福建省泉州市南安市侨光中学、晋江市侨声中学2025-2026学年高一上学期质量监测联考一数学试卷（含解析）

2025-2026学年高一上学期11月质量监测联考数学试卷
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，则函数的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
6．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7．对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”．若正实数a与b为函数的一对“类指数”，的最小值为9，则k的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
8．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法不正确的是（ ）
A．已知集合，且，则实数为或
B．集合用列举法可表示为集合
C．已知集合、，若，则，至少有一个为空集
D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4
10．下列四个结论中，正确的结论是（ ）
A．与表示同一个函数．
B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
C．函数的值域为
D．已知，，则的取值范围的取值范围是．
11．非空数集具有如下性质：①若，则；②若，则；由此可知：下列判断中，正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则
三、填空题
12．函数的定义域是 .
13．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为 .
14．如右图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，则的周长为 ；当 时，的面积S取得最大值.
四、解答题
15．已知函数，.
(1)求函数的解析式；
(2)集合，写出集合A的所有子集.
16．已知函数的解析式为
(1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值；
(2)解关于的不等式；
(3)若直线（为常数）与函数的图象有两个公共点，直接写出的取值范围．
17．已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
(1)若，求P
(2)若，求的值；
(3)若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围.
18．某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米.甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元.设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米.
(1)若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？
(2)现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？（报价总低于对手即为中标）
19．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.给定函数.
(1)写出函数图象的对称中心（只写出结论即可，不需证明）;
(2)当时，
①判断函数在区间上的单调性，并用定义证明;
②已知函数是奇函数，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C D D B B ABC ABD
题号 11
答案 CD
1．C
根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C
2．B
解二次不等式，得到，再求即可．
【详解】由，解得，
，又，
．
故选：B
3．D
直接利用均值不等式求解和的最小值即可；
【详解】因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立.
故的最小值为.
故选：D
4．C
依次判断各个选项的奇偶性和单调性，即可得解
【详解】选项A，定义域为R，为奇函数，错误；
选项B，定义域为R，为偶函数，但在上单调递增，错误；
选项C，定义域为R，为偶函数，为对称轴为的开口向下的二次函数，故在上单调递减，正确；
选项D，定义域为为奇函数，错误.
故选：C
5．D
【解析】利用特殊值法可判断A、B、C选项的正误，利用不等式的基本性质可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，取，，则，A选项错误；
对于B选项，取，，则成立，但，B选项错误；
对于C选项，取，，，，则，，但，C选项错误；
对于D选项，若，则，那么，由不等式的基本性质可得，D选项正确.
故选：D.
6．D
根据条件，利用函数的性质，得，再将代入，即可求解.
【详解】因为奇函数，又，知的一个周期为，
所以，
又当时，，所以，则，
故选：D.
7．B
根据正实数a与b为函数的一对“类指数”，得到，再利用“1”的代换，由基本不等式求解.
【详解】因为正实数a与b为函数的一对“类指数”，
所以，
所以，即，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
又的最小值为9，
所以k的值为1，
故选：B
8．B
根据函数的单调性和奇偶性可得，再将存在问题转化为最值问题进行求解即可.
【详解】由函数为上的奇函数，
则，
又在上单调递增， 则在上单调递增，
则，
则，使得，，使得，
即，在有解，
则，，
令，则，
又，则，，
即，则，
故选：B.
9．ABC
对A，根据条件有或，求出值，结合集合的互异性，即可求解；对B，直接用列举法表出，即可判断正误；对C，取，即可判断正误；对D，根据条件得，再给条件，即可求解.
【详解】对于A，因为，则或，
当时，，不满足元素的互异性，所以，
当时，或，当时，不满足元互素的互异性，
当时，，满足题意，所以，故A错误，
对于B，集合用列举法可表示为集合，所以B错误，
对于C，取，显然有，但集合、均为非空集合，所以C错误，
对于D，因为，则，又，则集合的子集个数有个，所以D正确，
故选：ABC.
10．ABD
对于选项A，根据函数的定义域以及解析式判断是否为同一函数即可；对于选项B，根据韦达定理判断一元二次方程的根是否为一正一负；对于选项C，通过换元法可求得函数的值域；对于选项D，根据不等式的性质求解即可.
【详解】对于选项A，的定义域为，解得，
的定义域为，解得，
对于同一函数要求定义域相同且解析式相同且值域相同，故A正确；
对于选项B，一元二次方程有一正一负根的条件为，
若，则，且，则方程必有一正一负根，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故B正确；
对于C选项，令，所以，所以，
当时，可以取得最小值为，所以函数的值域为，故C错误；
对于选项D，，所以，则，
因为，所以，所以故D正确.
故选：ABD.
