辽宁省朝阳市建平县高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（含解析）

建平县高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷
一、单选题
1．已知集合，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在长方体中，为线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知点，点，则向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数 名称 风速大小（单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
7．已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．下列判断正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．函数为偶函数 B．曲线的一条对称轴为
C．在区间单调递增 D．的最大值为
11．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是线段CD1上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A．直线AC1⊥平面BCD1A1
B．点B1到平面BCD1A1的距离是
C．无论点E在线段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1E
D．若异面直线B1E与AD所成的角为θ，则sinθ的最小值为
三、填空题
12．若函数满足，则 .
13．已知正实数，满足，则的最小值为 .
14．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴 ．
四、解答题
15．直线过点，.
(1)求直线的一般方程.
(2)求直线的斜率，以及在x轴和y轴上的截距.
16．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角C的值；
(2)求的最大值；
(3)若AB边上的中线CD长为，求的面积．
17．如图，四棱锥中，底面，，，.
(1)求点B到面PAC的距离；
(2)若，证明：平面；
(3)若，且二面角的正弦值为，求AD.
18．在高中学段学生综合素质评价平台上对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
10 0.25
24
2 0.05
合计 1

(1)求出表中，及图中的值；
(2)若该校高三年级学生有840人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数.（结果精确到0.01）
19．如图，在三棱柱中，与的距离为，，．
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若点N在棱上，求直线AN与平面所成角的正弦值的最大值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C C A C A BCD ACD
题号 11
答案 BCD
1．A
根据题意，求得，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由方程，解得或，所以，
所以，，.
故选：A.
2．A
【解析】根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.
【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，
由已知条件可得，得，因此，.
故选：A.
3．D
易得满足；当时，满足可求解.
【详解】当时，在上单调递增，满足题意；
当时，要使在上单调递增，则满足，解得，
综上，实数的取值范围为.
故选：D.
4．C
利用空间向量的加法法则进行求解.
【详解】因为为线段的中点，所以,
所以，
因为长方体中，，
所以，即.
故选：C.
5．C
根据给定条件，求出向量的坐标判断得解.
【详解】由点，点，得.
故选：C
6．A
结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
7．C
根据给定条件，利用向量的夹角公式列式求解.
【详解】向量，，由与的夹角为钝角，得且不共线，
由，得，解得，
若共线，得，解得，因此当不共线时，，
所以实数的取值范围为.
故选：C
8．A
利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得.
【详解】因向量在向量上的投影向量为，
可得，即①，
由可得，
又，故可得：，
因是非零向量，故，解得.
故选：A.
9．BCD
由指数函数的单调性判断数的大小即可.
【详解】在上是减函数，，，故A不正确；
在上是增函数，，；故B正确；
在上是增函数，，；故C正确；
在上是减函数，，，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质逐项判断即得.
【详解】函数，
对于A，是偶函数，A正确；
对于B，，不是曲线的对称轴，B错误；
对于C，当时，，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，C正确；
对于D，的最大值为，D正确.
故选：ACD
11．BCD
以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，判断ACD，结合等体积公式，求点B1到平面BCD1A1的距离，判断选项B.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，，，，，，
A.，，
因为，所以与不垂直，那么与平面不垂直，故A错误；
B.点到平面的距离即点到平面的距离，设点到平面的距离为，
因为，即
得，解得：，故B正确；
C.因为点在线段上，所以
，，，
所以，故C正确；
D.，，
，
因为，所以求的最小值，即求的最大值，
当时，取得最大值，最大值是，此时，故D正确.
故选：BCD
12．
根据给定等式，利用方程组法求出函数，进而求出函数值.
【详解】由，得，则，
所以.
故答案为：
13．17
根据给定条件，变形目标式，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】正实数，满足，则
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值17.
故答案为：17
14．，
利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴.
【详解】由题意可得：，
函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标不变可得函数的图象，
函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，
所以，
令，，解得：，，
故答案为：，
15．(1)；
(2)斜率，在x轴和y轴上的截距分别为.
（1）根据给定条件。利用直线的两点式方程求出方程，再化成一般式即可.
（2）利用（1）的结论，求出直线的斜率及横纵截距.
【详解】（1）直线过点，，则直线的方程为，即，
所以直线的一般方程为.
（2）由（1）知，直线，当时，；当时，，
所以直线的斜率，在x轴和y轴上的截距分别为.
16．(1)；
(2)；
(3).
(1)先根据正弦定理对进行边角互化，再根据余弦定理，即可得到值，进而得到角C的值；
(2)利用正弦定理，将"求的最大值问题"转化为"求的最大值问题"，再 转化为"求的最大值问题", 最后利用辅助角公式可得结果；
(3)因为为边上的中线，所以，两边平方可得到边的关系，结合(1)式结论，可求得的值，从而得到的面积.
【详解】（1）因为，由正弦定理,可得，
整理可得，由余弦定理得，所以,所以.
因为在中，，所以.
（2）因为，由正弦定理可得，可得，.
因为,所以.
,
所以，其中.
所以，当时，取得最大值，最大值为.
（3）由题可知，，
由(1)知，即，①
因为为边上的中线，所以，
两边平方得：，
所以，②
②①可得，可得，
所以的面积．
17．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
（1）过点作于，利用定义法求出点到平面的距离.
（2）利用线面垂直的判定性质，结合（1）中信息证得，再利用线面平行的判定定理推理得证.
（3）作出二面角的平面角，再利用直角三角形边角关系列出方程求出.
【详解】（1）在四棱锥中，在平面内过点作于，
由底面，平面得，
而平面，
则平面，长即为点B到面PAC的距离，
由，得，即，，
所以点B到面PAC的距离为.
（2）由平面，平面，得，
又，平面，则平面，
而平面，于是，由（1）知，因此，
又平面，平面，所以平面.
（3）在平面内过点D作于，在平面内过点作于，连接，
由平面，而平面，故，而平面，
则平面，又平面，于是，而平面，
因此平面，又平面，则，即为二面角的平面角，
且为锐角，，，，
设，由，得，则，
，由，得，，
因此，解得，所以.
18．(1)，，
(2)210
(3)17.08
（1）根据题意结合频数、频率和样本容量之间的关系运算求解；
（2）分析可知在上的频率是0.25，进而估计人数；
（3）分析可知中位数在区间上，根据题意结合中位数的定义运算求解.
【详解】（1）由频率分布表可得，，
所以，.
（2）因为该校高三年级学生有840人，在上的频率是0.25，
所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数为.
（3）因为，且，所以中位数在区间上，
设样本中位数为，则，解得.
所以估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数是.
19．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取棱中点D，连接，因为，所以
因为三棱柱，所以，
所以，所以
因为，所以，；
因为，，所以，所以，
同理，
因为，且，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）
取中点O，连接，取中点P，连接，则，
由（1）知平面，所以平面
因为平面，平面，
所以，，
因为，则
以O为坐标原点，，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
可设点，，
，，，
设面的法向量为，得，
取，则，，所以
设直线与平面所成角为，
则
若，则，
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值.