关，故它们可以作为空间向量的基底，所以D正确.
故选：AD.
10．ABD
依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可.
【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为：
，共12个基本事件.
事件A，共4个基本事件.
事件B，共6个基本事件.
事件C，共6个基本事件.
事件D，
共8个基本事件.
对于A选项，因，
则，故A与相互独立，故A正确；
对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确；
对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误；
对于D选项，因，，，
则，故D与相互独立，故D正确.
故选：ABD
11．ABC
直接法求得点的轨迹方程；根据直线与圆的位置关系得到直线的斜率；根据三角形内角平分线的性质可得射线是角的平分线，求出点的轨迹方程，和的方程联立即可判断.
【详解】对于A，设点，则，化简整理得，
即，故A正确；
对于B，点，设，则，它表示过点的直线，
的几何意义是轨迹上的点与点连线的斜率，
轨迹是圆心为，半径的圆，当直线与圆相切时，则，
解得，则的取值范围是，B正确；
对于C选项，，，
要证PO为角平分线，只需证明，即证
，化简整理即证，
设，则，
，则证
，故C正确；
对于D选项，设，由可得，
整理得，而点在圆上，故满足，
联立解得，无实数解，于是D错误.
故答案为：ABC.
12．/
先根据两直线平行的条件求出的值，再将两直线方程化为系数相同的形式，最后利用两平行线间的距离公式计算距离即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，所以直线可化为，
所以两平行直线间的距离是.
故答案为：
13．
先求出与之间的距离，再将问题转化为定点到圆上任意一点的距离的最大值即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
则与之间的距离为，
故与圆上任意一点的最大距离为，
而表示圆上点到原点距离的平方与11的差，
则的最大值为.
故答案为：
14．/
先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；再求出平面与平面的法向量及交线的方向向量；最后根据点到直线距离的向量计算方法即可求解.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
设交线的方向向量为，
则，即，令，得.
因为，点，
则，，
所以点A到直线的距离为.
15．(1)
(2)
（1）以为一组基底表示，利用数量积的定义和运算性质化简即可；
（2）以为一组基底表示，求证得.
【详解】（1）由题意可知 ，，
又，
则
，
∴，
（2）因， ，
则
∴
∴异面直线与所成角的余弦值为0
16．(1)
(2)
（1）先求出直线的方程，然后联立直线的方程组，求出解即可得到点的坐标.
（2）先求出点的坐标，然后求出直线的方程，即可求出截距.
【详解】（1）由题意可得边上的高线所在的直线方程为，
设直线的方程为，
将代入可得：，即，
所以直线的方程为：，
由题意可得为直线与的交点，即，
解得， 即.
（2）设，则的中点，
则，
解得，即，
可得，
所以直线的方程为：，
令，得
所以直线在轴上的截距为．
17．(1)；
(2)；
(3).
（1）根据事件的相互独立性即可求解；
（2）根据事件的相互独立性，分三种情况，即可求解；
（3）根据事件的相互独立性，可先求得甲通过面试和乙通过面试的概率，则甲、乙两人只有一人通过面试的概率分为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过两种情况，分别求解即可.
【详解】（1）设“甲答对道题目”为事件，
因为甲答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
所以；
（2）设“乙恰好答对道题目”为事件，
又乙答对每道题目的概率都是，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
所以 ；
（3）设“甲通过面试”为事件，“乙通过面试”为事件，且与相互独立，
所以，
，
设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件，则，
因为与互斥，与，与分别相互独立，
所以
，
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率.
18．(1) ；
(2)或；
(3).
（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解；
（2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解；
（3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）由题可知，设圆的方程为，圆心为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，
所以圆的方程为；
（2）设圆心到直线的距离为d，
∵，∴，.
①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离；
②当直线斜率存在时：设方程：，即，
，整理得，解得，
，即，
综上：直线的一般式方程为或；
（3）由题意知，，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，
解得或，则点A的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，
由题可知：，
，
又，同理，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，或
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，∴，
又平面，平面，∴∥平面，
又平面，平面平面，
∴；
（2）取BC中点N，连接ON，则，
∵平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，
∴，，
∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
于是，，，，
设平面的一个法向量为，
则，得，故可取，
∴点M到平面PBC的距离为．
（3）存在点E，使得直线与平面AEC所成的角的正弦值为，
∵，且平面ABCD为正方形，
∴点Q在平面上的射影是ABCD的中心，
可设，则，
∴，解得．
即，，
设，，
∴，，，
设平面AEC的一个法向量为，
则，得，
取，
设直线与平面AEC所成的角为，
∴，
化简得，∴或，
∴当或时，直线与平面AEC所成角的正弦值为．