11．CD
由题意，根据性质一一判断即可.
【详解】对于选项A，假设，集合是非空集合，存在，
由性质①，，，，
由性质②，，，，若，则无意义，这与性质①矛盾，则假设不成立，故，故选项A错误；
对于选项B，由性质①，，，，，
而，故选项B错误；
对于选项C，集合是非空集合，存在，由性质①，，，
由性质②，，，，由性质①，，故选项C正确；
对于选项D，由性质①，，，由性质①，， ，，
由性质①，，，，故选项D正确.
12．
根据二次根号写大于等于零以及分母不为零，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为.
故答案为：.
13．5
根据定义域关于原点对称求出，由求出，然后结合二次函数性质求最值即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以定义域关于原点对称，即，解得，
又，所以，得，
所以，定义域为，
由二次函数性质可知，当时，有最大值.
故答案为：5
14．
（1）根据已知易证，则得，，即可求得的周长；
（2）设，再根据勾股定理与三角形全等，求解出与，再由与基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，，，所以，所以，，
所以，所以的周长为.
（2）设，，所以，则，
由（1）可知，即，所以，
在中，由勾股定理可得，即，解得，
因为，，所以且，即，
在中，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，的面积S取得最大值.
故答案为：；.
15．(1)，；
(2)，，和.
（1）利用换元法：，求出，即可求出的解析式；
（2）根据求出集合A的元素，根据元素即可写出集合A的所有子集.
【详解】（1）令， 所以，
所以，
即，；
（2）因为，
，
因为，解得或，
所以，
所以集合的所有子集为：，，和.
16．(1)图象见解析，单调减区间为，最大值为4；
(2)或；
(3).
（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图像，并根据图像求单调递减区间和最值；
（2）分段求解不等式，再求并集；
（3）根据图像，画出与有两个交点，求k的取值范围.
【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象：
则函数的单调减区间为
当时，取得最大值4；
（2）当时，，所以恒成立，
当时，，所以，
当时，，所以，综上可知，或，
所以不等式的解集为或；
（3）
如图，与有2个交点，则或，
即k的取值范围为.
17．(1)
(2)
(3)
(1)将代入不等式，将分式不等式化为一元二次不等式，解之即可；
(2)将分式不等式转化为一元二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数的关系可得；
(3)分别确定集合与，根据命题的充分必要性可得集合与的包含关系，进而可得实数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以不等式可化为，
也即，解得：，故.
（2）由不等式可化为，因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
所以.
（3）因为不等式可化为：，解得：，所以,又因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，
当时，，满足题意；
当时，，要使是的真子集，则有，所以；
当时，，满足是的真子集，
当时，，满足是的真子集，
当时，，满足是的真子集，
综上所述：实数的取值范围为.
18．(1)答案见解析
(2)能，理由见解析
（1）由贮水池的容积可求得，然后利用基本不等式可求出甲工程队的造价的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出结论；
（2）由题意可知对任意的、，不等式恒成立，可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出实数的取值范围，结合题意判断可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可知，水池的容积为，可得，
甲工程队的造价为
（元），
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，将贮水池的池底涉及为边长为米的正方形时，总造价最低，最低造价是元.
（2）解：若甲工程队一定能中标成功，则对任意的、，
不等式恒成立，
即对任意的、，恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
令，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，，
所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则，
又因为，所以，甲工程队一定能竞标成功.
19．(1)
(2)①函数在区间上单调递增，证明见解析；②[0，1].
（1）由函数成中心对称的充要条件可得为奇函数，可得对称中心；
（2）①根据单调性定义按照步骤即可证明函数在区间上单调递增；
②依题意并根据二次函数性质得出两函数的值域之间的包含关系，限定出最值之间的不等关系，解不等式即可求得结果.
【详解】（1）根据题意可知，函数是由函数向左平移个单位，
向上平移1个单位得到的；
所以为奇函数，
可得函数图象的对称中心是.
（2）当时，.
①函数在区间上单调递增；
证明如下:，且，
，
因为，所以，
所以，
所以，即.
所以在单调递增，
②因为是奇函数，所以关于点对称，
设在上的值域为在上的值域为B.
因为对任意，总存在，使得，所以，
由①可知在上单调递增，又，所以，
又，
当时，在上单调递增，
又关于点对称，所以函数在也单调递增，
故在上单调递增，
又因为，故，
因为，所以，得，又，所以此时不存在.
当时，在单调递减，在单调递增，
又的对称中心为，所以在单调递增，在单调递减，
所以，要使，
只需，且，
解得，又所以，
当时，在单调递减，所以在单调递减，
所以在单调递减，所以，
所以，所以，又，所以此时不存在，
综上：，即的范围是.